2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.pdf

专题6.1 平面向量的概念及其运算（真题测试）一、单选题1.（2 0 2 0 山东高考真题）已知平行四边形A B C D,点 E,尸分别是A B,BC的中点（如图所示），设 通=,AD =b,则 方 等 于（）A.B.耳伍-）C.万（-）D.-u-b2.（2 0 1 8 全国高考真题（文）己知向量露6 满足同=1,a b =-l,则人（2 6）=A.4 B.3 C.2 D.03.（2 0 2 0 海南 高考真题）已知P是边长为2的正六边形A B C D E F内的一点，则A P，A B的取值范围是（）A.（2,6）B.（6C.（-2,4）D.（-4,6）4.（2 0 2 1 浙江 高考真题）已知非零 向 量 反 屋 则=几”是3 =石”的（）A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件5.（2 0 2 0 全国高考真题（理）已知 向 量a,5 满足1 1=5,出|=6,a b =-6 则c os=（）AA.-3-1-Bo.1 9 C.T7 D.1 93 5 3 5 3 5 3 56.（2 0 1 9 全国高考真题（文）已知非零向量标满足口=2 恸，且&则2与石的夹角为7 1 -兀 -2 兀 c 5兀A.-B.-C.D.6 3 3 67.（2 0 1 8 浙江高考真题）已知公、5、工是平面向量，工是单位向量.若非零向量 与工的夹角为2，向量万满足7 一 4*5+3 =0,则|。一方|的最小值是A.6-1 B.石+1 C.2D.2-V 38.（2 0 1 8 天津高考真题（文）在如图的平面图形中，已知O M=1,C W =2,NM C W =1 2 0 ,B M =2MA,C N =2NA,贝 IBC-OM 的值为A.-15B.-9C.-6D.0二、多选题9.（2 0 2 2 全国高三专题练习）下列命题中，不正确的是（）A.若。为单位向量，月 方 ，则值二|同。B.若源区，Bi吃，则由发C.D.若平面内有四点ABC。，则 必 有 近+前=m+正d-d-a=a1 0.（2 0 2 2.广东.深圳市光明区高级中学模拟预测）在“A B C 中，D 为 B C 中 点,且 法=2 茴，则（）A.CE=-C A +-C B3 6B.CE=-CA+-C B3 3C.CE/(CA+CB)D.C E 1(C4-CB)1 1.（2 0 2 2 辽宁丹东模拟预测）已知人2 为单位向量，a +2b+3c=Q，则（）A.|a-c|=2B .b=cC.ab+反=0D.3a+2b+c=01 2.（2 0 2 2 全国高三专题练习）对于给定的4 3。，其外心为O,重心为G,垂心为，内心为Q,则下列结论正确的是（）A.uuu num i|UUU|2A C.A O =#qB.UUU UUU ULIU UUU HIKI ULU1H A H B =H A H C =H B H CC.A G+B G+C G=0D.若 A、尸、。三点共线，则存在实数丸使A P =4AB AC、同同7三、填空题1 3.（2 0 2 1 全国高考真题（文）若向量痴满足问=3,卜 叫=5,%=1,则恸=1 4.（2 0 2 2 全国 高考真题（理）设向量 ,b的夹角的余弦值为（，且同=1,M=3 ,则（2 3 +5）石b=1 5.（2 0 2 0 ,浙江省高考真题）设 q ,为单位向量，满足|2 1-石区a=et+e2,B =3 q+e 2,设，b的夹角为3，则c os?e的最小值为.1 6.（2 0 1 9 江苏高考真题）如图，在AABC中，。是 8 C的中点，E在边A B 上，BE=2EA,A ）与 C E 交于点。.若 殖 患=6而辰，则 就 的 值 是四、解答题1 7.（2 0 2 1 辽宇大连图二学业考试）已知卜卜 2 ,忸|=3 ,a 与5 的夹角为60”,c=5 a+3b d=3a+kb，当实数k为何值时，did.1 8.（2 0 2 2 全国高三专题练习）已 知 三 个 非 零 平 面 向 量 S，两两夹角相等，且|=1,|引=2,|?|=3,2a-b+3c.1 9.（2 0 2 2 浙江高三专题练习）已知同=1,|司=2,且（2 5+）4 -3 1）=-6.求切与5 的夹角。；求忖-2 司.2 0.（2 0 2 2 全国高三专题练习）如图，在等腰梯形A B C D 中，AB/C D,|AB|=2|DC|=2 ,Z B A D =,E是 B C 边的中点.D _/（1）试 用 而，而 表 示 衣，反；（2）求 丽.配 的值.2 1.（2 0 2 1 西藏 拉萨那曲高级中学高三期中（文）设两个非零向量与分不共线.,UUll 1 1 UUll 1 1 -,一.，（1）若 4 B =a +/7，B C =2 a +8/7，C D =3（a-b）,判断 A,B,。三点是否共线？试确定实数3使 坛+V 和9 +也同向.2 2.（2 0 2 1 全国模拟预测）已知平面向量 与囚满足 力=-2，已知2 方向上的单位向量为2，向量,在向量2 方向上的投影向量为(1)若Z+2B与-加垂直，求W的大小；3兀(2)若2 与B的夹角为4,求向量B与 y +3石夹角的余弦值.专题6.1 平面向量的概念及其运算（真题测试）一、单选题1.（2 0 2 0 山东高考真题）已知平行四边形A B C D,点 E,尸分别是A B,BC的中点（如图所示），设 通=,AD =b,则 方 等 于（）B.一（5 b）C.5（/?不）D.-u-b【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案;【详解】连结A C ,则A C为AABC的中位线，J 二 1 ;二 1 _ 1 T-EF=A C =a+b,2 2 22.（2 0 1 8 全国高考真题（文）已知向量第b 满足同=1,a-b =-l,P I O a-（2 a-b）=A.4 B.3 C.2 D.0【答案】B【解析】【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：）a-（2a-b）=2a2-a-h=2a1-（-1）=2 +1 =3,所以选B.3.（2 0 2 0.海南高考真题）已知P 是边长为2的正六边形A 8 C OE尸内的一点，则 而.而 的取值范 围 是（）A.（2,6）B.（6,2）C.(-2,4)D.(-4,6)【答 案】A【解 析】【分 析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得 到 Q在 初 方向上的投影的取值范围是（-1,3）,利用向量数量积的定义式，求得结果.【详 解】布 的 模 为2,根据正六边形的特征,可 以 得 到 Q隹 旗 方 向上.的投影的取值范围是（T，3）,结合向量数量积的定义式，可 知 丽 丽等 于 油 的 模 与 而 在A g方 向上的投影的乘积,所 以 丽 丽 的取值范围是（-2,6）,故 选：A.4.（2 0 2 1浙江高考真题）已知非零向量则是2 =百的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答 案】B【解 析】【分 析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详 解】如图所不，O A =a,OB=b,OC=c,BA-a b，当 A B.LO C时，a b 与 c垂直,=0，所以成 立，此 时 六5，1 2 r 5 不是。=5的充分条件,当。=3 时,a-b=6,：.a-b jc =O c=O,：.a.。-c 成，是万的必要条件,综上，不工 石盘是 的 必 要 不 充 分 条 件5.（2020全国高考真题（理）已知向量a,5 满足团=5,出|=6,a h=-6,则cos=（）A 31 R 19 17 19A.-b.D.35 35 35 35【答案】D【解析】【分析】计算出7（2+9、B+闸的值，利用平面向量数量积可计算出cos的值.【详解】,.|a|=5,同=6,a b =-6.a-a+b=|+a-fe=52-6 =19.1 +国=la+2a-b+b=j2 5-2 x 6 +36=7-_ _ _ a a+b 19 19因 止 匕，cos=,=.忖.卜+/?|5x7 35故选：D.6.（2019.全国高考真题（文）己知非零向量前 满 足，卜2 恸，且（-力 j_ 九则公与各的夹角为n 一 兀 一 2兀 -5兀A.-B.-C.D.6 3 3 6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透/转化与化归、数学计算等数学素养.先由0-初J L办得出向量石的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角.【详解】_ _ -2 ,a b b2 1因为（a-6）_ L b,所以（q _历石=百=0,所以出=片，所以以。=同 网=5|点=,所以a与5的夹角为（，故选B.7.（2 0 1 8浙江高考真题）已知公、万、是平面向量，5是单位向量.若非零向量 与工的夹角为（，向量方满足于一4耳5+3 =0 ,则|。/|的最小值是A.7 3-1 B.7 3 +1 C.2 D.2-5/3【答案】A【解析】【分析】先确定向量2、,所 表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设a =（x,y）,e=（l,0）,%=（m,），z则由（4r ,r6v）=17 r 得r r=佐.r i ,内 回 江 ，1=5i “i-2 -+-/-,.=土石广”，由力-4；-1+3 =0得 M+2 4加 +3 =0,（加一2）2+2 =,因此，的最小值为圆心（2,0）到直线丫 =氐 的距离乎=6减去半径1,为Q-1.选A.8.（2 0 1 8 天津 高考真题（文）在如图的平面图形中，已知0M=1,O N =2,N M O N =1 2 0【答案】C【解析】【详解】分析：连结M M 结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN,由 丽=2MA,CN=2 N A可知点M,N分别为线段AB,AC上靠近点A的三等分点，则 配=3 丽=3（两 一 两），由题意可知：O M2=I2=1 O M O N=I x2 xc os l2 0a=-1 结合数量积的运算法则可得：B C O M =3 O N-O M）O M =3 O N O M-3 O M2=-3-3=-6.本题选择C选项.9.（2 0 2 2.全国高三专题练习）下列命题中，不正确的是（）A.若a为单位向量，且1，则1 =若1 5，b/c 则。dC.a-a-a=aD.若平面内有四点A 8,C,则必有而+而=就+石【答案】A B C【解析】【分析】由共线向量的特征可知AB错误；由向量数量积运算的定义可知C错误；由向量线性运算可知D正确.【详解】对于A,.,W/e,.,.万 与。同向或反向，反=|司，或汗=一同。，A错误；对于B,若B =0，则源区，b/c，但万与C 可能不共线，B错误;对于 C,a-a-a=af-ci,C 错误；对于 D,DC=A C-A D =B C-W :.AC+BD=BC+AD D 正确.故选：ABC.10.（2022 广东深圳市光明区高级中学模拟预测）在AABC中，D为BC中 点,且 花=2甥，则（）_ _ 2 _ 1 _ _ _ _ _ _ 1 _ 1 _A.CE=-C A +-C B B.CE=-CA+-C B3 6 3 3C.CE/CA+CB）D.C E （C4-CB）【答案】BC【解析】【分析】由己知条件可得点E 为AABC的重:心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可【详解】因 为 罚=2防，则 三 点 共 线,且 网=2怛4，乂因为AO为中线，所以点E 为“W C的重心，连接CE并延长交AB于 F,则尸为AB的中点，2 2 I -1 1.所以 CE=_C F=_ x _（CA+CB）=_C4+_CB,3 3 2 3 3所 以 丽 +而）1 1.（2022辽宁丹东喉拟预测）已知2，人2 为单位向量，若办 26+3=6,则（）A.|a-c|=2 B.b=cC.ab+bc=0D.3a+2b+c=6【答案】AC【解析】【分析】对a+2石 +3工=6 移项后平方可得出：b c=-b a=Z=-1，对于 A,|-c|=J(a-c)=la+c-2a-c 代入即可判断A；由 c =1可判断B；由=B.c=可判断C；由用+W =J(3a+25+-)2 代入即可判断D.【详解】因为，b，为单位向量，所以同=W=，=1,由 +2弓+32=6,则=-办-3 乙 两 边 同时平方得：4b+9c+1，所以5 c=一 1 ：由 +2各 +3c=0,则 3c=-,两边同时平方得：9c=a+4b+4b-a,所以=由a+办+3c=。，则2b=a-3 c，两边同时平方得：4 7=ci+97+6c ，所以ca=1;对于 A,卜q=J(a c)=Ja+M-2a.c=2,故 A iE确：对于B,因为 =一 1，所以及工为反向共线的向量，故 B 错误；对于 C,ab+bc=l-l=O 故 C 正确；对于 D,|3a 4-+c|=yl(3a+2+c=yj9a2+4b2 4-c2 4-12ab+6ac+4cb=9+4+1 +1 2-6-4 =4,所以 D错误；故选：AC.12.(2022,全国高三专题练 习)对于给定的 A B C,其外心为O,重心为G,垂心为 ，内心为Q则下列结论正确的是()uim uuin i lUUDpA.AC-AO=-|AC|Uim UUtl ULU1 UUU LlLKl u u sB.HAHB=H AH C=H BH CC.AG+BG+CG=0(_ _ A AR ACD.若 A、P、。三点共线，则存在实数4 使 AP=/l 爸+告1网HI【答案】BCD【解析】【分析】直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论.【详解】解：对于A：给定的AABC,其外心为。，所 以 前 认。=4 己（而+而）=；/2+而.丽/2,故A不正确；对于B；因为H为给定的AABC的乖心，故 福.碇=0,正.丽=0,而 雨=0,即（而 +而）阮 =0,（而 +宿 丽 =0,（而+宿屈=0,解得：雨 阮=丽.祝=丽 丽，故 B正确；对于C：因为重心为G,贝 U 有 而=g（通+衣）,旃=g（丽+配），面=g（W+丽），所以而+而+西=6,故 C正确；对于D：由于点尸在4 4的平分线上,同AB 和Xn A同C 为单位向量，所 以A鬲B +而AC与NA的平分线对应向量共线，所以存在实数4使 而=4（丝+、）,故 D正确.AB AC故选：B C D.三、填空题13.（2 0 2 1全国高考 真 题（文）若 向 量 瓶 满 足 问=蒋 一 B|=5,7 B =1,则忖=.【答案】3&【分析】根据题目条件，利用3M模的平方可以得出答案【详解】.斗4 5A a-t=a2+b-2a-b=9+l-2=25/.|&=3 5/2.故答案为：3 4.14.（2 0 2 2.全国.高考真题（理）设向量 ,b的夹角的余弦值为:，且同=1,M=3 ,则 伽+B”=【答案】11【解析】【分析】设2 与5的夹角为。，依题意可得c o s 6 =g,再根据数量积的定义求出75,最后根据数量积的运算律计算可得.【详解】解：设 与B的夹角为内因为公与加的夹角的余弦值为:，即co s d =g,又忖=1,卜卜3,所以a 4 =QH qco s O =lx3xg=l ,所以（2 3+3=2 3 4 +不=2 石+埠=2 x1 +3?=1 1 .故答案为：1 1.1 5.（2 02 0 浙江省高考真题）设录，*为单位向量，满足|2 1-石区&,=+,B =31 +W，设,2 8各的夹角为。，则co s?。的最小值为_ _ _ _ _ _ _.【答案】一2 9【解析】U U JQ 2 q-/区 v2 U U.44e,/+1 -(l-3 5+3e,-e2 32 2 85+3 x-29,4故答案为：-.1 6.（2 01 9 江苏 高考真题）如图，在 43C 中，。是 8 c 的中点，E 在边A B 上，BE=2EA,A O与 C E 交于点。,若丽 而=6标 配，则k 的值是.AE【解析】【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积【详解】如图，过点D作D F/C E,交A 8于点AKAB D C6AO.EC=3 而彳 A C-A E)=|(AB+；=|(而+时.付_河=|叵：=|(|丽君海+硝=就彳得g福即|荏卜 石 国，故四、解答题17.(2021 辽宁大连高三学业考试)当实数及为何值时，clld.9【答案】【解析】【答案】6,然后利用几何性质可得比值.F,由 8E=2E4,D 为 BC 中 点,知 BF=FE=AAO=OD4C).(A C-A)1*2 2 1.、C-A B +AC ABAC3 3)C-AB2+-AC2=AB.AC,2 22=6AC已知同=2,耳=3,与5的夹角为60,c=5a+3b，d=3a+k b，【分析】设可2=4 ,可得出关于/、义的方程组，即可求得结果.【详解】因为忖=2,问=3,与办的夹角为60。，则2 与各不共线,因为2/2,可设2=&，即3+比=川 5+3到,即；，解得z=g.18.(2022全国高三专题练习)已知三个非零平面向量,b，两两夹角相等，且|=1，历1=2,k|=3,求12a-B+3cl.【答案】9或 9【解析】【分析】由三个非零平面向量,h，2 两两夹角相等得&台 =&=,=120。或0,再分别计算求解即可【详解】因为三个非零平面向量2,石,工两两夹角相等，所以&母=&=&办=120。或0.当 ,母=反2=储,=120。时，122-B+3工 1=J(2a-S+3c)2=7 4|2+|&|2+9|C|2-4a b+2c-a-6b-c=14+4+81+4-18+18=闻.当”,=|=a2-4 a-b+4 b2=1 7-4|a|/7|co s 0=1 7-4=1 3,|a-2 Z|=x/1 3.2 0.（2 02 2 全国高三专题练习）如图，在等腰梯形A 8 C C 中，AB/C D,|AB|=2|z）c|=2 ,Z B A D =1 ,E 求 而 反 的值.【答案】(1)而=而+而，EC=AD-AB(2)-14【解析】【分析】(1)结合图形，根据平面向量的线性运算可求出结果;(2)根据平面向量数量积的运算律和定义可求出结果.（1）A C=A D+D C=A D+-A B,2EC =A C-=+=A C A B =A D A B.（2）3网-国）兀c o s 32DB=AB-AD丽 屈=(而 一 砌(；而一；呵 =_ 函2_；|初2+;相 而 ,1 .,3 n 1 I 3 1 3=_|A B|2 一一AD +-AB-AD-cos-=一 一 x 4 一 一 x l+-x 2 x l x-=.4 2 4 3 4 2 4 2 421.(20 21西藏 拉萨那曲高级中学高三期中(文)设两个非零向量 与各不共线.ULUl 1 1 UUll 1 1 _ _ 若 4B=a +8，BC =2a +8 C D =X a-b),判断A,B,。三点是否共线？试确定实数3使 坛+B 和+口同向.【答案】A,B,。三点共线(2)%=1【解析】【分析】(1)由题意化简得 到 丽=前+丽=5而，得 到 丽 丽 共线，进而得到三点共线.又 由 而，而 有 公共点8,所以A,仇三点共线.(2)由心+5 和 办 心 同向，存在实数九(彳 0),使 Q +另=2+心)，得出方程组，即可求得九女的值.(1)解：由题意，向量A B=+8，BC =2a+Sb C D =3(a-b),ai B D =B C+C D =2a+Sb+3a-3b=5(a+b)=5 A B,所 以 而 丽 共线，又 由 丽，丽 有 公共点8,所以A,民。三点共线.(2)解：因为向量k a +B 和。+心 同向,所以存在实数2(2 0),使&a +万=4+府),ka+b=Aa+Akb y W W.(kA)a=(Akl)h,k A-Q k=k-乂由花是不共线的两个非零向量，可得,八，解 得，或，Z K-l=0 X =1 Z =-1乂因为4 0，所以k =l.22.(20 21.全国.模拟预测)已知平面向量 与B 满足71=-2，已知2 方向上的单位向量为展，向量石在向量3 方向上的投影向量为若+2万与，i-台 垂直，求W的大小；（2）若与B的夹角为芋，求向量B与y +3坂夹角的余弦值.4【答案】（1）历|=1 骼【解析】【分析】（I）易知|向cos6=-l,得到|司=2,再根据+4与I石垂直求解;（2）由题意得|加c o s =-l,即|办=也，再利用平面向量的夹角求解.4（1）n h解：由题意得Iblcos=一 1,|即 a B=|a|=-2,则|a|=2.因为2+25与 力 垂直，所以（+2办（力）=0,化简为|/+石-2 而=0,即4一 2-2 出=0,则|石|=1.(2)由题意得I引cos当=-1,则山=夜，12d+3切=J(2d+3合2 =小 4了+12d4+9$=质，b-(2a+3b)=2a-b+3b=2,设向量B 与y +35的夹角为a,h-(2a+3h)2 亚所以 cosa=-=-7=j=.b-2a+3b V2xV10 5