2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题14导数的概念与运算.pdf

专题1 4 导数的概念与运算【考点预测】知识点一：导数的概念和几何性质1.概念函数fx 在 x=/处瞬时变化率是lirn =蚂/5+弋 一/卬,我们称它为函数y=f（x）在x=x（）处的导数，记作，（玉）或 y（=阳.知识点诠释：增 量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.以 f O 的意义：曲 与。之间距离要多近有多近，即|A r-O|可以小于给定的任意小的正数；当 A v f0时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与=+无限接近；Ar Ax导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即/（%）=lim 包=lim/（-+/（飞）.Ax A AX2.几何意义函数y=/（x）在 x=x。处的导数（x0）的几何意义即为函数y=f（x）在点P（与,%）处的切线的斜率.3.物理意义函数S =S在点办处的导数s。）是物体在/（）时刻的瞬时速度V，即丫=S 4）;v=v（r）在点片的导数丫伉）是物体在时刻的瞬时加速度a,即。=丫优）.知识点二：导数的运算1.求导的基本公式基本初等函数导函数f(x)=c(c 为常数)r w=o/(X)=x(a e Q)fx)=cixaf M =ax(a 0,。工 1)fW =ahCl/(x)=log,x(a0,a“）r（x）TxlnClf(x)=ex尸(x)=e、/(x)=lnxr（x）Xf(x)=sin xf(x)=cos.c,f(x)=co s x fx)=-s i n x2.导数的四则运算法则(1)函数和差求导法则：(X)土 g(x)=r(x)土 g，(x)：(2)函数积的求导法则：/(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)；(3)函数商的求导法则：g(x)*O,则/里 =/(x)S(x)-/(x)g(x).g(x)g2。)3.复合函数求导数复合函数y=f g(x)的导数和函数y=f(),=g(x)的导数间关系为yx=y ux：【方法技巧与总结】1.在点的切线方程切 线 方 程 y 一/(%)=/(%)(大一题)的计算：函 数y-f(x)在 点 A(x0,/(x0)处 的 切 线 方 程 为y-f(%)=f(3)(x-%),抓住关键%=/(%)k=/g2.过点的切线方程设切点为尸(玉),%),则斜率 =r(x 0),过切点的切线方程为：y-y0=f W x-x0),又因为切线方程过点A(，)，所以-为=/(改)。-%)然后解出与的值.(x ,有儿个值，就有儿条切线)注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.【题型归纳目录】题型一：导数的定义题型二：求函数的导数题型三：导数的几何意义1.在点P 处切线2.过点P 的切线3.公切线4.已知切线求参数问题5.切线的条数问题6.切线平行、垂直、重合问题7.最值问题【典例例题】题型一：导数的定义例 1.(2 02 2全国高三专题练习(文)函数y=/(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是()D/y=A.0 尸(2)八 3)/(3)-2)q /2 3B.0/,(2)/(3)-/(2)/(3)C.。八 3)3)-/(2)八 2)D.0/(3)-/(2)/(2)o,r o)表示切线人 斜 率&o.又由平均变化率的定义，可 得 名 二 磐=/(3)-/(2),表示割线4 的斜率质,3 2结合图象，可得0%&用，即0/(3)/(3)2)r(2).(2 02 2.河南南阳中学高三阶段 练 习(理)设函数/(x)满足1质:5二?”)-*区=2,则()=()心 一 AxA.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】【分析】利用函数的导数的定义求解.【详解】解：因为 li mTO Ax=_2 li m/(x ()(),则下列选项中错误的是()A.f：(L 3)=Y B.4(1,3)=10C./：(，,)+/：(?,)的最小值为-g D./(x,y)的最小值为-捺【答案】B【解析】【分析】根据条件求出/；(%)、/：(%,%),然后可逐一判断 ABC,f(x,y)=(X-y)2+y3-y2 y3-y2,然后利用导数求出右边的最小值即可.【详解】因为/(x,y)=x 2-2 孙+V(x 0,y 0),所以(%)=1 而八立飞=2 x0-2%,则(1,3)=-4,A10 Ax又 f；(%,%)=啰 -)=-2 XO+3y：,所以(1,3)=2 5 ,因为/：(/,)+/；(/,)=2/n-2 -2/K+3 2=3 n2-2 n=，所以当”=；时，/；(，)+/；(4”)取得最小值，且最小值为-g,/(x,y)=(x-y)2+y3-y2/-y2,令屋外二%3-2 (x 0),gf(x)=3 x2-2 xf2 9当0 x 时，g（x）时，g（x）0,故 g（%n=g 6）=_ 1,从而当x=y=|时，/（x,y）取得最小值，且最小值为故选：B.例4.（2022贵州黔东南一模（文）一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间f（单位：秒）满足关系式，5=户+1-2-4,则当f=l时，该质点的瞬时速度为（）A.-2米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒【答案】B【解析】【分析】先求出导数，再代入1 =1计算即可.【详解】s=5 t4+2 t-4,当f=l时,s=3,故当5=1时,该质点的瞬时速度为3米/秒.故选：B.例5.（2022.全国.高三专题练习）已知函数x）=21nx+8x,则lim/0+2A0）的 值 为（）-AxA.-20 B.-10 C.10 D.20【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义可得 期 /0 +2七）-1）=2/（1）,再用求导公式可得:（）=彳+8,代入x=l即可得解.【详解】2因为/（x）=21n尤+8 x,所以r（x）=、+8,所以h m +2一f =2廊+2例 寸=2/,=20.AX TO Ar 2AA-O 7.Ar、/7故选：D例6.（2022.浙江.高三专题练习）已知函数x）=2/n-铲2 +1 1（尸（x）是/（x）的导函数），则/=（）【答案】D【解析】【分析】对函数进行求导，求出(3)=2,再令x=l 代入解析式，即可得到答案；【详解】,.4 1 ,4 1./(%)=2/(3)-x+-,A/(3)=2/(3)-+-=/(3)=1,9 x 3 3 f(x)=2 x-|x2+lnx,/(I)=2-|=,故选：D.例 7.(2022浙江高三专题练 习)已知函数/(x)的导函数为尸(x),且满足“x)=d+x y(l)+2 x-l,则 2)=()A.1 B.-9 C.-6 D.4【答案】C【解析】【分析】先对“X)进行求导，然后把x=i代入f(x),可列出关于r 的等式，即可解出r ，从而得出/(X)的解析式，即可求出r(2).【详解】解：因为/(力=丁+/+2 x T,所以尸()=3/+2 0 +2,把x=l 代入f(x),得 了=3x1?+2/+2,解得：/，(1)=一 5,所以/(x)=3/_ 1 0 x+2,所 以 八 2)=-6.故选：C.【方法技巧与总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.题型二：求函数的导数例 8.(2022天津耀华中学高二期中)求下列各函数的导数：(l)y=ln(3x-2)；y=W；e(3)f(x)=x+2 cos x3【答案】(i)y=L；3x-2八二e（x）=l-2 s i n x【解 析】【分 析】根据导数求导法则及基本初等函数的导数求解即可.（1）,.,y=l n（3 x-2）,1 3/./=-x(3 x-2)=-3 x-2 3 x-2x(x)e -x(e )-x(eA)2(3)f(x)=x+2cosx,f(x)=l-2 s i n x.例 9.（2 0 2 2.新疆.莎车县第一中学高二期中（理）求下列函数的导数:y=2 x2+I n x +c o s x；(2)y=x3ex(3)y=l n(3 x-l)【答 案】(l)y =4 x +s i n xx(2)/=(x3+3 x2)eA(3)y=-3 x-l【解 析】【分 析】利用导数四则运算法则和复合函数求导法则计算即可得到结果.（1）/=(2 x2)4-(l n%y+(c o s A：y=4 x+-s i n x(2)y =(x3)ev+x3(exy”/r（3-）=房例m（2 0 2 2.广东.北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）求下列函数的导数:y=春(2)y=x2+2sinx；-Inx(3)y=:x(4)y=e2xx+g In(2x).【答案】(l)y=5/(2)/=2x+2cosxe)y=3X(4 3=2 齐+12x【解析】【分析】利用导数公式和运算法则求解.(1)因为y=d,所以 y=5x4：(2)因为 y=x?+2 sin x,所以 y =2x+2cosx；(3)因为=处，X所以 空；（4）因为 y=+g In（2x）,所以 y=2 e 2 i+12x【方法技巧与总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.题型三：导数的几何意义L在点P 处切线例 H.（2022河北模拟预测）曲线y=e、sinx在犬=0 处的切线斜率为（)A.0B.1C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】即求曲线在（01A0）处的导数.【详解】y=ev sin x+ev cosx,k=y|x=；0=1.故选：B.例 12.（2022.安徽.巢湖市第一中学模拟预测（文）曲 线 丫=筌 在 点（18）处的切线方程为fcr-y+6=0,则k 的 值 为（）A.1 B.C.g D.13 2【答案】A【解析】【分析】依据题意列出关于。、b、Z的方程组，即可求得&的值【详解】由切点（1,。）在曲线上，得 =学；由切点（1力）在切线上，得 6+6 =0：.2+。b=-1 /3。=13f4 。4 6;对曲线求导得y=77 7，M日=3即4 4=9&，联立&-8+6 =0,解 之 得 6=5口 4-a =9k,=T故选：A.例 13.（2022海南文昌中学高三阶段练习）曲线y=e-2 x 在x=0 处的切线的倾斜角为&,则sin（a+/）=（）A.-B.C.1 D.-12 2【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，求得其倾斜角”彳，即可求解.【详解】由题意，函数y=e，-2 x,可得y =e*-2,则y k o=T，即曲线在x =0 处的切线的斜率为-1,即t a n a =l,因为乃，所以a =当，所以s i n(a +工=s in 2 =-它.故选：A.例 14.(2 0 2 2安徽巢湖市第一中学高三期中(理)己知 x)=2 co s(x-j +/(0)co s x,则曲线y=x)在点 彳 处 的 切 线 的 斜 率 为()A.O B.-7 2 C.2 7 2 D.-2 4 2【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义，写出切线方程的公式，直接计算求解即可【详解】对/(x)=2 co s(x-、)+r(0)co s x =2 s in x +/,(0)co s x ,求导可得，r(x)=2 co s x /(0)s in x,得到尸(0)=2,所以，/(x)=2 s in x+2 co s ix ,所以，/r(x)=2 co s x-2 s inx,=2 co s-2 s in -=-2 2故选D例 15.(2 0 2 2全国高三专题练习(文)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且/(X)=-2 x 3 +3 以2 -f()x,则函数f(x)的图象在点(-2,/(-2)处的切线的斜率为()A.-2 1 B.-2 7 C.-2 4 D.-2 5【答案】A【解析】【分析】求导数得出广，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算广(-2)即可.【详解】f(x)是奇函数，f(-x)=2 x3+3 ax2+f()x=-f(x)=2 xi-3 ax2+广工恒成立，所以 a=0,/(x)=-2 x3-f(A)x,fx)=-6 x2-f W,所以 r(l)=-6 r(l),/(1)=-3,g p f(x)=-6 x2+3,/,（-2）=-6X（-2）2+3=-21.故选：A.例 16.（2022广西广西模拟预测（理）曲线y=V+l在点（-1M）处的切线方程为（）A.y=3x+3 B.y=3x+1 C.y=-3x-l D.y=-3x-3【答案】A【解析】【分析】利用导数的儿何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.【详解】,/y=/（x）=x3+ir（x）=3x2,所以r（-i）=3,又当x=-l 时，a=x3+l=-l+l=O-所以y=V+i 在点（T,a）处的切线方程为：y=3（x+l）,即y=3x+3.故选：A.例 17.（2022河南省浚县第一中学模拟预测（理）曲线y=xln（2x+5）在x=-2 处的切线方程为（）A.4xy+8=0 B.4x+y+8=0C.3xy+6=0 D.3x+y+6=0【答案】B【解析】【分析】将x=-2 代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.【详解】解：因为y=xln（2x+5）,所以了 =xln（2x+5）=ln（2x+5）+S,所以可修二-4.又当x=-2时，y=x ln =0,故切点坐标为（-2,0）,所以切线方程为4x+y+8=0.故选：B.2.过点P 的切线例 18.（2022.四川.广安二中 二 模（文）函数=过点（0,0）的切线方程为（）A.y=0 B.ex+y=0 C.y=0 或x+ey=0 D.y=0 或ex+y=0【答案】C【解析】【分析】设切点（见加e）,利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过（0,0）代入求参数如即可得切线方程.【详解】由题设 f(x)=(2x+x?)e,若切点为(?,?%),则 r(，w)=(2i+2)e ,所以切线方程为)，-疝 6，=(2?+病 好 *_ 刈，乂切线过(0,0),则，=(2+m)m2e,可得 m=0或 m=-l,当帆=0时，切线为y=0；当机=T 时，切线为ey-l=-(x+l),整理得x+ey=0.故选：C例 19.(2022四川省成都市郸都区第一中学高三阶段练习(文)若过点(；,0)的直线与函数f(x)=x e的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为()A.e+1 B.C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点(；,0)代入方程，解出切点坐标即可完成求解.【详解】因为函数f(x)=xe,所以/(x)=(x+l)e*,设切点为(%,书&),则切线方程为：y-xoer=(x0+1)e*(x-x0),将点(；,0)代入得F =(七+1)炉 (；-/),即-Xo=(%+1)(；-/)，解得与=-：或%=1，所以切点横坐标之和为-1+1=12 2故选：D.例 20.(2022陕西安康高三期末(文)曲线y=2xlnx+3过 点 的 切 线 方 程 是()A.2x+y+l=0 B.2xy+l=0C.2x+4y+l=0 D.2x 4y+l=0【答案】B【解析】【分析】设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.【详解】由 题 意 可 得 点 在 曲 线 y=2xlnx+3上，设切点为（%,%）,因为y=21nx+2,所以所求切线的斜率X 2所以为=2%皿/+2/+111*0 +1.因为点（毛,%）是切点，所 以%=2x0 In/+3,所以 2x（In x +2x）+In x0+1 =2/In/+3,即 2%+lnxo-2 =O.设/（x）=2x+lnx 2,明显在（0,+。）上单调递增,且 1）=0,所以2%+In/-2=0 有唯一解七=1,则所求切线的斜率k=2,故所求切线方程为y=2卜+g）=2x+1.故选：B.例 21.（20 22广东茂名二模）过坐标原点作曲线y=ln x的切线，则切点的纵坐 标 为（）1 1A.e B.1 C./=D.yje e【答案】B【解析】【分析】设出切点以为施与）仇 0）,利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可.【详解】解：设切点 P（%,lny）（u 0）,由 y=ln x,得 y=L,所以 yL=&=；,xx0.曲线在点尸处的切线/方程为yT nx。=（x-x0）,工 0又/过（0,0）,-1 口%=（一%0），解得o=e,xo切点尸（e,l）,纵坐标为1.故 选:B.例 22.（20 22山东潍坊三模）过点尸（1,（m eR）有条直线与函数/（力=心、的图像相切，当 取 最大值时，机的取值范围为（）A.-m e B.-/n 0 C.-m0 D.机 ee-e-e【答案】B【解析】【分析】求导分析 对=屁 的图象可得 =3,再设切点坐标为小,%),由题可得利=(r：+X o+l)-e”有三根，再构造函数g(x)=(f 2+x +l)e 求导分析图象单调性与最值即可【详解】由 力=把，/(x)=(x+l)e,故当 x T 时，尸(x)0,“X)单调递减，且 f(x)-l 时，_ f(x)0,F(x)单调递增，结合图象易得，过点尸(1,机)(小e R)至多有3条直线与函数 x)=x e的图像相切，故“=3.此时，设切点坐标为(%,%),则切线斜率左=(y+l e而,所以切线方程为何-%物+,将P(l,代入得m=(-X；+%+1)e%,存在三条切线即函数m =(Tv?+x +1)有 三 个不同的根，又(x)=-(x-l)(x+2)-et,易得在(2,1)上，g(x)0,g(x)单调递增;在(,-2)和(1,位)上，g(x)0,g(x)单调递减，画出图象可得当g(2)?0,即-=?0 时符合题意【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题3.公切线例 2 3.(2 02 2 全国高三专题练习)若函数 x)=l n x 与函数g(x)=/+x+a(x 0)有公切线，则实数。的取值范围是(A 吗,+8)B.(-l,+o o)C.(h+0),尸(力=工，切线的斜率为,，XF则切线方程为y-l n%=一(无一玉)，g p y=-x +l n X j-1石 玉设公切线与函数g(x)=r+X +Q切于点B*2，X；+x2+a)(x2 (),所以 2+10,可得-g X 2 0,0 2X2+1 1由一=2尤2+1 可得：x2=-5，为 2%2r r r l.2 (1 1丫 I 1 1 -所以。=I n%+方-1 =l n X +-1 =-l n +-11 2%2 J 为 1 1 1令f =,则，(),1),=：(-1 )2 1 I n/=n f _-i i 3设 一 彳 T nL：(，(1)=4 2 4=1 所以1，所以实数。的取值范围是(-1,+8),故 选:B.【点睛】方法点睛：求曲线过点A(a,b)的切线的方程的一般步骤是：,g p o 1,%2-1 ,3-t-2 2J 42t 2t(1)设切点2(乙,，(%)(2)求出y=/(x)在x =x 0处的导数/(%),即y=/(x)在点p(x J(x。)处的切线斜率；(3)构建关系/(%)=/5)一”解得修；XQ-a(4)由点斜式求得切线方程y-6 =r(x )-a)例 2 4.(2 02 2.全国.高三专题练习)已知曲线6：/(力=+和曲线C 2：g(x)=l n(x+6)+/m b R),若存在斜率为1 的直线与C-G 同时相切，则6 的取值范围是()A.-；,+8)B.0,+c o)C.(7,1 D.,8,：【答案】D【解析】【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1 即导数值为1 分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得b与。的关系式，再根据二次函数性质可求出匕的取值范围.【详解】r(x)=e /(x)=a,设斜率为1 的切线在c，G上的切点横坐标分别为玉，巧，x1 ,由题知e =-=1 ,X,=0,x2=-b,x2+b两点处的切线方程分别为y-(l+a)=x 和y-a2=x-(-b),故 +1 =即8=2 +a-q 2 =-(一，I 2 j 4 4故选：D.例 2 5.(2 0 2 2 江苏南京外国语学校模拟预测)若两曲线产/一1 与尸a la r-l存在公切线，则正实数的取值范 围 为()A.(0,2 e B.(0,e C.2 e,+o o)D.(e,2 e【答案】A【解析】【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出。的取值范围.【详解】设 A(X 1,x；-1),8(，”1 哎=2 x,y；=2xk2=切线：y _(片T)=2 w(x _%),即 y =2 X|X-x；-l切线：,一(0 1 1 2-1)=_(犬_)，即 y =-x-a+anx2-1 ,x2,，4 =4 考(1-1(1)令X2X22 1 it-x-1 =-a +anx2-1f(x)=4 x2(l-la r),/,(x)=8x(l-lr ir)+4 x2(=8x-8x ln x-4 x =4 x-8x ln x =4 x(l-2 1 n x)=0,x =/()在(0,夜)上单调递增，在(&,+)上单调递减，所以 f(x)m a x =/(&)=2 e,；.a e(0,2 d故选：A.例 2 6.(2 0 2 2河南南阳中学高三阶段练习(理)若直线产匕(犬+1)-1 与曲线丫=6 相切，直线丁=&(X+1)-1与曲线y =ln x 相切，则 绘2的 值 为()A.B.1 C.e D.e2【答案】B【解析】【分析】设出切点，求出=e 3，&=上,根据斜率列出方程，得到x 声=1,x2ln x2=l,构造f(x)=x ln x,利用X?函数单调性和图象特征，求出马=旷，从而求出答案.【详解】设直线/=勺(X+1)-1 与曲线y =e*相切于点(%,e),直线y =(x+l)l与曲线y =ln x 相切于点(少 叫)，r ex,+1则人=e-，且匕=而所以占e =1 ,fIn 4-1 且&=F所以2如a=1,令/(x)=x ln x,fx)=+nx f当时，r(x)0,x)单调递增,且/(1)=0，|5/(耳=，所以当x e(O/)时，/(%)0 ,所以W e(l,+o o),ev,e(l,+0）与函数“X）,g（x）的图象都相切，则“+的最小值为（）A.2 B.2 e C.*D.厩【答案】B【解析】【分析】利用导数的几何意义分别得到。=&、b=-,再运用基本不等式即可求解.e【详解】设直线。=履 与函数/（X）,g（x）的图象相切的切点分别为A（孙加）,8（,切）.1km-anma,，解得机=e,a=ek.=km又由 g（x）=4 ，有，解得 =1,b=-,可得 a+?=ek +f 22/?=2e,当且仅当。=6,h=-be=k e b k e时取“=”.故选：B例 28.（20 22重庆市育才中学高三阶段练习）若直线/：y =+（&1）为曲线 x）=eT 与曲线g（x）=0 n x的公切线，则/的纵截距匕=（）A.0 B.1 C.e D.一 e【答案】D【解析】【分析】设切点分别为（为,乂），（赴，必），分别求出切线方程，再令切线方程相等；【详解】设/与 f（X）的切点为（X,必），则由f x）=,有/:y =xl+（1.同理，设/与/（力 的切点为（与力），由g（x）=g，有/：y =gx+e（l n/-l）.故 一/解“2=（l n x2-1）.得L，或 一:贝|：丫 =或,二 夕 0.x2=e.x2=1.因火 1,所以/为卜=光时不成立.故6=-e,故选：D.例29.（20 22全国高三专题练习）若两曲线y =l n x-1与 丫 =以2存在公切线，则正实数a的取值范围是（）A.（0,2e B.；e”,+8）C.0,1e3 D.2e,+o o）【答案】B【解析】【分析】设公切线与曲线的切点为（4 1n Ai-1）,区 混），利用导数的几何意义分别求y =l n x-l和y =上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线y =In x -1和y =加 的交点分别为（3,In%-1）,伍,），其中百 0 ,对于 y =l n x-l 有 丁 =上，贝 i j y =l n x-l 上的切线方程为 y-（l n-l）=一（x-再），即 y =一+（l n%-2）,对于=加 有y =2a r ,则y =加 上 的 切 线 方 程 为 尾=2必；2（%-M 2），即y =2”x-4，1 .=24M 1 1所以伊，有一忘7 =1呻 _2,即 五=2*2-小 呻（芭0）,In x,-2=-ax1令 g（x）=2 -x2 In x,=3 x-2x l n x =x（3-21n x）,令g,x）=0,得x =，（3 当0,时，g）0,g（x）单调递增,7（3 A当x e e2,+o o 时，g,x）0,g（x）单调递减,7,3、1 1 1所以 g（x）m a x =g e?=-e3,0 -e3,即 a2 e7.故选：B.【点睛】关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.例 3().(20 22全国高三专题练习)若仅存在一条直线与函数/(x)=l n x (a0)和 g(x)=/的图象均相切，则实数()A.e B.G C.2e D.2五【答案】C【解析】【分析】分别求出函数A x)上切点(毛M l n%)处的切线方程和g(x)上切点(8,再 2)处的切线方程，消去毛，得 =4考-4x；l n%,该问题转化为巧有唯一的值时，求。值，即可通过导数研究函数伉)=4%-4 4 In 迎的单调性即可得到答案.【详解】设直线与g(x)=%2的切点为(小片)，由/(x)=2x 可知，该直线的斜率为2 3，即该直线的方程为y-=2 由(x-x j,即为 y =2X|X-x：,设直线与/(x)=a l n x 的切点为(，何!9),由广。)=可知，该直线的斜率为 色，即该直线的方程为卜-41门2=色(72),X 工 2 “2即为 y =x+a(l n x 2-l),X2,仅存在一条直线与函数/(=a l nx (。0)和g(x)=V的图象均相切，2%=色；0 时，即0%五，当4 当(1 2 1。%)0 时，即&/3,0）B.2A/2,0）C.（一8,20 D.（,2收【答案】D【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.【详解】因为y=Inx+Y+（6-）x,所以 y，=，+2 x+6-a,因为曲线在M处的切线的倾斜角所以），tan g=由 对于任意的x 0恒成立，即，+2x+6一aN6 对任意x0恒成立，X即a 4 2 x+,，又2x+，22夜，当且仅当2x=,，X X X即X =Y 1时，等号成立，故042近，2所以a的取值范围是（-oo,2&.故选：D.例32.（2022广西贵港市高级中学三模（理）已知曲线y=are+lnx在点（l,ae）处的切线方程为y=3x+b,则（）A.=e,人=2 B.=c,h=2C.a=eT h=-2 D.a=e,b=2【答 案】C【解 析】【分 析】求出函数的导函数，依 题 意 可 得y L =3,即可求出。，再将切点代入切线方程，即可求出6：【详 解】解：y=aex+arev+,k=_/|1=“e+ae+1 =2ae+l=3,xae=l,.a=3=e，将(1,1)代入 y=3x+b 得 3+b=l,；=-2.故选：c.例33.(2022江苏苏州模拟预 测)己 知 奇 函 数 尤)=任-2x)(办+A)(a手0)在 点(,/()处的切线方程为y=/(a)，则。=()A.T 或1 B._空 或 型 C.-2或2 D.-生 叵 或 延3 3 3 3【答 案】D【解 析】【分 析】由函数为奇函数可得力=2a,根 据 切 线的斜率为0建立方程求出即可得解.【详 解】由/(x)=(x2-2%)(分+/2)(。*0)可得 f (x)=ax3+(b-2a)x2-2hx,因为x)=-.f(x),所 以b 2a=0,解 得6=2a.所 以V=/(a)=aJ 4/,故切线斜率k=f(a)=0,又/。)=。(3/-4),所 以7(a)=(3/-4)=0,解 得“=辿或=-短，3 3所 以/,=一 逋 或生g.3 3故选：D例34.(2022云南昆明模 拟 预 测(文)若 函 数/(x)=a 4 +lnx的图象在x=4处的切线方程为丫=+匕，则()A.a=3,b=2+ln4 B.a=3 9 Z?=2+In 43 3C.a=-t 6=l+ln4 D.a=-9 匕=l+ln 4【答 案】A2 2【解 析】【分析】利用导数的几何意义可求出结果.【详解】/(X)的定义域为(O，x),/，W =-7=+-,2 jx x由题意可得r(4)=i/(4)=4 +6解得a-4 +l n4 =4 +。=3b =2 +l n4故选：A例 3 5.(2 0 2 2 河南方城第一高级中学模拟预测(理)已知直线/的斜率为2,7 与曲线G：y =x(l+l nx)和圆C 2：f+y 2-6 x+=0 均相切，则”=()A.-4 B.-1 C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】设曲线G的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径即可求得 值.【详解】设直线/：2 x-y +%=0 与曲线C 1相切，切点为+因为y =x(l+l nx)的导数为y =2 +l nx,由2 +山 七=2,解得与=1,所以切点为(1,1),代入2 x-y +m =0得,=-1,所以切线方程为2 x-y -1 =0.将 9+)，2-6 +屋=0 化为标准方程为(x-3 +y 2=9-()可以作曲线y =l nx 的两条切线，贝 I()A.a nb B.bna C.nba D.na0恒成立，x)在定义域内单调递增，不合题意；当a0时，0 x a时，-。)a 时,f(x)0,/(x)单调递增,所以/(x)m m =/(a)=l n“+l ,结合图像知 A+l l n a +1,即 6 l n a.故选：D.例3 7.(2 0 2 2河南洛阳三模(理)若过点P(l j)可作出曲线y =Y的三条切线，则实数，的取值范围是()A.(-o o,l)B.(O,+8)C.(0,1)D.0,1【答案】C【解析】【分析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，y =f与g(x)=32 -2/,借助导数研究函数g(x)的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解.【详解】由已知，曲线y =V,即令/(x)=x 则 力=3/,设切点为(x。/；),切线方程的斜率为了(%)=3毛2,所以切线方程为：y-x=3 x(x-x0),将点尸(1 J)代入方程得：f%3=3而2(1一%),整理得f =3%2 2%3,设函数g(x)=3 2*3 ,过点尸(1,。可作出曲线y =*3 的三条切线,可知两个函数图像V=f 与 8(幻=3/一 2/有三个不同的交点,又因为 g (x)=6 x-6/,由 g (x)=O,可得 x=0 或x=l,所以函数g(x)在(-8,0),(1,y)上单调递减，在(0,1)上单调递增,所以函数g(x)的极大值为g =3-2 =1,函数g(x)的极小值为g(0)=0-0 =0,两个函数图像有三个不同的交点.例 3 8.(2 0 2 2 河南洛阳三模(文)若过点P(l,0)作曲线y =x，的切线，则这样的切线共有()A.0条 B.1 条 C.2条 D.3条【答案】C【解析】【分析】设切点为,求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点P在切线上，即可代入切线方程，解得吃,即可得解；【详解】解：设切点为(%，X；),由y =Y,所以y，=3/,所以川 =3 婿，所以切线方程为广天3=3%2(%),即y =3 x0 2 x_2 xo 3,因为切线过点尸(1,0),所以0 =3 嫣-2/3,3解得%=0或=所以过点尸(1,0)作曲线y =V 的切线可以作2条,故选：CX例 3 9.(2。2 2河北高三阶段练习)若过点也 可以作三条直线与曲线er 7 相切，则 7 的取值范围为()A.卜。,下)B.C.(-,0)D.卜 F【答案】D【解析】【分析】本题为过点P的切线，切点为(,段)，可得切线方程)亲=詈 一 ),代入点P坐标整理为 7 1 =*一：。+1 ,即y=m 4 /(x)=x-x+l有三个交点e&e【详解】由丫=m，则y =M，设切点为1与,),则切线斜率左 二 詈则在点卜。，自 卜 勺切线方程为-誉=宏4 一七)，代入点尸坐标得初-整理为刀=,一：。+1,即这个方程有三个不等式实根，A令/0)、=x2 x-+，则m.|、x2+3 x 2f M =-，e e令(x)0 则 l v%2函数x)在(-8,1)上单调递减，在(L 2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，故得了?0,解得：-2 X-1,所以/(力 在(2,-1)上递增；令，(力 0,解得；x -1,所以f(x)在(-8,-2)和(-1,+00)上递增.要使方程机=(-肃-题-1)寸 有三个不等根即可.1只需/(一即-x0,若过点(a )可以作曲线y =V 的三条切线，则()A.h0 B.0 b a D.匕 9一/)=0【答案】B【解析】【分析】f k =3 x 2设切点为(毛,而3),切线方程为y =A：(x-a)+b,求出函数的导函数，即可得到 ,、3，整理得2 x；-+方=o ,令g(x)=2/-3 依2 +6,利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意g(x)有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；【详解】解：设切点为。,与 3),切线方程为y =k(x-a)+b,由)，=n 3,所以？=3 _?,所以川 小=3 年，k=3 x?则，/、,3，所以2 x；_ 3 a x 2+6 =0,K xQ-a)+b=xQ令 g(尤)=2 x3-3 ax2+b,则 g(x)=6 x2-6 ax=6 x(x-a),因为4 0,所以当X o ,当0 c x 4时g(x)。且g(x)极 小 值=g(a)=b-a 3 。，即Q b a =s i n e,b =c o s。，由 /(x)=t z s i n x+/c o s x+c r,得/(x)=a c o s x-b s i n x+c =s i n 6 c o s x-c o s e s i n x+c=s i n(。-x)+c,所以c-14/(x)4c+l由题意可知,存在苍，够,使得广(百)/也)=-1,只需要匕-1|卜+1|=k 2-心 1，BP c2-l -l,所以，40,c=o,a +6 +c =a +b =s i n e +c o s O =0s i n(e +：卜 0 所以a+c 的最大值为0 .故选:D.【点睛】解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出c,再利用三角函数的性质即可求解.例 44.（2022全国高三专题练习）已知函数加）=/+2的图象在点A（x/,於/）与点8（孙 应T 2）（X/X20）处的切线互相垂直，则及一X/的最小值为（）A.B.13C.-D.22【答案】B【解析】【分析】求出导函数;（X）,由切线垂直斜率乘积为T 得为，%的 关系，计算w-不，用基本不等式求最小值得结论.【详解】因为 X/X 20,j（x）=x2+2 x,所以/（x）=2r+2,所以函数凡r）在点A,8 处的切线的斜率分别为了（制），/（X 2）,因为函数负用的图象在点A,8 处的切线互相垂直，所以/（X/（X 2）=-1.所以（2X/+2）（2X2+2）=-1,所以 2x/+20,所以 X 2x/=g（2/+2）+（2X 2+2）/-（2 +