2023学年上海七年级数学下学期重难点讲义第16讲-等边三角形(含详解).pdf

第 14讲-等边三角形学习目标i .理解等边三角形是特殊的等腰三角形，是轴对称性图形;2.掌握等边三角形的性质，能够较熟练地利用“等边对等角”及有关特征解决相关问题;力动探索I.等边三角形性质有哪些？2.等边三角形的判定:小练习1.延长等边/8 C 的边BC到。，使 CD=B C,那么/8。是（）A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形2.如图，在/8 C 中，Z C=1 2 0,乙4=45,。在 BC上，直线4 0 将这个三角形分成两个等腰三角形，则N C D 4的度数是（）B、30 、153.下列说法中错误的是（）4、等腰三角形是锐角三角形 B、等腰直角三角形是直角三角形C、等边三角形是等腰三角形 D.等边三角形是锐角三角形4.。是等边/4 8 C 边 4 c 上一点，Z A C E=ZABD,C E=B D,则/4D E 是（）A、钝角三角形 B、直角三角形 C、任意等腰三角形 D、等边三角形5.如图，A 48C和/C D E均为等边三角形，A、E、。在同一直线上，且NEBO=62。，则/A E B的度数是（）A、112 B、122 C、132 D、128精讲提升例1.如图，A、B、C三点在一直线上，分别以A 3、B C为边在A C同 侧 作 等 边 和 等边 4 B C E,联结 AE,C D。问题1：试说明AE=C O的理由。试一试:1.如图把 BCE绕点B顺时针旋转，如下图，当4、B、C不在一条直线上时，试说明AE=8 的理由2.如图把 BCE绕点B 逆时针旋转，如下图，使 E 落在边BO上，试说明AE=C。的理由3.如图把 BCE绕点B 逆时针旋转，如下图，使 C 落在边AB上，试说明AE=C）的理由问题5：如下图，A、B、C 三点在一直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边和等边/8 C E,联结AE,CD,MN,判定 MBN的形状以及MN和 AC的位置关系。DABC例 2.如图，在 A BC中，已知A8=A C,点。、E、尸分别在边B C、AC,A B 上,且 BD=CE,AFDEZB.(1)说明 BFD与 C D E全等的理由.(2)如果 A 8C 是等边三角形，那么。石 尸是等边三角形吗？试说明理由.例 3.如图，。为等边 448C 内一点，DB=DA,BE=AB,N D B E=N D B C,求NBEO 的度数。1.(2021.上海市风华初级中学七年级期末)下列说法中，正确的有()都含有70。的两个直角三角形一定全等；都含有100的两个等腰三角形一定全等；底边相等的两个等腰三角形一定全等；边长都为10cm的两个等边三角形一定全等；如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等.A.0 个 B.1个 C.2 个 D.3 个2.（2020上海市第十中学七年级阶段练习）在下列命题中：有一个外角是120。的等腰三角形是等边三角形；有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；三个外角都相等的三角形是等边三角形.正确的命题有（）A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1个3.（2021.上海市文来中学七年级期中）.如图所示，已知 ABC和 BDE都是等边三角形，下列结论：AE=CD；BF=BG；BH平分NAHD；ZAHC=60；4B F G 是等边三角形；FGA D,其中正确的有（）C.5 个D.6 个4.（2020.上海市徐汇中学七年级阶段练习）如图，将边长为6cm的等边 ABC沿 BC边向右平移得到O E F.平移后，如果四边形ABFQ的周长是22cm,那么平移的距离应该是cm.B EF5.（2021 上海徐汇 七年级阶段练习）如图，三角形COD和三角形4 0 8 是等边三角形，三角形B O D 绕点、O顺时针旋转后得三角形AOC,ZBAC为 45度，则/E 8 4 =度.6.（2021上海市培佳双语学校七年级期中）用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 cm.7.（2019上海浦东新七年级期末）已知NAOB=30。，点 P 在NAOB的内部，点与点尸关于。8 对称，点心与点P 关于Q4对称，若 OP=5,则 片 1=.8.（2019 上海市民办新竹园中学七年级期中）在 A B C中，NC=60。,BC=6,AC=4,A D是高,将 ACO沿着4。翻折，点 C 落在点E 上，那么BE的长是；9.（2018.上海.华东理工大学附属中学七年级阶段练习）在同一平面内，将一副直角三角板ABC和 EDF如图放置（/C=6 0。，/F=4 5。），其中直角顶点D 是 B C的中点，点 A 在 DE上，则 N C G F=.10.（2021上海嘉定.七年级期末）在等边三角形ABC的两边A 8、4 c 所在直线上分别有两点、M、N ,P 为 A4BC外一点，且 NM/W=60,ZBPC=120,BP=C P.探究；当点 M、N 分别在直线A 3、AC上移动时，BM,NC,MN之间的数量关系.N图图图(1)如图，当点M、N在边A 3、4 C上,且 PM=PN 时，试说明 MN=8W+C7V.(2)如图，当点M、N 在边A B、AC上,且PA/X P N时，M N =B M +C N 还成立吗?答：(请在空格内填“一定成立”“不一定成立 或一定不成立”).如图，当点M、N分别在边A 3、C 4的延长线上时，请直接写出BM,NC,M N 之间的数量关系.11.(2021上海市向东中学七年级期末)如图，在等边 ABC中，边AB=6厘米，若动点P从点C开始，按C-B-A-C的路径运动，且速度为I厘米/秒，设点P的运动时间为秒.(1)当U 3秒时，判断A尸与8C的位置关系，并说明理由.(2)当APBC的面积为AABC面积的一半时，求f的值.(3)另有一点Q,从点C开始，按CTATBTC的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当f为何值时，直线尸。把 A B C的周长分成相等的两部分.1 2.（2 0 2 1 上海市市西初级中学七年级期末）在A45C中，Z A =9 0。，/8 C 4 =3 0,以 8 C、A C为边向AABC外作等边 B C D 和等边AACE.（1 汝n 图 1,连接A 、BE,与 B E 相交于点O.图1说明A ）=8E的理由.N A Q 3=（直接填答案）（2）如图2,连接。E,交 8 c 于点尸，。尸与E 尸相等吗？为什么？图21 3.（2 0 2 1 上海市培佳双语学校七年级期中）如图，已知。是等边三角形ABC内一点，。是线段8。延长线上一点，且。=。4,ZA O f i=1 2 0,求NBDC的度数.课后作业1 4.（2 0 2 1.上海市久隆模范中学七年级期末）如图，AA O 3是 C O D 绕点。逆时针方向旋转6 0。后所得的图形，点C恰好在A 8 上，Z A O D =1 3 0,则/D的度数是（）.A.4 0 B,5 0 C.6 0 D.7 0 1 5.（2 0 2 1 上海闵行七年级期末）如图，已知点8、C、E在一直线上，A A B C s A）C E都是等边三角形，联结AE和 B D,AC与 8。相交于点F,A E与。C相交于点G,下列说法不一定正确的是（）A.B D =A E B.A F =F DC.E G =F DD.F C =G C1 6.（2 0 1 9.上海长宁.七年级期末）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）A.含6 0。角的两个直角三角形 B.腰对应相等的两个等腰三角形C.边长均为5厘米的两个等边三角形 D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形1 7.（2 0 2 1 上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知等边AA B C中，点。为边BC上一点,延长A C至点E,使 得 C E=B D,联结E D并延长交边4 8 于点F,联结AD,若Z Z M B =a,则/E的度数为（用含a 的式子表示）.E18.（2021上海杨浦七年级期末）如图，已知直线4，等边三角形A8C的顶点4、C分别在直线卜4上，如果边AB与直线4的夹角Nl=26。，那么边BC与直线4的夹角N2=_19.（2021.上海闵行.七年级期末）在AM C 中，如果=Z4=Z C,那么A/R C 的形状为.20.（2021上海浦东新七年级期末）在R d ABC中，Z C=9 0,将这个三角形折叠，使点8与点A重合，折痕交边A B于点M,交8C于点N,如果B N=2 N C,那么Z A B C=_度.21.（2021上海七年级期末）若把一个边长为2厘米的等边AABC向右平移。厘米，则平移后所得三角形的周长为 厘米.22.（2018上海金山,七年级期末）如图，已知AABC是等边三角形，。为8 c延长线上一点，CE平分NACD,CE=BD,A D =1,那么AE的长度是.E23.(2021上海市久隆模范中学七年级期末)如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是边A B、AC上的动点且4 5 =C E,连接。C、B E,记交点为F,试问。C、8E所成的N8FC的大小有无变化？说明理由.24.(2021.上海市徐汇中学七年级期末)如图，点。是等边AABC边8 4延长线上一点,BC/AE,S.BD=A E,联结 C。、CE.(1)试说明：ABOC与AAEC全等的理由.(2)试说明：CDE是等边三角形的理由.25.（2021.上海华东理工大学附属中学七年级期末）如图，Z1=Z 2,AD=AE,AB=ZACE,且 8、C、。三点在一条直线上，若 NB=60。.（1）A84。与VC4E是否全等，请说明理由.（2）A45C是否是等边三角形，如果是.请说明理由.CE=AC+CZ）是否成立，如果成立请说明理由.26.（2020 上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末）如图，已知，aABC和aADE都是等边三角形，连接BD、CE.（1）说明3。=支 的理由；（2）延长B D,交 C E于点F,求NBFC的度数.2 7.如图，等边 A B C 中，点。在边A C 上，CE/AB,且 CE=AD,（1）O B E 是什么特殊三角形，请说明理由.（2）如果点。在边A C 的中点处，那么线段8 c 与 O E 有怎样的位置关系，请说明理由.第 14讲-等边三角形学习目标i .理解等边三角形是特殊的等腰三角形，是轴对称性图形;2 .掌握等边三角形的性质，能够较熟练地利用“等边对等角”及有关特征解决相关问题;“生互动探索（以提问的形式回顾）1 .等边三角形性质有哪些？（1）具备等腰三角形的左右性质（2）等边三角形的三条边都相等，三个内角都等于60。2 .等边三角形的判定：（I）三条边相等的三角形是等边三角形（2）三个内角相等的三角形是等边三角形（3）有一个内角是60。的等腰三角形是等边三角形小练习1 .延长等边4 4 3 C 的 边 到。，使 C ）=BC,那么4 4 8 0 是（）A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形2 .如图，在 4 4 8 C 中，ZC=1 2 0 ,/A =4 5。，。在 B C 上,直线A D将这个三角形分成两个等腰三角形，则NCD 4的度数是（）3.下列说法中错误的是（）B、3 0。、1 5A、等腰三角形是锐角三角形8、等腰直角三角形是直角三角形C、等边三角形是等腰三角形。、等边三角形是锐角三角形4.。是等边/B C 边 AC 上一点，Z A C E=A ABD,CE=B D,则是（）A、钝角三角形 B、直角三角形 C、任意等腰三角形 D、等边三角形5.如图，zMBC和/C A E 均为等边三角形，4、E、O 在同一直线上，且NEBO=62。，则/AEB的度数是（）A、112 B、122 C、132 D、128参考答案：1、4；2、8；3、A；4、D；7 L精讲提升（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例 1.如图，A、B、C 三点在一直线上，分别以A3、BC为边在A C同侧作等边A45D和等i i A B C E,联结 AE,C D。问题1 ：试说明AE=C D的理由。解析：证明448如。8 c （S4S）试一试：1.如图把 BCE绕点B 顺时针旋转，如下图，当A、B、C 不在一条直线上时，试说明AE=8 的理由D解析：证明448E丝/。BC(SAS)2.如图把 BCE绕点8 逆时针旋转，如下图，使 E 落在边8。上，试说明AE=C。的理由解析：证明4 D B C (S AS)3.如图把ABCE绕点B 逆时针旋转，如下图，使 C 落 在 边 匕 试说明AE=C的理由解析：&A A B E A D B C(SAS)问题5：如下图，A、B、C 三点在一直线上，分别以AB、BC为边在A C同侧作等边448。和等边/8 C E,联结AE,CD,MN,判定 MBN的形状以及MN和 AC的位置关系。DE解析：先证明448E丝/。8c（SAS）得至叱再证明448M也/Z）BN（ASA）得至lj BM=BN,所以 MBN为等边三角形,MN/AC例2.如图，在4 ABC中，已知AB=A C,点。、E、尸分别在边BC、A C,A B k,且3D=CE,A F D E Z B.（1）说明 B F D 与 CDE全等的理由.（2）如果 ABC是等边三角形，那么。石 尸是等边三角形吗？试说明理由.解：（1）记 NEDC=N1,ZDFB=Z2.因为NEDC=N2+NB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）,即 N1+N F D E =N 2+Z B.又因为NHE=N8（已知），所以N1=N2（等式性质）.因为A3=AC（已知），所以 4=NC（等边对等角）.在4 8尸。和 CDE中，Z1=Z2,NB=NC,8O =CE（已知），所以 B F D W L C D E （AAS）,（2）因为 B F D O C D E,所以D F=D E （全等三角形的对应边相等）.因为 ABC是等边三角形（已知），所以NB=60（等边三角形的每个内角等于60。）.因为NFDE=/B （已知），所以NEDE=60（等量代换）.所以 D E F是等边三角形（有一个内角等于6 0 的等腰三角形是等边三角形）.例 3.如图，O 为等边 448C 内一点，DB=DA,BE=AB,/D B E=N D B C,求/B E。的度数。解析：联结。C,先证明/C D/SCO（SSS）得到/A CQ=/8C O=30。3iiEH|AEBDACBD（SAS）得至Ij/BEO=/8CQ=30人 达 标PK1.（2021 上海市风华初级中学七年级期末）下列说法中，正确的有（）都含有70。的两个直角三角形一定全等；都含有100的两个等腰三角形一定全等；底边相等的两个等腰三角形一定全等；边长都为10c机的两个等边三角形一定全等；如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等.A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可得到结果.【详解】解：都含有70。的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以错误；都含有100的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以错误；底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以错误：边长都为lOcw的两个等边三角形一定全等；因为根据SSS或 A4S或 SAS或 ASA可以判定两个三角形全等，所以正确；如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等.因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据SAS或 AAS或 4sA可以判定两个三角形全等，所以正确；所以正确的有这2 个.故选：C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键.2.（2020上海市第十中学七年级阶段练习）在下列命题中：有一个外角是120。的等腰三角形是等边三角形；有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；三个外角都相等的三角形是等边三角形.正确的命题有（）A.4 个【答案】CB.3 个C.2 个D.1 个【解析】【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形：三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题.【详解】解：因为外角和与其对应的内角的和是1 8 0,已知有一个外角是120,即是有一个内角是 60。，有一个内角为60。的等腰三角形是等边三角形.该结论正确；两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形.该结论错误；等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形.该结论错误；三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，正确的命题有2 个，故选：C.【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题.3.（2021上海市文来中学七年级期中）.如图所示，已知 ABC和 BDE都是等边三角形，下列结论：AE=CD；BF=BG；BH平分NAHD；ZAHC=60；ABFG是等边三角形；FGA D,其中正确的有（）【答案】D【解析】【详解】:ABC与4 BDE为等边三角形,；.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60,，/A B E=/C B D,即 AB=BC,BD=BE,ZABE=ZCBD.,.ABEACBD,；.AE=CD,ZBDC=ZAEB,又；/DBG=/FBE=60,.,.BGDABFE,，BG=BF,NBFG=NBGF=60。，.BFG是等边三角形，；.FGAD,VBF=BG,AB=BC,ZABF=ZCBG=60,.ABFACGB,；./B A F=/B C G,ZCAF+/ACB+NBCD=ZCAF+ZACB+ZBAF=60+60=120,NAHC=60。，,/Z FHG+Z FB G=120+60=180,；.B、G、H、F 四点共圆，VFB=GB,NFHB=NGHB,；.BH 平分NGHF,/.题中都正确.故选D.点睛：本题主要考查对等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.4.（2020上海市徐汇中学七年级阶段练习）如图，将边长为6cm的等边AABC沿 3 c 边向右平移得到 平移后，如果四边形ABFD的周长是22cm,那么平移的距离应该是B EF【答案】2【解析】【分析】根据平移的性质，得AO=C/；根据等边三角形的性质，得/1B=5 C=所=OF=6 c m,结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案.【详解】根据题意，得：A B=B C=E F =D F =6cm,A D =CF：.四边形 ABFD 的周长=A8+8C+C尸 +尸 +A。=2AO+18cm=22cm，A D =2cm故答案为：2.【点睛】本题考查了等边三角形、平移的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、平移的性质，从而完成求解.5.（2021上 海徐汇七年级阶段练习）如图，三角形COO和三角形AOB是等边三角形，三角形B O D绕点。顺时针旋转后得三角形AOC,NBAC为45度，则NEBA=一度.【答案】75【解析】【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质进行解答即可.【详解】解：如图，,/AOB是等边三角形，:.ZOAB=ZOBA=G O0,MO D 绕点。顺 时 针 旋 转 后 得,.Z O A C =Z O B DtZOAB+ZOBA=1 2 OQ=ZCAB+ZABE,vZBAC=45,:.ZABE=75,故答案为：75.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握旋转后的对应角相等是解本题的关键.6.（2021.上海市培佳双语学校七年级期中）用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 cm.【答案】4【解析】【分析】根据等边三角形的定义“三条边都相等的三角形 即可求出答案.【详解】根据等边三角形的三条边相等可知其边长=12+3=4cm.故答案为：4.【点睛】本题考查等边三角形的定义.掌握其定义是解答本题的关键.7.（2019上海浦东新七年级期末）已知/4。3=30。，点 P 在 ZAOB的内部，点 与点尸关于 0 5 对称，点舄与点尸关于。4对称，若0 尸=5,则 62=.【答案】5【解析】【分析】连接O P,根据轴对称的性质可得OPi=OP=OP2,ZBOP=ZBOPi,ZAOP=ZAOP2,然后求出/PQP2=2/AOB=60。，再根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形判定.【详解】解：如图，连接OP，：Pi与 P 关于OB对称，P2与 P 关于OA对称，.OP1=OP=OP2,ZBOP=ZBOP|,ZAOP=ZAOP2,.,.O PI=O P2,ZP|OP2=ZBOP+ZBOP|+ZAOP+Z AOP2=2 Z BOP+2 ZAOP-2ZAOB,/ZAOB=30,.ZP|OP2=60,.PIO P 2是等边三角形.；.PIP 2=O P 2=O P=5,故答案为：5.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握轴对称的性质求出PQP2的两边相等且有一个角是60。是解题的关键，作出图形更形象直观.8.（2019上海市民办新竹园中学七年级期中）在 ABC中，ZC=60,BC=6,AC=4,AD 是高,将 AC。沿着AZ）翻折，点 C 落在点E 上，那么BE的长是；【答案】2【解析】【分析】先解直角A A C D,得出C D=2,再根据翻折的性质得到DE=CD=2,那么由BE=BC-CD-DE即可求解.【详解】如图，在直角AACD中，V ZADC=90,ZC=60,，ZDAC=30,CD=4AC=4X4=2.2 2.将AACD沿着AD翻折，点 C 落在点E 上，.DE=CD=2,VBC=6,BE=BC-CD-DE=6-2-2=2.故答案是：2.【点睛】考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等.也考查了直角三角形的性质.9.（2018.上海.华东理工大学附属中学七年级阶段练习）在同一平面内，将一副直角三角板ABC和 EDF如图放置（/C=6 0。，N F=45。），其中直角顶点D 是 B C 的中点，点 A 在 DE上，则 N C G F=.【答案】15。【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明 ADC是等边三角形，得NEAG=1 2 0。,在 AEG中求出NAGE=15。即可解题.【详解】解：由题得：A D是直角三角形斜边中点，.A D=-B C=C D=B D2VZC=60,ZF=45,.ADC是等边三角形,.ZD AC=60,Z.ZE AG=125,，/CGF=N AG E=15.【点睛】本题考查了特殊的直角三角形，斜边中线的性质，属于简单题，证明 ADC是等边三角形是解题关键.10.(2021上海嘉定七年级期末)在等边三角形A8C的两边A 3、AC所在直线上分别有两点 用、N ,P 为AABC外一点，且 NMPN=60,ZBPC=120,BP=C P.探究；当点M、N 分别在直线AB、AC上移动时，BM,NC,MN之间的数量关系.如图，当点“、N 在边A B、A C ,且=时，试说明MN=W +CV.(2)如图，当点M、N 在边A B、4 c 上，且 PM R/W 时，M N =B M+C N 还成立吗?答：(请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”).(3)如图，当点M、N 分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM,NC,M N 之间的数量关系.【答案】(1)见解析(2)一定成立 M N =C N B M ,理由见解析【解析】【分析】(1)由 PM=PM NMPN=60。,可证得 M/W是等边三角形，又由 ABC是等边三角形，C P=B P,易证得即 BPM丝放 C 7W,然后由直角三角形的性质，即可求得3M、N C、M N之间的数量关系B M+N C=M N；(2)在 CN的 延 长 线 上 截 取 连 接 P H.可证 PBMg尸C H,即可得PM=PH,易证得NCPN=/MPN=60。，则可证得AMPNg然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立.(3)在 AC上截取CK=BM,连接PK,分别证明 B M父 C K 和ANPK且ANPM即可得到结论(1),:PM=PN,NMPN=60,是等边三角形，：ABC是等边三角形，ZA=ZABC=ZACB=60,:BP=CP,N8PC=120。，NPBC=/PCB=-(180-NBPC)=-(180-120)=30,2 2NM8P=NNCP=600+30=90,:PM=PN,BP=CP,:.Rm BPM/小 CPN(HL),N8PM=NCPN=！(1200-60)=30,BM=CN,2；.PM=2BM,PN=2CN,MN=2BM=2CN=BM+CN；(2)延长AC到，使CH=B M,连接P,山(1 )知 NPBM=NPCN=90,ZPCH=180-4 PCN=90,，NPMM=ZPCH,在 B M 和 PCH p,PB=PC /PBM =ZPCE,BM=CH:.PM=PH,ZBPM=ZCPH,.NBPM+/N PC =ZBPC-/M PN =120-60=6 0，ZCPH+/N PC =4HpN=60,:.4 P N =4M PN,在AW W 和中，PM=PH /M PN=ZHPN,PN=PN,AWW之M PN(SAS),MN=H N,;HN=CH+CN=BM+C N,:.MN=BM+C N.故答案为：一定成立.(3)MN=CN BM在 AC上截取CK=3 M,连接PK,在AP3M和APCK中,PB=PCNPBM=/PC K =9(f,BM=CK/./CK(SAS),:.PM=PK,ABPM=/CPK,NBPM+4BPN=/MPN=60,/CPK+NBPN=60；.ZNPK=ZBPC-(/CPK+力BPN)=120。-60。=60。，:.ZNPK=/N PM,在 A/VPK 和&VPM 中，PN=PN ZNPK=NNPM,PK=PMANPK丝 AATW(SAS),:.KN=MN,KN=CN-CK=CN-BM,:.MN=CN BM.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质等知识.解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.11.(2021.上海市向东中学七年级期末)如图，在等边ABC中，边AB=6厘米，若动点P从点C开始，按C-B-A-C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为秒.当U3秒时，判断A尸与3C的位置关系，并说明理由.(2)当APBC的 面 积 为 面 积 的 一 半 时，求f的值.另有一点。，从点C开始，按C-A一8一。的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当尸、。中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当(为何值时，直线尸。把4 4 B C 的周长分成相等的两部分.【答案】(1)A P _ L B C,证明见解析(2)9 秒 或 1 5 秒 三 秒或g 秒【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质即可得到结论；(2)根据等边三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论;(3)根据等边三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论.(1)解：当片3 秒时，CP=3 x l=3(c m),.,在等边A A B C 中，AB=6cm,BC=AB=6cm,二此时，P为 8C 的中点，：.AP为等边 A B C的中线，：.APBC；(2)解：.由题意得：5P B C=l sa A f l C,.当P为 AB中点时，满足题意，此时，2点运动路程为：8 C+8 P=6+3=9(c m),.”点运动时间为:9 X=9(秒);当 为AC 中点时，满足题意，此时，P点运动路程为：B C+A B+A P=6+6+3=1 5(c m),点运动的时间为：1 5+1 =1 5(秒)，综上，/的值为9 秒 或 1 5 秒；(3)解：,点P的速度为1 厘米/秒，点 Q的速度为1.5 厘米/秒，；山题意得：当0 f 4 4 时，点 P在 B C 上，点。在 4 c 上，,P C+C Q=f+1.5/=2.5/c m,PC+CQ=；(4B+AC+BC)=9(cm),/.2.5/=9,1 Q解得：r=，符合0 Y 4；当4 Y 6 时，点。在 4 8 上，点 P 在 8 c 上，.BP=(6-t)cm,B(2=(12-1.50cm,BP+BQ=(AB+AC+BC)=9(cm).1 Q.-.6-r+12-1.5r=9,解得：t=,.不符合4 /4 6,舍去；当6fW 8时，P、。都在4 8 上，不符合题意；当8 f412时，点。在 8C 上，点 P 在 A 8上，BP=(t-6)cm,BQ=(1.5f 12)cm,BP+BQ=(AB+AC+BC)=9(cm),一 6+1.5 1 2 =9,54解得：t=5 f 符合8 ，412,综上，符合条件的r 的值为：1秒 或?秒.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，动点问题的解决方法，用时间r表示出各时段的线段的长度列出方程求解是解题的关键.12.(2021上海市市西初级中学七年级期末)在A71BC中，NA=90。，ZBC4=3 0 ,以 BC、A C 为边向 ABC外作等边BCD和等边AACE.(1)如 图 1,连接A。、BE,A。与 BE相交于点O.图1说明AD=3E 的理由.Z AOB=.(直接填答案)(2汝口图2,连接。区 交BC于点、F,。尸与EF相等吗？为什么？DC图2【答案】(1)见解析；120Q)DF=EF,理由见解析【解析】【分析】(1)在等边三角形3CD和 AACE中，CB=CD,CA=CE,ZBCD=ZACE=6O,ZBCD+ZACB=ZACE+ZACB,即 ZDCA=ZBCE,证得sACBE,得至I AD=BE.设 AD 与 BC 交于 H,由CZM 三C8E得至ij ACDA=NCBE,ZCDA+ZDHC+ZDCB=180,NCBE+ZBHA+NBOH=180,ZDHC=ZBHA,ZBOH=NDCB=60,得到 ZAOfi=180-NBOH=120.(2)作EM L A C交8 c于A L交AC于N,由于8 8 和AACE是等边三角形，证得ZDCA=90,CE=A E,得到 NCEM=30。，NENC=90。,幺CB=NCEM,证得/CAB=/ECM,得 CB=EM,CD=EM,ZDCA=NENC=90,CD/ME,DCF=Z EMF,/DCF 必EMF(AAS),得到 DF=EF.(1)解：BCD和AACE是等边三角形，A CB=CD,CA=CE,NBC)=ZACE=60,NBCD+ZACB=ZACE+ZACB,即 NDC4=ZBCE,在ACAA和CBE中，CD=CB ZDCA=NBCE,CA=CEACZM sACBE(SAS),AD=B E.设4。与 8 c 交于H,如图3,图3ACZMACBE,:.NCDA=/C B E,:/LCDA+ZDHC+ZDCB=180,NCBE+NBHA+NBOH=180,NDHC=NBHA,：.ZBOH=ZDCB=60,ZAOB=180-ZBOH=120.(2)解：DF=EF；理由如下，过 E 作 EM JLAC交 BC于 M,交 AC于 M如图4,图4 8 8 和 ACE是等边三角形，；CD=CB,CA=C E=AEfZDCB=ZAEC=ZAC石=60。，*.ZACB=30,，ZDCA=ZACB+ZDCB=90,ZECM=ZACE+ZACB=90,.石 知 _ 1 4。于,CE=AE,：.ZCEM=-ZAEC=30,ZE/VC=90,2ZACB=4CEM,在CAB 和/jECM 中，Z.CAB=NECM=90=。4,2408=120。，求ZBOC的度数.【答案】600【解析】【分析】先证AAOD是等边三角形，得出A4BC是等边三角形，再证A A B O/A A C D,得ZAOB=ZADC=2Q,从而得出NBOC的大小.【详 解】VZAOB=120,A ZAOD=60,A O=O D,.AAOD是等边三角形A ZBAC=60,A B =A CABC 是等边三角形，A ZBAC=60,AB=AC，ZBAC=ZOAD,:.ZBAO+ZOAC=ZOAC+ZCADAZBAO=ZCAD在 BAO和 CAD中A O=A DZ B A O =A C A DA B =A C：.Z A O B =Z A D C =2 0/B D C =Z A D C -Z A D O =60【点 睛】本题考杳全等的证明和等边三角形的性质和证明，解题关键是证AABO丝A4CD.%课后作业14.（2021.上海市久隆模范中学七年级期末）如图，AAC是绕点。逆时针方向旋转60。后所得的图形，点C恰 好 在A 8上，ZAOD=1 3 0,则N D的 度 数 是（）.A.40 B.50 C.60 D.70【答 案】B【解 析】【分 析】先根据旋转的性质可得4 4 0。=60。,44=/0 8,。4=0。，再根据等边三角形的判定与性质可得NA=60。，从而可得/。8=60。，然后根据角的和差可得NCOD=70。，最后根据三角形的内角和定理即可得.【详解】解：由旋转的性质得：NAOC=60。,NA=NOC,OA=OC,.AA O C是等边三角形，.4 =60。，.-.ZOCD=60,vZAOD=130,ZCOD=ZAOD-NAOC=70。，=180-ZCOD-ZOCD=180-70 一 60=50,故选：B.【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键.15.（2021上 海闵行七年级期末）如图，已知点8、C、E 在一直线上，AABC、A）C E都是等边三角形，联结AE和 3D,AC与 3 0 相交于点F,AE与。C 相交于点G,下列说法不一定正确的是（）A.BD=AE B.AF=FD C.EG=FD D.FC=GC【答案】B【解析】【分析】利用等边三角形的性质和“SAb 证明ACE丝BCD可得A 选项；可利用“ASA”证明C E G RC D F可得C、D 选项，利用排除法求解即可.【详解】解：.1、AO C E都是等边三角形，A AC=BC,ZACB=NECD=60。,CE=CD,：.ZACB+ZACD=ZECD+ZACD,即 ZACE=ZBCD,.,.ACE/BCD（SAS）,.8O=A E,（故 A 正确）；ZA EC=ZBDC,又 ZAC3=ZEC）=ZAC=60,CE=CD,:.AC E G C D F（ASA）,：.EG=FD,（故 C 正确），FC=GC,（故 D 正确）由于B 项不能由已知条件得到，故 B 错误，故 选:B.【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键.16.（2019上海长宁七年级期末）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）A.含60。角的两个直角三角形 B.腰对应相等的两个等腰三角形C.边长均为5 厘米的两个等边三角形 D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形【答案】C【解析】【分析】综合运用判定方法判断.根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证.【详解】解：A.两个含60。角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；B.腰对应相等的两个等腰三角形，夹角不一定相等，所以不是全等形；C.等边三角形的每个内角都等于60。，所以边长均为5 厘米的两个等边三角形，各条边相等，各个角也相等，是全等三角形；D.一个钝角相等的两个等腰三角形.缺少对应边相等，不是全等形.故选C【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，还要找准对应关系.17.（2021上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知等边AM C