2023届北京市东城区北京第某中学高考考前模拟数学试题含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人.已知：甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；乙不在原始森林，也不在远古村寨；“丙在远古村寨 是 甲在原始森林”的充分条件；丁不在百里绝壁，也不在远古村寨.若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.T2.已知抛物线C:/=4 y，过抛物线C上两点A B分别作抛物线的两条切线PA,PB,P为两切线的交点。为坐标原点若PA.PB=0，则 直 线 与0 8的斜率之积为（）1 1A.B.-3 C.D.-44 83.函数y=ta n?x-幻 的部分图象如图所示，贝!）（砺+砺）丽=（）A.6 B.5 C.4 D.34.若复数z=?（人e R i为虚数单位）的实部与虚部相等，则。的值为（）2+zA.3 B.3 C.-3 D.7347r5.如图所示，用一边长为0的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将 体 积 为 的 鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则 鸡 蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（6.+12c 网 一、2D.V3-126.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理,化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为7.48B.72C.90已知实数集R,集合A=x|l x 3 ,集合B=D.961y/x2,则 Ac(C*)=()A.x|lx2 B.x|1 x3 C.x|2x3 D.x|lx28.定义在 R 上的偶函数/(x)满足f(x+2)=/(x),当 xG-3,-2时，/(*)=-*-2,则()A./cos J B.f (si3)f(2019)9.已知圆W+y 6一7=0与抛物线丁=2 a（0）的准线相切，则0的 值 为。1A.1 B.2 C.-D.421 0.已知命题p:x 2根+1应：/一58+6 B.m 22C.mI).m l1 1.已知。（0,7），且 tana=2,则 c o s2 a+c o sa=()A 2 7 5-3 _ V 5-3A-B.-C也+3D 2 石+35 5551 2.已知全集U=x|x2 0）与圆相交于A,B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a,使得弦A B 的垂直平分线/过点尸（-2,4）,若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.18.（12分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展.据统计，在 2018年这一年内从 A市到3 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50 万人次.为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表（单位:人次）：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分（满意）1212022015 分（一般）2362490 分（不满意）106344（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在 2018年从A 市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2 人次,记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A 市出发到3 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由.19.（12 分）已知函数/（x）=|x +l|-|4-2 x|.（1）求不等式/（X）g（x l）的解集；2 1（2）若函数/（x）的最大值为加，且2。+人=7（。0力0）,求士+上的最小值.a b20.（12分）如图，已知四棱锥PA B C。的底面是等腰梯形，AD/BC,4 D =2,B C =4,N A B C =60。，P A D为等边三角形，且点尸在底面A B C。上的射影为A Z）的中点G,点E在线段8C上，且C E:E B =1:3.（1）求证：）E _L平面 P A D.（2）求二面角APC-。的余弦值.2 221.（12分）已知椭圆C：=+二=1（。/,0）的长半轴长为近，点（l,e）（e为椭圆。的离心率）在椭圆。上.a b（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，P为直线x=2上任一点，过点P椭圆。上点处的切线为Q 4,P B,切点分别A,B,直线x=。与直线Q 4,P 5分别交于，N两点，点M,N的纵坐标分别为m,”,求相的值.TT TT22.（10分）如图，在直角4C 8中，Z A C B =-,Z C A B =,A C =2,点M在线段A3上.2 3(1)若s i nN C M A=，求CM的长;3(2)点 N 是线段 C B 上一点,M N=J 7 ,且 SABMN=；S ACH 求3 M+BN的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据演绎推理进行判断.【详解】由可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由可知必有甲去了原始森林，由可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁.故选：D.【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础.2.A【解析】设出A,8的坐标，利用导数求出过4,8的切线的斜率，结 合 中.而=（）,可得*|X2=-1.再写出O A,O B所在直线的斜率，作积得答案.【详解】解：设 A （%,且），B（%，互），1 4*41 ,1由抛物线C：J？MU,得丁=一R 2,则 y，=%.42,1,1 kAP=X 即6=5*2，由 丽 丽=0,可得（玉 工 2=-1，即 X1X2=-1.又k；如咛，八 OB 16 16 4故选：A.点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A(2a,a2),B(2b,b2),a A,再求切线 P A,P B 方程，求 点 P坐标，再 根 据 序.两=0得到ab =-1，最后求直线04与 O B 的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些.3.A【解析】根据正切函数的图象求出4、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果.【详解】由图象得，令 y =t a n(2%-W J =0,即(九一=ke k e Zk=0时解得x=2,.(兀 兀、0c 兀 7t 71 y =t a n 丁=1,即7x 二=：,解得x=3,(1,1)=5 +1 =6.故选：A.【点睛】本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大,象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.4.C【解析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.【详解】z =l-bi_=2-b-(2 b +l)i 又 z 的实部与虚部相等，2 +z 5:.b-2=2 h+i,解得匕=一3.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.解题关键是利用图象与正切函数图5.D【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1,又因为鸡蛋的体积为47羊r，所以球的半径为1,所以球心到截面的距离 立，而截面到球体最低点距离为1-且，而蛋巢的高度为V 4 2 2 21 (向/?_ 故球体到蛋巢底面的最短距离为彳-1-=点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.6.D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛当甲参加另外3场比赛时，共有C3A：=72种选择方案;当甲学生不参加任何比赛时，共有A/=24种选择方案.综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题.7.A【解析】V T”0可得集合B,求 出 补 集,再求出A C(CR B)即可.【详解】由 y/x-2 0,得x2，即 B=(2,+00),所以孰8=(-oo,2,所以 A c(C*)=(l,2.故选:A【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算，属于基础题.8.B【解析】根据函数的周期性以及xG L 3,-2的解析式，可作出函数/(x)在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.【详 解】由/(x+2)=于(x),得/(x)是 周 期 函 数 且 周 期 为2,先 作 出/(x)在x G-3,-2 时的图象，然 后 根 据 周 期 为2依次平移,并结合/(x)是偶函数作出/(x)在K上的图象如下，-4-3-2 T。1 2 3 4选项 A,0 si n =c o s 1,6 2 2 6所以J 选 项A错误;选项 B,因 为 包V3 V),所 以0 V si 3 V Y Z V-c o s3 V 1 ,4 2所 以/(s加3)f(-c o s3),即/(s加3)-5 z n -CP 5 0.3 2 3 2 3 3选 项C错 误；选项 D,/(2 0 2 0)=/(0)0)的准线相切，则 圆 心 为(3,0),半 径 为4,根据相切可知，圆心到 直 线 的 距 离 等 于 半 径，可 知P的 值 为2,选B.【详 解】请在此 输 入 详 解！1 0.D【解 析】求出命题4不等式的解为2x3,，是9的必要不充分条件，得4是的子集，建立不等式求解.【详解】解：命题：x 2 m+l,q:X?_ 5 x +6 0,即：2 c x 3,解得机2/.实数机的取值范围为m 2/.故选：D.【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验.1 1.B【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得COSC的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于c o s a的式子，代入从而求得结果.详解：根据题中的条件，可得a为锐角，根据t a n a =2,可求得c o s a=,5而 c o s 2 a +c o s a =2 c o s2 a +c o sc r-1 =+-1 =-，故选 B.5 5 5点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.1 2.C【解析】先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.【详解】由题意得。=x|x?4,x ez=x-2x 0,则x g,故函数的单调增区间为：故答案为：.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 31 7.(2)(x-2)2+y2=2.(2)(,+o o ).(3)存在，。=一1 2 4【解析】(2)设圆心为M (/,0),根 据 相 切 得 到 29|=5,计算得到答案.5(2)把直线a r-y+5=0,代入圆的方程，计算 =4 (5 a-2)2-4 (a2+2)0得到答案.(3)/的方程为 y=：(x+2)+4,B P x+ay+2-4 a=0,过点 M(2,0),计算得到答案.【详解】(2)设圆心为M(机，0)(n iG Z).由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5,所以 刖-29=5,即|4m-291=2.因为，为整数，故，=2.5故所求圆的方程为(x-2)2+/=2.(2)把直线o r-y+5=0,即y=o r+5,代入圆的方程，消去y,整理得(层+2)d+2(5a-2)x+2=0,由于直线 Q X-y+5=0 交圆于 A,5 两点，故 =4(5a-2)2-4(a2+2)0,即 22a2-540,由于a 0,解得所以实数a 的取值范围是(工,+8).12 12(3)设符合条件的实数。存在，则直线/的斜率为-L,a/的方程为 =-(x +2)+4,即 x+ay+2-4=0,a由于/垂直平分弦A 3,故圆心M(2,0)必在/上，3 3/5、3所以2+0+2-4 a=0,解得a=：.由 于:目；7，+8,故存在实数a=:4 4 12；4使得过点尸(-2,4)的直线/垂直平分弦A5.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.29 218.(1)(2)分布列见解析，数学期望二(3)建议甲乘坐高铁从A 市到8 市.见解析【解析】(D 根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19,39,4 2,即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；(2)依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是=！，所以X:B|2,即75 5 V 5 Jp(x =女),即可求出X 的分布列和数学期望；(3)可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机.【详解】(1)设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为 M,由表可得：样 本 中 出 行的老年人、中年人、青 年 人 人 次 分 别 为1 9 ,39 ,42,所以在样 本 中 任 取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)=与1 9 +3/9 =/2 9.1 0 0 50(2)由题意，X的所有可能取值为：0,1,2.因 为 在2 0 1 8年 从A市 到5市乘坐高铁的所有成年人中，随 机 选 取1人 次，此人为 老 年 人 概 率 是 竺=,7 5 5所以 P(X=0)=C；x(l$2=,1 1 QP(X=l)=C；x(l .?=三，P(X=2)=Cx(?2=g所 以 随 机 变 量X的分布列为：X012P162582512544.L/V、C 1 6 ,8 c 1 2故 E(X)=0 x-n i x-t-2 x 2 5 2 5 2 5 5(3)答案不唯一，言之有理即可.如可以从满意度的均值来分析问题,参考答案如下:由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为:52 x 1 0 +1 2 x 5+1 1 x 052 +1 2 +1 11 1 615乘坐飞机的人满意度均值为:4x 1 0 +1 4x 5+7 x 04+1 4+72 2TEJ 1 6 22因为所以建议甲乘 坐 高 铁 从A市 到B市.【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题.19.(1)1,4(2)3【解 析】x 5,x 2.(2)/(功 的 最 大 值 加=/(2)=3,2 a+b =3(a 0,b 0)9利用均值不等式计算得到答案.【详 解】x 5,x 1,(1)/()=卜 +1|4 2,=2.X -(x-l)因 为/(X):(x-1)，故，-掇k 2,1 或，3x 3.-(x 1)I 3x 2,-x+5 2 -(x -1),解 得 掇k 2或2.(2)取 的 中 点 居 连 接G F,以G为原点,G A所在直线为x机G F所在直线为j轴,G P所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由（1）易知,。EJ_CB,CE=1,又 ZABC=ZDCB=Of）,：.DE=GF=6 A D=2,/PAD 为等边三角形,.1P G =6,则 G(0,0,0),A(l,0,0),。1,0,0),p(0,0,扬,C(-2,6,0),uusi l ULW l uuu _ _ _ r：.AC =(-3,73,0),A P =(-1,0,V 3),-DC =(-1,6 0),D P =(1,0,J3),设平面A P C的法向量为比=,ZI),m -A C=0m-A P =Q即-3 尤 +3 y=0-尤+Z 0令 =G,则 X=3凸=(5/3,3,1),设平面DP C的法向量为n=(x2,y2,z2),则n DC-0，即n-Z)P =0-x2+百%=0X2+y/3z2=0令=g，则.丫2 =l,z2=_,n =(A/3,1,-1),设平面A P C与平面DP C的夹角为。，则二面角A-P C-D的余弦值为上上.13【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查运算能力与空间想象能力.21.(1)y+y2=l；(2)2V 2-3.【解析】(1)因为点(l,e)在椭圆。上，所以+=1,然后，利用/=一从，e =：,得出4 +%。=1,进而求解即可(2)设点p的坐标为(2,。，直线AP的方程为y =4(x 2)+r,直 线 阶的方程为y =%(x-2)+r,分别联立方程：2X+V 2=112.y=kl(x-2)+tk1+k2-2t和.t2-l，利用韦达定理，再利用机=4(、反一2)+乙 =心(、反一2)+/,即可求出2m n的值【详解】(1)由椭圆C的长半轴长为应，得a=6.因为点(l,e)在椭圆C上，所以二+ae2记=1 又因为02=储一沙2,e =,所以、+=1,a a2 a2b2所以匕=一1(舍)或b =l.故椭圆C的标准方程为1+丁=1.(2)设点p的坐标为(2J),直线AP的方程为y =4(x-2)+r,直 线 成的方程为y =&(x-2)+r.+2=1据(2+)得(2+1卜2+秋_2 尢)x+2 2 幻 2_ 2=0.y=k(x2)+1据题意，得 16%；_ 2幻2_ 4(2片+1)2 _ 202_ 2 =0,得2#+/一1 =0,同理，得2代-4叱+产一1=0,K Z =2,所以I r _ 1.桃2=亍又可求，得 加=匕(夜 一2)+/，=&(夜-2)+/,所以=2)+f 22(及-2)+/=(6-4 秘 2+(a-2)化+&2)，+=(3-2(一1)+2(&一 2)/+/=2 夜-3.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题，联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参，属于中档题22.(1)3；(2)4+百.【解析】(1)在V C A”中，利用正弦定理即可得到答案;(2)由=SAAC8可得=4百，在ABM N中，利用M N =近 及余弦定理得M N2=B M2+B N2-I B M -B N cos-,解方程组即可.6【详解】(1)在VC4 M中，已知N C4 M=工，s i n ZC MA =,A C =2,由正弦定理，3 34 c 兀 个 A/3s A C s m 2 x 得 -=:-,解得CM=-工=4=3.s i n /.C AM s i n Z C M A s m Z C M A V 3T(2)因为5 0的=1 5“8,所以1.B M.B N-s i n m =!x!x 2 x 2百，解得B M-B N =46.2 2 6 2 2在ABM N中，由余弦定理得，(出、MN?=BM?+BN2-2 B M B N cos=(B M +B N?2 B M B N 1 +-,(G、即(夜Y=(&W+8 N 1-2X4 GX 1+,、2,(B M +B N)2=19+8 =(4+G，故 B M +B N=4 +6【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.