海南省洋浦2023年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1 .答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2 .第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆C:一 +=1,直线4 ：皿+3?=0与直线4 :x-m y-3 =O相交于点尸，且尸点在椭圆内恒成立,矿+9 a-则椭圆C的离心率取值范围为()2.已知43是球O的球面上两点，乙1 0 5 =9 0,。为该球面上的动点.若三棱锥O-d BC体积的最大值为3 6,则球。的表面积为()A.36兀B.64兀C.1447rD.2 56兀3 .某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万 元)如 图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()4 .已知抛物线C:V=6 x的焦点为产，准线为/,A是/上一点，B是直线A b与抛物线。的一个交点，若 丽=3而，则 IW=()7 5A.-B.3 C.-D.22 25.已知定义在R上的奇函数/(x)满足：f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.7 1 8 2 8.)，且在区间 e,2 e上是减函数,令。=号，6 =q，c=警，则/(a),f(b),/(c)的大小关系(用不等号连接)为()ND0A.f(b)f(a)f(c)/(0)/(，)/(a)C.f(a)f(b)f(c)D./()/(c)/0)2 26.抛物线=2 8的焦点，是双曲线c,._=/(o 机 28.已知双曲线C:二-5 =1(a0力 0)的焦距为2c,过左焦点”作斜率为1的直线交双曲线C的右支于点尸，若线a b段PK的中点在圆O：/+丁=?上，则该双曲线的离心率为()A.V2 B.2 72 C.V2+1 D.2 72 +19.用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数 字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是()A.48 B.60 C.72 D.12 010.偶函数/(x)关于点(1,0)对称，当 iW xW O时，/(x)=-x2+l,求/(2 02 0)=()A.2 B.0 C.-1 D.111.已知函数/(尤)=3x+2 c o sx,若 a=/(3)，b=/(2),c=/(log2 7),则，b,c 的大小关系是()A.a b c B.c h a C.b a c D.h c0,6 0)的两个焦点为1-亭，0、居 等，点产是第一象限内双曲线上的点，且柩痴/尸尸2尸1=-2,则 双 曲 线 的 离 心 率 为.21 4.已知直线x y +0 =0与圆心为C的圆d+y 2+2 x-4),-4 =0相交于48两点，且AC J.3 C,则实数。的值为.x y1 5.设x，)满足约束条件3 x+y 2 0,则目标函数z =2 x +y的最小值为3x-y 0.(I)当“=1时，求/(幻的单调区间和极值；(H)求函数/(x)在区间U,e上的值域(其中e为自然对数的底数).1 8.(1 2 分)已 知x 0,y 0,z 0,x2+y2+z2=1,证明：(1)(x +y)+(y +z)+(x +z)”4 ；(2)I-1 1 +2 xy+2 J x z +2Jy z ,x y z1 9.(1 2分)某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超 过 1 小时的部分每小时收费标准为20元(不 足 1小时的部分按1 小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、I II 7乙健身时间不超过1 小时的概率分别为一，一，健身时间1 小时以上且不超过2 小时的概率分别为一，一，且两人健4 6 2 3身时间都不会超过3小时.(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量g (单位：元)，求4的分布列与数学期望后修)；(2)此促销活动推出后，健身馆预计每天约有3 0 0人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.2 0.(1 2分)如 图，在平行四边形A B C。中，A D=2A B,N A =6 0。，现沿对角线BD将折起，使点A到达点P,点M,N分别在直线P C,P D上,且A,B,M,N四点共面.(1)求证：M N工B D；(2)若平面平面B C D,二 面 角 平 面 角 大 小 为 3 0。，求直线PC 与平面8 MN所成角的正弦值.21.(1 2分)如 图，在直三棱柱A B C 中，A B =A C =y2 6。=然=2,。为 B C 的中点，点M 在线段 A4 上，且。M 平面C 4 A.(1)求证：A M =；(2)求平面MO 与平面C g A,所成二面角的正弦值.22.(1 0分)设前项积为7“的数列%,4=九一4 (X为常数)，且 是 等 差 数 列.J n ,(I)求 2 的值及数列 北 的通项公式；(I I)设 S”是 数 列 也 的前项和，且 =(2+3 月,求 S 2“-S,-2的最小值.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线4,乙过椭圆的焦点.然后判断出4，4,判断出尸点的轨迹方程，根据尸恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e的取值范围.【详解】设耳（c,O），E（c,O）是椭圆的焦点，所以，=/+9一q 2=9,c =3.直线（过点耳（_3,0）,直 线 过 点 名（3,0）,由于mx l +l x（租）=0,所以/1 _ L/2,所以尸点的轨迹是以耳，工为直径的圆f+y 2=9.由于p点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3,即 32=9,所以4+9 18,所 以 双 曲 线 的 离 心 率/=白；（0,（,所以+9 I 2）e w 0,.I 2）故选：A【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.2.C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-AB C的体积最大，设球。的半径为R,此时%-ABC=%-A O B=2XR2 x R =w；?3 =3 6，故R =6，则球。的表面积为S =4%/?2=1 44万，故选 C-3 2 6考点：外接球表面积和椎体的体积.3.A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为c c 2 5?X 20%=6.25%.250+450+1 00故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.4.D【解析】根据抛物线的定义求得|A F|=6,由此求得忸F|的长.【详解】过B作 比 /,垂足为C,设/与x轴的交点为。.根据抛物线的定义可知忸目=忸.由 于 苏=3万，所以A B=2BC,所以N C4B=e,所以|A同=2|E D|=6,所以忸同=a A刊=2.本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.A【解析】因为/(%+)=一/，所以x +4e)=x),即周期为4,因为/(X)为奇函数，所以可作一个周期-2e,2e/1111示意图，如图“X)在(0,1 )单调递增，因为52 25.不 25,23 2,爹 3).0 c a A/(o)/(c),选A.(1)函数/(x)为奇函数=/(x)=-/(-x),函数/(外为偶函数。/(幻=)(一幻(定义域关于原点对称)；(2)函 数 关 于 点(。,6)对称o f(x)+/(-%+2。)=2 函 数/(%)关于直线x =相对称。/(x)=f-x +2m),(3)函数周期为T,则/(x)=/(x +T)6.A【解析】先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a 的值，即可求得离心率.【详解】由题意知，抛物线焦点厂(1,0),准线与x 轴 交 点/,0.双曲线半焦距c =/,设点切/呼 0 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，即IPFI=IPQI,结合P点在抛物线上，所 以 抛 物 线 的 准 线，从而加工.轴，所以P(/,2),-2a=|PF|-IPFI =2 -2即。=/.故双曲线的离心率为e =-j=币+1.42-1故选A【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.7.A【解析】利用P =旦计算即可，其中nA表示事件A所包含的基本事件个数，n为基本事件总数.n【详解】从7本作业本中任取两本共有C；种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有C；种不同结果,C2 1由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为V =一.7故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.8.C【解析】设线段P 6的中点为A ,判断出A点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.【详解】设线段P 6的中点为A，由于直线耳P的斜率是1,而圆0:丁+2=。2,所以A（O,c）.由于。是线段耳工的中点,所以|尸局=2|O 4|=2 c,而4|=2|A耳|=2 x&c=2任,根 据 双 曲 线 的 定 义 可 知|尸 耳 卜 归 闾=勿,即2a-2c=2a，即?=m公=及+L【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9.A【解析】对数字2分类讨论，结合数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字2出现在第2位时，数字1,3,5中相邻的数字出现在第3,4位或者4,5位，共 有 尺 尺=12个数字2出现在第4位时，同理也有12个数字2出现在第3位时，数字1,3,5中相邻的数字出现在第1,2位或者4,5位，共有用=2 4个故满足条件的不同的五位数的个数是48个故选A【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。10.D【解析】推导出函数y=/(x)是以4为周期的周期函数，由此可得出“2 02 0)=/，代值计算即可.【详解】由于偶函数y=/(x)的图象关于点(1,0)对称，则/(一 力=/(力，/(2+x)+/(-x)=0,/(x+2)=-/(-x)=-/(力,贝!)/(x+4)=-f(x+2)=/(x),所以，函数y=/(x)是以4为周期的周期函数，由于当TWxWO时，/(x)=d+l,贝！|/(2 02 0)=/(4x505)=/(0)=l.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11.D【解析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得/（X）在R上为增函数，又由2 =log,4 log,7 3 0在R上恒成立，则f（x）在R上为增函数；又由 2 =log2 4log2 733 巴则人 c ,.由正弦定理得景=./.=2,5 5 P F2 s i n N P g又，；tan/PF F?=g ,tanZ.PFiF=-2,1-29 z 3 4：.tanFPF2=-tan（Z P F 2 F 1+Z P F 1 F 2）=一 一=一，可得 c os/B P F 2 =一，1+1 x2 4 52 PFxFi 中用余弦定理，得 PF：+PF-2PFl*PF2cosZFlPF2=3,联解，得P耳=档5,PF 呼,可得 百一 心=半，二双曲线的2 a =M5,结合2 c =百，得离心率6 =至=岂 叵.32a 5故答案为：地.5【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.1 4.0或6【解析】计算得到圆心。（一1,2）,半径厂=3,根据A C _ L B C得到d =芈，利用圆心到直线的距离公式解得答案.【详解】x2+y2+2 x-4 y-4 =0,即（x+l+（y 27=9,圆心。（一1,2）,半径厂=3.A C V B C,故 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 =逑，即。=1 曰=述，故。=6或。=0.2 V 2 2故答案为：0或6.【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。1 5.-1【解析】x y根据X，）满足约束条件卜x+yN O,画出可行域，将目标函数Z =2 x+y,转化为y=-2 x+z,平移直线y=-2 x,3 x-y y由 满足约束条件3 x+y 0,画出可行域如图所示阴影部分：3 x-y b=瓜，3,:a b,，A 0,得增区间为(0,1),令 1(x)0,得减区间为(1,+8),所以有极大值/(1)=0,无极小值;(I I)由 广(幻=-。=三 2,分 0%L和，al 三种情况，考虑函数/(x)在区间 l,e 上的值域，即可x x e e得到本题答案.【详解】(1)当a =l时，fx)-l n x-x+,/(x)=-l=当0 x 0,函数单调递增，当x l 时，Ax)x x当04,时，r(x).O,/(x)在 l,e 上单调递增，/(1)/口)/(6)即函数的值域为 0,1 +。网；当 心 1 时，0,7(%)在 上 单 调 递 减，/3)4/34 1)即函数的值域为 1 +。加,0 ；当：。0,/(x)在 Je 上单调递增，时，/。)0,/(%)在 R,e 上单调递减,故当x=一时，函数取得最大值/(一)=-1 +，最 小 值 为/=。，/(e)=l +a-e中最小的,a a当e士 时，/(e)2/(1),最 小 值/=0；()当 a 1,/(e)/(1),最小值/(e)=1 +a -a e ；e-1综上，当时，函数的值域为 0,1 +a a e ,e当_ L 4,工 时，函数的值域 0,-lna 1 +a ,e e-i当 a l,再利用_ L +L+_ L =(_ L +_ L +n(x2 +y 2 +z2),展开即可得证.x y z yx y 7【详解】证明：(1)v x2+y2+z2=1,/.2xy+2 y z+2 xz,x2 4-y2+y2+z2+z2+x2=2(x2 +y2+z2)=2 ,xy+yz+次，1,/.。+y)2 +(y +z)2 +(z+x)2 =2(+9+z?)+2(xy +y z+zr)=2 +2(xy+y z+zx)4 (当且仅当 =y =z 时取 等 号).(2)x 0,J7 0,z 0,x2+y2+z2=1,(x+y +z =x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=1 +2盯+2 xz+2 y z 1 ,.x+y+z 1,1 1 1 一+-二x y z2 2 2 2 2 2y z x z x y=x+y+zx x y y z z=(x+y+z)+1 +2-Jxy+2xz+2.Jyz，l-1 1 +2 J xy+2 J xz+2 J yz.x y z【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.19.（1）见解析，40 元（2）6000 元【解析】（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0 元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9 种情况，分情况计算即可（2）根 据（1）结果求均值.【详解】解：（1）由题设知J 可能取值为（），20,40,60,8 0,则p(4=60)=12X+X=2 6P(“80)=%)4 312 4,4故 J 的分布列为:4020406080P12 4_45T2412 4所以数学期望E(4)=0X(+2 0X；+40XK +60X；+80X(=40(元)(2)此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：4 0 x3 0 0 x-=6 0 0 0 (元)2【点睛】考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.2 0.(1)证明见解析；(2)叵5【解析】(1)根据余弦定理，可得利用A 3 C O,可得C O/平 面 然 后 利 用 线 面 平 行 的 性 质 定 理，C D/M N,最后可得结果.(2)根 据 二 面 角A B。平面角大小为3 0，可知N为P O的中点，然后利用建系，计 算 正 以 及 平 面 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】(1)不妨设 A B =2,则 4)=4,在A B Z)中，B D2=A B2+A D2+2 A B A D-C O S A，则 B D =2 0因为 A B?+=4 +1 2 =1 6 =A D?,所以因为AB CD,且A、B、M、N四点共面，所以CO平面A B M N.又平面A B M N D平面P C D =MN,所以C D“M N.而C D,肛 M N B D.(2)因为平面尸8。，平面B C D,且 依，所以 平面 8 c。，P B L A B,因为所以A B _ L平面P 3 D,B N 1 A B,因为平面BM/V与 平 面BCD夹 角 为30。，所 以NT3N=30。，在RtAPBO中，易 知N为P。的中点,如 图，建立空间直角坐标系，则 3(0,0,0),P(),0,2),C(2,2 73,0),N(0,百,1),肛1,6,1),丽=(1,0,0),丽=(0,6 1),定=(2,2 6,2),设 平 面BM N的一个法向量为n=(x,y,z),则 由，n-NM=0万 丽=0=令y=l,得3=(0,l,_ G).设PC与 平 面8M N所成角为贝！sin 0-cos(90 一n-PC _ V15【点 睛】本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简,属中档题.2 1.见解析【解析】(1)如图，连接BG，交 cq 于点N,连接AN,O N,则 N 为 C4的中点，因为。为 8C的中点，所以ON/BB、,又 M&/BB、,所以O N A 依，从而。，N ,4，加四点共面.因为O M 平面C B 1 4，QVfu平面。叫 加，平面。惚 H平面C 4 A =惚，所以。加力叫.又 ON M A ,所以四边形次41M 为平行四边形，所以K4,=O N =g B B =3 的，所以 AM=AMZ 一A _ _ _ _ _ _ _ 4,(2)因为A B =AC,。为 8c的中点，所以A O _ L 3 C,又三棱柱A B C 4gG 是直三棱柱，O N ,所以。4,O B,O N互相垂直，分 别 以 砺，O N，况 的 方 向 为 x轴、y 轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-x yz,因为 A 8 =AC=0，B C =A Ai=2,所以。(0,0,0),片(1,2,0),M(0,1,1),C(-1,0,0),所 以 前=帅,=(。，1，1)，西=(1,2,0),函 =(2,2,0)./O M m =0 f y+z=0设平面MO&的法向量为/n =(x,y,z),贝！J 一 ，即,八，OB m=0 x +2y=0令 z=l,可得y=-l,x=2,所以平面M O 片的一个法向量为帆=(2,1,1).一 ,f NA-/=0 h+c=0设 平 面 的 法 向 量 为 =(”,伍c),贝！二 ，即,”，、，C B =0 2a+2b=0令 c =l,可得。=1,。=1,所以平面C A的一个法向量为=(1,一 1,1),所以平面MOB,与平面C B、4所成二面角的正弦值为1.22.(I )X=l,(II)-n+1 3【解析】12 1 ,1得到雹=/I-T一,两边同除以刀工_1,得 到 一 厂=1 .再 根 据 互 是4 4-1 Tn(I )当“2 2时，由 白=2-1，/一1等差数列.求解.(ID bn=(2n+3)Tn=2 +-,根据前项和的定义得到5 2“-5,-2=工 +工+二:+1+；，令n+1 +2 n+3 n+4 2+1。“=工+二+:+1+k二，研究其增减性即可.【详解】(I )当“2 2时，3=A-T,所以北=4 7；1 7；7；1，即石；一一十二1工7,A 1所 以-1 n-1=1因为 二 是等差数列所以 4 =1,d =91 1 c令=1,1=3,1=2,所 以 十=2+(-1)=+1,1 n即1T(II)么=(2+犯=2+而所 以 邑 一2=2+*+C+2+，I +4+L+2+I 2及+1一2，L+2+3+4+L+-2/7+1令 C.=二 +J+L+几+2 +3 +42 +1所以6+1-。1 1 1-1-2+3 2+2 n +23+4 .-0,(2/i +3)(2+2)(+2)即 C+l c”,所以数列 1 是递增数列，所以（，入血二4二:,即（J Y,2 L=/【点睛】本题主要考查等差数列的定义，前”项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.