2022届北京市高三下学期仿真测试数学试题（解析版）.pdf

2022届北京市育才学校高三下学期仿真测试数学试题一、单选题1 .集合尸=x e Z|O V x 3,M=x e/?|.r 9|,则 Pc=()A.1,2 B.0,1,2 C.x|O x 3 D.x|0 M x M 3【答 案】B【分 析】本题首先可以确定集合户与集合中所包含的元素，然后根据交集的相关性质即可得出结果.【详 解】因 为/V9,即-3 M x M 3,所以 M=x e R|-3 4 x 4 3,因为 P =x e Z|0 4 x bc【答 案】DB.b a cC.b c aD.c b a【分 析】三 个 数 分 别 和1比较大小，再结合单调性比较，即可得三个数的大小.【详解】a =l o g32 l o g33 =l,1 /?=20 1 20,5 30,5=c所以故选：D4.在(x-a)的展开式中，炉的系数为()A.6 B.12 C.24 D.48【答案】B【分析】由(X-女)展开式的通项，由厂=2 得出Y的系数.【详解】(X-a)4展开式的通项为C 04-应)由4一厂=2,解得r=2,则X?的系数为=6x2=12故选：B5.设向量Z=(coscr,sin/?),则“问=是”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用平面向量的模长公式、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】充分性：取a=?,=印则2=(2 冈11与)=；，-,此时同=葭但a w ,充分性不成立；必要性：若a =,贝!a=(cosa,sin/?)=(c o sa,sin e),所以忖=1,必要性成立.因此，“忖=1”是 a =4”的必要而不充分条件.故选：B.6.记S,为 数 列 的 前 项 和.若=(8-数(“=1 2 ),则()A.q 有最大项，1 有最大项 B.有最大项，*有最小项C.4 有最小项，S,有最大项 D.4)有最小项，S.有最小项【答案】A【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析 a,的最大项，再分析伍,的符号，据此分析可得 S J 的最大项，即可得答案.【详解】解：根据题意，数列 ,纥=(8-)=8”-/,对于二次函数，y=-x2+8 x,其开口向下，对称轴为x=4,即当x=4 时，y=-x?+8x取得最大值，对于 ,=4时,最大;且当 L,0,当 =8 时，an=0,当 8 时，。07.己知函数f(x)=n)则函数y =/(x)-泗的零点个数是I x,x 0.=2 n=。丫 ，作出函数,f(x)与函数丫=2凶的图象如下图所示：国,由图象可知，两个函数图象的交点个数为2,故函数y=f(x)-2 W的零点个数为2.故选：C.【点睛】方法点睛：判定函数/(x)的零点个数的常用方法:(1)直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果;（2）数形结合法：先令 x）=0,将函数“X）的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.8.已知直线/：奴+勿-3 =0 经 过 点 则 原 点 到 点 尸（。的距离可以是（）A.4 B.2 C.D.g2 2【答案】B【分析】分析可知，点P在圆d+（y-1=4 上，利用圆的几何性质可求得|O P|的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】由 题 意 可 得 仅 2）3 =0,即/+0_1 =4,即 点 尸 在 圆x2+（-l）2=4 上，.-02+（0-1）20),%=x?(x0),为 =e*(x0),必=lnx(xl)在坐标系 xy内的图象,变换为坐标系”O内的四条曲线(如图)依次是A.，B.，C.，D.，【答案】A【分析】用 x,y 表示出a,h,根据反正切函数的单调性得出各自图象的，匕的范围及大小关系，从而得出答案.x=tana a=arctanx【详解】解：由 人可得,，y=tanb/?=arctanyJ T对于”=ex(x 0),显然)，31,.b=arctany3,对应的图象为;对于(x 1),a=a r c t a nx a r c t a nl =,对应的图象为；对于 y/和 y2,当 0 x 9,a r c t a n2 x a r c t a i u2.即当 0 a a r c t a n”，对应的图象为，)，2 对应的图象为.故选A.【点睛】本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题.二、填空题1 1 .已知抛物线C：2=-2 p y经过点(2,-1),则 抛 物 线 的 准 线 方 程 是.【答案】y=i【分析】先将点代入抛物线方程求出P,然后即可得抛物线的准线方程.【详解】解：由题意得：抛物线C：*2=-2 万经过点(2,1).4=-2px(-l)=2 p,解得p =2准线方程为y.=i故答案为：y=i1 2 .设片，鸟为双曲线C：4-=1 (a0)的左、右焦点，点尸为双曲线C 上一a 1 6点，|用-忸 图=4,那么双曲线C 的 离 心 率 为.【答案】小【分析】根据双曲线定义知。=2,再由双曲线参数关系求得c =2 不，即可求离心率.【详解】由题意归周一归段=勿=4,则。=2,Xa2+b2=c2 则 c =2y/5 所以双曲线C 的离心率为e =石.a故答案为：7 51 3 .如图，楼长为1 的正方体A B C )-A&G R 中，P 为线段AB上的动点(不含端点),则 下 列 结 论 正 确 的 序 号 是.平面R AP，平面AAP；4 4 P A 的 取 值 范 围 是；三棱锥B厂 D.PC的体积为定值；D C J R P.【答案】【分析】根据线面位置关系判断，举反例判断，利用体积公式，判断，利用垂直关系的转化判断.【详解】。0，平面4 4 尸，.平面。，平面4 3尸，正确；若尸是AB上靠近4的一个四等分点，。尸=1+哼 =/，此时1 /A P2=A 4,2+A,P2-2x P xc o s 4 5 =-,D.P1+AP 2 尸 平面B C E .(2)在平面ABEF内，过A 作 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz.求出平面BCF的法向量，平面A8户的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可.(3)解法一：求出平面ACE的法向量通过用汨*0,说明平面ACE与平面8 c 尸不可能垂直.解法二：假设线段CE上存在点G,使得AG_L平面B C F,设 函=4 屋，其中入团0,H.通过AG_L平面8C F,AG方得方程组，判断方程组无解，说明假设不成立.【详解】(1)；CDE F,且CE=EF,四边形C。/石为平行四边形，DF/CE.:D F U 平面 BCE,。尸|平面 3CE.(2)在平面ABEAl内，过A 作 Az_LAB.平面ABC_L平面A BEF,平面A8COA平面他 所=四，又 A zu 平面 ABEF,AzA-AB,Az _L平面 ABCD,：.A D L A B,ADA.Az,AzLAB.如图建立空间直角坐标系A-x)，z；由题意得,A(0,0,0),8(0,4,0),C(2,2,0),E(0,3,F(O,1,G)./.fi C =(2,-2,。)，B F=(0,-3,石).设平面301的法向量为万=(x,y,z),则“*二 n-BF=0即，2 x-2 j=0-3 y+Gz =0令y=i,则x=l,z=也,.=(U,平面AB F的一个法向量为9=(L 0,0),_ nv 石贝!co s cm1；7T；=、-.h l l v|5/.二面角C3F A的余弦值乎.(3)线段CE上不存在点G,使得AG,平面8C/,理由如下：f/n-A C =0 2百+2-=解法一：设平面ACE的法向量为沅=(再，加4),则 八，即 丁 占 八m-A E=0 3)、+/3 4=0令 乂=1,则=-1,z=-y/3,而=(一1,1,一百).*/mn 0 ,平面ACE与平面8 C尸不可能垂直，从而线段CE上不存在点G,使得A G _ L平面8 C尸.解法二：线段CE上不存在点G,使得A G J平面BCF,理由如下：假设线段CE上存在点G,使得AGL平面8 C F,C G =A CE 其 中&0,1.设GG，%，z?),则有(一2,%一2,Z 2)=(-2/U,&),；.X2=2-2A.,y2=2+A,Z2=V 3A,从而6(2-2九2 +/1,&),：.A G =(2-2A,2+A,y/3A).：A G _ L 平面 B C F,A G/n.七 2 2 A 2 +X /3A,有一;=-=j=，1 1 7 3 上述方程组无解，.假设不成立.，线段CE上不存在点G,使得AG，平面B C F.1 8.在某地区，某项职业的从业者共约&5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了 1 0 0名从业者，记录他们该项身体指标的检测6身体指标检W（1）求样本中患病者的人数和图中。，6的值；（2）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；（3）某研究机构提出，可以选取常数X o =+O.5 若一名从业者该项身体指标检测值大于X。，则判断其患有这种职业病；若检测值小于X。，则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的X。的值及相应的概率（只需写出结论）.【答案】（1）样本患病人数为4 0人，a =0.0 5,6=0.4；”；3 42 1 X 0=4.5,误判概率为荒.【分析】（1）根据等比例原则求患者人数，由频率和为I,列方程求“、b的值；（2）分别求出样本中指标检测值为4的未患病者、患病者人数，应用对立事件概率求法求概率；（3）判 断*0 =+0.5且=1,2,3,4,5对应的误判率，即可得结果.2【详解】（1）由题设，患病者与未患病者的比例为2:3,故患者人数为1 0 0 x 1 =4 0人；由直方图知：0.1+0.3 5+0.2 5+0.1 5+0.1+a =l,可得a=0.0 5,0.1+0.2+0.3+6=1,可得b=0.4.(2)由题意，指标检测值为4的未患病者有1 0 0 x x 0.1 5=9 人，2指标检测值为4的患病者有1 0 0 x 0.2 =8 人；所以指标检测值为4的样本中随机选取2人，这 2人中有患病者的概率的概率P =l-C22 =32 5.。3 4(3)若 A为未患病者，4为患病者，B,(i=1 2 3,4,5,6)为体指标检测值为i者，3 2所以 1 0 0 名样本中，(A)=1 0 0 x g =60,(4)=1 0 0 x =4 0,B2员京线未患病者62 11 5963患病者00481 21 6当X =1.5时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、54,当X 0 =2.5时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、3 3,当X。=3.5时，患病者、未患病者被误判的人数分别为4、1 8,当X 0 =4.5时，患病者、未患病者被误判的人数分别为1 2、9,当X()=5.5时，患病者、未患病者被误判的人数分别为3、2 4,误判率为 三54 3 3误 判 率 为 前误判率为 益2 2 ;2 1误判率为误判率为击2 7 ;2 1综上，当X。=4.5时误判概率最小为2 2以已知椭圆c：-上一点尸到两个焦点的距离之和为4,离心率为g .(1)求椭圆C的方程和短轴长;(2)己知点。(7,0),过左焦点且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于A,B,设直线A 3与椭圆C的另一个交点为E,连接或 求证：6。平分【答案】短轴长25(2)证明见解析.a=2【分析】(1)由椭圆定义、离心率可得,进而求得6=6,即可得椭圆方程和短c=轴长；(2)将问题化为证明KF,+左硒=，令4。为 =H x +4)联立椭圆，应用韦达定理、斜 率 两 点 式 并 化 简 g，即可证结论.3 =4 (,a=2 l【详解】(1)由 题 意 =1,贝 I c=1，b2=a2-c2=3,贝后,所以三+q=1,短轴长2 百.4 3(2)要证片。平分即4 月 =4 3 片。=/4 耳8，如下图示，由题意，设4。为y =H x +4),联立椭圆并整理得：(3 +4 公口2+3 2%2%+6 4-1 2 =0,uri、i 3 2%2 64k-1 2 口 .”,2、c mn 1 i 1所以彳A *+4L=-,x.xF=-J 3.A =1 4 4(1 4/:)0,BP k ,3 +4 公*E 3 +4&2 2 2而 kA F,+kE F,yA,yE _ kxA+),k(xE+4)_ klxAxE+5(X4+X)+8-十-十-4+1 xE+4+1 XE+xAxE+(xA+xE)+又 2XAXE+5(4 +/)+8=1 2 8公-2 43 +4/1 6 0k 2 3 2 A 2+2 4-7-7-3+4k2 3+4k2=0,所以+A m=0，故 FQ 平分NBF、E,得证.2 0.已知函数/(x)=o ln(x+l)+x2 (a e R ).(1)当 a=Y 时，求曲线y =/(x)在点(0,0)处的切线方程;求 函 数 的 最 小 值；设 g(x)=o r-l,证明：当a )上至多有一个零点,讨论。结合导数研究M x)的零点个数即可.【详解】由题意/(x)=Tln(x+l)+/且x -l,则 毛(x)=2犬_C=2(+2)(三D,X+l X+1由/(0)=-4 1 n(0+l)+02=0,A 0)=-4,故在(OJ(O)处的切线方程 y =-4 x；当;(x)0,可得x l,即f(x)在(1,钟)上递增；当r a)-l,则/、.)_+1 2),X+1当 aM()时 x+l-0,则 xw(-l,0),“(x)0,/?(x)递增；此时，M x)/i(0)=l,即网x)在定义域上无零点;当 0 a 2 时则 0 可得 x 0,(x)0 可得幺一1 x (0)=1,而x趋向-1时 x)趋向负无穷，此时，在 上 存 在 一 个 零 点；?y2当。=2时，”(%)=20,人。)在(-1,转)上递增且值域为R,此时力(工)存在一个零x+l点；综上，当442时曲线“X)与g(x)至多有一个交点.2 1.设 为正整数，集合A=a|af =(4月，3,)/*e()/,&=1,2,.对于集合A中的任意元素a=Q,七,和6=(%,丫2,2),记M(a,p)=g(玉+y _,一乂|)+(迎+丫2T x 2f|)+(七+%-|怎一约|).(I )当 =3 时，若 a =(l,l,0),夕=(0,1,1),求 M(,)和 M(a,夕)的值；(I I)当=4时，设B是A的子集，且满足：对于8中的任意元素/当a,相同时，M(a,)是奇数；当a,Q 不同时，M(a，?)是偶数.求集合B 中元素个数的最大值；(H I)给定不小于2的，设 B 是 A的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素a，B，M(a)尸)=0.写出一个集合8,使其元素个数最多，并说明理由.【答案】(1)2,1;(2)最大值为4;3 =(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0/,Q,0),。0,1,Q),(0,0,0,1)【详解】(I )Af(a,a)=|(2-0 +2-0 +0-0)=2,M(a,6)=；(1-1+2-0+1 -1)=1.(I I)考虑数对(工*,跺)只有四种情况：(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1),相应的强士生二匣二J 同分别为0、o、0、1,2所以B中的每个元素应有奇数个1,所以B中的元素只可能为(上下对应的两个元素称之为互补元素)：(1,0,0,0)，0,1,0,0)、(0,0,1,0).(0,0,0,1).(0,1,1,1)、(1,0,1,1)、(1,1,0,1)、(1,1,1,0),对于任意两个只有1个1的元素a,万 都满足A“a,是偶数，所以集合3=(1,0,0,0)、(0,1,0,0)(0,0,1,0)(“0,0,1)满足题意，假设B中元素个数大于等于4,就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素a,则互补元素中含有1个1的元素什与之满足A“a,。)=1不合题意，故B中元素个数的最大值为4.(I I I)B =(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),此时B中有n+1个元素，下证其为最大.对于任意两个不同的元素a,什满足A“a )=0,则a,目中相同位置上的数字不能同时为1,假设存在B有多于n+1个元素，由于a =(0,0,0,0)与任意元素万都有A“a,。)=0,所以除(0、0,0,0)外至少有n+1个元素含有1,根据元素的互异性，至少存在一对a,希茜足皿=m=1,此时M(a,6)1不满足题意，故B中最多有n+1个元素.