【挑战高考极限】系列之数学6年高考真题2年模拟16第八章第三节空间向量在立体几何中的应用.pdf

第三节 空间向量在立体几何中的应用第一部分六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.(2010全国卷2 理)(11)与正方体A 6 C O A|8 I G A 的三条棱A3、CQ、片鼻所在直线的距离相等的点(A)有且只有1 个(B)有且只有2 个(C)有且只有3 个(D)有无数个【答案】D【解 析】直 线 B：D上取一点，分 别 作 P。：，P。：，P。：垂直于氏D：,B：C,B：A于 0：,0；,0：,则P O：_L 平 面 AC，P O：_L 平 面 B：C ,P O：_L 平 面 A：B ,0：,0：,0：分别作。讣 一 440：一-CG：Q2 一.S ,垂足分别为%N,Q,连 P M,P N,P Q,由三垂线定理可得，P N J1P1=P M 1 CC1；P Q A B,由于正方体中各个表面、对等角全等，所以P O：=P O；=P O：，=，.P M=P N=P Q,即 P 到三条棱 A B、C C、A D.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.2.(2010辽 宁 理)(12)(12)有四根长都为2 的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a的取值范围是(A)(0,V 6+V 2 )(B)(1,272)(0(V 6-V 2,V 6+V 2 )(D)(0,2【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2 的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：(1)地面是边长为2 的正三角形，三条侧棱长为2,a,a,如图，此时a可以 取 最 大 值，可知A D=百，S D=恭_,则 有“2一1 2+百,即/8 +46=（遥+扬2,即有a 0;综上分析可知a d(0,V 6+V 2 )3.(2010全国卷2 文)(11)与正方体A B C D ABCD的三条棱A B、C 3、AD所在直线的距离相等的点(A)有且只有1 个(B)有且只有2 个(C)有且只有3 个(D)有无数个【答案】D【解析】：本题考查了空间想象能力.到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上,三个圆柱面有无数个交点，4.(2010全国卷2 文)(8)已知三棱锥S-A8C中，底面ABC为边长等于2 的等边三角形，S 4 垂直于底面A B C,S 4=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(A)3(B)旦4 4(0 (D)-4 4【答案】D【解析】：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。过 A作 A E 垂直于B C 交 B C 于 E,连 结 S E,过 A作 A F 垂直于S E 交 S&S E 于 F,连 B F,.正三角形 A B C,E 为 B C 中点，：B C A E,S A_L B C,:.8。_1面$皿，二 B C A F,A FS E,:.A FJ _面 S B C,V Z屋 区A B F为直线A B 与面S B C 所成角，由正三角形边长3,，A E =73,:一3 3H sin Z A B F =A S=3,二 SE=243,AF=2,/.45.(2010全国卷1 文)(9)正方体ABCD-Ae G Q中，8 月 与平面A C，所成角的余弦值为(A)(B)(C)-(D)3 3 3 3【答案】D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC，的距离是解决本题的关键所在，这也是转殄思想的具体体现.左口子、【解 析 1】因 为 1/伽|,所 以 8 月与平面人(：2 所成角和口口与平面，：、由等体积法得匕即 Sgs DO=；SMCD-Z)Z)1.设 D D 尸 a,则 S0CD=A C AD.s i n 60=-x&a)2 i 2 、，所以 DO =SCD DD、=旦S M CD J3c i 3_ DO _ V3、0s i n 0 ,所以 c o s 3 .D D,3 3【解析2】设上下底面的中心分别为。,0：IZ4B2x-y-=2 5AACO=A D C D =a2.，记D D i 与 平 面 AC 2 所 成 角 为 e ,则。0与平面ACD,所成角就是8片与平面A C DX所成角，c o s/0 0 2 =需1=1/宗=坐6.(2 010全国卷1 理)(12)已知在半径为2的球面上有A、B、四面体AB C D 的体积的最大值为(A)迪 迪(C)2 6(D)巡3 3 3C、D四 点,若 AB=C D=2,则分析：本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.解：当 异 面 直 线 与CD间距离最大，且月B J.C D时，四面体AB C D的体枳最大。分别取为B与CD的中点E、F,连结E F,此时球心。在线段E尸上，且 EF=2 （V.BCD/）Hl&X =3-A B-2 k（J 2 z =3-2-22-2yl3=37.（2 010全 国 卷1理）（7）正 方 体A B C D-4 g G A中，8g与 平 面、鼻 所 成 角 的 余 弦 值 为(A)也3(B)百k D 7-3|0 3 0 C,分别经过三条棱。A,O B ,。作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为St,S2,S.,则S,S2,jS 3的大小关系为【答案】S3 S2 S,【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体睑证结论,特殊化，令边长为1,2,3得S 3 S 2 D：DC（=1.2.（2 01 0辽宁理）（1 9）（本小题满分1 2 分）已知三棱锥 P-ABC 中，PA1 ABC,ABAC,PA=AC=B,为 AB上一点，AB=4 AN,M,S分别为PB,B C 的中点.（I ）证明：CM S N；（I I ）求 S N与平面CM N所成角的大小.证明：设 PA=1,以A 为原点，射线AB,AC,AP分别为x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如4分 1 1 1(I)=22 2 1 1因为 CM SN=+0=0,2 2所以CM _L S N 6分.1(II)?7C=(-,l,0),设a=(x,y,z)为平面CM N的一个法向量，3.（2 01 0全国卷2文）（1 9）（本小题满分1 2 分）x-y +-z =0,贝M 2 令X 笔 a=(2,1,-2).x+y=0.1 2 因 为cos,SN|=4=23 x-2所 以 S N 与片面 CM N4 5 o -9分所成角为1 2 分如图，直三棱柱A B C-A|B|C|中，AC=BC,AA,=AB,D为BB1的中点，E为AB】上的一点,AE=3 EB（I）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线：（I I）设异面直线AB】与CD的夹角为45。，求二面角A-ACB 的大小【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1,有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连 结DF、F C,证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。（2）由条件将异面直线ABI,CD所成角找出即为/F D C,设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。4.（2010江西理）2 0.（本小题满分12分）如图ABCD与AMCD都是边长为2的正三角形，平面MCD_L 卜、平面 BCD,A B,平面 BCD,A 8=（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。火”【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形:V，的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：（1）取 切 中 点0,连 阳 O M,则 如LG9,。匕切.又平面M C O J_平面B C D,则 加 平 面B C D,所 以 加 A/AB,4、B、0、材共面.延长4V、加相交于反贝1叱4必 就 是4 /与 平 面 比 所 成 的 角.龙 板M0 面ABC,M、0到/平面ABC的距离相等，作0H_LBC于H,连M H,则M U B C,求得：，卜 二 二 库F0 H g 侬 邛 半 利 用 体 积 相 等 得：V 号(2)以是平面A C M与平面B C D 的交线.由(1)知，。是储的中点，则反右9 是菱形.作应UE C 于凡 连 则 ，/N/就是二面角-0 6 的平面角，设为仇因为N8 C层1 2 0 ,所以N5 C户6 0 .BF=BC-sin60=V3,tan=2,sin0=-BF 5n c所以，所求二面角的正弦值是王5【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决解法二：取 切 中 点。，连/，0 M,则0 BA.CD,0 MLCD,又平面MC O _L 平面B C O,则加工平面B C D.以。为原点，直 线 0 C、BO、Q V 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.0 斤。后6，则各点坐标分别为0(0,0,0),/1 5a =-HI 5(2)G W=(-1,0,73),C 4 =(-l,-73,2 73).n.LCM-x +V 3 z -0设平面然力的法向量为 =(x,y,z)，由_ 得 厂 l .解得4 _L CA-%-J 3 y+2 j 3 z =0zx=JJz,y =z 取 勺=(,1,1).又 平 面B C D的 法 向 量 为 =(0,0,1),则-n,-n 1cos=,|_7=N-H Vs设所求二面角为。，则sin6=【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎5.(2010重庆文)(2 0)(本小题满分12分，(I)小问5 分，(H)小问7 分.)如 题(2 0)图，四 棱 锥 P ABC O 中，底 面 ABCO 为 矩 形，PA_L底 面 A8CO,尸 4=48=7份，点：是棱/8 的中点.(I)证明：AE_L平面PB C；(H)若 AO=1,求二面角6 E C-。的平面角的余弦值.解法一：*(1)证明:如若(20)图 I,由P4 J.底面.488,得/M J,A8.又 H 4 =48,故 A/M8为等3?直角三箱形,而点 此棱夕8 的/中点，所以4 P B.介由睡意知BC-48.乂48是P8在面ABCD内的射影.由三/:篡。垂线定理得BC P B,从而BC 平面P AB,故HC L A E.因 1.尸B,4E J.8C,所以/.在 CbE中,CE=TSP+B ./L 又CD a G,所以A C E R为等边三角形.取C E的中点已连接8.则D P CE.因3E=BC=I.旦8C J.则 EBC为等腰直角三角形，连接8f，则BF CE.所以48F。为所求的二面角的平面角.融 BD.tE AflFD 中.DF=33吟*.BF=-1-C 吟.RD=，更 +Ctf=g.所 以 B F D=吟黑兽二_ 冬2 nF 3故二面角B-E C-D的平面角的余弦值为-季.解法二：(I)证明:如答(20)图2.以4为坐标原点.射就八8 H M p分别为,轴/轴/轴正半轮.建立空间直角坐标系4-*yz.设m 0,明0).则 氏&.0.0),C(7T,a,0),4 0.0.6),月停,0,纾于 是 掂-停,。.纵武(O.a.O).无=(点则 茂就 0,谑 P t 0,所以4 J.平面P8c.(U)解:设平面BEC的法向最为名，由(I)知M EJ.平网B E C,故 可 取 叫=或(-,0,-塔.设平面。的法向量%(为,力,勺)，则%就=0.n2 m=0.答(2 0)图2m 1x5 I =i,得0(0.1.O),c(,I.O).r*j 0 0,从 而 比=(.0,0),这=(冬_ I阴.故万 历 所以叼=0,马二 岛.号巧%+圣2 ，可 取 力=1,则，=(0,1.从而 cosS,，F=1%：I=-g.II!,|1 I 3所以二面角H-E C-D的平面角的余弦值为6.(2 0 1 0浙江文)(2 0)(本题满分1 4分)如 图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2 BC,ZABC=1 2 0。出 20。)E为线段A B 的中点，将4 A D E 沿直线DE 翻折成AA D E,使平面A DE _L 平面BCD,F 为线段 A C 的中点。（I ）求证：BF平面A DE；（ID 设 M为线段D E 的中点，求直线FM 与平面A DE 所成角的余弦值。（|火妒T&C.iftACF.W：.由条件垮局ECffTJi.FC-.I 1.Rf.licn.iif.7 m.所以FS/RE.FG=HE.贝 岭 姿故 内 功 彬 砥 力 四 边 形./峙碑典启C+前 4 E.a+而祗哈爵,.所以干卤*（n；M：A门泗边形awe”中武州：-明AH CD ala.Ab-AE-f.K a.iiC.120,.在八BCE !.可柑 Ct：-/in.（fAM：.uJW Of：u.“m r 中1MteO=w 必.所以 c n .在il：戈力7 卜 e 为“I?.rwX*rfH5i BCW.4-V 1 CE.m A-K 的0，.、.连结 W.F.内力 2 A V r W.所以v/平由*.则4 W 为ft或FM*;f NDE所成你，（RiAA.W,|.=sv.W-Y-,e.F1 s,W.-/TuWY-y.“所VIff*4.w h f r*i 所成角的余弦仇为7.（2 0 1 0 重庆理）（1 9）（本小题满分1 2 分（I）小问5分，（I I）小问7 分）如 题（1 9）图，四棱锥P-A BC D 中，底面 A BC D 为矩形，PA J_ 底 面 A BC D,P A=A B=C，点 E是棱PB的中点。（I）求直线A D 与平面PBC 的距离；（I I）若 AD=6,求二面角A-E C-D 的平面角的余弦值。（I）如答（19）图 1,在矩形A8C0中从而4 0 平面 P8C,故 直 线 与 平 面 PBC的距离为点4 到平面P8C的距离.因PA J.底面4BC0,故P4 J.48,由P4=4 8 知 4 尸 48为等腰直角三角形，又点E 是棱P 8的中点，故4E 1 PB.又在矩形48CD中,8C J.48,而48是 PB在底面4BCD内的射影，由三垂线定理得8C J.PB,从而8c 1 平面R4B,故BC 1 AE.从而AE 1 平面PBC,故AE之长即为直线A0与平面P B C的距离.答(1 9)图 1在 Rt 尸 48 中,PA=AB=历，所以 AE=yPfi=y，PR：+4序=0（口）过 点。作OF_L C,交CE于尸，过 点F作FC_L CE,交4C于G,则4 OFG为所求的面角的平面角.由（I）知8C _L平 面P A B,又4。B C,得4。J.平 面P A B,故A D上AE,从DE=y/AE2+AD1=/6.在Rt C BE中,C E=JB仃+BC2=而 由CD =而，所 以A C D E为等边三角形，故F为C E的中点，且。尸=C D-s i n =挈.因为4 E 1平 面P8 C,故4 E 1 CE,又FG 1 C E,知F C幺%：,从 而F C =冬 且C点为A C的中点.连接 0 C,则在 Rt ZU O C 中,0 C =9c=-y V AD2+C D2=之.而i n n ir r D F2+FC1-D C2 J6所以 COBDFC=2-D F-F G=3-解法二：（I ）如答（1 9）图2,以4为坐标原点，射 线4 8、4 0、4 P分别为了 轴、y轴、z轴正半轴,建立空间直角坐标系4 -xy z .设 0（0,a,0）,则 8（西,0,0）,C（A,a,0）,P（0,0,笈），E（知，纵因 此 荏=（知净，觉=（0,a,0）,同=（而,%-府,答（1 9）图2则 於 麻 =0,求 同 =0,所 以4 E 平 面PBC.又由4。8 c知4 0 平面P8 C,故直线A D与平面P BC的距离为点A到平面P BC的距 离,即 为|茂|=6.（口）因为 I力 1=7 5.则0（0,6 0）/（630）.设平面4 E C的法向量？=（工|,力，4）.则 叫 比=0,nt A J=0 .又n=（隔6,0）,求=停0.纵 故所 以 力=一 任1，Z 1 =_.可取勺=_ 6,则|=.设平面OEC的法向量%=(町,力吊)，则%或=0皿 应=0.产2 =0.又 成=(历,0,0),励=(疸,_ 6,故，冬2 -匹+冬2 =0.所以 x2=0,Z j=Jl y7.可取 y2=1,则 n2=(0,1,7?).M,故 =而R 印 叫订=了屈.所以二面角A -E C-0的平面角的余弦值为亨.8.(2 0 1 0北京文)(1 8)(本小题共1 4分)设定函数/。)=1/+2+以+火。0),且方程f(x)9 x =0的两个根分别为1,4。(J )当a=3且曲线y=/(x)过原点时.，求/(x)的解析式；(I I)若“X)在(一8,+0 0)无极值点，求a的取值范围。解：由/(x)+旅+c x +d 得 f(x)=ax2+2bx+c因 为/(x)9 x =a Y+2 b x +c 9 x =0的两个根分别为1,4,所以1 6 a +8 b +c 3 6 =0(I )当。=3时，又 由(*)式得2 Z?+c -6 =08 b +c +1 2 =0解得 b =-3,c =1 2又因为曲线y=/(x)过原点，所以4=0故/(x)=x3-3 x2+1 2 x(I I )由 于a 0,所 以“/(X)=x 3+/jx 2+c x +d在(-8,+o o)内无极值点”等价于u f(x)=ax2+2bx+c0&+)内恒成立由(*)式得2/?=9-5,c =4。又 A =(2 6)2 _4 a。=9 3 _ )(“_ 9)解 4a 0 二 9(。-1)(9)(0得 a e 1,9 即a的取值范围 1,9 9.(2 0 1 0 北 京 理)(1 6)(本小题共1 4 分)如图，正方 形/腼 和 四 边 形 4 口 所在的平面互相垂直，CEAC,EF/AC,AB=y l l ,CE=EF=1.(I )求证：AF平面BD E；(I I )求证：皿 平 面 切 氏(HI)求二 面 角 跖-的大小。证明：(I)设 A C 与 B D 交与点G。因为 E F/A G,且 E F=1,A G=-A C=1.2所以四边形A G E F 为平行四边形.所以A F 平面E G,因为EGu平面B D E,A F 设 B C=b,则长疗伟 A B C D A B；C D i 的体机 V=A B -A D A A】=2/6.儿何体 E B iF H O C 的体积 匕=(y 5.B,F)4 c l =EB.BF.:EB：-B F =/.:.EB-B,F S鱼凸以上.1 1 2 2-il l仅EBX=只尸=上。时等号成立.2,从血，,4a-b故 p=1-1-4 =-V 2a2b 8不 I 工4=写尸=三。力7所以，p的最小值等J12.（2 010湖南理）18.（本小题满分12 分）如 图 5 所示，在正方体A B C D-A iB iC iD：中，E是棱D D I的中点.“（I）求直线BE与平面A B B；A：所成的角的正弦值；（盛 棱 弓。上是否存在一点八使B：F平面A：B E?证明你的结论.图 5【解析】，解 法 1设正方体的棱长为1，如图所示，以 商，力,而为单位正交基底建立空间直角坐标 系.(I )依题意，得 B (1,0.0),E (0,(0,0.0),D (0,1.0),所以.1 _ _ _5 =(-1,1,-),.10=(0.1,0),在正方体 A B C D -A i B i C Q i 中，因为 A D _ L 平面 A B B；A”所以AD是平面A B B：A：的一个法向量.，设直线B E与平面A B B】A 所成的角为心 则.&BEAD 1 2sin a=一 一-=-=2X1 32即直线B E与平面A B B】A所成的角的正弦值为二.3(I I)依题意，得 A】(0,0,1),=(-1,0,1),3 E =(-L L)2设n=(x,y,z)是平面A：B E得一个法向室，则由1,艮4=0,n 5 =0 得，所以x =z，r =：z,取z =2,得n=(2J,2)设F是授C D 1上的点,则F 1,1)gWl),又B i (1,0,1),所U h后=(r-L L O),而4 F (2,1,2)=0=2-1)+1=0,=r =白=尸 为GD的 中 点。这说明在在棱C】D：上是否存在一点F (C P 1的 中 点),使B-F 平面 A：B E 解 法2如 图(a)所示，取AA：的中点 L连 结EL BX L因 为E是DD1的中点，四边形ADDiA：为正方形，所 以EM AD.“又在正方体ABCD AiBiCiDi中.AD_L平 面ABB】Ai，所 以EMlABBiA”从 而BM为直 线BE在平面ABB：Ai上的射影，NEBM直 线BE与平面ABB】A1所成的角“设正方体的棱长为2,则EV=AD=2,B E=72T+2T+F=3,于是“EXI在 IUABEM 中，sinZ 5J/=一 BE 3即直统BE与平面ABB A1所成的角的正弦值为2.23(H应 梗CiD】上存在点F,使B F平 面A：BE.事实上，如 图 所 示，分别取C D和CD的中点F,G,连结EG,BG,CD】，FG，因A2D：BICI B C,且A：Di=BC,所以四边形ABCD：为平行四边形，因 此D:C A.B,又.E,G分别为DiD,CD的中点，所以E G D iC,从而EG A；B,这说明A”B,G,E共面，所 以BGU平 面A：BE因四边形CICDDI与B：BCCi皆为正方形,F,G分别为C D】和CD的中点，所以FG QC B；B.且FG=C:C=B:B.因此四边形B：BGF为平行四边形，所以B：F B G.而B：F P D2+DC2=J5。由 P C _ L B C,B C=1,得 A F B C 的面积 S B c =乎。由 VA-咏=%-ABC,PBC-/?=V=得 h =6，故点A到平面P B C 的距离等于V2。2009年高考题一、填空题I.若 等 边 A4 BC的边长为，平 面 内 一 点 M 满 足 丽=1 而+2 出，则6 3M A M B =2.在空间直角坐标系中，已知点A （1,0,2）,B（l,-3,1）,点M在y轴上，且凶到A与到B的距离相等，则M的坐标是 o【解析】设 M（O,y,O）由/+y2+4=i+（_3 y）2+i 可得 y=_i 故 M（O,1,O）【答案】（0,-1,0）二、解答题3.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA _L平面ABCD,AD BC FE,AB1AD,M为EC的中点，1/；_EAF=AB=BC=FE=-AD/7K（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；./人、（II）证明平面 AMD平面 CDE；./二口（IH）求二面角A-CD-E的余弦值。B C如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为 坐 标 原 点。设 AB=1,依题意得 B（l,0,0）C（LLO）,。（0,2,0）（0,1,1）,F（0,0,l1（I）解:即=（一 1,0,1）,DE=（O,-L1）,于 是cos（而,B l）=BFDE 0+0+1BF DEV2V2-2所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.（II）证明：由AMCE=（-1,0,1）,AD=（0,2,0）,可得B 血=0,CEAD=0.因止匕 C E 1 AM,CE _L AD.乂AM Cl AD=A,故CE J_ 平面AMD.而CE u平面C D E,所以平面AMD 平面CDE.-（III）解：设平面CDE的法向量为 =（x,y,z）,则 尸,笠=0u DE=0.于是+令 尤=1,可得 =(1,1,D.-y +z =0.又由题设，平面A C 7)的一个法向量为u =(0,0,l).所以,c o s(,M*V _ 0 +0+l_ 5/34.(本题满分15分)如 图，平面P A C _ L平面A B C,A 4B C是以AC为斜边的等腰直角三角形，瓦。分 别 为 胡，PB,A C 的中点，A C =16,F A =P C =10.(I)设G是OC的中点，证明：F G /平面B O E ；(I D证明：在A A B O内存在一点M,使，平面B O E,并求点M到O A ,。8的距离.证明：(I)如图，连结O P,以O为坐标原点，分别以O B、O C、O P所在直线为x轴，y轴,z轴，建立空间直角坐标系o-x y z ,则。(0,0,0),4(0,8,0),8(8,0,0)。(0,8,0),尸(0,0,6),后(0,-4,3),F(4,0,3),由题意得,G(0,4,0),因 而=(8,0,0),0万=(0,4,3),因此平面 B O E 的法向量为 7=(0,3,4),历 =(-4,4,3得 K 方 =0,又直线FG不在平面3 OE内，因此有E G/平面B O E6.(本小题满分12分)如图，已知两个正方行A B C D和D C E F不在同一平面内，M,N分别为A B,D F的 中 点。(I)若平面ABCD，平面D C E F,求直线MN与平面D C E F所成角的正值弦；(I I)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。设正方形A B C D,D C E F的边长为2,以D为坐标原点，分别以射线D C,D F,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则 M(1,0,2),N(0,1,0),可 得 嬴=(-1,1,2).又以=（0,0,2）为平面D C E F的法向量,j.Z H /.Z 、MN DA 石可得 C O S(MN,/)A)=-I I MN II DA I 3所以MN与平面D C E F所成角的正弦值为c o sMN,DA=36分（H）假设直线ME与BN共面,8分则ABu平面MBEN,且平面MBEN与平面D C E F交于E N由已知，两正方形不共面，故AB2平面D C E F。X A B/C D,所以A B平面D C E F。面EN为平面MBEN与平面D C E F的交线,所以 A B/E N。又 A B/C D/E F,所以E N/E F,这|J E N A E F=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线.12分7.(13 分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M D m A B C D,尺8 _ 1平面4 3。,且M D=N B=1,E为BC的中点（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2）在线段AN上是否存在点S,使得E S_ L平面AMN?若存在,AS的长；若不存在，请说明理由17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标。-x y z依题意，得 0(0,0,0)A(l,0,0)M(0,0,1),C(0,L0)。2一 1 ：.N E =(,0,-1),A M=(-1,0,1)2c o s=N E A M NE x AMi(r%b所以异面直线N E与A M所成角的余弦值为.A10(2)假设在线段AN上存在点S,使得5,平面A M N.丽=(0,1,1),可 设 衣=九 丽 =(0,4/1),1 1又 E A =(,1,0),5=E A +A S=(,2 1,2).2 2回丽=0,-+2=0,由平面AMN,得 _ _ _ _ _ _ _ 即 2 ES A N=0,(2-1)+2=0.1 一 1 1 一 J 2故 几=一，此时 A S=(0,),I A SI=J.2 2 2 2后经检验，当 AS=X 时，E S_ L 平面A M N.2故线段AN上存在点S,使得ES L平面AMN,此时AS=E.28.(本小题满分12分)如图，直三棱柱A B C 461 G 中，A8 LAC,。、E 分别为耳。的中点，DE L平面BCCI(I)证明：A B =A C(II)设二面角A B O C为 6 0 ,求 与 平 面 BCD所成的角的大小。分析一：求 B,C 与平面B C D所成的线面角，只需求点5,到面B DC的距离即可。19.(本小题满分12 分(I )问 5分，(II)问 7 分)如 题(19)图，在四棱锥S A6CO中，A D BC且 AO_ LCO；平面 CS O,平面 A B C。，CS 1 D S,C S =2 A D =2；E 为 6 s 的中点，CE=RAS=6 求：(I )点人到平面BCS 的距离；题(1 9)图(II)二面角E C O A的大小.(I )如 答(19)图 2,以 S(0)为坐标原点，射线O D,O C 分别为x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设因平面平面他 例 如 A。L C D,A DI C O D即点A 在 x o z平面上，因 此 =0,=|AS|=12 2 1叫2 厂又 X；+=|A S|=3,4=&从而A(8,0 因 A D/B C,故 B C _L 平面故D,即 B C S与平面y O x 重合，从而点A到平面B C S的距离为巧=JL(II)易知 C(0,2,0),D(,0.0).因 E 为 B S 的中点.B C S为直角三角形，|UU/|UUV r-知 的=2 C E =2&设 B(0,2,ZB),ZB 0,则 Z.=2,故 B (0,2,2),所以 E(0,1,1).在 C D 上取点G,设 G(百，X,0 ),使 GEC D .ULUI,UUM ULUI UUM由 C O=(V 2,-2,0),G =(%,X +1,1),CO G E =0 故V 2 xl-2(y1-l)=0 UL1JI UUV UUW Y V _ 7又点G 在直线C D 上，即 CG CO,由CG=(尤,一 2,0),则有-=2 J 2 2J 7 4联立、，解得G=(鼠,0),ULW J2 2 ULUT UUV故G 石=(一一,一 1/).又由A D 1C D,所以二面角E-C D-A 的平面角为向量G E 与向量。4所成的角，记此角为。因为cos 6=ULM I UUVi LUU ULW,O A =(0,0,1),|Z)A|=I,GE O A=1,所以U L B T uuuG E D AGE-DAV37T故所求的二面角的大小为6作AG LB。于G,连G C,则GC_L8。，NAGC为二面角A-B。的平面角,Z A G C=60.不 妨 设 AC=2百，则 AG=2,GC=4.在 RT A4BO 中，由A D A B =B D A G ,易得 AO=&.设 点 用 到 面8O C的距离为力，5。与平面B C D 所成的角为 a 。利 用；5阳-0后=；5M,力，可求得匕 =2万，又可求得 8 c =4 6 sin a =:.a=30.BC 2即B.C与平面B C D所成的角为30.分析二：作出用。与 平 面 所 成 的 角 再 行 求 解。如 图 可 证 得 面4/比,所以面面BOC。由分析一易知：四边形AFEO为正方形，连AE、DF ,并设交 点 为。，贝ij E。，面5DC,。为E C在 面B DC内 的 射 影。.NEC。即 为 所 求。以下略。分析三：利用空间向量的方法求出面5O C的 法 向 量 则 与C与 平 面 所 成 的 角即为瓦6与法向量石的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。9.（本小题共14分）如图，四棱锥尸4 3 c o的底面是正方形，PO_L底面A B C D,点E在棱PB上.（I）求证：平面A E C 1平面PD6；（11）当尸。=CAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解法2 如图，以D为原点建立空间直角坐标系。-qz，设 A 8=a,P O =h,则 A（a,O,O）,B（a,a,O）,C（O,q,O）,D（O,O,O）,P（O,O,/?）,（I ）*.,A C =（-a,a,0）,O P =（0,0,）,0 8 =（a,a,0）,.AC-1）P=Q,AC-7）B=Q,.-.A C D P,A C D B,；.A C _L平面 P D B,平面A E C J.平面P O B.fl 1 J i（I D当尸。=J5AB且E为P B的中点时，尸（0,0,缶），E-a,-a,a /设 A C D B D=O,连接 O E,由（I ）知 A C W i P D B 于 O,r.Z A E O为A E与平面P D B所的角，（1 1 加）一（近、2 2 2 J 2 Jco s Z A E O =曾 配=,阿.忸。2，Z A O E=4 5,即A E与平面P D B所成的角的大小为4 5 .10.（本小题满分13分，（I ）小问7分，（U）小问6分）如 题（18）图，在五面体 A B C D EF 中，A B/D C,Z B A D =-,2C D=A D=2.,四 边 形A B F E为平行四边形，F A _L平 面A B C D,F C=3,E D=V 7,求：（I ）直线A B到平面EF C D的距离：题”8）图（I I ）二面角F-A D-E的平面角的正切值,18.（本小题满分12分）如图4,在正三棱柱A B C Ag G中，AB=y/2AAD是4月 的中点，点E在4 c l上，且O E J.A E。（I）证明平面AO E，平面A C G 4（II）求直线4。和平面ABC所成角的正弦值。解（I）如图所示，由正三棱柱A B C-A 4 G 的性质知A 4 _L平面AM G又 DEu 平面 A|B|C 1 ,所以 DE_LAA.而 DEJ_AE。AA|nAE=A 所以 DE_L平面 ACC A,又 D E u平面 ADE,邮 面 ADEJ_平面 AC C A。解法2如图所示，设。使 AC 的中点，以 0 为原点建立空间直角坐标系，不妨设A AI=V2,贝 IJAB=2,相关各点的坐标分别是A(0,-l,0),B(6，0,0),C i(0,1 yp2),D(-,-,A/2)o1 2 2易知 1,0),AC=(0,2,V2),而=(3，I,V 2 )2 2设平面ABC1的法向量为n=(x,y,z)，则有n-AB=43x+y=0,n-AC=2 y+Jl z -0,解得 x=-y,z=-,故可取n=（l,-g,瓜）。b r n*AD 2V3 VT o所以，cos(n AD)=:=-f=-尸=-o|n|-AD V10 x V3 5由此即知，直线AD和平面AB C 所成角的正弦值为。511.(本小题满分12分)如图3,在正三棱柱4B C-4 8 G 中，48=4,4 A=点。是 BC的中点，点 E 在 4 c上，且 OEJ.AXE(I)证明：平面4 0 E _L平面A C 4；(II)求直线AO和平面A O E 所成角的正弦值。解法2 如图所示，设 O 是 A C的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0,),A,.(2,0,V7),D(-1,6),E(-1,0.0)易 知 港=(-3,6，-近)，DE=(0,-百，0),AD=(-3,垂),0)设 仁(x,y,z)是平面4 DE的一个法向量，则LUV/-c rfDE=y/3y=0I /7z=0解得x=_?z,y =0故可取n=(币,0,-3,)于是ULIL1/巴if A Dc o s(n,A )=-rtt T /I小M _3 b后-4 x 2 7 3 8由此即知，直线A D和平面ADE所成的角是正弦为81 2.(本小题满分1 2分)在四棱锥P A6CO中，底面A 8 C。是矩形，抬，平面4 6。，P 4 =A O =4,A 3 =2 .以AC的中点。为球心、AC为直径的球面