2022年高考数学复习思维导图（人教A版2019）（必修第一册）第4章+指数函数与对数函数.pdf
第 4 章 指数函数与对数函数一般地，如果炉=a,那么x 叫做a 的”次方根，其中”1,且“GN，定 义 _-n叫做根指数，a叫做被开方数”的奇偶性。的”次方根的表示符号a 的取值范围”为奇数赤R”为偶数将0,+oc)指数运算有理数指数幕的运算性质分数指数累负数没有偶次方根.0 的任何次方根都是0,记作m=0.且”1）.=“”为大于 1 的奇数）.=|a|=f 一（为大于 1 的偶数）.Ia9 o0,m,”W N*,且”1）规定正数的负分数指数幕的意义是：a-=上=/一（。0,/,“片2,且”1）0的正分数指数嘉等于0,0 的负分数指数幕没有意义0 o d=a-$(00,r,5EQ).(呀=”。0,ZO,昨Q).o-指数幕运算的常用技巧(ay=a,s(aX,r,SeQ).怨=*0,r,seQ).有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算负指数累化为正指数幕的倒数底 数 是 小 数，先要化成分数；底数 是 带 分 数，要先化成假分数，然后要尽可能用嘉的形式表示，便于运用指数嘉的运算性质1/7一般地，函数）=d（。0,且 舁1）叫做指数函数，其 中x是自变量,函数的定义域是R定义判断一个函数是否为指数函数的方法底数的值是否符合要求./前的系数是否为1.指数是否符合要求.图象和性质 G 1(KX1图象).y vxa k|V性顺定义域R值域(0.+)过定点过定点（0,1）,即x=0时，y=l函数值的变化当 K 0 时，（KjKl；当0 0时，rl当 x0 时，(Ky单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性尸/与 尸 日的图象关于，轴对称函数.1，=/。定义域、值域的求法（1）定义域，形如F=/形式的函数的定义域是使得府）有意义的x的取值集合.（2）值域：换元 令r=/u）；求r=/u）的定义域XCD,（D求r=/u）的值域KM；利用J，=的单调性求），=&的值域.b的不等式，可 将b化为以a为底数的指数幕的形式,再 借 助 的 单 调 性 求 解.形 如 的 不 等 式，可借助两函数F=d，F=的图象求解.同增异减指数型函数的单调性一般地，有形如F=M（a 0,且a#l）函数的性质函数F=/*与函数J，=府）有相同的定义域.当心1时.函数，=小 与.=人刈具有相同的单调性，当（K a J时，函数j=*与函数尸危）的单调性相反.2/7一般地,如果心=N（a 0,且 1），那么数x叫做以。为底N的对数.记作x=l。伊V,其中。叫 做 对 数 的 球，N叫做真数 a 0,且 1,则d=5。10跟丫=*对数与指数互化对数恒等式：户*=N；Io0炉=*0,且 今1,NM）指数式与对数式互化的思路（i）指数式化为对数式：将指数式的塞作为真数，指数作为对数,底数不变，写出对数式.（i i）对数式化为指数式：将对数式的真数作为寨，对数作为指数，底数不变，写出指数式1。&1=0（。0，且 1）iog4/i=l（o 0,且 时1）零和负数没有对数对数性质利用对数的性质求值的方法求解此类问超时，应根据对数的两个结论log,l=0和log=l（a0且 1）.进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.对数的运算如果a 0.且#1,M0.N 0,那么 og（”、）=log.V+log-、!og.=1083f-Iog.V 收 ，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数;U “拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）对数式化简与求值 6-3/7一般地，函数F=lo g H a 0,且 时1）叫做对数函数，其中X是自变量,函数的定义域是（0,+x）.概念系数底数其数对较符号声面的系数为1卜对数的底数是不等于I的正的常数对数的真教仅有自变量X卜同时-对数函数-定 义 域e分 母 不 能 为0.根 指 数 为 偶 数 时，被开方数非负.对 数 的 真 数 大 于0,底 数 大 于0且 不 为1.性质e对数函数指数函数.丫=哄0,且启1）与对数函数=期瑟（0且*1）互为反函数.-它们的定义域与值域正好互换.反 函 数e-4/7同底数的利用对数函数的单调性比较大小同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化底数和真数都不同，找中间屋若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.y=k Mx）型函数性质的研究定义域：由x）0解得x的取值范围，即为函数的定义域.值域：在函数y=logex）的定义域中确定r=x）的值域，再由p=logr的单调性确定函数的值域.单调性：在定义域内考虑r=/（x）与F=Iog“的单调性，根据同增异减法则判定.（或运用单调性定义判定）奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.最值：在人幻乂的条件下，确定，=佗）的值域，再根据a确定函数j=l。81 1r的单调性，最后确定最值.解不等式形如logeio&b的不等式，借助F=logr的单调性求解，如杲a 的取值不确定,需分a l与 两 种 情 况 进 行 讨 企形如10glxb的不等式，应 将。化为以a 为底数的对数式的形式（6=1吧 04）,再借助丫=1 吟 的 单 调 性 求 解舫如log/ujflKog&MGx）,以x）OJL不等于1,a0）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用禹数图象求解5/7定义对于一般函数y =f(x),我们把使f(x)=O的实数x叫做函数y =f(x)的零点/零点 如果函数y =f(x)在区间 a,b 上的图象是一条连续不断的曲线，且/存在 有f(a)f(b)0,那么，函数y =f(x)在区间(a,b)内至少有一个零定理O 点，即存在C d (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f (x)=0的解(代数法：求方程f(x)=0的实数根，若存在实数根，则函数存在零两种 点，否则函数不存在零点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 萩 几何法：目 的 楚 丁 工 卬 岬?联 系 起 来，图象与x轴的交点的横零1法步骤利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点画出函数y =f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，即判定 藐 的个数结合单调性和零点存在定理，可判定y =f(x)在(a,b)上零点的个数转化成两个函数图象的交点个数问题.对于在区间 a,b 上图象连续不断且f (a)的函数y =f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；口 诀 八 周 而 复 始 怎 么 办？精确度上来判断.-,指 六 0(2)求区同(居而的中点c(3)计算并进一步确定零点所在的区同若H e)=0 a时昌=c),则c就是舀数的零点若 fia)六&)0(此 时&e(c,6).J H令 片c(4)判断是否达到精确度f:若 则 得 刎 零 点 近 似 值a(支；函数模型否则重复步寮27函数模型函数解析式一次函数模型。为常数，8*0)反比例函数模型f(.jd=+b(,k,。为常数且X二次函教模型f(x)=&/+b;r F c(8,br c 为常数，0)指数型函数模型f(x)=ba-G(a,b,c 为常数，6*0,a X)且日本 1)对数型函数模型缕d+c(&,b,c为常数,，6孑0,或0 且8丰 1)卷函数型模型f(x)=a Z+b(a,。为常数，&丰0)应用函数模型解决问题的基本过程1.审题一一弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型2.建模一一将自然语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型.将文字语言转化为符号语言，3 .求模一一求解数学模型，得出数学模型4 .还原一一将数学结论还原为实际问题.*6/77/7
