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0 9 二次函数压轴图像试题1.(本小题满分1 5 分)芜湖市如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为4-1,0),B(0 枪,0(0,0),将此三角板绕原点。顺时针旋转9 0,得到A B O.(1)如图，一抛物线经过点A、B B ,求该抛物线解析式；(2)设点P 是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形尸BA*的面积达到最大时点尸的坐标及面积的最大值.解(1).抛物线过4-1,0),H 函0)设抛物线的解析式为y =a(x+l)(x-V 3)(a丰0).2分又.抛物线过8(0,6),将坐标代入上解析式得:V 3 =a*lx(-V 3)a =-1 y=-(x+l)(x-x/3).4 分=2 1 x _ x 2 +(6 _ i)x+6+l =等 ,亭+.1 2 分当X =5时，s四 边形加8最大设与直线B B 平行的直线I的解析式为y =-x+m,联立4y =-x+my x+(/3 l)x+y/3得/一 氐 +加一6 =0.令A=(J J)2 4(m一 J 5)=0.解得m=3 +6.此时直线/的解析式为：y =_ x+J 5.4 4.9分y =-x+V 34 解得y x+(V 3 -l)x+y/3一百X 23 +2 7 3y4直线/与抛物线唯一交点坐标为P1走，过3叵.I O分1 2 4 J设/与y轴交于E,则8 E =之+6-6 =9.4 4T O 5过8 作于F,在R ta B E/中，NF E 8 =4 5 二/=sin 4 5 =4 8过尸作P G 于G,则于到8*的距离d=BF=一.1 3分8此时四边形PB A B 的面积最大.*.S四 边 形 刖 的最大值=-A B-O B+,8 8 d=，(6+l)x G +x 6 x =1 2 +7 a四 边 形 户 必8 2 2 2 2 8 8.1 5分2.(1 4分)如 图，抛物线y =L x2+mx+”与x轴交于A、B两点,2与y轴交于C点，四边形0 8 H C为矩形，CH的延长线交抛物线于点。(5,2),连结8 C、A D.(福建龙岩市)(1)求C点的坐标及抛物线的解析式；(2)将 8 C 4绕点B按顺时针旋转9 0 后再沿x轴对折得到B E尸(点C与点E对应)，判断点E是否落在抛物线上,理由；(3)设过点E的直线交A B边于点P,交C O边于点Q.问是点P,使直线P Q分梯形A B C D的面积为1 ：3两部分？在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.解(1).,四边形。为矩形，.。人以又。(5,2),：.C(0,2),O C=2.2 分n=2 _ _ 5.1 ,解 得“=一5 5+5 团+=22n=2抛物线的解析式为：y =-x2-x +2 4分 2 2(2)点E落在抛物线上.理由如下：.5分由 y =0,W A2 x+2 =0.2 2解得 xi=l,X2=4.(4,0),B(1,0).6 分：.O A=4,O B=.由矩形性质知：C H=O B=,B H=O C=2,N B HC=90。,由旋转、轴对称性质知：EF=,B F=2,N EFB=9Q,.点E的坐标为(3,-1).7分把x=3 代入x2 X+2 ,Wy=,32 -3 +2 =1,2 2 2 2.点E在抛物线上.8分(3)法一：存在点P(a,0),延长E尸交CO于点G,易求。尸=C G=3,PB=a .S梯 形B C G F=5，S梯 形4O G尸=3，1己S梯 形B C Q P=S,S梯 形AO Q P=S 2，下面分两种情形：当 S|：S 2=l：3 时，S=-(5 +3)=2 5此时点?在 点F (3,0)的右侧，贝iPF =a 3,由 E P F s A E Q G,得 Q G =3 a 9,.C Q =3 +(3。-9)=3。-6,1 13由 S i=6,得一（3a-6+a-1）2=6,解得a=.2 4综上所述：所求点P 的坐标为（2,0）或（丑，0）.14分4 4法二：存在点尸（。，0）.记 S 梯 形8CQP=S,S 悌 形ADP=52，易求S 柿 形A8CD=8.当尸。经过点尸（3,0）时，易求5尸5,S2=3,此时S：S2不符合条件，故“W3.1 3 4 -1_ A -1 Q设直线尸。的解析式为y 二履+优在关0,则 二:一 八，解得，一 3ak+h=0,aib=-a 3/.y=-x .由 y=2 得元=3。一6,:.Q(3。-6,2).10 分a-3 -3CQ=3a6f BP=a 1,S1=(3。-6+-1)2=4-7.2下面分两种情形：当$：$2=1 ：3 时，S MI SJCABCD=；x8=2；o4a-7=2,解得。=一;.12 分43 3当&：S2=3：1 时 51=-Sffi)fMBCD=-x 8 =6：1 34a 7=6,解得。=一；4综上所述：所求点尸的坐标为（Na，0）或（13，0）.14分4 4 说明：对 于 第（3）小题，只要考生能求出。=2 或a=U 两个答案，就给6 分.14 43.（本题满分13分）如图，已知抛物线G：=。（+2）2-5 的顶点为，与 x 轴相交于A、B两点（点 A 在点B 的左边），点 8 的横坐标是1.（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如 图（1）,抛物线。2与抛物线G 关于x 轴对称，将抛物线。2向右平移，平移后的抛物线记为C3,。3的顶点为M,当点P、M 关于点8 成中心对称时，求。3的解析式；（4 分）（3）如 图（2）,点。是 x 轴正半轴上一点，将抛物线G 绕点。旋 转 180后得到抛物线C 4.抛物线。4的顶点为N,与 x 轴相交于E、尸两点直角三角形时，求点。的坐标.（5 分）（点 E 在点尸的左边），当以点尸、N、尸为顶点的三角形是图 2009年宁德市初中毕业、升学考试图（2）解（1）由抛物线C l：得顶点P的 为（-2,-5）.2分.点B （I,0）在抛物线C 1上解得，a=5 9 .4分（2）连接P M,作P H J L x轴于H,作M G J _ x轴于G点P、M关于点B成中心对称；下乂过点&且P B =M B.,.P B H 名 M B G，M G =P H=5,B G =B H=3.顶点M的坐标为（4,5）.6分抛物线C 2由C 1关于x轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到.抛物线C 3的表达式为.8分（3）I抛物线C 4由C 1绕点x轴上的点Q旋转18 0 得到顶点N、P关于点Q成中心对称由（2）得点N的纵坐标为5设点N坐 标 为（m,5）.9分作P H _ L x轴于H,作N G _ L x轴于G作 P K J _ N G 于 K:旋转中心Q在x轴上.*.E F=A B=2B H=6；.F G=3,点F坐 标 为（m+3,0）H坐 标 为（2,0）,K坐 标 为（m,-5）,根据勾股定理得P N 2=N K 2+P K 2=m 2+4 m+10 4P F 2=P H 2+H F 2=m 2+10 m+5 0N F 2=5 2+3 2=3 4 .10分当N P N F=9 0?时，P N 2+N F 2=P F 2,解得m=4 4 3,；.Q点坐标为（19 3,0）当N P F N=9 0?时，P F 2+N F 2=P N 2,解得m=10 3,，Q点坐标为（23,0）：P N N K=10 N F,./N P F W 9 0?综上所得，当Q点坐标为（19 3,0）或（23,0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形.13分4.已知，如 图1,过点E（0,-1）作平行于x轴的直线/,抛 物 线 上 的 两 点A、8的横坐标分别为一1和4,直线A8交y轴于点P，过点A、8分别作直线/的垂线，垂足分别为点C、D,连接C F、D F .（福建莆田一一（1）求点A、B F的坐标；（2）求证：C F J.D F；1-（3）点P是抛物线4对称轴右侧图象上的一动点，过点P作尸。_ L尸。交x轴于点Q ，是否存在点P使得 O P Q与 C OF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由.备用图（第25题图）（1）解:方法一，如 图1,当X =-1时,y =L4当尤=4时，y =41分8(4,4)设直线AB的解析式为y =k x+b2分3分则,1-k+b =44 k+b =4,3k =4b =解得V3直线AB的解析式为y =+l4分当x =0时，y =14分垂足分别为G、H,交y轴于点N,则四边形f。MG和四边形NOM”均为矩形，设FO=x 3分,:ABGE BHABG FG4-x 4LM.4解得x=l.F(0,1).(2)证明：方法一：在 RtACF 中，CE=1,EF=2：.CF2=CE2+F2=12+22=5:.CF=下.在 中，DE=4,EF=25分6分 DF2=DE2+EF2=42+22=20DF=275由(1)得C(-1,-4),0(4-1)CD=5CD2=52=25：.CF2+DF2 CD2.7 分NCFD=90CF DF.8 分方法二：由（1）知AfA C -4 4A F A C.6 分同理：BF=BDZACF=ZAFC AC/EFZACF=NCFO：.ZAFC=NCFO.7 分同理：NBFD=NOFD：.NCFD=NOFC+NOFD=90即 CF，O F.8 分(3)存在.解：如图3,作轴，垂足为点M.9分又；PQLOPR tA m/Rt OQPPM _ OMPQ OPPQ PM10分设 px,%2(x 0),则 P M=3 2,OM当RtR饺 Rt CFO时,丝=竺邛.“分OP DF 275 21 2PM 4X 1解得x=2.,6(2,1).12 分当 RtaOR Rt CEO 时，PQ DF 2V 5 三 八=7=-=2.13 分OP CF V 5lx2.3=JOM x解得x=8./(8,16)综上，存在点片（2,1）、（8,16）使得OPQ与CD6相似.14分5.（本题满分14分）（福建三明）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 =一2/+云+，与x轴交于A（1,0）、B（5,0）两点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（4分）（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点。，将/C C 8绕点C按顺时针方向旋转，角的两边C和C8与x轴分别交于点P、Q,设旋转角为a （0=L NPCQ=22.5。.2.当a=22.5。时,C P 0是等腰三角形.6 分ii）若 CQ=P。，则 NCPQ=NPCQ=45。，此时点。与。重合，点 P 与A 重合.当 a =45。时,CP。是等腰三角形.7 分iii）若尸C=PQ,NPCQ=NPQC=45。，此时点。与 8 重合，点 P 与。重合.a =0 ,不合题意.8 分.当a =22.5。或 45。时，4C P Q 是等腰三角形.9 分连接 AC,：AD=CD=2,CD1AB,：.Z.ACD=Z.CAD=45,AC=8C=M+Z?=2&.10 分i）当0/2 x 2V 2=8.12 分ii）当 45 a G =1.AOC,丝二吗，M D，。A O O C2-O E =2.2(2,0).1 1分解法二：设O G =x,则O E =GF=竺二把 S矩形DEFG1 0-5 xx,-22-x2+5 x=(x-1)2+.2 2 21 0分.,.当x=l时，S最大.D G=1,D E =-.2/A D iSAOC,A O O CO D O E 2 .22pf-pOj,(2,0).当矩形一个顶点在AB上时，尸与C重合，如图2,DG/B C,A C B.G D A G,5 C -A F ,1 1分图2C解法一：设GO=x,：.AC=y5,BC=2y/5,GF=AC-AG=4 5-.2=-1(X-V 5)2+|.12 分当x=Vs时，S最大.:.GD=&AG ,AD7AG?+GD?=3.z.O D-2 2 2.13 分解法二：设OE=x,:AC=逐,BC=2 后,G C x,A G y/5-x.:.GD=2逐-2x.S矩 形 DEFG=25-2,x 2.x+2,y5x二.GO=A G .AD=y/AG2+GD2=-.z.O D-.2 2 2.13 分综上所述：当矩形两个顶点在AB上时，坐标分别为1-g,。,(2,0)；当矩形一个顶点在AB上时，坐标为.14分7.如图1 4(1),抛物线？=2一2+人 与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C(0,-3).图14(2)、图14(3)为解答备用图 (甘肃定西)(1)k=,点A的坐标为,点B的坐标为；(2)设抛物线=/一2%+%的 顶 点 为 加，求四边形48A/C的面积；(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点C,使四边形48OC的面积最大？若存在，请求出点。的坐标;若不存在，请说明理由；(4)在抛物线=/-2%+%上 求 点。，使48(7。是以8(7为直角边的直角三角形.图 14(1)图 14(2)图 14(3)分分分本小题满分16分(含附加4 分)解(1)k=3.1A(-1,0),.2B(3,0).3(2)如 图 14(I),抛物线的顶点为M(1,-4),渐 O M.4 分3 3则 ZVIOC的面积=一，MOC的面积=一，2 2MOB的面积=6,.5 分四边形ABMC的面积=/A O C的面积+ZiMOC的面积+MOB的面积=9.6 分说 明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形A8MC的面积转化为求1个梯形与2 个直角三角形面积的和.(3)如图 14(2),设 (?，机2一2机一3),连结 OD.则 0m 3,m2-2m-3 2 =。点 Qi的坐标为(-2.5).如 图 1 4 (4),过点C作 C F J _C 8,交抛物线于点。2、交 x 轴于点F,连接8。2.：NC B O=4 5,；.N C FB=4 5,O F=O C=3.点尸的坐标为(-3,0)./.直线C 尸的解析式为y=-x 3.1 3 分1 4 分由y x 3,yx 2.x 3解得:玉=0,=-3；X?=1,2 =4.点Q2 的坐标为(1,-4).1 5 分综上，在抛物线上存在点。|(-2,5)、02(1,-4),使8 C。1、/XB C Q?是以BC为直角边的直角三角形.1 6 分说 明：如 图 1 4 (4)点0 2 即抛物线顶点加，直接证明 B C M 为直角三角形同样得28.(本题满分9分)如 图 1 7,某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度0 M为 1 2 米.现以。点为原点，切/所在直线为X 轴建立直角坐标系.(甘肃兰州)(1)直接写出点材及抛物线顶点。的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架 A D-D C-C B,使C、。点在抛物线上，4 8点在地面“V 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？y02分解：M(1 2,0),尸(6,6).(2)设抛物线解析式为：y=a(x 6)2+6.:抛物线、=。(-6)2+6 经过点(0,0),.0 =a(0 6+6,即1a=64分 抛物线解析式为:y =(x-6)2+6,B Py6x-+2 x.65分3分S M设 A (m,0),则1 ,1 ,0),C(1 2-/n,-t n +2 m),D(m,m +2 m).6 66分 支撑架 总长 A Z J+OC+C 8 =(-m +2 oi)+(1 2 2/n)+(m +2 加)6 61 ,1 ,=一一加2 +2?+1 2 =(,”一3)2+1 5.3 3此二次函数的图象开口向下.8分当机=3米时，A O+C C+C B 有最大值为1 5米.9分9.（1 2 分）如 图 1 8,在平面直角坐标系中，将一块腰长为5 的等腰直角三角板4 8 c 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C 的坐标为（1,0）,点 B在抛物线=。/+。-2 上.（甘肃庆阳）（1）点 A的坐标为,点B的坐标为；（2）抛物线的关系式为；（3）设（2）中抛物线的顶点为。，求 C8 C的面积；（4）将三角板A 8 C 绕顶点A逆时针方向旋转9 0 ,到达 A B C 的位置.请判断点8 、C是否在（2）中的抛物线上，并说明理由.图 1 8解：（1）A （0,2）,B （-3,1）.2 分（2）y =一 x H x-2.3 分2 21 1 7（3）如 图 1,可求得抛物线的顶点O （-上,三）.4 分2 8设直线8。的关系式为 =履+力，将点8、。的坐标代入，求得女=5,b =,.8。的关系式为=?.5 分设直线8。和 x轴交点为E,则点E（U,0）,C E=.5 5/.O B C 的面积为 J xgxC lU.7 分2 5 8 8图 1(4)如图2,过点8 作J_ y轴于点M,过点8 作BN J.y 轴于点N,过点C 作CP _L y 轴于点P.8分分分分分/A B A B,N4M=N8AN=90N871M,RtAABM也R tABAN.9；.B M=A N=l,A M=B N=3,：.(1,-1).10同理ACP四C4O,CP=OA=2,AP=OC=1,可得点 C(2,1 )；.1 11 ,1将点夕、。的坐标代入=万/+5 彳-2,可知点方、。在抛物线上.1210.本小题满分14分)(广 州 市)如 图 1 3,二次函数y=+px+q(/?0)的图象与工轴交于A、B两 点,与 y 轴交于点C(0,-1),A 8 C 的面积为2.4(1)求该二次函数的关系式；(2)过 y 轴上的一点M(0,?)作 y 轴的垂线，若该垂线与AB C 的外接圆有公共点，求机的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点。，使四边形AC3O 为直角梯形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.解：设点4(孙0),B(X2,0),其中玉 :抛物线 y =x2+px+q 过点 C(0,-1),.-l=02+Px0+9.y=x2+px-1.抛物线y=/+px+4与轴交于A、B两点,A 超 是方程x?+Px-1 =0的两个实根.求p的值给出以下两种方法：方 法1：由韦达定理得：%+%2=-，%工2二一1，ABC的面积为*,4/.*OC AB,即x lx Q z-%)=-.2 4 2 4.5 -X 二一,/（X2-X ）2 =（X2+斗）2 -4X1X2,/、2 ）25 +%）4%|%2=-（-P）2+4=学.43解得p-+.,/?即/x 1 x（X 2-X）=z .*一 x 1 x A/p+4 2 7 4 2,2 5 p+4=4解得p=1：p0,过。作轴，垂足为E,如 图1所示.求点D的坐标给出以下两种方法：方 法1：在RtaAEO中，D EtanZDAE=A E在 RtBOC 中,0 B 225题(3)图1Z D A E =N C B O ,:.t an Z.D A E=t an N C B O .4x(；8XQ 5 0.解得X。=|或X。=_ 耳%0,.,.x0=1,此时点O的坐标为，,45 ,3 /5 3、而A D2=A E2+E D2=B C2,因此当A D /BC时在抛物线y =x2-x-l上存在点D I,使得四边形D A C B是直角梯形.方法 2：在 R t a A E。与 R t B O C 中，Z D A E：.R t A A f i f i R t B O C.D E P C2 5题(3)图2以下同方法1.若 A C BO,设点 O 的坐标为1七,x0 0,过。作Z)P _ Lx轴，垂足为尸，如图2所示.D E在 R t。/8 中，t an Z D B F=二FBxo-X o _ 12-%O C在 R t CO A 中，t an/C4O =-：O A=J_ =2一 1 ，2:N D B F =Z C A O ,/.t an /D B F =t an /C A O .xo-|xo-1乙-二2.2 -%2XQ+XQ-1 0 =0.解得 X。=一|或%=2.x0 0,.X o=|,此时O点的坐标为此 时 80声AC,因此当AC 5 O时，在抛物线y =/g x l 上存在点。1 使得四边形D 4 c 6是直角梯形.,3综上所述，在抛物线y =f x-1 上存在点。，使得四边形OAQ?是直角梯形，并且点。的坐标为1 1.（广东茂名）己 知：如 图，直 线/：y =；x+b，经 过 点 一 组 抛 物 线 的 顶 点BQ,y），B 2G 2,为），&。为）4（为）（为正整数）依次是直线/上的点，这组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次是：4（玉,0）,A（X2,0）A3（X30）An+l（xn+0）（为正整数），设再=c/（O J 1（1）求6的值；（2 分）（2）求经过点4、功 儿 的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）（4分）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.探究：当力0 dl的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值.（4分）A2 2 4 3 4 A,A,（第 25题图）解(1)，在)，=,+8 上，.L=x 0 +8,.匕=工.2 分1 4)3 4 3 4(2)由(1)得：y=gx+；,/5,(1,)在/上，1 1 7(7、二当x=1 时,y,=x 1H =,B,1,.3 分1 3 4 12，12 J7解法一：，设抛物线表达式为：y =a(x-)2+(a(J),.4分又 xx=d,97 4 3,0),0=a(d 1)H-,-a=7123 1)2.5分7 7 经过点4、耳 4的抛物线的解析式为：尸 一 2(占(1)2+自 .6分解法二：:%=d,二 A(d,O),4(2-4 0),设 y=a(x-d)(x-2+J)(tz。0),.4分把用712a(l-J)(1-2+J),得a=_.5分712(1 1)27 抛物线的解析式为y=最一 记(x d)(x 2+d).6分(3)存在美丽抛物线.7分由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，.此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又()1,.等腰直角三角形斜边的长小于2,.等腰直角三角形斜边上的高必小于1,即抛物线的顶点的纵坐标必小于1.7一1 2-1-4XH+1-3-a11一一X当当尤=2时，y2=x2H 一 =公2+这一2经过点6.(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点8除外)，使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.(1)过点3作轴，垂足为。，v ZfiCD+ZACO=90,ZACO+ZCAO=90：.NBCD=ZCAO；.1 分又.N6OC=NCQ4=90；CB=AC,酩较 CAO,.2 分BDOC=1,CD=OA=2.3 分.点8的坐标为(3,1)；.4分(2)抛物线 yuaV+ax 2经过点 8(3,1),则得到 l=9a 3a-2.5 分1 1,1解得,所以抛物线的解析式为y=+万%2；.7分(3)假设存在点尸，使得人仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：若以点C为直角顶点；则延长BC至点6，使得C=8C,得到等腰直角三角形AC,.8分过点6作 6M _ L x轴,/CP,=BC,/股 c q =ZBCD=Z B D C=9 0 ；D B C.1 0 分C M =C D =2,PtM =B D =1,可求得点(1,-1)；.1 1 分 若 以 点 A为直角顶点；则过点A作 A 鸟 _ L C 4 ,且使得AP2=A C,得到等腰直角三角形 A C g ,.1 2分过点鸟作鸟N_Ly 轴，同理可证空冲 C 4。；.1 3 分NP2=O A =2,A N =O C =,可求得点6(2,1)；.1 4 分经检验，点（1,一1）与点4（2,1）都在抛物线y=；x 2+；x 2 上.1 6 分1 4.（本题满分1 2分）（广西贵港）如图，抛物线y=o 7+b x+c 的交x 轴于点A和点8（2,0）,与），轴的负半轴交于点C,且线段0 c的 长 度 是 线 段 的 2 倍，抛物线的对称轴是直线x=1.（1）求抛物线的解析式；（2）若过点（0,5）且平行于x 轴的直线与该抛物线交于M、N两点，以线段M N为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点尸（x,y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S,请你求出S关于点P的纵坐标y 的函数解析式；解答：无（3）当 时,说明理由.1 5.如图1 2,已知抛物线y点 E,点 B的坐标为（-1,0）.（广西河池）（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与 4、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点。，在抛物线上是否存在点例，使得直线CM 把四边形O E O Cy分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由.4解：（1）对 称 轴=-2.（2分）2 当y=0时，有/+4%+3 =0解之，得 益=1,=3.点A的坐标为（-3,0）.（4分）（2）满足条件的点尸有3个，分 别 为（2,3）,（2,3）,（-4,-3）.（7分）（3）存 在.（8分）当 x=0 时，y =x2+4 x+3 =3 二 点 C 的坐标为（0,3）轴，A O =3,0 =2,A E=,C O =3A p n p i n r：.X h E D s X hOC=即 一 =/.D E .（9 分）A O C O 3 3S 梯 形 D E 0 C =X（l +3）x2=44 1 4在。E上找点尸，使。尸=,此 时SACOF=/X x 3=2,直线C尸把四边形。E O C分成面积相等的两部分，交抛物线于点M.（1 0分）设直线CM的解析式为），=丘+3,它经过点尸（一3,0）.4-3（1 1 分）9-4%=9.直线CM的解析式为y=x +34（1 2 分）2X1-41 6.如图，抛物线 =x+2的顶点为A,与y轴 交 于 点 瓦（广西贺州）（1）求点A、点3的坐标.(2)若点尸是x轴上任意一点，求证：P A-P BW AB.(3)当巳4一尸8最大时，求点P的坐标.解(1)抛物线y=_ L/_ x +2与y轴的交于点B,4令 x=0 得 y=2.：.B(0,2).1 分y=-x2-x+2=-(x+2)2+34 4.A (2,3).3 分(2)当点尸是A B的延长线与x轴交点时，P A-P B=A B .5 分当点P在x轴上又异于A B的延长线与x轴的交点时，第28题图在点尸、4、8构成的三角形中，P A-P B -|),N G+1,以)都在该抛物线上，试比较力与为的大小；(3)力是线段4 C的中点，E为线段A C上一动点(A、C两端点除外)，过点E作y轴的平行线尸与抛物线交于点只问:理由.(广西来宾市)是否存在/与A A O C相似？若存在，求出点E的坐标：若不存在,则说明解（1）由题意可设抛物线的关系式为），=a（x-2）2 1.1分因为点C （0,3）在抛物线上所以3=。（0一2尸一 1,即”=1 .2分所以，抛物线的关系式为y=(x 2 y一l=f-4 x+3 .3分(2).点”(x,y i),N(x+1,”)都在该抛物线上,1-2=(x2 4 x+3)(x+I)24(x+1)+3 =3-2x.4 分3当 3 2 x 0,即x y2.5 分3当 3 2 x=0,即 x =e 时，y y2.6 分3当 3.2 x 0,即 X 时，y1 0 ）与x轴的一个交点为6（1,0）,与y轴的负半轴交于点C,顶点为D.（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标;（2）以4。为直径的圆经过点C.求抛物线的解析式;点E在抛物线的对称轴上，点/在抛物线上，且以5,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点尸的坐标.解（1）对称轴是直线：x =l,点A的坐标是（3,0）.（说明：每写对1个 给1分，“直线”两字没写不扣分）2分（2）如 图1 1,连接A C、A D,过。作DM _ L y轴于点解法一：利用小芯 C M D.点 A、D、C 的坐标分别是 A (3,0),D(1,一a b )、C(0,-b ),：.A O=3,MD .A O O C Z H 3 bC M M D a A3-=0 .3分又；0 =a-(_ l)2-2 a-(-l)-b4分.由3-ab -0得43 a-b =0a-15分b =3函数解析式为：y =2 x 36分解法二：利用以A。为直径的圆经过点C.,点4、O的坐标分别是A （3,0）、D(1,-a b )-C(0,b ),AC=+/,C)=Jl+“2 ,A D =y l4 +(-a-b)2：AC2+C D2=AD2，3 ab=0 .3 分4 分5 分又0=a(1尸 2 a-(1)-6 .由、得a=l,b =3 .函数解析式为：y =x2-2 x-3.6 分（3）如图所示，当 BAFE为平行四边形时则 B A/E F ,并且 B A =E F .:B A=4,:.E F=4由于对称为x=1,点尸的横坐标为5.7 分将 x=5 代入 y=，-2x 3 得 y=12,：.F（5,12）.8 分根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点凡使得四边形B4EF是平行四边形，此时点F 坐 标 为（-3,12）.9 分当四边形BEA尸是平行四边形时，点尸即为点。，此时点尸的坐标为（1,-4）.10分综上所述，点尸的坐标为（5,12）,（-3,12）或（1,-4）.（其它解法参照给分）19.如图，已知抛物线y=x 2 +b x+c 与坐标轴交于4、B、C 三点，A 点 的 坐 标 为（-1,0）,过4点 C 的直线y=x3 与 x 轴交于点。，点 P 是线段5。上的一个动点，过 P 作 P H L OB于点H.若 PB4 t=56 且 O W L（1）填空：点。的 坐 标 是b=_,c=_；（2）求线段。的 长（用含，的式子表示）；（3）依 点 P 的变化，是否存在1的值，使以尸、H、。为顶点的三角 形 与 相 似？若存在，求出所有f 的值；若不存在，说明理由.（广西钦州）9解（1）（0,3）,b =c=-3.43 o(2)由(1),得 y=-x2-x-3,它与犬轴交于A,B两 点,得 B(4,0).4 4。5=4,又.。=3,：.B C=5,由题意，得 B HPs A B O C,Y O C：O B：8 c=3：4：5,：.HP:HB：B P=3：4：5,PB=5t,:.HB=4 t,HP=3 t.：.O H=O B H B=4 4 t.由y=工 一 3 与 x 轴交于点Q,得。（43 0）.4/，。=4 九.当在。、3 之间时，Q H=OH-OQ=（4-4 0 -4/=4 一8九.当“在。、。之间时，Q H=OQ OH=4 t （44r）=8，一4 .综合，得。=I 4-8 r I ；.（3）存在r 的值，使以P、H、。为顶点的三角形与4。相似.一当”在。、3 之间时，。/=4 834-X，V若Q/y p s4。，则 Q H :C O=H P:。，得 y =7，:”.132若P”Q s3，4-8/Z c。，贝 lj 尸 ：。=。：。，得 二=3 4r即?+2 z-l=0.t =/2-1,t 2=-V 2 1 （舍去）.当在。、。之间时，。=8，一4.2/-4 3/若 Q H P s/c 0 Q,则 0 ：C O=P：O Q,得-=一,3 4f.r一 25 32为 2-4若PZ/Q s/xc。，则 PH:C O=H Q :OQ,得 =，即?-2 z+I=0.分4分5分分分667分7分8分9分O综上所述，存在f 的值，=应-1,介=工，t3 .分O2 0.如 图(9)-1,抛物线 =。厂一3奴+5 经过4(-1,0),C(3,-2 )两点，与 y 轴交于点),与x轴交于另一点从(广西梧州)(1)求此抛物线的解析式；(2)若直线y=H +l伏#0)将四边形A8C。面积二等分，求k 的值;(3)如 图(9)-2,过点E(1,1)作 EFJ_x轴于点F,将AEF绕平面内某点旋转180。得MNQ(点M、N、。分别与点A、E、尸对应)，使点M、N 在抛物线上，作轴于点G,若线段M G：AG=1：2,求点M,N的坐标.(1)解：把 A(-1,0),C(3,-2)代入抛物线 y=ax2-3ax4-h 得(1)，Q 3 X (1)Q +/?=0是梯形.,S ttKAH Ci)一(5+3)x 2=8.2设直线y=丘+1/H 0)与x轴的交点为H,与CD的交点为T,5分13则”(0),7(，-2).6 分k k.直线y=Ax+l(Z 7 0)将四边形48C。面积二等分-S KKAHTD=_ S S,KABCD=42/.-(-+l-)x 2 =4.7 分2 k k4k=.8 分3(3).MG_Lx轴于点G,线段MG：AG=1：2设 M(m,-+1),.9 分2m+1 1 3.点M 在抛物线上-m-22 2 2解得，吗=3,m2-1(舍 去).10分二 M点坐标为（3,-2）.11分根据中心对称图形性质知，MQ/lAF,MQ=AF,NQ=EF,7N点坐标为（1,-3）.12分21.如图1 2,已知抛物线经过坐标原点。和x轴上另一点E,顶 点 仞 的坐标为（2,4）；矩形ABCD的顶点A与点。重合，A。、4B分别在x轴、y轴上，且AO=2,AB=3.（海南）（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形A8CZ）以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点4出发向8匀速移动，设它们运动的时间为f秒（0f|+2 2 L 2j 4a?i其中(0 f 3),由 a=T,0 -3,此时.(12 分)2 故人 4综上所述，当 占 3 时，以点P,N,C,。为顶点的多边形面积有最大值，2这个最大值为幺.(13分)4说明：(ii)中的关系式，当 f=0和，=3时也适合.22.(河南)(1 1 分)如 图，在平面直角坐标系中，己知矩形/及力的三个顶点6(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y-ax+b x过 4C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；动点尸从点火出发.沿线段四向终点8 运动，同时点0 从点。出发，沿线段缪向终点运动.速度均为每秒1 个单位长度，运 动 时 间 为 大 秒.过 点 一 作 皿 交/C 于点过点 作”4。于点F,交抛物线于点G.当t为何值时，线段比最长？连接6 0.在点20 运动的过程中，判断有几个时刻使得四。是等腰三角形？请直接写出相应的力值.解：(1)点/的 坐 标 为(4,8).1 分将 A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax?+bx8=16a+4Z?j得0=64。+8匕 _解 得 a=2,b=4抛物线的解析式为：尸-5/+4 X .3 分P E B C P E 4(2)在 RtZU 也和 中，t a n/用斤=即 4 P =8二 峪 2 仍2 t.P B=8-r._.点E的坐标为(4+2 t,8-t)._ L _ L 1 1.,.点 G 的纵坐标为：-2 (4+2 t)4(4+2 力=-8 t2+S.E G=-8 f2+8-(8-1)5分力2r+1-8一二；-8 0 时，解得m=4或,=一2(舍).当?+2 0时，解得根=0(舍)或?=一2(舍)；当机+2=0时，即机=2时，B、0、。三点重合(不合题意，舍)综上所述：存在实数巾=4,使得 B O O 为等腰三角 形.1 2 分26.(满分14分)如图，在平面直角坐标系x”中，抛物线-/x-lO与x轴的交点为点B,过点6作x轴的平行线8C,交抛物线于点C,连结A C现有两动点巴。分别从O C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿O A向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿C 6向点8移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC,PQ相 交 于 点 过 点D作DEH。4,交CA于 点E,射 线QE交x轴 于 点F.设 动 点PQ移 动 的 时 间 为f(单位:秒)求A及C三 点的坐标和抛 物 线 的 顶 点 的 坐 标；(2)当t为何值时,四边形PQCA为 平 行 四边形?请写出计算过程；(3)当|时，&F的面积是否总为定值?若是