2021年中考模拟考试《数学试题》含答案解析.pdf

数学中考综合模拟检测试题学校 班级 姓名 成绩一.选择题1.-3 的倒数是（）A.-B.-33C.3D.132.2019年 10月 1 日在北京天安门广场举行隆重的国庆70周年庆祝活动，在阅兵和群众游行活动中，共有约15万 人 参 加.则 15万用科学记数法表示为（）A.1.5x10 B.15xl043.下列运算正确的是（）A.（a2）3=a5C.（a+b）2=a2+b24.下列图标中，不是中心对称图形 是（）C.1.5xl05 D.1.5X1065.某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了 35名学生，调查结果列表如下:锻炼时间/h5678人数615104则这35名学生在校一周体育锻炼时间 中位数和众数分别为（）A.6h,6h B.6h,15h C.6.5h,6h D.6.5h,15h6.如图是由5 个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）A.B.c.D.7.一 个透明的袋中只装有2 个红球和3 个蓝球，它们除颜色外其余均相同，现随机从袋中摸出两个球、颜色是一红一蓝的概率是（）1 3 3 12A.-B.C.D.6 5 10 258.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中（）A.没有一个角是锐角B.每一个角都钝角或直角C.至少有一个角是钝角或直角D.所有角都是锐角9.如图，圆中两条弦AC,BD相交于点P.点 D 是 A C 的中点，连结AB,BC,C D,若 B P=6，AP=1,PC=3.则 线 段 CD的 长 为（）A.V6 B.2 C.73 D.7510.如图,AC,BD 为四边形 ABCD 的对角线,ACBC,ABAD,CA=CD.若 tanZBAC=.则 tan/DBCr577 口 百14 511.如图，梯形ABCD被分割成两个小梯形，和一个小正方形，去掉后，和可剪拼成一个新的梯形，若 EF-AD=2,BC-E F=1,则 A B 的 长 是（）A.6B.3 6 C.9 D.371012.如图，圆心为M 的量角器的直径的两个端点A,B 分别在x 轴，y 轴正半轴上（包括原点O）,AB=4.点P,Q 分别在量角器60。，120。刻度线外端，连结M P.量角器从点A 与点Q 重合滑动至点Q 与点O 重合的过程中，线段MP扫过的面积为（）。护A.尹+G二.填空题13.因式分解:3a2-6a=D.3 G14.在函数旷=中，自变量X 的取值范围是15.抛物线y=x2+4x+5向右平移3 个单位，再向下平移4 个单位所得抛物线的解析式为_ _ _.16.一个底面半径是3cm的圆锥，其侧面展开图是圆心角为135。的扇形，则这个圆锥的侧面积为 cm2.17.如图，点 D 是 RtABC斜边A B 的中点，点 E 在边AC上.ABC与 ABC关于直线BE对称，连结A C.且NCAC=90。.若 AC=4,B C=3.则 AE 的长为.B C1418.如图，直线y=-u x+2 分别与x 轴，y 轴交于点A,B,点 C 是反比例函数y=的图象在第一-象限内2x一动 点.过 点 C 作直线C D L A B.交 x 轴于点D,交 AB于点E.则 CE：DE的 最 小 值 为.三.解答题x-1 2 r+119.解不等式 +1-.并把此不等式的解表示在数轴上.2 3j-1|I-1 I-3-2-1 0 1 2 320.如图，在 6 x 5 网 格（小正方形边长为1）中，RtZABC的三个顶点都在格点上.（1）在网格中，找到格点D,使四边形ACBD的面积为1 0,并画出这个四边形.（2）借助网格、只用直尺（无刻度）在 AB上找一点E,使aA EC 为等腰三角形，且 AE=AC.21.某初中为加强学生体质，开展了足球，排球、篮球三门拓展性课程以供学生选择，每位学生必须在三项中选择一项进行报名；选课结束后，将八年级学生选课结果绘制成了如下所示的两个统计图（部分信息未给出），已知该校八年级男生人数比女生多15人，女生选择排球人数是男生选择排球人数的3倍.八年级男15屋 性 课 曲 磁 计 图 八 年 展 性 课 计 图（1）求该校八年级女生人数.（2）补全条形统计图.（3）小甬经过计算，发现八年级学生选择足球的人数占八年级学生总人数的三分之一.小甬就认为全校有三分之一的学生选报了足球.你认为小甬的想法合理吗？为什么？22.小甬工作的办公楼（矩形ABCD）前有一旗杆MN,M N D N,旗杆高为12m,在办公楼底A 处测得旗杆顶的仰角为30。，在办公楼天台B 处测旗杆顶的仰角为45。，在小甬所在办公室楼层E 处测得旗杆顶的俯角 为 15.(1)办公楼的高度AB：(2)求小甬所在办公室楼层高度AE.23.如图，以 口 ABCD的边BC为直径的。交对角线AC于点E,交 CD于点F.连结B F.过点E 作 EG_LCD于点G,EG是。的切线.(1)求证：QABCD是菱形;求 CF的长.24.为推广劳动教育，美化校园环境，学校决定在农场基地铺设一条观景小道.经设计，铺设这条小道需A,B 两种型号石病共200块.已 知：购买3 块 A 型石砖，2 块 B 型石砖需要110元；购买5块 A 型石砖，4 块B 型石砖需要200元.(1)求 A,B 两种型号石砖单价各为多少元？(2)已知B 型石砖正在进行促销活动：购买B 型石砖数量在60块以内(包括60块)时，不优惠；购买B型石砖数量超过60块时，每超过1块，购买的所有B 型石砖单价均降0.05元，问：学校采购石砖，最多需要多少预算经费？25.若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图，AD是4A B C 的角平分线，当 AD=AB时，贝 ijZiABC是“弱等腰三角形”,线段AD 是AABC的“弱线”.(1)如图，在aA B C 中.ZB=60,Z C=4 5.求证：AABC是“弱等腰三角形”;(2)如图，在矩形ABCD中，AB=3,B C=4.以 B 为圆心在矩形内部作A E，交 BC于点E,点 F 是 AE上一点，连结C F.且 CF与A E 有另一个交点G.连结B G.当 BG是4BCF的“弱线”时，求 CG的长.(3)已知AABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且 AB=3 B D,求 AC：BC的值.26.如图，点 G 是等边三角形AOB的外心，点 A 在第一象限，点 B 坐标为(4,0),连结O G.抛物线y=ax(x-2)+1+6的顶点为P.(1)直接写出点A 的坐标与抛物线的对称轴；(2)连结O P,求当NAOG=2NAOP时 a的值.(3)如图，若抛物线开口向上，点 C,D 分别为抛物线和线段AB上的动点，以CD为底边构造顶角为120。的等腰三角形CDE(点 C,D,E 成逆时针顺序)，连结GE.点Q 在 x 轴上，当四边形GDQO为平行四边形时，求 GQ的值:当GE的最小值为1时，求抛物线的解析式.答案与解析一.选择题1.-3的 倒 数 是()11A.B.-3 C.3 D.一33【答案】A【解析】【分析】根据倒数的概念直接写出即可.【详解】-3的倒数是一!，3故选A.【点睛】本题是对倒数的考查，熟练掌握倒数知识是解决本题的关键，难度较小.2.2019年10月1日在北京天安门广场举行隆重的国庆70周年庆祝活动，在阅兵和群众游行活动中，共有约15万 人 参 加.则15万用科学记数法表示为()A.1.5x10 B.15xl04 C.1.5xl05 D.1.5xl06【答案】C【解析】【分析】科学记数法表示形式为ax 10的形式，其 中 肾间10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值多0时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数.【详解】15万用科学记数法表示为1.5x105.故选：C.【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的应用.3.下列运算正确的是()A.(a2)3=a5 B.a84-a4=a2C.(a+b)2=a2+b?D.(a-b)(a+b)=a2-b2【答案】D【解析】【分析】分别根据累的乘方运算法则，同底数幕的除法法则以及完全平方公式，平方差公式逐一判断即可.【详解】A.(a2)3=a 6,故本选项不合题意；B.a8a4=a4,故本选项不合题意；C.(a+b)2=a2+2ab+b2,故本选项不合题意；D.(a-b)(a+b)=a2-b2,故本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查幕的乘方运算法则、同底数基的除法法则、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握幕的乘方运算法则、同底数基的除法法则、完全平方公式和平方差公式.4.下列图标中，不是中心对称图形的是()BQ C&D 骁【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解.【详解】A、是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B.【点睛】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键是掌握中心对称图形的概念.5.某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了 35名学生，调查结果列表如下：锻炼时间/h5678人数615104则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为()A.6h,6h B.6h,15h C.6.5h,6h【答案】A【解析】【分析】直接利用众数和中位数的概念求解即可得到答案.【详解】解：锻炼6h的人人数最多，D.6.5h,15h这组数据的众数为6 h,又 调查总人数为3 5 人，中位数为第1 8 个数据，即中位数为6 h,故选：A.【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念.6.如图是由5 个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）正面【解析】【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案.【详解】从前往后看，该几何体从左至右有3 歹 I J,第 1 列 有 1 个正方形，第 2 列有2 个正方形，第 3 列 有 1个正方形，故选A.【点睛】小正方体组合体三视图的判断方法:（1）找准所判断视图的观察方向;（2）从视图的观察方向看几何体:判断主视图时，从前往后看，几何体从左往右有X列，每一列最高有层，对应到主视图中即有X列，每一列即有y个正方形，并注意正方形的摆放位置;判断左视图时，从左往右看，几何体从左往右有机列，每一列最高有层，对应到左视图中即有加歹U,每一列即有个正方形，并注意正方形的摆放位置;判断俯视图时，从上往下看，几何体从前往后有。行，每一行有b个，对应到俯视图即有。行，每行有6个正方形，并注意正方形的摆放位置.7.一个透明的袋中只装有2个红球和3个蓝球，它们除颜色外其余均相同，现随机从袋中摸出两个球、颜色是一红一蓝的概率是（）1 3 3 12A.-B.-C.D.6 5 10 25【答案】B【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色是一红一蓝结果数，再利用概率公式计算可得.【详解】列表如下：红红红蓝蓝红红红红红红蓝红蓝红红红红红红蓝红蓝红红红红红红蓝红蓝蓝蓝红蓝红蓝红蓝蓝蓝蓝红蓝红蓝红蓝蓝由表知共有20种等可能结果，其中这两个球颜色是一红一蓝有12种结果，所以这两个球颜色是一红一蓝概12 3率=三=，故选：B.【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是掌握列表法求概率.8.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中（）A.没有一个角是锐角B.每一个角都是钝角或直角C.至少有一个角是钝角或直角D.所有角都是锐角【答案】D【解析】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.【详解】用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角时第一步应假设:四边形中所有角都是锐角.故选：D.【点睛】本题考查反证法和四边形内角和，解题的关键是掌握反证法和四边形内角和.9.如图，圆中两条弦AC,BD相交于点P.点D是A C的中点，连结AB,BC,C D,若BP=6，AP=1,P C=3.则线段CD的 长 为（）A.76 B.2 C.V3 D.y/5【答案】A【解析】【分析】连 接0D交AC于H,如图，先利用垂径定理得到OD_LAC,A H=C H=2,则P H=1,再根据相交弦定理计算出PD=6，然后利用勾股定理先计算出D H,在计算CD即可得到答案.【详解】解：连接0D交AC于H,如图，.,点D是A C的中点，A0D1AC,AH=CH=2（垂径定理）,：APPC=BPPD,APD在 R tPD H 中，D H=4 6）_ 甘=&（勾股定理），在 RtaD C H 中，CD=J（可+2?=#（勾股定理），故选：A.【点睛】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.也考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键.10.如图,AC,BD 为四边形 ABCD 的对角线,AC_LBC,AB J_AD,CA=CD.若 tanZBAC=.则 tanZDBC3的 值 是（）A.叵 B,1 C.亚 D.立14 3 14 5【答案】D【解析】【分析】根据ta n/B A C=Y 3,得出NBAC的度数，则在RtZACB中，设 B C=1,则 A C=J ；证明ACAD为等3边三角形，过点D 作 D E L C A,交 CA于点E,设 CA与 BD交于点F,则 DEB C,从而/D B C=/F D E,设 C F=x,则 E F=W -x,根据tan/D B C=tan/FD E 列出关于x 的方程，解得x 值，则可求得tan/DBC2的值.【详解】VtanZBAC=,3ZBAC=30,VACBC,.ZACB=90,设 B C=1,则 A C=G，VAB1AD,NBAD=90。，.ZDAC=60,VCA=CD,CAD为等边三角形，过点D 作 D E L C A,交 CA于点E,设 CA与 BD交于点F,如图,I/7/7 3则有：CE=AC=2 0)只有一个交点时，一最小，设AC的AE x DEy=kx-4k/4解析式为丫=10；-4 匕 则 4 消去y 整理得至(J kx?-4kx-4=0,当 AC与双曲线一(x 0)只有y=-xI X一个交点时，=16k2+16k=0,解得k 的值，即可求得AC的解析式，进而求得C,D、E 的坐标，然后根据平行线分线段成比例求得CE：DE的最小值为：.【详解】解：如图，连接AC,.,直线丫=-；x+2分别与x 轴，y 轴交于点A,B,.A(4,0),B(0,2),；CD_LAB,./A E D=/A O B=90。，./D A E=N BA O,.ADEAABO,.DE BO IAEAO 2CE 2CE-=-=2tanNCAE,DE AE4CE,当NCAE最小，即 AC与双曲线一(x 0)只有一个交点时，最小,xDEy=kx-4k设 AC的解析式为y=kx-4 k,则 0)只有一个交点时，=161?+161=0,解得k=-1或 k=0(舍去),xA C 解析式为y=-x+4,y=-x+4解|4y=一l X得【答案】X 0,见解析【解析】【分析】先去分母再去括号移项合并，最后系数化为1,可解不等式，再在数轴上表示出解集即可.【详解】解：去分母得：3(x-1)+62(2x+l),去括号得：3x-3+64x+2,移项合并同类项得：-xN-1,故不等式的解集为：x-3 -2-1 0 1 2 3【点睛】本题主要考查解不等式并在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键.20.如图，在 6x5的 网 格（小正方形边长为1）中，RtABC的三个顶点都在格点上.（1）在网格中，找到格点D,使四边形ACBD的面积为1 0,并画出这个四边形.（2）借助网格、只用直尺（无刻度）在 AB上找一点E,使AAEC为等腰三角形，且 AE=AC.【答案】（1）见解析：（2）见解析【解析】【分析】（1）根据网格，即可找到格点D,使四边形ACBD的面积为1 0,并画出这个四边形；（2）借助网格、只用直尺即可在AB上找一点E,使AAEC为等腰三角形，且 AE=AC.【详解】（1）在点B 上方两格处找到格点D,连接D A,如图，此时 S 四 边 形ADBC=SAABD+SAABC=X2X4+、X4X3=102 2四边形ACBD即为所求；（2）连接DC与 A B交于点E,点 E 即为所求.如图，【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质.21.某初中为加强学生体质，开展了足球，排球、篮球三门拓展性课程以供学生选择，每位学生必须在三项中选择一项进行报名；选课结束后，将八年级学生选课结果绘制成了如下所示的两个统计图（部分信息未给出），已知该校八年级男生人数比女生多1 5 人，女生选择排球人数是男生选择排球人数的3 倍.八 年 级 更 切 星 性 课 计 图 八 年 J 5 展 性 课 计 图（1）求该校八年级女生人数.（2）补全条形统计图.（3）小甬经过计算，发现八年级学生选择足球的人数占八年级学生总人数的三分之一.小甬就认为全校有三分之一的学生选报了足球.你认为小甬的想法合理吗？为什么？【答案】（1）该校八年级女生人数为7 5 人；（2）见解析；（3）不合理，见解析【解析】【分析】（1）先根据题意算算出选择排球的女生的人数，再用选择排球的女生人数除以所占的百分比即可得到八年级女生总人数；（2）用女生人数加1 5 得到八年级男生总人数，再用男生总人数减去选足球和排球的人数即可得到选篮球的人数，再补全条形统计图即可；（3）根据样本只选择了八年级，不具有代表性即可得到结论.【详解】解：（1）女生选择排球人数是男生选择排球人数的3 倍，根据条形图得到女生选择排球的人数为：（1 5 x3）人,用女生选择排球的人数除以所占的百分比得到八年级女生总人数为：（1 5 x3）-6 0%=7 5 （人），答：该校八年级女生人数为7 5 人；（2）根据题意，结合（1）的结果得到：八年级男生选择篮球人数为7 5+1 5 -4 0-1 5=3 5 （人），补全条形统计图如图所示；八 年 骸15星性课计图八年 展性课计图（3）不合理，因为样本只选择了八年级，不具有代表性.【点睛】本题主要考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题.22.小甬工作的办公楼（矩形ABCD）前有一旗杆MN,M N D N,旗杆高为12m,在办公楼底A 处测得旗杆顶的仰角为30。，在办公楼天台B 处测旗杆顶的仰角为45。，在小甬所在办公室楼层E 处测得旗杆顶的俯角 为 15。.（1）办公楼的高度AB；（2）求小甬所在办公室楼层的高度AE.【答案】（1）办公楼的高度A B 为（12+1273）m；（2）小甬所在办公室楼层的高度A E 为（2 4 6 -24）m【解析】【分析】（1）过点M 作 MH_LAB于点H,可得四边形MNAH是矩形，再根据锐角三角函数即可求出办公楼的高度AB；a（2）过点 E 作 EQ_L AM 于点 Q,设 A E=x,则 A Q=xcos60=昼 x,M Q=EQ=xsin60=x,由 AM=2 M N=2 4,列出方程即可求出小甬所在办公室楼层的高度AE.【详解】（I）如图，过点M 作 M H LA B 于点H,VMN1DN,ZBAN=90,四边形MNAH是矩形，AH=MN=12,MHANBC,J ZAMH=ZMAN=30,在 RtZ人 iAMH q中，M H=-A-H-=12Vr3，tan 30VZBM H=45,.B H=M H=1 2 5 AB=AH+BH=12+1273.答：办公楼的高度AB为(12+1273)m.(2)过点E 作 EQ 1AM 于点Q,由(1)得，ZEAQ=60,，ZEMQ=180-ZEAM-ZAEM=180-60-75=45,设 A E=x,则 AQ=xcos600=g x,MQ=EQ=x*sin60=邑 2由 AM=2MN=24,x V3 4-x=24,2 2解得 x=246-24(m).答：小甬所在办公室楼层的高度AE为(24后-24)m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义.23.如图，以。ABCD的边BC为直径的。O 交对角线AC于点E,交 CD于点F.连结B F.过点E 作 EG_LCD于点G,EG是。O 的切线.(1)求证：=ABCD是菱形；(2)已知 EG=2,D G=1.求 CF 的长.【解析】【分析】(1)如图，连接O E,根据切线的性质得到OE_LEG,根据平行四边形的性质得到OECDA B,推出AB=B C,于是得到结论；(2)如图，连接B D,由(1)得，CE：AC=1：2,得到点E 是 AC的中点，根据圆周角定理得到BFLCD,根据相似三角形的性质得到DF=2,B F=4,由勾股定理即可得到结论.【详解】(1)证明：如图，连接OE,：EG是。O 的切线，AOEIEG,VEG1CD,四边形ABCD是平行四边形，；.OECDAB,.*.ZCEO=ZCAB,VOC=OE,N CEO=NECO,NACB=/C AB,；.AB=BC,A B C D 是菱形；(2)如图，连接BD,由(1)得，OECD,OC=OB,；.AE=CE,ACE：AC=1：2,.点E 是 AC的中点,.四边形ABCD是菱形,；.BD经过点E,；BC是。O 的直径，BF_LCD,EG _LCD,；.EGBF,.,.DGEADFB,ADG：DF=GE：BF=DE：BD=1：2,，DF=2,BF=4,在 RtZBFC 中，设 C F=x,则 BC=x+2,由勾股定理得，X2+42=(X+2)2,解得：x=3,；.CF=3.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键.24.为推广劳动教育，美化校园环境，学校决定在农场基地铺设一条观景小道.经设计，铺设这条小道需A,B 两种型号石砖共200块.已 知：购买3 块 A 型石砖，2 块 B 型石砖需要110元；购买5 块 A 型石砖，4 块B 型石砖需要200元.（1）求 A,B 两种型号石砖单价各为多少元？（2）已知B 型石砖正在进行促销活动：购 买 B 型石砖数量在60块 以 内（包括60块）时，不优惠；购买B型石砖数量超过60块时，每超过1块，购买的所有B 型石砖单价均降0.05元，问：学校采购石砖，最多需要多少预算经费？【答案】（1）A,B 两种型号石砖单价分别为20元，25元；（2）学校采购石砖，最多需要4320元预算经费【解析】【分析】（1）设 A,B 两种型号石砖单价分别为x 元，y 元，根据“购买3 块 A 型石砖，2 块 B 型石砖需要110元；购买3 块 A 型石砖，4 块 B 型石砖需要200元“列方程组解得即可；(2)设购买B型石砖m 块，采购石所需费用为W 元，结合m 的范围得出W 与 m 的关系式，利用一次函数的性质解答即可.【详解】解：(1)设 A,B两种型号石砖单价分别为x 元，y 元，3x+2y=1105x+4y=200fx=20解答y=25.A,B两种型号石砖单价分别为2 0 元,2 5 元.(2)设购买B型石砖m 块，采购石所需费用为W 元，当 0 m 6 0 时，W=2 0 (2 0 0 -m)+2 5 m=5 m+4 0 0 0,可知，当 m=6 0 时，W 报 人=4 3 0 0 元；当 6 0 V m s 2 0 0 时，W=2 0 (2 0 0 -m)+m 2 5 -0.0 5 (m-6 0)=-0.0 5 m2+8 m+4 0 0 0=-0.0 5 (m-8 0)2+4 3 2 0,可知，当 m=8 0 时，W*火=4 3 2 0 元；答：学校采购石砖，最多需要4 3 2 0 元预算经费.【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组，利用方程的思想和不等式的思想解答.2 5.若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图，AD是AABC的角平分线，当 AD=AB时，则AABC是“弱等腰三角形”,线段AD是4ABC的“弱线”.A (1)如图，在AABC中.Z B =6 0 ,Z C=4 5 .求证：Z kA B C 是“弱等腰三角形”；(2)如图，在矩形A BCD中，A B=3,B C=4.以 B为圆心在矩形内部作AE，交 BC于点E,点 F是 A E上一点，连结C F.且 C F 与AE有另一个交点G.连结BG.当 BG是4BCF的“弱线”时，求 CG的长.(3)已知AABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且 A B=3 B D,求 A C：BC的值.【答案】(1)见解析；(2)2；(3)2 4：1 7【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得到/D B C=g/A B C =30。，根据三角形的内角和得到/人=180。-/人 8 0N C=1 8 0-6 0-4 5=7 5,于是得到结论；(2)如图，连接E G,根据角平分线的定义得到N FB G=N G B E,根据全等三角形的性质得到/B G F=Z B G E,根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)如图，当 AB=AD时，在 AC上取一点E,使得A E=A B,连接D E,根据角平分线的定义得到N FB G=N G B E,根据全等三角形的性质得到N B G F=/B G E,根据相似三角形的性质即可得到结论；当AC=AD时，如图，在 AB上取一点E,使 A E=A C,连接D E,同理可得结论.【详解】(1)证明：如图作AABC的角平分线B D,交 AC于 D,1ZDBC=NABC=30,2./A BC=60。，NC=45。，/A=180-ZABC-/C=180-60-45=75,ZADB=ZDBC+ZC=30+45=75,ZADB=ZA,BA=BD,/.ABC是“弱等腰三角形”；(2)如图，连接EG,BG是ABCF的“弱线”，BG平分NFBC,NFBG=NGBE,VBF=BE,BG=BG,.BGFABGE(SAS),AZBGF=ZBGE,.BG=BE,A Z B G E=Z B E G=(180-ZGBE),2A ZFGE=180-ZGBE,V ZCGE=180-ZFGE,/.ZCG E=ZCBG,VZGCE=ZBCG,/.GCEABCG,.CG _ BCCECGyV C E=4-3=1,ACG2=CE*BC=1X4=4,CG=2；(3)如图，当 AB=AD时，在 AC上取一点E,使得A E=A B,连接DE,VAD是“弱线”，AAD是4A B C 的角平分线，AZBAD=ZCAD,AD=AD,AAABDAAED(SAS),DE=BD,ZB=ZAED,VAD=AB,NB=NADB,NAED=NADB,.ZCED=18O0-ZAED,ZADC=180-ZADB,AZCED=ZADC,vzc=zc,/.ADCADEC,CE DC DE.BD 1DC AC AD A B 31 1 C E=CD,CD=AC,3 31 C E=-A C,91 3 9 C E=-A E=-B D,C D=3C E=-B D,8 8 827AC=9CE=BD,89 17BC=BD+-BD=BD,8 8AAC：BC=27：17；当AC=AD时，如图，在 AB上取一点E,使 A E=A C,连接DE,7jZ7 or 1 C D 1 17同理可得，一=一，即=一，由上面计算可得，B C=C D,A D AB 3 A C 3 8VA C=3 C D,A A C：B C=2 4：1 7.【点睛】考查了圆的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，解题关键是正确的理解题意，并灵活运用其性质和判定.2 6.如图，点G是等边三角形A O B的外心，点A在第一象限，点B坐标为(4,0),连结O G.抛物线y=a x(x-2)+1 +上 的 顶 点 为P.(1)直接写出点A的坐标与抛物线的对称轴；(2)连结O P,求当N A O G=2 N A O P时a 值.(3)如图，若抛物线开口向上，点C,D分别为抛物线和线段A B上的动点，以C D为底边构造顶角为1 2 0。的等腰三角形C D E (点C,D,E成逆时针顺序)，连结G E.点Q在x轴上，当四边形G D Q O为平行四边形时，求GQ的值；当G E的最小值为1时，求抛物线的解析式.【答案】A(2,2 6)，I；(2)-1 或(3)?y=(x-1)2+73【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可求点A坐标，由抛物线的性质可求对称轴；(2)分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求点P坐标，代入解析式可求a的值；（3）连接AG并延长AG交 OB于 H,由等边三角形外心的性质可求GH的长，由平行四边形的性质可得 GDOB,G D=O Q,由平行线分线段成比例可求GD的长，由勾股定理可求解；在0 B 上截取O M=B D,连接CM,GM,GB,MD,G D,通过证明GDES/M D C,可得必=6,GE则当GE最小值为1时，MC最小值为J 5，可得当点C 与抛物线顶点P 重合，且 CM_LOB时，CM有最小值，即可求点P 坐标，代入解析式可求解.【详解】解：（1）如图，连接AG并延长AG交 0 B 于 H,.点B 坐 标 为(4,0),.OB=4,.点G 是等边三角形AOB的外心，AAH1OB,OA=OB=4,Z AOB=60,二 /O A H=30。，.,.O H=y OA=2,A H=6 O H=2 6,.点 A(2,25,抛物线丫=2*(x-2)+1+G =ax?-2ax+l+G ,2.对称轴为：直线x=-=1;2a(2)如图，过点P 作 PN_LOB于 N,交 AO于 F,.O N=1,点G 是等边三角形AOB的外心，JO G 平分 NAOB,.ZAOG=30=ZBOG,当点P 在aA O B 内，VZAOG=2ZAOP,/.ZA O P=15=ZPO G,.ZPO N=45O,VPN1OB,NPON=NOPN=45,:.PN=ON=1,点P 坐 标(1,1),l=a (1-2)+1+5*-a=yfi,当点P 在 AOB外，同理可得N A 0P=15。，.,.ZPON=75,.,.ZO P,N=15=ZAOP,.*.OF=PF,VZAOB=60,PN_LOB,OF=2ON=2=P E F N=6(3 N=5.p，N=PF+FN=2+5 点P 坐 标 为(1,2+6 ),2+6=a (1-2)+1+3A a=-1,综上所述：a=-1或；(3)如图，连接AG并延长AG交 OB于 H,点G是等边三角形AOB的外心，.AG=2GH,0H=BH=2,A H=2 g,3V四边形GDQO为平行四边形,.GDOB,GD=OQ,.AG GD4GD，32GQ=4GH2+Q2=$羡=y ；如图，在O B上截取OM=BD,连接CM,GM,GB,MD,GD,点G是等边三角形AOB的外心，OG=GB,ZGOB=ZGBO=ZABG=30,又 OM=BD,.,.OGMABGD(SAS),MG=GD,ZOGM=ZBGD,；.NOGB=/M GD=180-30-30=120,.M D=&G D,/G D M=30。,/ACDE 中 CE=DE,NCED=120,；.CD=6 DE,NCDE=30。,./M D C=N G D E,.GDEAMDC,MCGE当 GE最小值为1时,MC最小值为J 1,二当点C 与抛物线顶点P 重合，且 CM LOB时，CM有最小值,.CM的最小值为顶点P 的纵坐标，.点P 坐 标(1,，:.上=a(1-2)+1+5抛物线的解析式为：y=x(x-2)+1+73=(x-1)2+73.【点题】考查了二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质和垂线段最短等知识，解题关键是添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形.