考研数学基础班线性代数讲义.pdf

考研基础班线性代数考研基础班线性代数讲义第 一 讲 基 本 概 念线性代数的主要的基本内容：线性方程组 矩阵 向量 行列式等一.线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:anxx+anx2 4-anxn =K，。加玉+。,2%2 +.+%?=b 机,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n个数G，g，C构成，它满足:当每个方程中的 未知数玉都用G替代时都成为等式对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.线性方程组的解的情况有三种：无解,唯一解,无穷多解.ax+by-cdx+ey-f如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组：4=4=4=的线性方程组.0,0,o总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种：唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）.二.矩阵和向量1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.矩阵由数排列成的矩形表格，两边界以圆括号或方括号，m行n列的表格称为m xn矩阵.这些数称为他的元素，位于第i行j列的元素称为（i,j）位元素.3-2 1u0 4 5J是一个2 x3矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵awan anaa2 an仇A 二a2“22a2n(A|0=a2l。22a2n和 a ia 、m2a1m“mla,n2amn为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.2 0 0 9年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为110-111一1 11，常数列为一1-2 2则方程组为 -X+x2+x3=-1,-x2-2xn=2.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.零矩阵:兀素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.2.矩阵和向量的关系书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.3问题：（3,-2,1）和一 2是不是一样？1作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵,它们不一样（左 边 是1 x3矩阵,右边是3 x1矩阵）.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.一个m x n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量；每一列是一个m维向量，称为它的列向量.3.n阶矩阵与几个特殊矩阵n xn的矩阵叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.（其上的元素行号与列号相等.）下面列出儿类常用的n阶矩阵：对角矩阵：对角线外的的元素都为。的n阶矩阵.数量矩阵：对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.单位矩阵：对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E（或I）.上三角矩阵：对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵：对角线上的的元素都为。的n阶矩阵.对称矩阵:满足A 7=A矩阵.也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（1 i）位的元素总是相等的n阶矩阵.问题:下列矩阵都是什么矩阵？1 0 0c 0 02-1 10 0 00 c 00 1 70 0 20 0 c0 0 00 1 10 0 01 2 00 0 01 0 00 0 0对角矩阵：、上三角矩阵：、下三角矩阵：、对称矩阵：、三.线性运算和转置1 .线性运算是矩阵和向量所共有的.加（减）法:两个mxn的矩阵A和Q可以相加（减）,得到的和（差）仍是mxn矩阵,记作A+B（4-8）,法则为对应元素相加（减）.0 4-51 -4 31 0-2+1 1 72 0-63 1 1两个同维数的向量可以相加（减），规则为对应分量相加（减）.数乘：一个数C与一个mxn的矩阵4可以相乘,乘积仍为mxn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.一个数c与一个n维向量。可以相乘,乘积仍为n维向量,记作C?.法则为a的每个元素乘c.c 0 00 c 0=c E0 0 c向量组的线性组合:设%，名 是一组n维向量，。2,/是一组数，则 称。%+。2 2+C.s 4为。1，的，%的（以J,。2,，1为系数的线性组合.3-1 4例：求矩阵A=5 0 7的列向量组的系数为1,1,1的线性组0 8-6合.把一个m x n的矩阵A行和列互换,得到的n x m的矩阵称为A的转置,记 作AT.(AB)T BT(CAY=cAr 1/=(-1.2.3)即 a=23四.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1 .初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换：交换两行的位置.用一个非0的常数乘某一行的各元素.把某一行的倍数加到另一行上.ATB.2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足：如果它有零行，非零行,则都零行在下,非零行在上.如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.1-326510024 6 3000-394000000-326510024 6 3000-394000001-326510004 6 4000-39400000诃题:对角矩阵,上三角矩阵，数量矩阵中，哪个一定是阶梯形矩阵？一个n 阶的阶梯形矩阵一定是上三角矩阵.问题:如果Z 是阶梯形矩阵.(1)Z 去掉一行还是阶梯形矩阵吗？(2)Z 去掉一列还是阶梯形矩阵吗？0 0 00 1 1c 0 00-1 00 1 00 c 00 0 20 0 10 0 c3.简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足：台角位置的元素为1.并且其正上方的元素都为0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵2-5 6 13131-32651-32652-5 6 13 13 2 5 4 15-1 2 5-4-15-1 1 1 4 91 1 1 4 9 11 -3 2 6 51-3 2 6 50 1 2 1 301 2 1 30 0 2-2 1200 2-2 120-2 -2 -3 600 2-1 121-3 2 6 50 1 2 1 30 0 2-2 120 0 0 1 0请注意：从阶梯形矩阵化得简单阶梯形矩阵时，台角不改变.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非1-32051-300-71000-34012030100-901 00 900201200106001 06000100001000010零行数和台角位置是确定的.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4.线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种：交换两个方程的上下位置.用 一 个 非0的常数乘某个方程.把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.例:10山 分.0005 13-20 30 00 01 11-201-2440+与 +%4=13一2%3+%4=23%3+%4=4-2%4=4矩阵消元法步骤如下:写 出 方 程 组 的 增 广 矩 阵（川/），用初等行变换把它化为阶梯形矩 阵（8 7）.用（8 7）判别解的情况：如果最下面的非零行为（，0|d）,则无解,否则有解.有解时看非 零 行 数r（r不会大于未知数个数n）,r=n时唯一解；r 1500030010001000102-2解为（1,0,2,2）.对齐次线性方程组：（1）写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.（2）用8 判别解的情况:非零行数r=n 时只有零解;r n 时有非零解（求解方法在第五章讲）.推论：当方程的个数m （一1）、泌 力）。a?，Q山uij=J 7 M i 2及 njnjh-jn这里1 .是许多（n!个）项的代数和（在求和时每项先要乘+1 或T.）2 .每一项%，0 2/2 叨都 是 n个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.即列标人 2 J n构成1,2,n的一个全排列（称为一个n 元排列），共有n!个 n 元排列,每个n 元排列对应一项，因此共有n!个项.Z 表示对所有n 元排列求和.3 .规定工（I，2）为全排列/，2 力的逆序数.称 1 2-n 为自然序排列,如果不是自然序排歹U,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数，它们的和就是逆序数.例如求4 3 6 5 1 2 的逆序数：3 2 3 2 0 0436512,(4 3 6 5 1 2)=3+2+3+2+0+0=1 0.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如下三角行列式a00 00a2i。220 00 0an-2 an-n-0an2 ann-ann(-D*1 2 n)22 ann%122.-a对角行列式，上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积x 3 ci 1 4502例 求x 8 0 2b x+1 12 1 x4 3的X和X的系数.4 3解析：X的系数是1；X的系数是-1 0二.化零降阶法1.余子式和代数余子式元素0(/的余子式,是n把 第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作4/的代数余子式为Ai j =（T）%.2.定理（对某一行或列的展开）行列式的值等于某行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和.n=4,aIJ二。21 人2+。22 A 22+a23 A 23+。24 A 24例 如 求3阶行列式-3 4 6-2 0 1 =(_3)An+4 Al 2+6 A1 3=(-3)Mn-4 M1 2+6 m 34 5 7=(-3)x(-5)-4 x(-1 8)+6 x(-1 0)=2 7.1 0 0t 1 0000 0 0 r 1解析:原式=1 A n+t A i n=1+(-1 广丁=i+3解析:3 0 4 02 2 2 2例求行列式0-700的第四行各元素的余子式的和.5 3-2 2所求为M 41+42+4 3 +4 4 =一人4 1 +4 4 2 4 3 +4 4原式=5 4 4 1 +3人4 2一 2 A4 3 +2 A4 4将原行列式换为320102-7142010201即他的值就是原题的余子式之答案为-28（对第三行展开一 7 4 3 2 =7 M 3 2 )和3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.-3 469 4 59 4-2 010 0 1 27-18 74 5718 5 72a1 0 0 0a2la 1 0 00a2 2a 1 ,0A=08题.证明 4=(n+l)0.a2 2a 10.-0 a2 2(1分析：证明：初等变换2a100003。00.020a22a1+02 戊3 +夕3 I=OCX%+6 2%+夕3 I+I 夕1 。2 +02。3 +夕3 I=/%+夕3田/02+%+夕2二.二A +B H （另外的6个）例 设4阶矩阵A=（6 Z,/1,/2,/3）,B =（尸,7 2，/3）M=2,忸I=3,求|A +BA +B =（a +。,2yl,2%,2.）,A +B a +尸,2%,2%,2%|=即 +4 力,%解：二 8。,外,7 2，%+8|万,%,%，/3 =407 .如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数,则行列式的值为0.8 .某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和=0.例已知行列式abcdX1-yz+11-zx+3yy+2x+10z+3的代数余子式Ai=_9,Ai2=3,AI3=1,Ai4=3,求 x,y,z.一 9%3+y+3(z+1)=0%=解析：思路：利用性质8 ,y=.z=拉普拉斯公式的一个特殊情形：A*A 0如果/与方都是方阵（不必同阶），则0 B=*B=间 忸1范德蒙行列式：形如111a2222%a2a3 n-in-in-i%a2a3an2ann-ian的行列式（或其 转 置）.它 由 外,。2，。3,，4 所 决 定，它 的 值 等 于n（%-%）i解：4+x0001 1 1x 0 00 x00 0 x所以值=J?（X+4）分析：与同理分析：类型一致分析：把下面三行分别加到第一行1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2例 24 5 1 2 35 1 2 3 4解:-1 0 0-51 2 3 4 5152 34 52 3 4 5 1153 45 13 4 5 1 2154 51 24 5 1 2 3155 12 35 12 3 4151 23 41 114111 1-4111-1 5-1 51 4111 44 1111115 2 3 4 50111-40 1 1 -4 10 1-4 1 10-4 1 1 11 4 4 11 11 1000所以值=15X125=1875例 3解:1 +玉1111 1 1l+x2 1 11 1 +邑 11 1 1 +乙1 +$1 1 111 +1211111 +%31111 1 +/1 11 1q 1 111 1 +%21 10 1 +%2 11十1 11 +%3 10 1 1 +X3 11 11 1 +%40 1 11 +%4%1 0001 0 0 0%)1 0 00%,001 0 00 1 0 0-1 十+0 0%301 0%3 00 1%3 00 00%41 0 0 x40 1 0 x4=4%2%3%4+例4证明a+bh0 00aa+bb 00V alM _ a (当 w b t l寸)000 a+bb7 C l U t。干 U J)M a-b000 aa+b分析:证明：归纳法：展开递推 递 推 公 式Q =（。+勿。1-仍。”.2再用归纳法证明之也可以:ab0 0 0bb 0 0 0a a+b b 0 00a+b b 0 0 .+000 a+b h00 0 a+b b000 a a+h00 0 a a+ba b 0 000 a b 00=b Dn-l+.=0 0 0 a+bb0 0 0 aa+ha h 0 0 Q0 a h-0 0皿 T +=bD“_+an0 0 0 a h0 0 0 0 另%=*T+b +i 一 ”+i(1 X-X/?-(-b)Dn=an+-hn+-D=-(当awb时)a-b另 当 时2a a 0 0 0a 2a a 0 0 a 其值为5 +1)/0 0 0 2a a0 0 0 a 2a推广：(ab=cd)ci+b d 0 0 0c a+b d 0 0 a其值为一n+x 匕a-b0 0 0,ci+b d0 0 0 c a+b第二讲行列式1.形式和意义形式:用r?个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式：a 12 an的1。22.（简记为阳 ）an an2 ann意义:是一个算式,把这/个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号！（不必形式一样,甚至阶数可不同.）每 个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作A .行列式的的核心问题是值的计算.定义（完全展开式）2 阶和3 阶行列式的计算公式:a j C/L J d daa2a2。22 Cl11 022-%2,2 1aHai2。13aa2a2a 22。23a2a 223 21 39a3a32。33a3。32般地,一个n 阶行列式a，（.uij=v 7 1/2 njnh h-J n这里1.是许多（n!个）项的代数和（在求和时每项先要乘+1或T.）2.每一项 j1 a2 j2，anjn,都 是 n 个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.即列标力，,2 J n构 成 1,2.,n 的一个全排列（称为一个n 元排列），共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项，因此共有n!个项.Z.表示对所有n 元排列求和.一3.规定 Di，力）为全排列JiJ2的逆序数.称 12n 为自然序排列,如果不是自然序排歹就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.逆序数可如下计算：标出每个数右面比它小的数的个数，它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数：3 2 3 2 0 0436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0 时,才可能用它作行列式的计算.例如下三角行列式a00 00。21。220,00 0an-Uan-2n H0UnUn2Unn-nn:(一1)工(12)all22 nn-%。22.Q对角行列式，上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积x 3 a 1 45 x-8 0-2例求 b x+1 12 2 1 x的 X4 和丁3的系数.4 3解析：X的系数是1;汇的系数是T 0二.化零降阶法1.余子式和代数余子式元素aij的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式，记作aij的代数余子式为Ai j =.2.定理（对某一行或列的展开）行列式的值等于某行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和.例 如 求3阶行列式-3 4 62 1 =(_3)AI1+4A12+6A13=(-3)M n-4 M 12+6 n i 34 5 7=(-3)x (-5)-4 x (-1 8)+6 x (-1 0)=2 7.1 0 o .tt 1 o .00 0 0 r 1解析：原式=1 A n+t A m =l+%(-1)t=i+(-i)1+/2r解析:3 0 4 02 2 2 2例求行列式0-700的第四行各元素的余子式的和.5 3-2 2所求为原式=5 4 4 1 +3 4 4 2 2 A43+2A44M 41+Af 42+加43+“44=_ 4 4 1 +4 2 4 4 3 +4 43 0 4 02 2 2 2将原行列式换为0-700即他的值就是原题的余子式之-1 1-1 1和一 7 人32=7 M32)3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.答案为-28（对第三行展开-3 469 4 59 4-2 010 0 1 27-18 74 5718 5 72a1 0 0 0a1la 1 0 00a1 2a 1 0A=08题.证 明 =(n+l)an0.a1 2a 10 .0/2,2分析：证明：初等变换2a0013aTa2002a0,01 0 o 00,.a2a 10 oa2 2a2a100 o3000 ()24。000 ()3 .0.o10.0O (八 +l)an2a 100.00-2-00.00 04a30.00 .a22a10 0a22a=2a 3a 4aT T(n+1)n=(M+V)a4.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1 阶的行列式.三.其它性质行列式还有以下性质：3.把行列式转置值不变,即A，=A.4.作第一类初等变换，行列式的值变号.5.作第二类初等变换，行列式的值乘c.问题：|词=?c A .c A.c A.c A，6.对一行或一列可分解，即如果某个行（列）向量，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量a换为分或/所得到的行列式.例如 I。，A+&7|=I。，氏 /问题：A+B=A+3?例如：A=|%的 I,3 二|四乃3 I|A+M=|%+4%+夕 2%+自|=1%2+A 3+A I+I A%+见%+自1=1/a?a3+/33|+|4 2 3+A l+l A%+42 3+A I=闾+怛|+（另外的6个）例 设 4 阶矩阵A =（a,%,%,7 3）,8 =7”2，3），|A|=2,|B|=3,求|A +BA +B =（a +#,2%2 y 2 2/3），A+B=a+,2%,2%,2%|=8 1 a +用牛：=眼,外，7 2，刃+移,%,%,%|=4 07.如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数,则行列式的值为0.8.某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和=0.例已知行列式abcdX1-yz+11-zx+3yy+2x+10z+3的代数余子式Ai=_9,Ai2=3,AI3=1,Ai4=3,求 x,y,z.一 9%3+y+3(z+1)=0%=解析：思路：利用性质8 ,y=.z=拉普拉斯公式的一个特殊情形：A*A 0如果/与方都是方阵（不必同阶），则0 B=*B=间 忸1范德蒙行列式：形如111a2222%a2a3 n-in-in-i%a2a3an2ann-ian的行列式（或其 转 置）.它 由 外,。2，。3,，4 所 决 定，它 的 值 等 于n（%-%）i解：4+x0001 1 1x 0 00 x00 0 x所以值=J?（X+4）分析：与同理分析：类型一致分析：把下面三行分别加到第一行1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2例 24 5 1 2 35 1 2 3 4解:-1 0 0-51 2 3 4 5152 34 52 3 4 5 1153 45 13 4 5 1 2154 51 24 5 1 2 3155 12 35 12 3 4151 23 41 114111 1-4111-1 5-1 51 4111 44 1111115 2 3 4 50111-40 1 1 -4 10 1-4 1 10-4 1 1 11 4 4 11 11 1000所以值=15X125=1875例 3解:1 +玉1111 1 1l+x2 1 11 1 +邑 11 1 1 +乙例4证明1 +X）1111 1+%2111 1 1 +%311 11 1 +%41 1 11%1 111 1 +110 1 +%2 11+=1 1 1 +%310 1 1 +X3 11 1 11 +%40 1 11 +%4%0 0 01 0 0 0再1 0 00 x2 0 01 x2 0 001 0 0+十+0 0 x3 01 0 x3 001 x3 00 0 0 x41 0 0 x401 0%4=4玉%2%3%4+=广 归=/=0a+hb0 00aa+bb 00000 a+bb000 aa+h分析:/+1 /4-1Q-ba-b（当a w/7时）证明：归纳法：展 开 递 推-递 推 公 式4 -出再用归纳法证明之也可以：a b0 0 0bb 0 0 0a a+b b 0 00a+b b 0 0,.+.0 00 a+h h00 0 a+b b0 00 a a+b00 0 a a+ba b 0 000 a b 00=bD”i+=.=000 a+bh0 0 0 aa+b2bo 0 00 fl Z?0 0bD-+=b Dn-1+Q0 0 0 a b0 0 0 0 a4 1=b%+a 另4 1=+b 2 +1 _ h+l1X Q 2X b f(a b)D“=a,+i-bn+x f Dn=-/(当a 丰 6时)a-b另当a=A时2a a 0 0 0a la a 0 0 其值为5 +1）。0 0 0 2a a0 0 0 a 2a推广：(ab=cd)a+b d 0 0 0c a+b d 0 0 +i _,I+i其值为 L _a-b0 0 0 a+b d0 0 0 c a+b第 三 讲 矩 阵二.矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)1.两种基本矩阵方程在等式Z庐。中，如果已知。及A,3中的一个,求另一个.就提出下面两种基本形式的矩阵方程：(I)AX=B.(II)XA=B.A I X这里要求A是行列式不为0的n阶矩阵,这样可使得这两个方程的解都是存在并且唯一的.先 讨 论 AX=B.设8是 x s矩阵，则X也 是 矩 阵.如 果s=l,即3只有一列，则(D就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.此接可以用初等变换法求出：(A忸)-(|X).如果sl,设B=0匹 仇),X X)则 入 区 工,X.)=3,以,四),即（AX1,AX2.AX,）=（G，A.A）oA X,=,i=l,2.s这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解，从 而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解:（4侬,女,X.）即得的解法：将 A和8并 列 作 矩 阵（4忸），对它作初等行变换，使 得A变为单位矩阵，此时3变为解 X.（幽-邱）0 10、1A=-1 11B=2 0例L-1。-U(5-3；.求AX =B的解 0 10 1-1),1 01-5 3、(4忸)=1 11 20-0 10 1 1C 15一3）10 12-3 3,1 01 53)q00-3、f0 10 1-1 010 1 1、0 02-44;01-22，-3 1、X=1 -1 2 2,（H）的解法:对两边转置化为的形式：=6,再用解的方法求出X，转置得X.皮）-邱）满足2007年的一个题中,求3阶矩阵 B解:建立矩阵方程110、(-210、B111211102017111-222、110110110110011 011011 01170-21-31-2；10110、00 01-1011 011010 101003-33001 110701-n01-nB1B111100110110772.可逆矩阵 定 义a w 0,H =ac n b=c用 小乘等式两边.如 果 有“，使得 HA=E,AB=A C B =C如果有 H,使得 A H =E,BA=C A B =C定义 设A是阶矩阵,如果存在 阶矩阵H，使得A H =E,HA=E则称A为可逆矩阵.此时“是唯一的，称为A的逆矩阵,通常记作如果 A可逆，则A在乘法中有消去律：AB=0=B=0;AB=A C=5=C（左消去律）；.6A=。=6=0;BA=C4 n 8=C（右消去律）如 果A 可逆，则A在乘法中可移动（化为逆矩阵移到等号另一边）：AB=C B=A C.BA=C B=CA 由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：（I）4X=B的解 X=A B .（II）XA=8的解X=BAL这种解法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大（多了一次矩阵乘积运算）.（2）矩阵可逆性的判别,逆矩阵的计算定 理 阶矩阵 A可 逆 o|A*0.证明“=”对 AT=E两边取行列式，得=从而同（并且=H）A-1“=”定义中的 H是矩阵方程 4乂 =石 和XA=E的公共解.因 为 同,矩阵方程 人*=石和 XA=E都有唯一解.设B，C分 别 是 它 们 的 解，即AB=E,CA=E 于 是：B=EB=CAB=CE=C,从定义得到A可逆.“是唯一的，因为它是AX=E解.计算 A的初等变换法：解矩阵方程AX=E,应用：对角矩阵可逆 o 对角线上元素都不为o.其逆矩阵也是对角矩阵,只用把每个对角线元素变为倒数.1A0 0建；0 0 1 0 0、1 0 0 G10 c2 0 0 1 0f0 1 0 0 01 0 C30 0 10 0 1G八 八10 0I初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)E(i,j),0院)W)=:,0100矶 )尸=E(z(c-),E(i,j(c)-1=E(i,j(-c)1 0 1 0 0 0、1 0 0 0 0 0 1 0、0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 0T0 0 0 0 1 00 0 1 0 1 0 0 00 1 0 0 0 1?、0 0 0 10 0 0 17(&9间=:01000 2 1 0 0 0、1 0 0 0 1 0 0-2、0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 01 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 1 00 10 0 0ko 0 0 10 0 0 1 ,推 论 如 果 A和3都是阶矩阵，则AB=E o B A =E.即只要 AB=E（或 A4=）中的一个式子成立，则A和3都可逆并且互为逆矩阵.2008年的考题：4=0,时 E-A可逆.(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E例4个阶矩阵 4 8 9和。满足4 6。=,求4 7和工ABCD=E A=BCD,于是 BCZM=E B-=CDA例3 1设A，8，C都是阶矩阵，满足8=E+A8,C=A+C4,则B-C为(A)E.(B)-E.(C)A.(D)-A.(A)(2005 年数学四)B=E+AB化为(E A)B=g|j B 与(七 一 人)互为逆矩阵。=4+。4化为 C(E-A)=A用B右 乘 得C=AB如果A和B是两个可逆阶矩,则分块矩阵70(O Ay和都可逆，并且7 OX _(A 0、。小。B 0 AY(O B c&O)1 T 0,可逆矩阵的性质:如 果A可逆，则A,cA(cwO)和 小都可逆,并且(ATYl=c-A,(AKyl=(A-1)=F已经规定的矩阵的右肩膀有3种:T,k,T,它们两两可交换先后次序.对 于 两 个葭阶 矩A和3,A和3都可逆 A B可逆，并 且(4 8尸=8-/二 性 怛|=|45|.3.伴随矩阵若A是八阶矩阵，记 A”是 间 的 亿 力 位 元 素%的代数余子式，规定A 的伴随矩阵为Ai 4 1Az 4 2 2A2 AA八A,n2A Jnn/I r 例如对2 阶矩阵ab、*d,d-b a基本公式:A A=册%“1202222=（4）丁ac d)7 7A4*=AA=AEa.na.2nann(abd,YA,4A22AA,2 M.0、.00间于是对于可逆矩阵A,有A =A*/同，（A*尸=4/冏因此可通过求4 来计算A.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较，伴随矩阵法的计算量要大得多，除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.1=A 7M 即 A*=|A|A 意义:用逆矩阵来求伴随矩阵.A可逆时还有缶*尸=A/M(A-)*=|A-,|(A-)=A/|A|=(A-)伴随矩阵的其它性质：如 果A是可逆矩阵，则4*也可逆，并且(A*)=A/间=(X).刑”q)*=(A*y(c A)*=c (A8)*=*4；(A)=(A)(1)*=4 W卜 同 的 证 明:对4 4*=闾 两边求行列式，得K|=|4|A*|=|C(A*)*=|A|A的证明：(A)=W M=|AA/|4|=|A例21设A是阶可逆矩阵，交换A的i，/行得到3.(1)证明3可逆.忸H H。(2)求 A B，B=E(i,j)AB=A-E(z,J)r =A-E(i,j)AB=E(i,j)例 22 设A 是 3 阶矩阵,将A 的第2 行加到第1 行上得兄将3 的第1 列的-1倍加到第2 列上得C*.记q 1 o、P=0 1 00。b(A)C=P AP(B)C=PAP1(C)C=PTAP(D)=PAPr1 1 0、B=0 1 0 A、0 0 1,1-1 0、C=B 0 1 0、0 0 1,1 1C=0 1、0 00(0 A 01J0-1 0、1 0=PAP。L例 2 0 设A是 3 阶可逆矩阵，交换A 的 1,2行得3,则(A)交换A*的 1,2行得到B*.(B)交换A*的 1,2列得到B*.(0 交换A*的 1,2行得到一 B*.(D)交换A*的 1,2列得到-8*.(2005 年)0 1 0、B=1 0 0 A、0 0 1,例 1 8 设A 和3 都是n阶矩阵,0 1 0 0 1 0 1-1,0 1 0、=BB=1 0 0 间A-1 0 0=-4 1 0 00 0 1、0 0 1；W b0、纥，则 C*=A|A*o、/BB*0、l。BB(B)0同 勺 AB*0、忸H*0、(C)、。*(00IM,（A-O C=1不妨设A，B 都可逆 1 B）C A-n I。8 J_ 同小7 Q O 。IW Fl o M W*,2009 题(o AY设A 和8 都是2阶矩阵，H =2|忸=3 ,则=0 O 33*、2 A*OO 2 3*、3 4 O,(C)(O 3Al(2 3*O)(0(O3B*2 4 1O J（2 0 0 9年的考题）解：C*=CL先求c (平)1 0O AO 18 0 0 00 00 0 0 0 B1 0 3 O J 0如果 2则阈=1解：条件A*=，即（4）=（%），即 4；=%MJ（1）H I=4 1 4 +2A?。而A 加2 2 2=4 1 +4 2 +一+a in 又因为 AwO,即A有非零元素，则闾=4：+aj +生:0 44,=44=|A|E同=同 得 阈=1因为网。“-2是正整数，得 阈=1例17设 矩 阵A=(*3*3满 足A*=A7，为3个相等的正数,则它们为(4)V3/3(B)3(C)l/3(P)V3(2005 年数学三)则 A=AT|A|=3a又八=32.得M|=l36r=1,Q例8 3维向量?5 以 以满足%+%+以=03a +4 -43=。_ 4 +%一 夕2+夕3=0已知E,%,%|=Q ,求族，夕2，川.解:+。3=-24|+夕23a -%=P+A一 4 +ai=A _ A(Q +a3,3(7|-a2,-a2+%)=(-2(3、+/32+以,居+以)8 3 0)(-2 -1 0、(at,a2,a3)0-1-1 =(4,以)1 0 10 00 1 10-2-1=|氏 出 阂11 0130 110-4”瓦 公 闻-1 00 11 1例9设A是3阶矩阵，。是3维列向量，使得尸=（%A不。）可逆,并且 A%=3A a-2A2a.又 3 阶矩阵B 满足 A=PBP、A=PBP.(1)求8.(2)求H+同.(oi-)解：A=PBP g|J AP=PBA(a,Aa,A2a)=(Aa,A2a,3Aa-2A2cr)0 0 0、=(a,Aa,A2a)1 0 3、0 1 -2,0 0 0、B=1 0 3e i-2,则|A+E|=|P忸+固尸|1 0 0=|B+E|=1 1 3=-40 1 -12 1 0、A=1 2 0例10 3阶矩阵4,3满足4 5 4=2氐4*+,其中 10 V,求忸L (04)解：ABA*=2BA*+E(A-2E)5A*=EA(A-2E)B=A=-=-=|A|3|A-2|B|=|A|I 1|A-2E|A|2 lx32 9 3-5 P4=1 -1 0例 11 设 3 阶矩阵，(T 0 ATX4=XA+2A,求X.自 给(A-XA)A=XAA+2AAA-X=X+2E X=AX+2A(E-A)X=2A(E-A|2A)=-2 1521062-10-22、07-1 2 0 2-2 0、r-i 2 o 2-2 0、0 1 -1 2-6 2-0 1 0-2 4 20 2-1 0-2 4,10 0 1-4 10 0;1 0 0-6-0 1 0-20 0 1-410 4、4 210 0?-6 10 4、X=-2 4 2得 1-4 10 0,1 1A=-1 1例1 2设3阶矩阵，I-n11 J A，X=A T+2X,求 X.解：A*X=A-+2X|A|X=E+2 AX(4 E-2 A)X=EX=(4 E-2 A)T1 -11 1 1 11闻=-112 1 -10 1 1 =40 -1 1例1 3 4阶矩阵A,B满足A B A T=A 4 T+3石，已知q00 0、0 10 0A*=i 01 0-3 08,求B.(00解：ABA=BA+3EAB=B+3AAB=AB+3AEM=W|=8得|A|=2(2E-A*)B=6EB =6(2 E A*)T例1 4,3 0 0、10 0、A=2 1 0 B=0 0 0已知，(2 1 3；(0 0 -1 JXA +2 3 =A 3 +2 X,求X解：XA+2B=AB+2XX(A-2E)=(A-2E)5X=(A-2E)B(A-2E yX=(A-2E)B(A-2E)-(A-2E)(A-2E)-1(A 2E)(A-2E)=(A-2 E)B(A-2 E y1=(A-2E)B(A-2E Y=X用解矩阵方程X（A-2E）=（A-2E）B 求y(A-2E)r|(A-2E)B)=(AT-2同B(A-2E)1 2 20-1 10 0 12、0T,6、-171 20 00 0100010001100200X=1 0 0、2 0 06 1 1?例2 6设3阶矩阵A B满足A3=A+3证明A-可逆.1 -3 0、B=2 1 0设0 0 2人求 A.（力）解:AB=A+B(A-)5=A令 C=A-E即 A=C+E(C+E)B=C+E+BCB=C+E C(B-E)=E C 可逆例2 7设A，B是3阶 矩 阵A可逆，它们满足2 4 3 =B-4E.(1)证明A-2E可逆.,1-2 0、1