2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十七章-相似难点解析试题（含答案解析）.pdf

人教版九年级数学下册第二十七章-相似难点解析考试时间：9 0 分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第I I 卷（非选择题）两部分，满 分 1 0 0 分，考试时间9 0 分钟2、答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选 择 题30分）一、单 选 题（1 0 小题，每小题3 分，共计3 0 分）1、如图，已知矩形4?徵中，AB=3,BE=2,E F 上 房.若 四 边 形 加。与 四 边 形 颂 4 相似而不全等,则 的 值 为（）2 尸.4C B915A.-B.6 C.D.9222、如图，在/比中，点 入 分别是4?、4 C 的中点，若/a 的面积为1 6,则四边形式功的面积为A.8 B.1 2 C.1 4 D.1 63、若 2 a=3。，贝号的值为（）AA，I3B-ic -223D.4、如图，在矩形A 8 C O 中，AD=2,CD=,连接AC,以对角线A C 为边，按逆时针方向作矩形4 3。的相似矩形CC，再连接AG，以对角线AG为边作矩形4 B C C 的相似矩形A B C C,按此规律继续下去，则矩形做CC,的周长为（）A.3 xC-6f D-6 xf5、若ABCSDEF,相似比为1:3,则AM C与 所的对应角平分线的比为（）A.1：2 B.1：4 C.1：3 D.1；96、如图，已知直线a 力c,分别交直线/、于点力、C,E、B、D、F,AC=,CE=6,B D=3,则 如的 长 是（）9A.-B.4 C.6 D.22A T?7、如图，AB/CD/E F,若=B D=9,则 以 的 长 为（）CE 2A.2 B.4C.6 D.88、某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动.小 明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.6 1 8.特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点4 6,AC,N4 C B的平分线交边4 8 于点则点就是线段4 8的一个黄金分割点，即 黑“0.6 1 8,已知AC =1 0 c m,那么该正五边形的周长为（）A.1 9.1 c m B.2 5 c m C.3 0.9 c m D.4 0 c m9、如图，把一张矩形纸片加出沿着/和加边的中点连线如对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（）A.4：1 B.7 2:1 C.1：V 2 D.2：11 0、如图，在 口 4 6 5 中，对角线4 C,切相交于点。，在。的延长线上取一点,连 接/交 a于点F,若 仍=4,BC=&,C E=,则 6 F 的长为（）8FA.GB.1.5C.五D.1第n 卷（非 选 择 题 70分）二、填 空 题（5 小题，每小题4 分，共计2 0 分）Ap 21、在0 4 犯 9 中，E是 前 上 一 点,连接6 、然相交于凡DE 34 F?则下列结论：右=w；JDC J鼠巫=3.死 工 卢 以-SK B F 2 5 E F 2 S四边形 e g*1 0与，正确的是2、两个相似三角形对应边上的高的比是2：3,那么这两个三角形面积的比是3、如图，A D,比是。中的两条弦并交于点,连 4?、CD,若 言=宗，则/旗与瞰的面积比为一.DO E 5 F G4、如图，四边形A8 C O与四边形瓦G位似，其位似中心为点。，且二7 =:，则 后=E A 4 BC5、如图，Z 1 =Z 2,请添加一个条件.，使4 9 s4 4徽三、解 答 题（5小题，每小题1 0分，共计5 0分）1、如图，在 心 /中，Z ACB=9 0 ,笑=巴，切，/8于点，点 是直线然上一动点，连接AC nDE,过点。作 F O 上E O,交直线6 c于点色（1）探究发现：r）F如 图1,若勿=，点后在线段上，则 第=_ _ _ _ _ _ _;D r（2）数学思考：DF如图2,若点后在线段然上，则 会=（用含/，的代数式表示）；D r当点6在直线4 c上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若 A C=后,BC=2 后,DF=4 五,请直接写出C F的长.AAA图1图2备用图2、如图，已知N 4 C=N%6,Z D=ZB,求证：XABCs MADE.3、在 四 边 形 中，对角线4 7、初相交于点0,将C。绕点。按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 做，旋转 角 为a(0 0.S,3：_ 1,二 一 4 ；必4吐 16,&ADE=W ,凶“=16=4 S 四 道 矽 BCE D=SAABCSAADE 16_4=12.故选B.【点睛】考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出A A D E s/回是解题关键.3、D【解析】【分析】等式两边都除以助即可.【详解】解：两边都除以处得，：=b 2故选：D.【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质.4、C【解析】【分析】根 据 已 知 和 矩 形 的 性 质 可 分 别 求 得/&力 乙的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第个矩形的周长.【详解】.四边形力及力是矩形，：.ADVDC,AQ=2,8 =1AC=JAD2+CD2=石，按逆时针方向作矩形/腼的相似矩形AB,C,Q矩形A B C的边长和矩形ABCD的边长的比为小:2，矩 形 的 周 长 和 矩 形ABCD的周长的比不：2,矩形/及力的周长=(2+1)X2=6,/.矩形相心。的周长=更X6,2依此类推，矩形力员G G的 周 长 和 矩 形 的 周 长 的 比 石：2矩形4 M C的周长=(与x 6矩形48心，的周长=(左门x 6按此规律矩形A S g C.i的周长为：（q）x 6故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律.5、C【解 析】【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答.【详 解】.两个三角形的相似比为1:3,.这两个三角形对应角平分线的比为1 ：3 .故选：C.【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，比较简单.6、A【解 析】【分析】由直线a/c,根据平行线分线段成比例定理，即可得空=黑，又由A C =4,CE=6,BD=3,即CE DF可求得。尸的长即可.【详 解】解：-：a!I b l l c,AC BDCEDFv AC=4,CE=6,BD=3,4_ 3一=,6 DF9解得：D F=，故选择A.【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理.题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用.7、C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.【详解】解：-：AB/CD/E F,BD AC DF-9 3.=一,DF 2解得：DF=6,故选：C.【点睛】本题主要是考查了平行线分线段成比例，利用平行条件，找到线段比例式，代入对应边长求解，这是解决本题的主要思路.8、C【解析】A ZAEC=ZECB=OS0,【分析】根据正五边形各边相等，各内角相等，得到即可求解.【详解】解：LB C540 正五边形每个内角=弋=108,每条边相等,AnWAAEC,得到AE=AO,再根据FBO.618求出助ABAB=AC,V AE=EC,NEAC=NECA=180-1082=36,A ZACB=ZEC e-ZEC 4=108o-36o=72,加 为 乙 4”的平分线，A ZACD=-ZACB=36,2V AB=AC,A ZABC=ZACB=72,A ZBAC=36,V AC=AC，：.AD CAEC(ASA),A AE=AD,-n 0.618,AB=AC=10cm,A5/.AE=A)=10 x().618=6.18cm,该五边形周长=6.18 x 5=30.9cm,故选：C.【点睛】本题考查正多边形的性质，三角形全等的判定与性质，黄金比例，通过全等求出正五边形边长是解题关键.9、B【解 析】【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长，就可得到一个方程，解方程即可求得.【详解】根据条件可知：矩形A E F Bs矩形ABCD,.AE AB南 一 而；为 皿 中 点AE =-A D2：.2-_A_ _D =空.n，A B 一 茄A D2=2 AB2,A D =&A B ,原矩形纸片长与宽的比为四:I故 选B【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键.1 0、D【解 析】【分 析】这。作O M BC交CD于M,根据平行四边形的性质得到加=。，CD=AB=4,A D=B C=6,根据三角形的中位线的性质得到C M=；=2,O M=；B C=3,通过丛C F E s 4 M O E,根据相似三角形的性质得到CF CF二7 =上多，代入数据即可得到结论【详 解】解：过。作0 川/BC交 CD千 M,在 口 力 6 5 中，BO=DO,CD=AB=4,AD=BC=6,：.C=CD=2,0%f=g 8c=3,2 2：O M/CF,:.丛 CF E s/MO E,.CF CEHr.CF 1即 可=，：.CF=1.故选：D.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识.解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题.二、填空题1、【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得A O 8 C,4)=8 C 进而可得 用SC B/L根 据 痣=：,即可求得DE 3芸=,沁=(，等 进 而 判 断 ，根据三角形的面积和平行四边形的面积可得，分别用BC 5 、ACBF E F 2SQABCD表示出S A B F与 S四 边 形 CD EF，进而求得其比值【详解】解：四边形A8CO是平行四边形.AD/BC9 AD=BC AAEF S M BF.AF AE EF*CF-BC-BFAE 2*/=DE 3AE 2-=-AD 5,AE AE 2BC-AD-5.山*空丫=4SQ F BC)25.BF _ A D JE F E 2则不正确，正确；过点A/作AM 1BC,FN1 BCCF _BC 5AF-4 -2CF _ 5AC1.aq sBFC _ 己S&ABC 7 。3,_ 2 oABCD S ABFC=痴 SOABCDq 4.=_Z_S&CBF 25,s _J_C -A c.AEF-石、CBF 石 X -oABCD oABCDAE _ 2.5设平行四边形ABC。，8C边上的高为，SE B A EX H 1 AE 1 2 15a nAD-CU A D x h 2 AD 2 5 5一 AEB=g S.B C DS.尸=S A B E-S EF=g aABCD-OABCD=7 j aABCD1 5 31S四边形C D E F =SOABCD _ S&ABE ABFC=ABCDO 痴）=aABCD.S.F _ 7工人5 8二10S岫3 皿31故正确故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.42、4：9#-9【解析】【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答.【详解】解：.相似三角形对应高的比等于相似比，.两三角形的相似比为2：3,.两三角形的面积比为4：9.故答案为：4：9或g.【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比.3、|#0.4【解析】【分析】根据同弧对应的圆周角相等，证明出AEBSACEZ),再根据面积比等于相似比的平方，即可求得.【详解】解：根据同圆中，同弧A C 对应的圆周角相等，/.ZBAE=ZDCE,ZABE=NCDE,y.-.-ZAEB=ZCED,:./AEB/CED,AB V 2,五=忑*S&AEB-S K E D =4 8 :C D=2:5,2故答案是：【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握面积比等于相似比的平方.5-4.9【解析】【分析】利用位似的性质得到黑F G=器O F =今O F，然后根据比例的性质求解.JDC UD（J A【详解】解：二 四边形四口与四边形跖第位似，其位似中心为点。，.F G O F 二 O E就 一 前 一 次.0 E 5*E A 49 F G 5 _ 5*B C-5 +4-9，故答案为：【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线.5、（答案不唯一）【解 析】【分析】先根据N 1 =N2求 出 N为 再 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 方 法 解 答.【详 解】解：V Z 1 =Z2,A Z 1 +ABAE=Z2+ZBAE,即/%,：/XADE/XACB所以，添加的条件为N A N C.故答案为：/分NC(答案不唯一).【点睛】本题考查了相似三角形的判定，先 求 出 两 三 角 形 的 一 对 相 等 的 角/%NO 6是确定其他条件的关键.三、解答题1 (1)1 ；-；(2)一；一；(3)CE=2 亚或CE =m mm 5【解 析】【分 析】(1)先 用 等 量 代 换 判 断 出=ZA =Z D C B,得 到AADE s4。尸，再判断出AAOCS CDB即可；(2)方 法 和 一 样，先用等量代换判断出ZAOE =N C D F,ZA =N D C B ,得 到A4)S ACDF,再判断出 AOC s M D B即可；(3)由 的结论得出AADESK D F,判 断 出C F =2 A E,求 出&再 利 用 勾 股 定 理，计算出即可.【详解】解：。）当m=时，即：BC=ACfvZACB=905,/.ZA+ZABC=90,-CD A.AB 9.ZDCB+AABC=90,；,ZA=NDCB,ZFDE=ZADC=90,;F D E -4CDE=ZADC-4CDE,ZADE=ZCDF f:N A D E ACDF,.DE AD,DFDC ZA=/D C B,ADC=BDC=90,/.AZX7 s /CDB,AD AC,DE./.-=1,-=1DC BC DF .NACB=90/.ZA+ZABC=90S；CD1AB,NOC3+ZA3C=90,/.ZA=ZDCB,NFDE=ZADC=90,ZFDE-ZCDE=ZADC-ZCDE,即 ZAD=NCF,N A D E s ACDF,.DE AD一而一而,;ZA=/DCB,Z4C=NB)C=90,/.A/X?s /CDB,.AC _ n ,DE _n成立如图3,NAC8=90，/.ZA 4-ZABC=90,又.CO_L AB,.ZDCB+ZABC=90,:&=/DCB,/NFDE=ZADC=90,.ZFDE+ZCDE=ZADC+ZCDE,即 ZADE=ZCDFf:NADE ACDF,.DE AD,DFDC ZA=Z.DCB,ZADC=ZBDC=90,/.AZX7 s zCDB,AD AC n =一,DC BC m.DE _ 几DF m 由（2）有，AADE S ACDF,DE AC 1 DFBC2AD AE DE 1CD-CF-DF _ 2（：.CF=2AE,如图4 图 5 图 6,连 接 明在 Rf DEF 中,DE=2无，DF=4历,EF=2 M ,如图4,当“在线段47上时,图4在Rt CE F 中，CF=2AE=2（AC-CE）=2（V 5-C）,根据勾股定理得，CE2+CF2=E F2,.-.C 2+2（A/5-:.CE =2 下,或 CE=-亚（舍）如图5,当“在4C延长线上时，E F =2710,CE）2=40在 Rt CE F 中，CF =2 AE =2（AC+CE）=2（75+CE）,根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2,CE2+2（x/5+CE）2=40,:,CE =,或 CE=-2园 舍），5E F =2710,如图6,当后在。延长线上时,图6在 R/ACE/中，C尸=24E=2（CE-4C）=2（C E-6）,EF=2 而,根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2,.C2+2（C-V5）2=40,CE=245,或 CE=5 （舍），综上：CE-2亚或 CE=【点 青】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求四是本题的难点.2 见解析【解析】【分析】由/分 C=N 的6,可推出/胡信/力 再由N庐N。，即 可 证 明 /班 1.【详 解】解：N E A C=4 DAB,N E AC+ND A OND A孙 ND A C,即 Z B A O Z D A E,又；/展N O,:ZB C sA D E.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键.3、见 解 析；A GL BDi；A G LB M 见解析，=|；(3)=(，f+(=3 6【解 析】【分 析】(1)由“倒 夕 可 证 以 比2；由全等三角形的性质可得N 6，=NO G,可 证 点/,点8点。，点产四点共圆，可得结论；(2)由菱形的性质可得。=的=3 AC,0 D=0 B=BD,A C I B D,由 旋 转 的 性 质 可 得%/=0 C,O D：O D,/C O C产 乙D O M 通过证明加C,s应加 可 得/曲C=N初 由余角的性质可证/C _ L微，由比例式可求4的值；(3)与(2)一样可证明可得i =_ =:,可求左的值，由旋转的性1 2质可得勿=0 8,可证皿以为直角三角形，由勾股定理可求解.【详解】证明：（1）如图1,.四边形力腼是正方形,：.OC=OA=OD=OB,ACLBD,：.ZA0B=ZC0D=9Q,COD绕 前0按逆时针方向旋转得到心如,A 0C,=O C,OD,=O D,ZCOC,=A D O D：.0C,=0D NAOC产 /BOD产90+/AOD”在 和 比2中，-，/=N 1,.1 1:N O C念XBODi（必S）；ACdBDi；理由如下：AOCBXBODr：.40BD尸乙 0A3,.点4点6,点。，点户四点共圆，ZAPB=ZAOB=90a,:.A&LBDi；（2）AC,VBD理由如下：如图2,四边形1 6（笫是菱形，:.O C=OA=AC,OD=OB=BD,ACVBD,：.ZAOB=ZCOD=90,绕 点。按逆时针方向旋转得到G OL,：OG=OC,0D尸 O D,4C0G=/DOM：.03=0A,O D尸 O B,/AOG=/BOD,_ L -，1：.XA03s ABOM:0A 3=/0B D”又 .：NA0B=9Q：./OAB+4ABP4OBDi=90,：.ZOAB+ZABPZOACl=90,：.N 4阳=9 0：.ACtLBD,；:丛AOCrABOD”(3)如图3,与(2)一样可证明：绕点。按逆时针方向旋转得到 G M”OD,=O D,而 OD=OB,：.O D,=O B=O D,N =/i，/i =N/，j =N i+N/，!=9 0 ,叫为直角三角形，在 Rt/XBDD,中，BD DDi=麻=1 4 4,Z.(2/0 2+勿/=1 4 4,：.ACi+(kDD)2=36.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键.4、(1)见解析；(2)|【解析】【分析】(1)连 接 阳由 F G=E G 得 N GE F =N GF E =Z AF H,由 OA=0E 知 N04E=NQE4,根据 COLAB 得Z AF H+Z F AH=9 0 ,从而得出 NGEf+ZAEO=90。，即可得证；(2)连 接 .设。的半径为r.在厦。田中，利用勾股定理求出r,证明力叱八仞%,可得黑=笑，由此即可解决问题.E M O E【详解】解：(1)如图，连 接0 E,G庐 GE,:./G F F/G E/AFH,：0小 OE,：./O A&/O E A,：AB LCD,:./A F出NFA4 9Q0,:./GERNAEW9Q,:./GE0-9Q,GEL OE,.皮是。的切线；（2）如图，连接。C设。的半径为r,.,册2,心4,在 RtAHOC 中,：0但r,HO4,/.(r-2)2+42=r2,尸5,9 GM/AC,：./C A t/M,、：/OE后/AH C,:.AAHCSAMEO.AH HCt 9EMOE.2 _4EM5：.EM=-.2【点睛】本题考查圆的综合题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题.5、(1)证明见解析；18；(2)等2【解析】【分析】(1)只需要证明力应S的,得到一=,即可推出 2=先证明N 加沪N为。，则可证/s为C,推出,然后利用勾股定理求出=3x2,即可得到 =18；(2)设-3 f=4,先证明推出=设=3,=44,得到=：=,求出=2 ,则=-243-3)在直角力切中，2=2+2,则9 2=(4门_3)2 2+4 2,即可推出二=丝 产，由此求解即可.【详解】解：(1)/1比 和力6 F都是等腰直角三角形，N 为俏/年90 ,.N庐/伍N。片4 5 ,又,:/AE2/NEA,:.ABESXDAE,_ _ 一 ,2=.：4DAO4DA吩乙CAE,NAE斤/C+NCAE,N 信/的后4 5 ,ZAEB=ZDAC,又：4B=4C,:.丛 AEBs 丛 DAC,._ _ _ _ _ 一 ，；A六AC ZBA(=90,BC=6,2+2=2=3 6,即 2 2=36,=3T2i:=18；3(2)V AD=-A Ef4二 可设-3,=4,庐后30 ,/AD后2BDA,:.ADESXBDA,._=_ _ 3 可设=3,=4,_ _ 3 2TN层30。,ZACB=90,*.=3=2,=V 7 工=2yl3：.=一 23-3)在直角力切中，2=2+9 2=(姐_3)2 2+4 2,.2=2-5-1-2-4-3，【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质,勾股定理等等，熟练掌握相似三角形的性质与判定条件是解题的关键.