2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第16讲 数列不等式的范围与最值问题（解析版）.pdf

第16讲数列不等式的范围与最值问题参考答案与试题解析一.选 择 题(共3小题)1.(2 0 2 1秋武昌区期末)已知数列 6,的前项和-设“=一，7；为数2 2 ana+l列他“的前项和，若对任意的 eN*,不等式2 7；9+3恒成立，则实数2的取值范围为()A.(-o o,4 8)B.(-o o,36)C.(-co,1 6)D.(1 6,+o o)【解答】解：由题意，当=1时，a,=S.=12 4 =1.1,2 2当几.2时，3 1 3 1-(n-I)J =3n-2 ,2 2 2 24=3 -2 ,e N *.则 bn=-?-=-(-).%+(3-2)(3+1)3 3九 一2 3H+1设数列 2的前项和7；，则Tn =+2+.+，3 4 3 4 7 3 3n-2 3n+1=-(1-)3 3 +1n-3 n+r.对任意的wN*,不等式;1(9 +3恒成立，.对任意的“eN*,不等式；1一 9 +3恒成立,37 7 4-1即对任意的“eN*,不等式2 0n+1 n n n+1)数列 g 是单调递增数歹数列 c“的最小值为q=4 8 .-.A 1 2 8 的任意/,当.也都成立，则实数机的取值范围是（）A.(co ,6 B.(co ,8 C.(o o ,1 0 D.(一 co ,1 2【解答】解：由题意有可得R+%2 =1 2 ,=7 ,4=8.又=1 0 2 4 ,=32 ,公比夕=2,an=a4./-4=8 x 2r t-4=2w-1,故满足4 1 2 8 =2?的/的最小值等于9.=7+=-(f-7)-1 4 =_1_1 4 _)在+o o)上是增函数，k-t 7-z t-1 r-7故f取最小值9 时，巴 有 最 小值为一 8,由题意可得-8.功，即实数m的取值范围是(-8,-8 ，故选：B.二.填 空 题(共 4 小题)4.(2 0 2 1 秋淮安期中)已知数列为=3,记数列 的前项和为7；,若对任意的 e N*,-1 7(7；,+士火.3-6恒成立，则实数人的取值范围北.一.2 2 7【解答】解：4=3,3(1-3)3(3-1)/=-=-3n-6 2 一 42（九+1）4 2-4 1 0-4/?数列:前 3 项单调递增，从第3 项起单调递减,.当”=3 时，数列 让 3有最大值工,故答案为：A:.5.(2 0 2 1 秋广东月考)已知数列 “的前”项和M-4-g yi+ZS eN*),设数列 Q J 满足：4。-3)=(-1 广/1 (/1 为非零常数，e N”)，存在整数几，使得对任意e N*,都有则 4=一 1 _-【解答】解：5“=一 4-(g)T+2(w N*),4 =S=-4 -1 +2,解得 q=g.九.2 时，an=Sn-S _t=-an-()1+2 -+2,化 为:2 a“=4T+变形为：.数列 2%“是等差数列，首项为1,公差为1.2n an=1 +-1)=，na,t=27,)=(-1尸加1(2为非零常数，nwN*),与 -3)=(1)F，.4=3+(-1)1九2”,.存在整数4,使得对任意GN*,都有r.3用 +(-ir2.2n+l 3+(-1),-|2.2,化为：（|r +（-I）2 0,a=2攵-IG tcN）时，4 -（-）2.2.4为非0整 数.则；1 二 一1.2故答案为：-1.6.（2021 沈河区校级四模）数 列 4 满 足：q=I 1+4=，,记S.=f d，若S2+l-S 对任意的nn e 乂）恒成立，则正整数，的 最 小 值 为10.【解答】解：.数列 4 满足：a,=l.U +4=，.L =4,V an n+1 册二数列（a；）是以4为公差、以1为首项的等差数列，易得：/1 a，令g（）=S2“+i-SJ4n-3而 g（）-g（+1）=a：+i _ a；“+2-a2n+3 =7 r-0，为减数列，4n+l 8+5 8+9所以：&“+s熟 q 4，而f为正整数，所以，0 =107.（2021 江西模拟）已知函数f（x）=_,点O为坐标原点，点4（J 5）（eN*）,向x+2量 f=（O,l）,必是 向 量 西 与 f 的夹角，则使得COS 4+COS+C O S+c o s 0nsin 0 sin 02 sinsin 2r 恒成立的实数/的取值范围为一4【解答】解：根据题意得，会 是直线。儿 的倾斜角cse=s呜-幻 酝I。吗-即=t an(-,)J()n1n(n+2)12 n n +2):co sO,co s。、COS 0,COS 0-L+-4-+-si n 02 si n Oysi n 0n1Z I 1、1J 1、1J I、1 J 1 、=5。一/汉 一/+为一/+5（丁苗）1 ,1 1 1 1 1 1 1 、=(1-H-1-+_ H-)2 32434 n n+21 1=-(1+-2 2 n+n+2)3 2/1+3 3=-一;4 疗+3 +2 4要加 使/士 -C-O-S-0.L +-C-O-S-a+-C-O-S-a-+C-O-S-0-n 0,不等式2 b g M +2/+4+5恒成立，求k的取值范围.k【解答】解：(1)当九=1时,a=2 a1-2,即q=2,当 n.2 时,an St t Sn_j=(2 an 2)(2 an_l 2),故 an=2 al i_i，所以数列 a,是首项为2,公比为2的等比数列，则求 ,的通项公式为an=2；(2)由(1)知1皿,=/陷2=三，logM”=%2 =等，所以“二-1-lo&a jIo gM zn 7 7 +1-2 24(+1)=4(-，n n +则 2 的前项和为h=4(1 一 )+4(、一?)+.+4(-)2 2 3 n w+l=4(1-)；+1(3)由(1)知Iog4 4=/og42=4,n所以 2/o g 4%+2=2+J+2,k k k从而不等式2bg&q+2/+4+5k等价于+2,/+4+5,k又4 0,则上式整理可得 kn2+(4k-l)n+5 k-2.O,则=(4%1)24以54一2)=1-4 优，0,解得k.L29.（2021 温州模拟）已知等差数列 ,满 足&=2,0一=1,数列 七 的前项和a+4+S =b-2n+2-4,n&N.（1）求数列 4、的通项公式;（2）记数列伍也,）的前项和为7；,若存在正数4，使 纸 _迈 对一切w N*恒成an n-9 +36立，求”的取值范围.【解答】解：（1）,数列/?“是等差数列，伉+&=2+，b4+b5+b6=3b5,由-4 =1,得 星=1,.久=3.4+4+4 3b$又T 7 仇,=2,:.d =b.、-h-,=-3-2=1 ,m贝.iij仇.=2+一1 (z-3八)、=-+-1;5-3 2 2 n 2 2:也=1,则 S“=*2M+2-4 =2+2-4,当=1 时，4=5=4,当.2时,an=S-S i=2n+2-4-2n+l+4=2+l,验证”=1时成立,%=2”；(2)由(1)得，生也,=2|.号=(+1).2,1 (=2x 2+3x 2?+4x 23+.+(“+1)2,2 T=2 X 22+3 X 23+4 X 24+.+(M+1)2,+I,两式作差可得:-7；=4+2?+23+2 -(+1)2B+1=4+(+i)2-1-27；=/i-2n+,./-对 一 切 恒 成 立，an 2-9 +36:.k -对一切n G N*恒成立，即&且-对一切 N*恒成立,/-9+36 +电-9n6令 g 5)=n则g()=盘，=2，当且仅当=6 时等号成立.+生 _ 9 2 病-9n:.k 2.故实数k 的取值范围是(2,z o).a10.(2021春浙江期中)已知数列 满足4=3,%=；，且 2a“+|=3a”-a”7.(1)求证：数列伍的-4 是等比数列，并求数列 通项公式；(2)求数列 4 的前项和为7；,若 7；1 2-4 对任意的正整数恒成立，求 女的取值范n围.【解答】解：(1)证明：2 an+i=3a -a _,数列 an+l-a 是首项为-，公比为的 等比数歹I,又”=1 也适合上式，(2)解：1-Tn=3x(1)+6x(1)+9x(i)2+.+3w x(1)-,(D.；4=3 x (?+6 x$+.+(3 _ 3)x (与-+3”*(与 ,2 2 2 2 2由 一 得3 _(l)n 7；=3+3x(1)+3x(l)2+.+,zxr1-3x(lf =2_3x(；)=6-6x(；)-3x(1-7；=12-(6/7+12)x(1),又 T.2-七,nk (6+12)()n,令 c”=”(6+12).(g),由 c用一 c“=(+1)(6”+18)(；)-(6+12).(1)H=3(g)(3-n2).,.当 =1 时，c+l c；当”.2 时，c+l 12.11.(2021秋沙河口区校级期中)已知数列 q 满足S,=，等比数列 满足旬=4,d=16.(1)求数列 a,),数列 的通项公式；(2)求数列 4 也,的前项和7；(3)在(2)的条件下，当几.2时上二、+25.，恒成立，求我的取值范围.T.-22【解 答】解：(1)数 列 满足 S =；,.,.71=1 时，4=5=1；.2 时，n2+n (n-1)2+(n-l)4 =S,1S“T=-=n ,n =1时也满足，an=n .设等比数列 “的公比为q 0，.,包=4,Z 4=16.;.丽=4,b=1 6,解得伉=2,:h=2.(2)a bn=n.2n.数列。,直 的前项和1=2 +2*22+3*23+小2,27；=2?+2x2?+.+(n-1).2+.2同，.-T=2+22+.+2-=2(2-1)-用，2-1.1.7；,=(n-l).2w+,+2.(3)在(2)的条件下，当.2 时 +2 5.恒成立，等价于：嫁 出+2心(2)恒成立.”2 时，击+2 J 2 断获总，当且仅当=2 时取等号.七1.的 取值范围是12.(2021春青秀区校级期末)已知数列%的前 项和S“=2+2 4(WN ),数列 2 为等差数列，且满足2+仇=4,仇=3.(1)分别求数列 4 、的通项公式；(2)若数列 Q,满足。=4,女，7；是数列口 的前项和，若存在正实数k,使不等式k(n2-9 +36)6n2an对于一切的n e N*恒成立，求k 的取值范围.【解 答】解：(1)数 列 a的 前 项 和 S“=2+2_4(eN.),n.2 时，afl=Sf l-=2+2-4 (2向 -4)=2向.=1 时，aA=S=23-4=4.=1 时满足上式，.%=2 .设等差数列 2 的公差为d,.2+d=4,么=3.24+4d=4,4+4 d =3,解得伪=1,r泣.1z 八 九+1=i+5(-i)=-(2)dn=anbn=(n+l).2.7；=2x2+3x22+4x23+.+(“+1).2.27；,=2 x 22+3 X 23+.+n.2+(+l).2+l,:.-Tn=4+22+23+.+2-(n+l).2+l=2+；)-(+l).2n+1,可得：Tn=n.2n+.不 等 式 红 2 _ 9 +36)毒 6包,即 不 等 式 A W _ 9 +36).2M 6n2.2n+1,化为:,6k -优 一 9+36，不 工=2,当且仅当 =6 时取等号.n+,36-9o 2-9n.,存在正实数,使不等式以2 -9 +36)北 对 T*一切的 M 恒成立，:.k 2.即k的取值范围为（2,+o o）.1 3.（20 21 宝山区一模）已知数列 4 的前项和为5“，q =1,3%+4 S,=3（为正整数）.（1）求数列 可 的通项公式；（2）记 S =q+%+4+，若对任意正整数，修 5,恒成立，求后的取值范围？（3）已知集合4 =+4,（“+l）x,a 0 ,若以a 为首项，a 为公比的等比数列前w 项和记为7；,问是否存在实数使得对于任意的 e N*,均有7；,A.若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【解答】解：由题意知，当”.2时，叨+”“=：两式相减变形得：入=（l 3q,+4 S“T=3 a 3又”=1 时，=,于是生=-L.（1 分）-3 a,3故 4 是以4=1为首项，公 比 的 等 比 数 列.4=7T,（*）（4分）3（-3）13 4 1（2）由 S =-=得 S =1-=f（）.（5 分）1+1 4 3 （-3）”3当w 是偶数时，/（）是的增函数，于是/（）.,”,=2）=，故人 当 （7分）当”是奇数时，/（）是 的减函数，因为l im f（）=l,故匕,1.（9 分）“一 00综上所述，k 的取值范围是（-8,号）（1 0 分）CT+。1.0（3）当a.1 时，A =x|掇!k a,%=+/,若w A,贝 U 掇/+片a.得 八 0a.A此不等式组的解集为空集.即当。.1 时，不存在满足条件的实数。.（1 3分）当O v a v l 时,A =x c!k 1）.而（=a +a2+.+a =，-（1 优）是关于”的增函数.l-a且 以仇。p l im l imi tsnJTn=0,故（e a,.（1 5 分）-a L l-a）因此对任意的要使4WA,只需V0 （7 1a 解得0 cn_x,当.4 时，cn _ 11 2=3 =万，故.6c3 =3，即1 的取值范围为|,+00).15.(2021春东湖区校级月考)已知数列 a,满足：a+=-a 2 2/7(1)求数列 4 的通项公式;(2)求数列 外的前项和S“；(3)若集合4=川2-5”.耍 1 中含有4 个元素，求实数2 的取值范围.n+n【解答】解：(1)由题意得=，a 2 n当几.2 时，也.%限 4n n-2/2-2,T又 也 满 足 上 式，故4=/；.(3分)(2)由(1)可得S“=g +|+城+,1 c 1 2 n-n e2 22 23 T 2n+G 一自如 得/1 o=万1 1 +齐1 济1 产n=1i +2所以 S,=2-9.(7 分)2”(3)由(2)可得2-邑=年，所以2-S,展箸4 0 9 21-2,即4,广 n2+n 2n n2+n 2令/()=2：(wN*).则/(1)=1,/(2)=3,f(3)=93，/(4)5=1,A 5)=315,2 2 4 1 6因为人+1)7()=琮 g 一 耍(/?+1)(2 -n)所 以,当几.3 时，/(n +l)-/(n)0,即/(+1)f(4)f(1)f(5).,:.f(5)A,/，1 5 ,.4,1.1 61 6.(2 02 1 天津校级二模)已知数列 4,4=1,前项和S“满足 5,用 一(+3 电=0,(I )求%的通项公式；(I I )若=4(%y ,求数歹IJ (-1)b j 的前 项和 T；n(I H)设。=2 (2-团，若数列 Q,是单调递减数列，求实数4的取值范围.【解答】解：(I )由已 知&=9,且 6=4=1,s.n当.2 时，-若 吉 啥7 7 +2 +2)n-16也适合，当”.2时，4-,1 =(丁),且q也适合，5 +1)a =2(I I )勿=4(4)2 =(+1)2,设。=(_ 1)”(+1)2,n当 n 为偶数时,C,I +a =(-l)n-l n2+(-1)4 +1)2 =2 +1,5+(2/2 +1)Tn=(C,+C2)+(C3+C4)+.(C-i +,)=5 +9 +.+(2 n 1)=-(+3)2当 w 为奇数时，Z,=T.7+弱=(-l g +2)_(+1)2 =_ 2 +；+4,且 i=G=y 也适合.一汇+3 +4（为奇数）综上得7；=:也 上D（为偶数）（I I I）.Q,=2 （4-4）,使数列同 是单调递减数列,4 9则 小一。,=2 (-2)0,对 都 成 立,+2 +1则（4 +2-3),1 m a xn +1 几 4 _ _ _ _ _ _ 2 _ 2._ 2 +2 +1 5+1)(+2)+3 +2n13当 =1或2时,+2 +11 7.（2 0 2 1春天津校级月考）设数列5,为数列 七 的前项和,且S,=2 a“-2向，=1,2,3.（I）求数列 ,的通项公式；（I I ）设仇,=l o g.“2 ,数列/?“的前”项和8“，若存在整数/，使得对任意e N*且.2都有 成立，求m的最大值3.“2 0(I I I)设。=刍-1,证明：+-1-3 +3 3 +3 3 +3=0,即/(n 4-1)/(/?)，数列f(n)为递增数列,当.2 时，/()的最小值为 2)=：+；+；+：=为，由题意知 布 言，加的最大整数值为18；(III)证明：。“=2一 1 =2-1,+11 _ 112n-2j_ 124 cJJ-I则 s-),G 2 c2 G C,c2 2 c+l即 s Z=_L 2.G C+i 3 Cn+l 318.已知数列/是各项均不为0 的等差数列，公差为d,S”为前项和，且满足n e N*,数列 2 满足“=-，为数列 4 的前，项和.(1)求数列 an的通项公式/和数列 的前项和Tn；(2)若对任意的 c N*,不等式47；8(-1)-10恒成立，求实数；I 的取值范围.【解答】解：.,d=S2.ne N”,.口 2 二(2/-1)(。+生,1)=(2 n-l)an,2 a A 0,4 =2 1,*n,=_1 _1_ _ _1 /z_ _1_ _1_ _ j、一凡 用(2-1)(2 +1)-2 2 -1 2/1+1+(-2/1-1-)=(1-)=-2 +1 2 2 +1 2 +1(2).27；8x(1)-10,恒成立，8x(-1)-10恒成立，2 +1当为奇数时，有;l v-18(2+2)恒成立，解得：2-18(2+-)=-5 4：n1当 为偶数时，有;1-2(2+!)恒成立，解得：A-2(2+-)=-5；n2综合知：A-54,:.A的取值范围为(7),-54).19.(2021春齐齐哈尔期中)已知数列 ,满足q=2,an+l-2 a=2+.(1)求数列%的通项公式;(2)记,=(一1)+4 +2)2”,数 列 电 的前项和为骞，若7；+(T)+i/l 0对任意正整数w恒成立，求实数4的取值范围.【解答】解：(1)数 列 应 满足4=2,-2 4 =2叫.4 _ 1.-;-1,2.数 列 争 为等差数列，公差为1,首项 为 卜1.墨=1 +n 1 =，可得：an=n*2.(2),(-l)“W+4+2)2(-1)(2+4”+2)2(-l)n(n2+H)+2(M+1)+M(-1)(-1)(-l)+lb-=-=-=-1-.2.(n+l).2+l M(n+1).2,H|2 n.2(n+l).2+1-1+一2当为偶数时，21,+(-1 严/l 0,+噌4令，、则 f(n +1)f(n)=+5-(-)/,+2-(!-)rt+,=(i)M+,.一犷 03(+2)2 35+1)2 2 6(+1)(+2)f(n +l)-+/(%=-+/=-.当为奇数时，2 +8 时，/(/?)-0.综上可得：-Z%=8,.S S,-S“S2_n+2 n+4-.，Snn i.Snn 9i 5,S.n-n 1zj-l 1,Sn _(n+2)(+)n _(n+2)(+1)，.、.=-(n.Z),5,3-2 6=q =1满足上式，(+2)(九 +l)n.3=-“6M o n-4-c c n(n-bl)(n+2)(n-l)n(n+l)(+l)(2)几.2 时，见二S-S“=-=-当=1时，4=1符合上式，:.a =5 +D 2n n 2(3)CN=2 -2)=2W(-2)=2-2),an i+1)H+12 QJ 是 递 减 数 列:N n sN*，cn+l dno 74?4?2,+l(-A)-2 2 2 -.,+2 +1 几+2 +l +2+l只需2 (上;一二7),皿设数列乩 的 通 项 公 式=上；-二，n+2 n+2+1即4 2,4 2、4 6 2,。、4n(/t+1)-6n(n+2)+2(n+l)(n+2)4 2(+1)(+2)(+1)(+2)时，。-*0 ,且 对 一 切“e N*,有a：+$+a：=S；,其中Sn为数列a的前 项和.(1)求证：对一切“c N*,有。3-4 田=25;(；(2)求数列 4 的通项公式；(3)求证：幺乌.况2%6 a2 n 也 用【解答】(1)证明：+a；=S；,.a：+嬉+a：+=S：+,两式作差可得：光 氏=匕(+i+5)(S+I-S)=t l3,即 a,*(5+1+S)=0，得 5+|+S,=,则 2Sn+1=4+：,。+1 -。+1 =2S“；(2)解：当”.2时，由匕 。向=2，及a；-4=2 S“T，得(a“+i a)(an+a)=an+t+a,+i+0 =1当”=1 时，a；=S，=a；,q 0,可得4=1;当九=2 时，a,5+a2=S22.得到 1 +a：=(1+a?)?,5La2 0 解得=2，a2-ax=1,满足an+l-an=,则数列 4 是 以 1为首项，以 1 为公差的等差数列，其通项公式为q=l+(-l)x l=:(3)证明：要证不等式幺。一=成立,a2%4%也 向山 1、1 3 5 2 n-l 1即证一 X-X-X.X-.,2 4 6 2n 12n+l24 62/i2 4 6 2n X X X.X-3 5 7 2+1,;M N ,:.M2 MN=,-=2n+,2+l则幺幺巴.包zLv成立.a2%a6 a2 M”+122.(2021广东二模)已知数列 6 满足 a“,1+a“=4-3(N*).(1)若数列%是等差数列，求 4 的值；(2)当4=2 时，求数列”的前 项和S”；(3)若对任意e N 都 有 生 土 吗.5成立，求 q 的取值范围.%+4+i【解答】解：(1)若数列“是等差数列，则/=q+(-l)d,。+|=4+/zd.由 a +i 4-at l=4-3,得(4 4-n d)+4+(-l)d=4-3,即 加=4,2 q-d=-3,解得 d=2 ,(2)由 a*+4 =4-3(N),得。“+2+。“+1 =4+l(N).两式相减，得一%=4.所 以 数 列 是 首 项 为4,公差为4 的等差数列.数列 4 是首项为2,公差为4 的等差数列.由 4 +4=1，4=2,得 名 =1.2 n,n =2 k-所以,=|(ZeZ).2 n-5,n =2 k 当 为 奇 数 时4=24+i=2/z-3.Sn=q+4 +q +.+4 =(%+/)+(/+%)+(4-2+4-1)+。匕 x(l+4-U)=1+9+(4-11)+2=-+2=22 n2-3+52 当 为 偶 数 时Sf J=q+%+%+.+Q n=(q+%)+(%+%)+(。一 +%)=1 +9+.+(4-7)=所以S=0,.S；-4s“+3,0 恒成立,.啜氏3,当 为奇数时，1 ,当 为 偶数时，1弓，1 .l-(-g)的最大值为3,最小值为？，2,解得2效配3.即所求实数机的取值范围是 2,3