华科高等工程数学课后习题与答案.pdf

第一章5.计算球体积.要使相对误差限为1%,问 度 量 半 径 A 时允许的相对误差限是多少？|二 兀*一5.解&(V)=-；-与个0 R R*+*R+RR-R R_ /?-R 3/T _ R R 2 _ 1 0/R R R ijj R R =-L故R 300,12.序列；满足递推关系yn 10yn-i-1(=1.2)若 X =1.41(三位有效数字).计算到那时误差有多大?这个计算过程稳定吗？12.解 因 =J2.y；=1.41.而I y yo iW g ,10 =3.于是有I yi yi I I 10yo 1 10+1 1 10 1 yo-yo IW103.I yz yi 1 =1 lOyi 1 10yT+1 I=10 I yi yi I 10 3.类推有.I yio yio I&1010 3.即计算到力。.其误差限为10“6.亦即若在yo处有误差限为6.贝 IJ13p o 的误差限将扩大101 0倍.可见这个计算过程是不稳定的.第二章7.已知 s in(0.3 2)=0.3 1 4 567,s in(0.3 4)=0.3 3 3 4 8 7 有 6 位有效数字.(1)用线性插值求s in(0.3 3)的近似值.(2)证明在区间 0.3 2,0.3 4 上用线性插值计算s in x 时至少有 4位有效数字.7.解(1)选取 X=0.3 2 9 x i=0.3 4 x=0.3 3 代入L agr an ge线性插值多项式，得s in(o.3 3)=1(0.3 3)=耨|三 等 嗡 X 0.3 1 4 5670.3 3 -0.3 2 .A o o o Q 70.3 4-0.3 2 0-3 3 3 4-=4(0-3 1 4 50 7 +0.3 3 3 4 8 7)=0.3 2 4 0 2 7.(2)由余项表达式(2.8)知.在区间 0.3 2,0.3 4 上用线性插值计算s in x的余项满足I ft(x)I =|-5(：x-0.3 2)(-0.3 4)|(0.3 2,0.3 4).。.3*8 7(0 3 4-o.3 2 yO0.0 0 0 0 1 7(X)=1./-0(2)方 法1：弓(X,一工力,(4=力 士(一iy k j,7,(x)I I.利 用(D*k t”二(1),.Xj 1 Xi=(斯X/)-0.i I )方法2：令g(。=0一X)/=0,1，/1.对g(D构造次Lag range插值多项式,得*L.(t)=(第 一 x)*/；(t).60由（D的结果知Z （方=（/x）*/-0对一切，均成立.特别地.取，=X,上式仍成立,即E（期一）*/；（）=o,k=0,1,i-o4.给出cosx,0 x90的函数表，步长/=1=（1/60）,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求CC近似值时的总误差界.4.M 由题设知OY Y 9 o r=川 一 X.=(&记 X，处的净确值为f.带有误差的值为，,则58其中&=fi f 占 1=户7-ff-I RB I&l R.1+1 R*1 =1 II(X x.)(x XHI)I+x-x.-t&+X-X.3 xX-x*i JTM X*1 !J x-XHI x-x I+q=77+7Tr|l(8=m ax(I&I I d I )1s l w Is o J 2 1 0 T.t t o,Sx io%1.O C X 1 O *+4x1 0 1=5.0 1 0 6X 1 0 .26.填空咫：(1)/(X)=3/+1 则儿 1,2,3=，小2,3,4 1=(2)设 x,(i=O,1.2,3,4,5)为互异节点，/,(*)为对应的5次5 SLagrange插值基函数，则V/4(0)=.二(2+0i-0Xi l)Zi(x)(3)/(x)=x 4-1,x.=其中 i=0,l.2,，则 A=乙5G l4-、，=J+J,0 W2+hx2+ex-1,1 4X 1,c 是以0,1,2为y 2节点的三次样条函数.则b=,c=.(5)满足条件 P(0)=P(0)=0.PCD=1,P(2)=2 的插值多项式P(x)=.26.解 2,3=Z =3,/1,2,3,4 1=0.(2)Z Xi/i(0)=0.=(x：+2x：+工：-1)/，(算)=无 +2xi 0 i 0+J+1.(3)-#=，(=0,N fz=17.8125.(4)ft|lim S(x)=lim S(x)及 lim S()=lim S(x),-l4 L -l4 L 广得 b=-2,c =3.(5)|设 P(x)=J(ox+b)得 P(x)=-y X3+-y X2.第三章2 5.用最小二乘法求一个形如y=a+b x2的经验公式，使它与下列数据相拟合.并计算均方误差.X i192531384419.032.349.078.397.82 5.解 由题意知中=sp an l,J,%=1,*=1.经计算(强，6)=1=5,(*.,9)=Z 金=5 3 2 7,-1 -1(?，%)=72 77699,(?,y)=E y；=2 71.4,(=.4；=h,A：=萨 所 求 公 式 至 少 具 有2次代数精度.又 由 于 d x =4(-Q 3+4(1),J A 3 3I x d x -y(A.)*+().A s o故l：/(x)d 告 八 一/)一力/(0)一4_/w 具有三次代数精度(3)求积公式中含两个待定常数力、心，当令公式对/(A)=1求确成立时,得到I d x=2 =-(1 +2 +3),此等式不含有待定量、g.无用.故需令公式对/(X)=准确成立，即I *d M=0 =g(l+2 xi +3 xz).I d x=-T-=1 +2 x；+3 xi).，3 o2 xi +3 x2 =1,(4.2 9),2 xi +34=1.(4.3 0)解上述方程组得X 2=-0.1 2 GG0 9 xz=0.5 2 660 9,或1XI =0.68990 X!=-0.2 89&0.故有r/(x)d X A y /(-D +2/C 0.68990)3/(-0.1 2 660)或I/(x)d x -1)+2/(0.2 8990)+3/(0.5 2 G60).将/(4)=/代入上已确定的求积公式中.i 丁 d r 1 2 K；+3 工 打.1 63故求积公式具有2次 代 数 精 度.4-已知*=,*=-|,(1)推导以这三个点作为求积节点在 0/：|上的插值型求积公式.(2)指明求积公式所具有的代数精度，1 5 7(3)用所求公式计算Jd x.J 04.解(1)所求公式的形式为I J(x)d x*4 4 2.因所要构造的公式应为插值型的，则A c-I J 0仆)d x =尸 一 裂 了 一 心 o(x o -XI)(X 0 -X2)/_ 1 w _ 3 x-(x y x 丁 _ 2-o n ry-!r,l x 中(T-T)(T-T)g(*)d a=(x-XO)(X-X 2),-;-1.1J。(XI-X0)(X 1 -X2)/1、/3、i (x-T)(x-T)._ _r=-Z _()3,=lof e(x)d x=f1(a-xc )(一 二 )二(xz -x：)(xJ-A.A1 6G-(-3-_-1-“-3-_-=1d X/1)(T F 故J o/(x)d x y L2/(-j-)/(y)+2/(q).(2)因上述求积公式为3点的插值型公式,由定理4.1知，此公 式 至 少 有 两 次 代 数 精 度.再 将 代 入上述求积公式，|*?d =-=1 E 2 X 1-1 +2 I1户.白 声扣x图一目+2图1故所求求积公式具有3次代数精度.(3)因所得求积公式有3次代数精度,从而用求积公式计算的值应是精确值.即=扣X图一0+2 X(1 =1.7.给 定 积 分/=J o X(1)利用复化梯形公式计算上述积分值,使其截断误差不超过 鼻10 I(2)取同样的求积节点，改用复化S i mp son公式计算时,截断误差是多少？(3)要求截断误差不超过10 ，如果用复化S i mp son公式，应取多少个函数值？7.解16 8r f l f-/(x)=I?c os(xl)df,所以yk(x)=I-p-rc os(Z:/)d/=I/c os(xt+孕)dr.故I/*(x)I I?I c os(*+与)I dt W I.l dt=L .(1)为使复化梯形公式满足误差要求，只需I/?.(/)1=p/2-|-y X 10 1即 可,这 只 需 0.13 4 2.n*o 13.=0.3=7.4 5 16,故只需8等分即可.此时人=0.12 5,则r=4X41 +2X-9 9 7 3 9 7 9 +0.9 8 9 G 15 9+0.9 7 6 7 2 G G +0.9 5 8 8 5 1+0.9 3 6 15 5 7 +0.9 0 8 8 5 17+0.8 7 7 19 2 0 +0.8 4 14 7 10 =0.9 4 5 G 9 11.(2)对于同样点数用复化S i mp son公 式 时 其 截 断 误差为1凡。=-褊 广 得=0.0 0 0 0 0 0 2 7 1=0.2 7 1X 10 *.(3)为了在使用复化S i mp son求积公式时误差不超过10 只需1取(“=卜镐叮卜羲！1(1*,i n-2 8 8 0 X 5 1 nJ ，解得 n*6 9.4 4 4 4 4 4,2.8 8 6 7 5.故至少需将0.13 等分，即取2 X 3 1=7 个节点处的函数1 1.用复化梯形公式和复化Simpson公式的事后误差估计计算定积分/=告dx.要求精确到1。n.+y（T2.r.）,*1Tn=丁 兀 Z /（x*4）乙 乙 Q一 Q及&.+&Sn）,10表4.6计算列表如下（表 4.6）.1 身分 2A r?4-1 r/一 1 兄一”、）.-:3 Jlw0 1 31 2 3.1 8.1833332 4 8.131176471 3.1415686278 8 3.13898S495 3.141592508 0.0000015 10 34 16 3.140941612 0.000C51 型00.6839400.6323330.6821220.63212010.6452350.632135O.63212C、0.6354100.68212130.632948所求积分-I-e-dx-J=X 0.632120 0.71327,而积分准确值为0.713272.1 4.用下列方法计算积分上d.-1 r(l)Romberg 算法.(2)三点及五点Gauss-Legendre求积公式.(3)将积分区间分为四等分，用复化两点Gaus公式.14.解(1)用 R omb e rg 算法斐=匕今 a)+表4.8计 算，计 算 结 果 如 表 也8.k咿 n4 nft01.3 8 3 3 3 3 1.111111 1.0992581.09868011.1 6 6 6 6 7 1.099999 1.0986402i.i i e e e e i .oe72531.108210故1 j dy 1.0 9 8 G 3 0(2)用三点及五点Gauss-Legendre求积公式，需先对求积区间口,3 口作如下变换:令y=(+6)+(6-a”=/+2.则当 y W 口,31时，。一 1/1,且 dy=h,、打=。d，.三点Gauss公式r y =T 浑dr-i y 1 4.5 +0.5，2-,*5.5-0.5/_ _ _ _ _ _ _ _ _ 1,_ _ _ _ _ _ _ _2 l 2.5 +0.5 X(卜3 2.5 +0.5 X 3 +_1 _+_I3.5 +0.5 X(一3 7)3.5-0.5 X 3 一+_I_1 T l_+_I_ 4.5 +0.5 X(-3 Vi)4.5 +0.5 X 3 12_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _5.5 +0.5 X(-3 ,)5.5+0.5 X 3 叼=1.0 9 8 5 3 7 5 7 3./=的真值为/=1.0 9 8 6 12 2 8 9.1b.建立G a uss型求枳公式x)d x 4,4c/(x)+.41/(Xi).15.解此题可用两种方法求解：第一种利用代数精度，得到 于 儿、小、加、外的一个非线性方程组，求解此方程组.得儿、h、*第二种方法,利用正交多项式的零点作为G a uss点.下亓田第一用去犍法.17.证明求积公式r 幻dx&5/(O)+8/(0)+5/(-O)对丁次数不高于5的多项式旅确成立，并计算积分|f Rdx.方法二:验证所给的求积公式是Gauss-Legendre求积公式.因为三次Legendre多项式为LA(X)=_ 3x)t乙它的3个零点分别为xc=JO.6,xi=0,*=JO.G.于是有/(x)dx k A c/(JO.6)+Ai/(0)+4 2/(JO.6).J-i令公式对/(X)=1,X,X2准确成立，得 一旦2 4 +A+,上 一百0=-Jo.G A o -Jo.6 A z (1)=2,212取步长人=0.2,小数点后至少保留5 位.2.解/(x,y)=8-3,梯形公式为y 1 =y-H-/(工。,)、)-*yn i)J=”+8-3y-83y J.整理得显格式为_ 7,16由 式 1)=广=2 计算得式1.2)8 尸=2.30769,y(l-4)*广=2.47337,r(1.6)*p=2.56258,y(L 8)&y,=2.G10G2,y(2.0)*尸=2.63G49.4.写出用梯形格式的迭代算法求解初值问题y +y=O,.式0)=1的计算公式.取步长人=0.1,并求y(0.2)的近似值.要求迭代误差不超过1 0 4.4.解梯形格式的迭代算法为y.-i=y.+h/(x.,y.),y/i1=y.+W /(x,y-)+/(x ,)J.A=0,l .2,，n=0,l ,2,.r是取/(x.y)=y,有y?-i =0.9 x.,.产 产=0.9 5 8一0.0 5 州.由 y(0)=K=l.经计算有行 =0.9,=0.9 0 5,:=0.9 0 4 7 5,=0.9 0 4 7 6 2 5,=0.9 0 4 7 6 1 8 7 5.因|式 一4 1=6.2 5 X 1 0 V 1()T,于是取 y(0.D*户=)产=0.9 0 4 7 6 1 8 7 5,则 口 =0.8 1 4 2 8 6,分”=0.8 1 8 8 0 9,产 =0.8 1 8 5 8 3,=0.8 1 8 5 9 5,=0.8 1 8 5 9 4.因 If -式|=1 0 V 1 0故得 (0.2)4 管=”=0.8 1 8 5 9 4.1 3.设有常微分方程初值问同一，二 的单步法y(XD)=尸y -1=/(心，y*)-2/(1，yn 1)J,o2 1 4证明该方法是无条件稳定的.1 3.证 对 模 型 方 程/=。(入 V 0),所给方法的形式为，=-(入+2 入/),-o-3o记 a 1 为 y.处的扰动.则有1+4 入 八y 4 i +&-i =(+&).(5.3 5)(5.3 5)式减(5.3 4)式得1-r X/i&r=-3.1 写人力011+打”因恒有 一J V I.故g JV6I总是成立，即此方法是无条p-tl件稳定的.y y,M二0,19.讨 论 求 解 初 值 问 阙 的二阶中点公式I/0)=7.1 =,+./X-,y./(x-,y-)的稳定性.19.解因/(%,)=入 ，所以中点公式为加1=六-4*y.+-1-(Xy.).令霜=方，则y,=1+方 y.设户上有小扰动工制,.，1+2,1=1 一方-g(y-S.)与上式相减有S,1 =|1 1 一方 兴 显然当且仅当|1+方+得百IW1时，值+1区 阳，即所给格式是稳定的.解11一方 一 IW11(方W 0,当1一万 一4尸=1时，得 方1+4方=0,即 方=0及方=一2.将区间分为/Z229等价于-1 0 +方即一(一8,2),2,0,(0,+8),仅当方2,01时，一2W方(1+兰 方)W0,故一2WliW0即为绝对稳定区间.所以当步长 上 三时，二阶中点公式是稳定的.它是条件稳定的.第七章1 8.设有解方程1 2 3 x+2 c s x=0 的迭代法(1)证明均有ilri-mgx.=/(一为方程的根).(2)取 筋=4,用此迭代法求方程根的近似值.误差不超过1 8.解(D因迭代函数2 7 5而对一切X,均有故迭代过程收敛,即Va G R.均有l i m x.=Y.98(2)取 xo =4,代人迭代式计算有x i =4 yc o s4=3.56424,xz =4 yro s3.56424=3.39199G.X3=4 T C O S3.391990=3.354125.2x 0,q 0 时，m 0(A=L 2.).令迭代函数1ml_(3.r+3a)(3x2+a)x(x2 3 a),6x则(x)-(3?-ay-_3(1 a f(3x+a V故对V x O，W (x)|VL 即迭代收敛.设*的极限为/,则有,/(/2+3)3f -a 解 得/=o,/=匚.由题知取/=匚.即迭代序列收敛r.l a xt _.la-(x-!-3a xt)/(3x4 a)l i m-F=-=l i nr-=-(工一”(J a-.x Y273故题中迭代式是求二的三阶方法.20.试确定常数p、g、r,使迭代公式2x*41 =Kk+q g+r 今X k产生的序列 公 收敛到兀，并使其收敛阶尽可能高.20.解 迭代函数？(x)=p x-g点 一r，.x=1 a.根据定理6.3.要使迭代序列收敛的阶尽可能高.应使/=%(/),ff(.x)=0.0,a _ 3.+o-.一般地，当上*0 时有这是因为（X*la）2（2xi 上 la）=2x1 上 a3x JaO 当 ;。时成立,从而3 W 1,即 门.：X.,表明序列 玄 单调递减，故对XkV物 0,迭代序列*收敛于兀.取 松=1.则 xi=0.26894.X2=0.25751.xs=0.25753,x 0,/(2)0.故应取=2.利用N e wt o n迭代公式：计算列表如表6.10.268表 6.10kk0三1.8688C94191i.e-：1.368808109*1.8888B8704:1.868808108x*=1.368808108.因 I X,1=0.1X10*1 0、故取