河南八市2023学年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。Q in Y1.已 知 函 数/(力=一 的 部 分 图 象 如 图 所 示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合l+2sinx的变换方式有()绕着x轴上一点旋转180。；沿x轴正方向平移；以x轴为轴作轴对称；以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.B.C.D.2.若直线y=-2 x的倾斜角为a,贝(!sin 2 a的 值 为(4 4 4)3A.B.5 5、x3+sin xC.士 -5D.-53.已知函数f M =-；-(1+x)(m-x)+e+e为奇函数，贝!|m=()A.4.1-B.12下列四个结论中正确的个数是C.2D.3(1)对于命题。闫与6/?使得看一1 4 0,则都有(2)已知 X N(2,b2),贝！|P(X 2)=0.5(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 =2 x-3；(4)“x N l”是“x+，2 2”的充分不必要条件.XA.1B.2C.3D.45 .已知函数/（x）=g s i n x+乎c o s无，将函数/（x）的图象向左平移加，。）个单位长度后，所得到的图象关于）轴对称，则 2的最小值是（）兀 兀；r A,B.-C.D.一6 4 3 26.已知等差数列%,的公差为-2,前”项和为S“，%,%为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为1 2 0。，若S“W S,“对任意的e N*恒成立，则实数加=（）.A.6 B.5 C.4 D.37.天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2 个年份，则这2 个年份的天干或地支相同的概率为（）2 9 4 8 5A.B.C.D.1 9 9 5 9 5 1 92 28 .设双曲线C ：二 二=1 g 0力 0）的左右焦点分别为，鸟，点E（0 ）（r 0）.已知动点P在双曲线C的右支a b上，且点P,E，6不共线.若A P E 的周长的最小值为4 8,则双曲线。的离心率6的取值范围是（）9 .已知。=（彳）。,5=1 0 8 0.2述=,c的大小关系是（）2 2A.a b c B.c a b C.a c b D.b c a1 0 .设 x）=,点0（0,0）,4（“，），GN*,设NA%,=仇对一切eM 都有不等式空1+竺2+竺2+竺 314.已知实数x,y满足约束条件1,则z=2的 最 小 值 为.x 0)的焦点尸在直线x +y 1=0 上，平行于 x轴的两条直线4，4 分别交抛物线C于 A,5 两点，交该抛物线的准线于O,E两点.(2)若尸在线段A B 上，尸是OE的中点，证明：AP/EF.22.(10 分)已知函数/(x)=/-x+g x 2.(1)若玉彳工 2,且/(4)=/(工 2)，求证：(2)若 x e R 时，f(x)-x2+a x+b,求 他+6 的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】计算得到了(x+2公r)=/(x),=+故函数是周期函数，轴对称图形，故正确，根据图像知错误，得到答案.【详解】、sinx，/、sin(x+2Z4)sinx(./(x)=,仆+2痴)=)-1-=kwZ，1 +2sinx l+2sin(x+2Z;r)1 +2siiir当沿x轴 正 方 向 平 移 个 单 位 时，重合，故正确故-+x j，函数关于X =对称，故正确；根据图像知：不正确；故选：D.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.2.B【解析】根据题意可得：tana=-2,所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,将tana=-2代入计算即可求出值.【详解】由于直线y=-2x的倾斜角为。，所以tan a=-2,.一 c .2sintzcost/2tan-2x2 4则 sin 2a=2 sin a cos a=5-5 =；-=-$=sin-a+cos-a tan-a+1 （-2）+1 5故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键.3.B【解析】根 据/（力整体的奇偶性和部分的奇偶性，判 断 出 的 值.【详解】依题意“X）是奇函数.而 =3 +$m；1为奇函数，y=+e T为偶函数，所以g（X）=（l+M（加一%）为偶函数，故g（x）-g（-%）=0,也即（l+x）（加一次）-（1 一x）（/+x）=0,化简得（2加一2）%=0,所以加=1.故选：B【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.4.C【解析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定.【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题。三天6/?使得需-1 4 0,则 ：VxeA都有x2-l 0,是错误的；（2）中，已知X N（2,（T2）,正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x=2,所 以P（X 2）=0.5是正确的;（3）中，回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为（4,5）,由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为J=2x-3是正确；(4)中，当x N l时，可得+2 2/尤=2成立，当x +N2时，只需满足x 0,所以“x N 1”是“x +，2 2”X X X X成立的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.A【解析】化简/(x)=g s i i w +#c o s x为/(x)=s i n，+?,求出它的图象向左平移机0)个单位长度后的图象的函数表达式y =s i n x +加+。),利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得加=7 +&%(AGZ),问题得解。【详解】函数/(x)=g s i a r +c o s x可化为：f(x)=s i n(x +1,将函数/(x)的图象向左平移，”(?0)个单位长度后，得到函数卜=4111+加+5)的图象，又所得到的图象关于)轴对称，I JT jr jr-r r所以s i n 0+6+不=1,解得：m +=卜k兀(k w z),即：m =卜k兀(k w z),3 J 3 2 6TT又7 W 0,所以m m i n =：.6故选：A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。6.C【解析】若S“。2。3 0，又三角形有一个内角为120,所以=色+a 2a 3,a=(,-2)2+(,-4)2+(f l 1-2)(,-4),解得 =7 或 4=2(舍)，故S.=7 +D x(-2)=一 2+8 ,当=4时，S“取得最大值，所以加=4.故选：C.【点睛】本题考查等差数列前项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.7.B【解析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数，结合组合数的计算即可出求得概率.【详解】20个年份中天干相同的有10组(每 组2个)，地支相同的年份有8组(每 组2个)，从这20个年份中任取2个年份,n10+8 9则 这2个年份的天干或地支相同的概率P=.故选:B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查学生分析问题的能力，难度较易.8.A【解析】依题意可得C&PEF,=P E+PF2+EF2=P E+PF2+EF1 2PF-2a=4b即可得到2a+42(a +c),从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详解】解：依题意可得如下图象，C&PEF2=P E+PF2+EF2=P E+PF2+EF-P E +PF+E R -2a 2 P Fi-2 a=4 b2P 4=2a +4/?2（a +c）所以28c贝！14c 2 -4 a2 c2所以3c 2 4/M 4-所以【点 睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.9.B【解 析】利 用 函 数y=与 函 数 =lg;X互为反函数，可 得 再 利 用 对 数 运 算 性 质 比 较a,c进而可得结论.【详 解】依 题 意，函 数y=与 函 数)=lg；x关 于 直 线 对 称，贝U 0(|log|0.2,/0.2xlog 0.2 z xlogj O.20,2 z 1 x0.2 z 1 0.2即 0avZ?l,又c=2=2=0.2。=a 9所 以，c a _ 1 _ 1 1 *-.2 9 1n n+n n n+1.sin仇 sin2a sin2a sin*,I I I I I +-+.+-7-=1-+-+-+I2 22 32 n2 2 2 3 3 4-=1-,随 n 的增大而增大,n n+1 n+1二产一2r 2 2 1，即/2,一12 0,又 f(t)=*-2”l 在 tN l上 单 增,f(2)=-KO,f(3)=20,正整数f 的最小值为3.【点睛】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.11.B【解析】由等比数列的性质求得4%。，再由对数运算法则可得结论.【详解】数列仅”是等比数列，.+a4a彳 18,=9,A log3ax+log3,+log3am=ogaxa2 -l0)=log3(a,a10)5=51og39=10.故选：B.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键.12.C【解析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2 个，另一组3 个的基本事件总数为点=10,再求出6 和 28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6 和 28不在同一组的概率.【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2 个，另一组3 个，则基本事件总数为C；=1(),则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数C；+G=4,10-4 3.6和28不在同一组的概率P =-10 5故选：C.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.-9【解析】根据条件概率的求法，分别求得尸（B）,P（A B）,再代入条件概率公式求解.【详解】根据题意得p4=急,P（M=9=2所以P/0、=置尸（A 3）2故答案为：【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.11 4.-2【解析】作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解（x,y）与（0,0）点的斜率，观察图形斜率最小在点B处，联立x+y=3:，解得点3坐标，即可求得答案.【详解】尤+”3作出满足约束条件y 4 3 x-l的可行域，该目标函数z =2 =T视为可行解（x,y）与（0,0）点的斜率，故-x x-0y =3 x-l|x+y =3 /、由题可知，联 立x 2 得4(2,5),联立 J?得8(2)所 以 =；,故g Z J【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.1 5.(1,+)【解析】当x 4 0时，函数单调递增，当x0时，函数为常数，故需满足/一4 3 x，且 3 x 0,解得答案.【详解】炉+2 0 1 9 x 0fM =,当x 0/(/-4)/(3 x)需 满 足/一4一3%，且一3 x l.故答案为：(I,”).【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.1 6.4 2【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】设抽取的样本为“，4 5+5+4则由题意得一=-解得=4 2.1 2 n故答案为：4 2【点睛】本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1）证明见解析；（2）一之叵.6 1【解析】（D要 证 明 面 皿 ，面ABCD,只需证明2 4 _1面4 3。即可；U（2）以A为坐标原点，以A B,AD,AP分别为X,y,z轴建系，分别计算出面ANE法向量勺，面P B C的法UU向量2,再利用公式计算即可.【详解】证明：（1）因为底面A B C。为正方形，所以A D =A B =8又因为PA =6,F =1 0,满足p/+A 2 =p 0 2,所以又E 4 _ L A 8，A ）u面A B C。，AB I fflAB C D,A B o A D-A 所以P A，面ABCD又因为Q4u面Q 4尸，所以，面P FL面A B C O.（2）由（1）知AB，AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD,AP分别为x,y,工轴建系如图所示,则 A（0,0,0）,P（0,0,6）,B（8,0,0）,C（8,8,0）,）（0,8,0）则N（4,4,3）,F（8,4,0）.所 以 赤=（8,4,0）,而=（4,4,3）,前=（0,8,0）,1=（8,8,-6）,.、n,-A F=0 8 X+4 y,=0设 面 河 尸 法 向 量 为 片 式 冷 乂 乌 则由已,c得，；r c,v-A N=0 4 X +4 x+3 Z =0人 3 3 叫一 3 3八令4=1 得 玉=7，即 =|5,1同理，设 面P BC的 法 向 量 为 后=（X2，%，Z 2），则 由，p T.P C =02 得n,-B C=08X2+8 y 2 -6Z2=08%=。令z 2=4得.q=3,%=，即 =（3,0,4）,所 以c o s A ,%=3-x3+0+lx445国6 1设 二 面 角A-Nr一C的 大 小 为e,则COS=-COS=-5 7 6 16 1所 以 二 面 角A八下一。余 弦 值 为-2叵6 1【点 睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.1 8.（1）见 解 析（2）7【解 析】(1)根据中位线证明平面MNQ|平面Q 4 5,即可证明MH 平面43P；(2)以QM,QC,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.【详解】(1)证明：连接。例,:M,N,。分别为8C,CD,AC的中点，A QM/AB,又平面A B 平面丛6,二 QM 平面Q46,同理，QN平面QMu平面MNQ,Q N u平面MNQ,QM QQNQ,二平面MNQ|平面BAB,MHu 平面 MNQ,9/平面ABP.(2)连接P。，在AABC和AACD中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2 AB BC-cosZABCAC2=AD2+CD2-2 AD CD cos ZADC)由 NA3C与/A D C 互补，AD=AB=CD=2,BC=4,可解得 AC=26，于是 BC2=AB2+AC2，A ABAC,QM LAC,7 1：QM/A B,直线AB与直线MN所成角为一，4T T：4QMN=,又 QM=QN=,4jr：.4MQN=a，即 QMLQN,.QM_L 平面 APC,.平面ABC_L平面APC,Q为AC中点，PQ-i-AC,：.PQ J平面 ABC,如图所示，分别以QM,Q C,QP为x,y,二轴建立空间直角坐标系，则3(2,-百,0),C(0,V3,0),TO 0,1),而=(2,-百,-1),定=(),8,-1).设平面P BC的法向量为n=(x,y,z),n-PB =Q 2x-y/3y-z=Q二一，即 L -n-P C =0 岛-z=0令y=l,则x=G，z=6,可得平面PBC的一个法向量为万=(G,1,6).又平面A P C的一个法向量为m=(1,0,0),._ m n V21 cos =-=-,|沅|利 7.二面角A-P C-3的 余 弦 值 为 叵.7【点睛】此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.19.(1)a“=2+3x2”(2)S=3(/?-l)x2,+l+6【解析】(1)根据递推公式，用配凑法构造等比数列 02,求其通项公式，进而求出 4 的通项公式;(2)求出数列仍/的通项公式，利用错位相减法求数列 年 的前项和S,.【详解】解：a,+2=2a“_|,a”_ 2 2(a“_ _ 2),q-2=32是首项为3,公比为2的等比数列.所以a,2=3 x 2 i,.a“=2+3x2T.(2)d=(4+3x2-4)=3 x25=3x(lx21+2 x 22+3 x 23+.-+nx2z,)25=3x(lx22+2 x 23+3 x 24+.-+nx2n+l)-Sn=3x(2l+22+23+.-.+2,-n x 2n+1)=3x2*0 2 )_3x2+lS“=3(-l)x 2+6.【点睛】本题考查了由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求数列的前项和的问题，属于中档题.20.(1)见解析；(2)叵5【解析】(1)设。为BO中点，连结。4,OC,先证明可证得假设P不为线段8C的中点，可得平面A B C,这与ND3C=6O矛盾，即得证；(2)以。为原点，以OB,OC,0 4分别为，V z轴建立空间直角坐标系，分别求解平面A N P,平面MNP的法向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.【详解】(1)设。为BO中点，连结。4,OC.：.OABD,OCLBD,又OAnOC=O3J_ 平面。4C,ACu 平面。4C,B D A C.又M,N分别为AD AB中点，M N/BD,又 M N L N P,：.BD L N P.假设P不为线段BC的中点，则NP与AC是平面内ABC内的相交直线，从而B D _ L平面A B C,这与N D B C =6 0 矛盾，所以P为线段8c的中点.(2)以。为原点，由条件面面B C D,：.A O 1 0 C,以Q B,OC,Q4分别为，V，z轴建立空间直角坐标系,设平面A N P的法向量为沅=(汨y,z)所以m -A N=0m-P N =Q1x百n-z=02 2百 G 八-y H-z=02 2取 y =i,贝Uz =i,=/5=比=(6,1,1).同法可求得平面M N P的法向量为n=(0,1,1)/_ 八 m-n 2 V10gw 丽=南r号 由图知二面角A-NP-M为锐二面角，二面角A-N P-M的余弦值为叵.5【点睛】本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.2 1.(1)/=4 x；(2)见解析【解析】(D根据抛物线的焦点在直线x+y-1 =0上，可求得的值，从而求得抛物线的方程；(2)法一：设直线4，&的方程分别为丫=。和)，=人且b WO,a b,可得A,B,D,E的坐标，进而可得直线A 3的方程，根据F在直线A 8上，可得=再分别求得k”，kE F,即可得证；法二：设A(玉,y),3(马,%)，则。-1，号&，根据直线A B的斜率不为0,设出直线A B的方程为-1 =团，联立直线A B和抛物线C的方程，结合韦达定理，分别求出颔0，kE F,化简阳P-%EF，即可得证.【详解】(1)抛物线C的焦点F坐 标 为 且 该 点 在 直 线x+y-l =0上，所以1 =0,解得=2,故所求抛物线C的方程为 2 =4%(2)法一：由点尸在线段A 3上，可设直线4,/,的方程分别为y =a和y 且8刈，山。，则,(4 )(b2 B ,b f。(l,a),E(、4 h-a(/、直线 AB 的方程为=/_ a 2 无一彳J,即 4 x-(a +b)y +a =0.Z-Z又点尸(1,0)在线段A B上，.a匕 =T.P是 O E 的中点，2(1,空2 L nAPa+b 4 /a-ci H 0 4_ _ _ _ _ 2 _ =_ _ _Q _=,/+1 -a-2-+-4 a kE F=-2 =-2-4 2 2KJ由于A P,/不 重 合，所以A尸 。法二：设 A(/X),8(9,%)，则 P T，14呈当直线A3的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB的方程为联立直线A8和抛物线C的方程2,得y 2 _ 4/y-4 =0 y =4 x又 口，%为该方程两根，所以X+%=4 z,X%=-4，k(X+L Xf ，即尸=匹.2 七+1 一 2(%+l).-2y；一4 yk _k 一 一 一%+%(二+1)_ M +&百 _ +%彳 一kE F =kA PA P EF 2(x,+l)(x,+l)(x,+l)一 (x,+l)-由于A F,E E不重合，所以AP/EF【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题.2 2.(1)见解析；(2)一.2【解析】(1)利用导数分析函数y =/(x)的单调性，并设内，则不 0,0,将不等式/(七 强)。等价转化为证明玉+0,构造函数(x)=/(x)-/(一),利用导数分析函数y=/i(x)在区间(-8,0)上的单调性，通过推导出(不)0来证得结论；(2)构造函数G(x)=e*x-公，对实数。分“-1、。=1、a-,利用导数分析函数y=G(x)的单调性，求出函数卜=6(工)的最小值，再 通 过 构 造 新 函 数 一*mt,利用导数求出函数y=的最大值，可得出。/7+人的最大值.【详解】(1)_f(x)=e -l +x,/(x)=e +l 0,所以，函数y=/(x)单调递增，所以，当x 0时，r(x)0时,/(%)0,此时，函数y=/(x)单调递增.要证工产)0,即证芯+z 0.不妨设王，则X|0，工20，下证 一玉，即证/(菁)=/(入2)/(一司)，构造函数(x)=/()_/(一x)=e*-x+J /_,7+2x(x 2ylex-e-x-2 =0,所以，函数 y=/i(x)在区间(-,0)上单调递增,.玉0,.(%)(),即/(玉)一/(一元|)。,即/(%)=/(玉)0，-玉 0且函数y=/(x)在区间(0,+8)上单调递增，所以 一玉，即 玉+0，故结论成立；(2)由/(九)之(/+恒 成 立，得e*-xN +Z?恒成立，令G(x)=-x-o x,则G(x)=e*-l-a.当。0,函数y=G(x)在R上单调递增，当X f-8时，G(X)-T ,不符合题意；当 a=-l 时，ab+b=0；当a 1时，令G(x)0,得xln(a+l),此时，函数y=G(x)单调递增；令G(x)0,得xln(a+l),此时，函数y=G(x)单调递减.G(x)而n=G(ln(a+l)=(a+l)-(a+l)ln(a+l).,.(+l)Z?0,设0(/)=/一 in f,则eG)=/(l-21nf).当0 /0,此时函数 =0(。单调递增；当时，此时函数y=e(r)单调递减.所以，函数=夕（。在/=”处取得最大值，即夕（。皿、=e（）=.因此，（a+1）。的最大值为/.【点睛】本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力,属于难题.