2022年中考数学真题汇编：全等三角形2(含解析).pdf

2022年中考数学真题分类练习：全等三角形1.（2022大庆）下列说法不比现的是（）A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C.有两个角互余的三角形是直角三角形D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形2.（2022云南）如图，OB平分/AOC,D、E、尸分别是射线OA、射线0 8、射线OC上的点，。、E、F与。点都不重合，连接即、EF若添加下列条件中的某一个.就能使AOOEM AFOE,你认为要添加的那个条件是（）A.OD=OE B.OE=OF C.ZODEZOED D.ZODEZOFE3.（2022贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段A 6 剪成两个全等的图形，则N 1的度数是（）A.40 B.60 C.80 D.1004.（2022百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如己知AABC中，ZA=30,AC=3,N 4 所对的边为旧，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的AA8C是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（C.2 g 或 GD.2 G 或 2百-35.（2022贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和 3,则中间小正方形的周长是（）A.4 B.8 C.12 D.166.（2022贵港）如图，在边长为1 的菱形ABC。中，Z4B C =6 0 ,动点E 在 A 3 边 上（与点A、B均不重合），点 F 在对角线A C 上，C E 与 所 相 交于点G,连接A G,O F,若A F =B E，则下列结论错误的A.D F=CE B.=120 C.AF?=EG EC D.AG 最 小 值 为 述37.（2022黔东南）如图，P A，P 3 分别与。相切于点A、B,连接P。并延长与。交于点C、D,若C=12,2 4 =8,则sin/A D B 的 值 为（）8.（2022海南）如图，正方形A B C D 中，点 反尸分别在边BC、8 上，AE=A F,Z E A F =30,则ZAE B=；若 4石户的面积等于1，则 A 3 的值是.9.（2022贵阳）如图，在四边形ABCO中，对角线A C,B O 相交于点E，AC=BC=6cm,Z A C B =Z ADB=90.若 3 E =2 A D,则 A B E的面积是 cm2,ZA E B=度.10.（2022北部湾）如图，在正方形A8CD中，AB=4 0，对角线A C 相交于点O.点 E 是对角线AC上一点，连接B E,过点E作EF L BE，分别交C D,3。于点尸、G,连接B F,交 AC于点H,将 用“沿 所 翻折，点H的对应点H,恰好落在BD上，得到 EF H 若点F 为。的中点，则4 EG H的周长是11.（2022安徽）如图，平行四边形0A8C的顶点O 是坐标原点，A 在 x 轴的正半轴上，B,C 在第一象限,11反比例函数y，的图象经过点C,y=一（Z kO）的图象经过点艮 若 OC=A C,则4=12.（2022铜仁）如图，四边形ABC。为菱形，NA8C=80。，延长BC到 E,在NOCE内作射钱C M,使得ZECM=30,过点。作。凡L C M,垂足为F.若 DF=,则 8。的长为（结果保留很号）.13.（2022遵义）如图，在等腰直角三角形A B C中，NA4C=9 0 ,点M,N 分别为B C,A C 上的动点,且 AN=CW,A B =0 当 AM+B N 的值最小时，C M 的长为14.（2022大庆）如图，正方形ABC。中，点 E,尸分别 是 边 上 的 两 个 动 点，且正方形4BC。的周长是所周长的2 倍，连 接 分 别 与 对 角 线 A C 交于点M,N.给出如下几个结论：若AE=2,CV=3,则 F =4；/EF N +4 EM N =80。；若 AM=2,C7V=3,则 M?V=4；若M N=2,B E =3,则 E =4.其 中 正 确 结 论 的 序 号 为.AM15.（2022 铜仁）如图，点 C 在 B D h,A B B D,E D B D,AC y C E,A B =C D.求证：A A 5C g C O E.16.（2022 福建）如图，点 8,F,C,E 在同一条直线上，B F=E C,A B=D E,/B=N E.求证：N A=ND.17.（2022广东）如图，已知NAOC=N B O C,点P在O C上，P D O A,P E1 O B,垂足分别为。，E.求证：X O P D J O P E.18.（2022百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形 其中 A8=CZ）=2 米，4D=BC=3 米，Z B=30（1）求证：AABC也CD4；（2）求草坪造型的面积.19.（2022大庆）如图，在 四 边 形 中，点E,C为对角线叱 上 的 两点,A B =D F,A C =D E,E B =C F .连接 A E,C O.AD(1)求证：四边形他力是平行四边形;(2)若 AE=AC，求证：AB=D B.2 0.(2 0 2 2 云南)如图，在平行四边形A B C D 中，连接8。E为线段AD的中点，延长B E 与 CD的延长线交于点凡 连接A F,Z B F=9 0(1)求证：四边形A 8 O F 是矩形；(2)若 4)=5,D F=3,求四边形4 8 c 尸的面积S.2 1.(2 02 2 北部湾)如图，在QABCD中，8。是它的一条对角线,(1)求证：X 烟汪：(2)尺规作图：作 8。的垂直平分线E F,分别交A。，B C 于点E,尸(不写作法，保留作图痕迹);(3)连接B E,若 Z DBE=25,求 NAE3的度数.2 2.(2 02 2 梧州)如图，在QABCD中，E,G,H,尸分别是A 8,B C,C D,上的点，且B E =D H,A F =CG .求证：E F =H G.B GC2 3.（2 02 2 福建）如图，8。是矩形A B C。的对角线.（1）求作。A,使得。A与 8。相 切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设 8D与OA相切于点,C F B D,垂足为尸.若直线C 尸与0 4相切于点G,求t a n ZAD8 的值.2 4.（2 02 2 遵义）将正方形A8CD和菱形E F G”按照如图所示摆放，顶点。与顶点H重合，菱形EF G H的对角线HE经过点B,点 E,G分别在A B,8c上.（1）求证：AAD EC D G；（2）若 AE=BE=2,求 成 的长.2 5.（2 02 2 贵阳）如图，在 正 方 形 中，E为 A 上一点，连接B E ,1 组的垂直平分线交A3于点”,交 CD于点、N ,垂足为。，点 F在。C上，且 F A .(1)求证：AABEm AF M N ；(2)若 A B =8,AE=6,求 ON的长.26.(2022北京)如图，A 8 是。的直径，C D 是。的一条弦，A B，CD,连接AC,O D(2)连 接 过 点 C 作 C E，QB,交 的 延 长 线 于 点 E，延长。交 A C 于点尸，若尸为A C 的中点,求证：直线C E 为0 0 的切线.27.（2022 福建）已知 ZX/WC 且DEC,AB=AC,ABBC.(1)如 图 1,C8平分N A C O,求证：四边形ABOC是菱形：(2)如图2,将(1)中的绕点C逆时针旋转(旋转角小于N8AC),BC,OE的延长线相交于点巳用等式表示/A C E 与/E F C 之间的数量关系，并证明;(3)如图3,将(1)中的ACOE绕 点 C顺时针旋转(旋转角小于/A B C),若N BAD=N BCD,求NADB的度数.28.(2022安徽)已知四边形ABC。中，BC=CD.连接8。，过点C作 8。的垂线交A8于点E,连接DE.图1图2(1)如 图 1,若DE BC,求证：四边形3CDE是菱形;(2)如图2,连接A C,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.(i)求的大小；(ii)若 AF=AE,求证：B E=CF.29.(2022毕 节)如 图1,在四边形A 8C 0中，AC和 相 交 于 点O，AO=CO,?BCA?CAD.(1)求证：四边形ABCO是平行四边形；(2)如图 2,E,尸,G 分别是 8O,CO,A 的中点，连接 若 BD=2AB,8C=15,AC=16,求AEEG的周长.30.(2022玉林)问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：AB=AC DB=DC NR4=NC4若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？解决方案：探究43。与AC。全等.问题解决：当选择作为已知条件时，回 与八4。全等吗？(填“全等”或“不全等”)，理由是：(2)当任意选择两个等式作为己知条件时，请用画树状图法或列表法求 A 5O名 A C/D的概率.3 1.(2 02 2梧州)如图，以A B为直径的半圆中，点。为圆心，点C在圆上，过点C作C D ,且C O =.连接A。，分别交O C,3 C于点E,F,与。交于点G,若N A 8 C =4 5.(1)求证：AA B F AD C F；C O是0。的切线.E F(2)求 的 值.F G3 2.(2 02 2北 京)在A 4 B C中，Z A C B =9 0，。为A B C内一点，连接30，。延长。到点E,使得 C E =D C.图1图2(1)如 图1,延长BC到点尸，使得C F =BC,连接，EF 若 AF 上EF，求证：B D A.A F,(2)连接AE,交BD的延长线于点，连接CH,依题意补全图2,若A B?=A E?+3。？，用等式表示线段CO与CH的数量关系，并证明.3 3.（2 02 2 北部湾）已知NMQ V=2,点 4,B分别在射线O M,ON上运动，A B =6.图 图 图（1）如图，若。=9 0,取 AB中点。，点A,B运动时，点。也随之运动，点A,B,。的对应点分别为 A ,B D ,连接O DQ D.判断O D与O D有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图，若。=60,以A 8 为斜边在其右侧作等腰直角三角形4 8 C,求点。与点C的最大距离：（3）如图，若。=4 5,当点A,B运动到什么位置时，AAOB的面积最大?请说明理由，并求出AAOB面积的最大值.34.（2 0 2 2 云南）如图，四边形A B C。的外接圆是以BD为直径的。，P是。的劣狐B C 上的任意一点,连接力、P C、P D,延长BC至 E,使（1）请判断直线OE与。的位置关系，并证明你的结论;（2）若四边形A B C。是正方形，连接AC,当 P与 C重合时，或当P与 B重合时，把 一 而 一 转 化为正PA +p r 厂方形A B C。的有关线段长的比，可得-上=&是 否 成 立？请证明你的结论.P D35.（2 0 2 2 海南）如 图 1,矩形ABCO中，A B =6,A Z =8,点 P在边8。上，且不与点5、C重合，直线AP与 0c的延长线交于点E.(1)当点尸是BC的中点时，求证：A A 5 P名 E C P；(2)将 柳 沿直线”折叠得到AAPB，点8 落在矩形A B C D的内部，延长P 8 交直线AD于 点?证明E 4 =F尸，并求出在(1)条件下心的值；连接B C，求P C B 周长的最小值：如图2,38 交AE于点H,点G是AE的中点，当N E 4 5=2 N A E B 时，请判断A3与外的数量关系，并说明理由.36.(2 0 2 2百色)已知抛物线经过A (-1,0)、B(0、3)、C(3,0)三点，。为坐标原点，抛物线交正方形O B O C的边8。于点E,点M为射线8 0上一动点，连接O M ,交BC于点、F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：N B O F=N B D F：(3)是否存在点何使A M D F为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长37.(2 0 2 2北京)在平面直角坐标系x O y中，已知点M(a,b),N.对于点尸给出如下定义：将点尸向右(a 2 0)或向左(a 0)平移同个单位长度，再向上S 2 0)或向下3 =AE时，求 89+CE的最小值.39.（2 0 2 2 黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题:如图，AABC和ABDE都是等边三角形，点A在。E上.求证：以AE、A。、AC为边的三角形是钝角三角形.（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接。C，根据已知条件，可以证明OC=A ,Z A D C =20,从而得出AAOC为钝角三角形，故以AE、AD，AC为边的三角形是钝角三角形.请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.（2）【拓展迁移】如图，四边形AB CO和四边形3GE E 都是正方形，点A在 E G上.试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.若AE 2+AG2=10,试求出正方形A8CO的面积.4 0.（2 0 2 2 铜仁）如图，在四边形AB CD 中，对角线AC与 B O相交于点O,记 C8的面积为5 ,的面积为S 2.5.O CO D（1）问题解决：如图，若 A B/C O,求证：门 口d2 O A -Ot（2）探索推广：如图，若 AB 与 CO不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展应用：如图，在。4 上取一点E,使 OE =OC,过点E 作 成 CO交。于 点 凡 点”为 A 3的中点，OH交E F于点、G,且0G=2GH,若 匹=之,求今值.41.（2022河南）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.操 作 判 断操作一：对折矩形纸片ABC,使 A。与 重 合，得到折痕E凡 把纸片展平；操作二：在 A。上选一点P,沿 8 P 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接尸”，B M.根据以上操作，当点M 在 EF上时，写出图1中一个30。的角：.（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片4BC。按 照（1）中的方式操作，并延长PM 交 C。于点Q,连接8Q.如图2,当点M 在 EF上时，NMB Q=,NC B Q=；改变点P 在 AO上的位置（点尸不与点A,。重合），如图3,判断与NCBQ的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 c m,当/。=1cm时，直接写出A P的长.2022年中考数学真题分类练习：全等三角形参考答案1.（2022大庆）下列说法不亚项的是（）A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C.有两个角互余的三角形是直角三角形D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【答案】解：A、设N l、Z 2为锐角，因为：Z1+Z2+Z3-18O0,所以：/3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形,故A选项不正确，符合题意；B、如图，在AABC 中，BELAC,COJ_A8,且 BE=CO.NCDB=/BEC=90,在 RtBCD 与 RtCBE 中，C D=B EBC=CB:.RMBCDRtACBE（HL）,ZABC=ZACB,：.AB=AC,即ABC是等腰三角形.，故B选项正确，不符合题意；C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，故C选项正确，不符合题意；D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D选项正确，不符合题意；故选：A.2.（2022云南）如图，OB平分N A O C,。、E、尸分别是射线。4、射线0 8、射线OC上的点，D、E、F与。点都不重合，连接即、EF若添加下列条件中的某一个.就能使 OOE空 F O E,你认为要添加的那个条件是（）A.OD=OE B.OE=OF C.N0D E=40ED D.NODE=NOFE【答案】解：平分NAOCNAOB=NBOC当AOOE也尸OE时，可得以下结论：OD=OF,DE=EF,NODE=NOFE,ZOED=ZOEF.A 答案中。与 OE不是ACOE四FOE的对应边，A 不正确；B 答案中OE与。尸不是 OOE丝尸OE的对应边，B 不正确；C 答案中，/O O E 与NOEZ）不是 OOE且 的 对 应 角，C 不正确；D 答案中，若/ODE=NOFE,在 OOE和尸OE中，Z D O E =Z F O E 和BPD中，AP=BP X x (5/3 l)x,(,3 l)x2=x2V&4E/的 面 积等于1X2=1,解得 x=l,x=-(舍去)AB yX=故答案为：60；73.9.(2022贵阳)如图，在四边形ABC。中，对角线AC,B。相交于点E，AC=BC=6cm,ZACB=ZADB=90.若 BE=2AD，则/M BE的面积是 cm2,ZAEB=_度.NACB=ZADB=90,ZAED=NBEC,s.ADE.BCE，.AD AE BC=AC=6,BE=2AD,设 AD=m,BE=2m,m _ AE6 2m 92:.CE=6-,3在RtVBCE中，由勾股定理得BC2+CE2=BE2，62+(6 y)2=(2 m)2,解得病=3 6 1 8 正 或加=3 6+1 8 近，,对 角 线A C,B。相交于点E，M=3 6-1 8 夜，4 E =1 2-6 立，C E =6 7 2-6-S.A B E=g A E B C =g x(1 2-6&)x 6 =3 6 -1 8 0 c m:过点E作E F _L A B,垂足为凡ZACB=90,AC=BC,ABAC=ZABC=4 5 =ZAEF,AE=AF=A E =6 g-6 =CE，2;BE=BE，RtBCE=Rt ABFE(HL),NEBF=ZEBC=-ZABC=2 2.5 ,2ZAEB=ZACB+ZEBC=1 1 2.5 ,故答案为：3 6 -1 8收，1 1 2.5.1 0.(2 0 2 2北部湾)如图，在正方形4 B C O中，AB=4日 对角线A C,8。相交于点。.点E是对角线AC上一点，连接BE,过点E作E F LB E，分别交CD,BD于点F、G,连接BF,交AC于点H,将EFH沿E F翻折，点”的对应点”，恰好落在8。上，得到 7 7 7,若点F为CD的中点，则 E G H 的周长是【答案】解：过点E作PQ AD交AB于点P,交。C于点Q,：AD/PQ,：.APDQ,/BPQ=/CQE,:.BP=CQ,：ZACD=45,:.BP=CQ=EQ,：EF1BE,：.NPEB+/FEQ=90。-：ZPBE+ZPEB=90：.ZPBE=NFEQ,在ABPE与AEQF中NBPQ=NFQE PB=EQZPBE=NFEQ:.ABPE 也 A E Q F,：.BE=EF,又,：BC=A B=A6.，/为 中点,:CF=20BF=ylBC2+CF2=2 而,DE=Er=f=275，V24J2又：BO=-p =4,V2EO=飞 BE?-BO?=2,：.AE=AO-EO=4-2=2,:ABH FC,：.AABHSM F H，.AB AH-=-，CF CH.4V2 _ AH _ 2 -=-,272 CH 1AC=y/2AB=S，AH=2 x 8 5，3 31 QCW=-X 8=-,3 3EH=AH-AE=-2 =,3 3；ZBEO+ZFEO=90,NBEO+NEBO=90。,NFEO=NEBO,又,/NEOB=ZEOG=90,；AEOBSGOE,EG _OG OEBEOEOBJEG _OG _2FT 丁 丁 2：.EG=yf5,OG=1,过 点/作FMAC于点M,FC-：.FM-MC=-j=-=2,o 2MH=CH-MC=-2 =-,3 3作FNLOD于点、N,DF cFN=-y=r=2,在 Rt 尸“TV与R JF M”中FH=FHFN=FM:.Rt/FHN 乌 RJFHM：.HN=MH=-,3：.0N=2,N G A2 5：.GH=-+!=-,3 3C ”H，=EH+EG+GH=EH+EG+GH=+5/5+-=5+75,S L（.jrj 3-S 平 行 四 边 舷。CA4=4SAOCD=2,S&OBA=S 平行四边形 o c&=1 ._ 1 3 SAOBE=SAOBA+SAABE=!+-=，2 2Z:=2 x =3 .2故答案为3.12.（2022铜仁）如图，四边形ABCO为菱形，NABC=80。，延长8 c 到 E,在NDCE内作射钱C M,使得ZECM=3 0 ,过点。作。尸，C M,垂足为F.若。尸=，则 8。的长为（结果保留很号）.【答案】解：如图，连接AC交 B。于点H,由菱形的性质得/AQC=NA8C=80。，ZDC=80,ZDHC=90,又：ZCM=30,/.ZDCF=50,：DFVCM,：.NCF=90,ZC)F=40,又：四边形ABC。是菱形，.8。平分乙4。，Z/DC=40,4CHD=4CFD在 CO”fflACDF 中，NHDC=ZFDC,DC=DC：./CDH/CDF(AAS),:.DH=DF=,DB=2DH=2y/6.故答案为：2瓜 13.(2022遵义)如图，在等腰直角三角形ABC中，4 4。=90,点M,N分别为BC,AC上的动点,且AN=CW,AB=O.当AM+BN的值最小时，CM的长为.【答案】如图，过点A作AO8 C,且AO=A C，连接DN,如图1所示,：.ZDAN=ZACM,又 AN=CM,:.&AND m K M A,:.AM=DN,BN+AM =BN+D NBD,当民N,O三点共线时，3N+AM取得最小值，此时如图2所示，在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90,AB=gBC=O A B =2，AA/VDACMA.：.ZADN=ZCAM,/AD=AC=AB,：.Z A D N Z A B N,：A D/BC,:.ZADN=/M B N,：.ZABN=ZM BN,设 ZMAC=a ,:.A B A M Z B A C-a =9 0-a,ZABM=ZABN+ZNBM=2a=45,a -22.5,ZAMB=1800-ZBAM-ZABM=180-90+a -450=67.5,ZBAM=90-22.5=67.5,:.AB=BM=6，:.CM=B C-B M =2-应，即BN+AM取得最小值为2-J L故答案为：2 J .14.（2022大庆）如图，正方形ABC。中，点E,尸 分 别 是 边 上 的 两 个 动 点，且正方形A3CO的周长是45所周长的2倍，连接。瓦。尸分别与对角线4 C交于点M,N.给出如下几个结论：若AE=2,CF=3,则 所=4；/E F N +NEMN=180；若 AM=2,OV=3,则儿W=4；若MN=2,BE=3,则 所=4.其中正确结论的序号为.AM【答案】解：正方形ABCD的周长是 诋 周长的2倍,BE+BF+EF AB+BC,.对称轴，C,G关于DE对称，:.GM=AM,GN=CN,NEGM=ZEAM=45,4 NGF=ZNCF=45,ZMGN=180-45-45=90,.GMN是直角三角形，若 AM=2,OV=3,GM=2,GN=3,MN=yjMG2+GN2=J后。4，故不正确，MG=AM,若MNAM=2,BE=3,即 sin/M?VG=-,MN 2:M NG =30。，ZEFN+AEMN=180,ZEMN+ZAME80,又 NCFN=NEFN,:.ZAME=ZCFN,2ZAEM=2NCFN,即 ZAMG=NCFG,：.ZGMN=ZBFE,NBEF=ZMNG=30,RFn/.cos Z.BEF=-=cos Z.GNM=cos 30=EF2:BE=3,.所=华 =2折故不正确.故答案为：.15.(2022 铜仁)如图，点 C在 3。上，AB JL 6,J.8D,AC _L CE,AB=CD.求证：AAfiC 咨 ACDE.【答案】解：AB_LBD,EDLBD,ACkCE,：.ZB=ZD=ZACE=90,：.ZBA C+ZBCA90=Z BCA+ADCE,：.NBAC=NDCE,在AA8C 和(?)中，NB=ND 尸中，AB=DE NB=NE,BC=EF：.ABC/XD EF,：./A =N D17.（2022广东）如图，已知Z4OC=4 O C,点P在O C上，PDA.OA,PE L O B,垂足分别为。，E.求O C为NAO B的角平分线，又 .点尸在O C上，PD1OA,PE1OB,：.PD=PE，ZPDO=APEO=9 0，又 ：PO=PO（公共边），o o ra o P E（H L）.18.（2022百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形 4 8 C D,其中 A8=CO=2 米，AD=BC=3 米，AB=30BA DC(1)求证：z k A B C丝C ZM ；(2)求草坪造型的面积.【答案】(1)在 AABC 和 ACZM 中，A B C D 5,DF=3,求四边形A B C尸的面积S.【答案】(1)证明：.四边形A B C O是平行四边形，J.AB/CD,即 A B C F,NB AE=NFDE,为 线 段 的 中 点，：.AE=DE,XV NAEB=NDEF,：/AB E/XDFE(A S A),：.AB=DF,又，：AB/DF、：.四边形AHDF是平行四边形，NB DF=9Q 0,四边形4 8。尸是矩形；(2)解：由(1)知，四边形A B Q F是矩形，：.AB=DF3,ZAFD=90,.在R/AA D F中，A F =y/AD2-D F2=7 52-32=4,/四边形AB CD是平行四边形，：.AB=CD=3,，C =C +O F=3+3=6,S =；(A B +C R卜A F =；x(3 +6)x 4 =1 8.2 1.(2 0 2 2北部湾)如图，在o A B C O中，8。是它的一条对角线,BC(1)求证：A B*M D B ；(2)尺规作图：作3 0的垂直平分线E F,分别交A。，BC于点E,F(不写作法，保留作图痕迹);(3)连接若NDBE=25。,求NAEB的度数.【答案】(1):四边形48CD是平行四边形，AB CD,AD=BC,;BD =BD，ABDACDB(SSS)(2)如图，E/即为所求；(3)V B的垂直平分线为E尸,:.BE=DE,；./D B E =/B D E，;NDBE=25。,：.NDBE=NBDE=25。,：.ZAEB=ZBDE+ZDBE=50.22.(2022梧州)如图，在oABCD中，E,G,H,F分别是AB,BC,CD,D4上的点，且BE=DH,A F=C G.求证：EF=H G.A F DB G【答案】证明：四边形ABC。为平行四边形,，/A=/C,AB=CD,又已知BE=DH,：.AB-BE=CD-DH,：.AE=CH,在AAEF和ACHG中AF=CGB=a,OA的半径为r,与GM相切于点E,CF 与G)A相切于点G,：.AEA.BD,AG IC G,即 NAEF=NAGF=90,：CFBD,.ZFG=90,，四边形AEFG是矩形，又 A=AG=r,四边形AEFG是正方形，EF-AE=r，在用AAEB 和 中，NBAE+ZABD=90。,ZADB+ZABD=9Q,ZJBAE=ZADB=a,BE在 RAABE 中，tanZBAE=,AEBE=rtana,.四边形ABC。是矩形，AB/CD,AB=CD,：.ZABE=/C D F,又 ZAEB=ZCFD=90,/XABEZXCDF,/.BE=DF=r tan tz,DE-DF+EF=r tan 0,tan a=至 二，即 tan NADB 的值为避 二1.2 224.（2022遵义）将正方形ABC。和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点。与顶点”重合，菱形EFGH的对角线4 E经过点B,点E，G分别在AB，BC上.(1)求证：AADE丝ACDG；(2)若 AE=B E=2,求 BF 的长.【答案】(1)证明：,正方形ABC。和菱形EFGH,AD=CD,ZA=ND=90,DE=DG,在 RtAADE 与 RtACDG 中AD=CDDE=DG RtAADE g RtACDG(HL)(2)如图，连接EG交OE于点。，.AE=BE=2,:.CG=AE=2,BG=CB CG=2,在 RtZEBG 中，/.EG=ylEB2+BG2=2V2,EO=立，RtAADE 中,A。=2AE=4,AE=2,EF=DE=7A2+A2=2石 在 RtZOEE 中，OF=yjEF2-OE2=V20-2=372-DF=2OF=372，DB=立AB=472，：.BF=DF-DB=y/2-25.（2022贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为A D上一点，连接B E，B E的垂直平分线交4 5于点M,交C O于点N,垂足为0,点尸在。上，且儿/4）.(1)求证：LABE咨4FMN；(2)若AB=8,A =6,求QV的长.【答案】(1)在正方形 ABCO 中，有 AD=DC=CB=AB,N4=ND=NC=90。，BC/AD,AB/DC,：MF/AD ZA=ZD=90,AB/DC,，四边形AOFM是矩形，：.AD=MF,ZAMF=90a=ZMFD,：.ZBMF=90=ZNFM,即 NBMO+NOMF=90,AB=AD=MF,.MN是BE的垂直平分线，：.MNBE,：.NBOM=90=/BMO+NMBO,：.NMBO=/OMF,NNFM=NA=90-MF=AB,ZOMF=ZMBO：.LABE/XFMN-,(2)连接M E,如图,：A B=8,A E=6,.在 R/AABE 中，B E =yAB2+AE2=782+62=1 0-，根据(1)中全等的结论可知N=B E=1 0,M N是B E的垂直平分线，：.BO=OE=-BE=5,BM=ME,2：.AM=AB-BM=S-ME,在 RtAME 中，AM2+AE2=ME2，25A (8-M E)2+62=M2,解得：ME=,42 5BM=ME=,4在 RtBMO 中，MO2=_ BO?，：.MO=ylBM2-BO2=(y)2-52=?,15 2 5ON=MN-MO=1 0=.4 42 5即N O的长为：.42 6.(2 02 2北京)如图，AB是。的直径，8是。0的一条弦，A B L C Z),连接A C,O D(1)求证：NBOD=2NA;(2)连 接 过 点C作CE，QB,交)8的延长线于点E，延长。，交AC于点F ,若F为AC的中点,求证：直线CE为。的切线.【答案】(1)证明：设4?交CO于点，连接0C,由题可知，：.OC=OD,NOHC=NOHD=90。,-OH=OH,RtACOH 三 RtDOH(HL),/COH=/DOH,BC=BD，:C O B=/BOD,-.-ZCOB=2ZA,:.ZB 0D 2ZA；(2)证明：连接AD，OA=OD，：.ZOADZODA,同理可得：NQ4C=NOC4,NOCD=NODC,.点H是CO的中点，点F是AC的中点，ZOAD=ZODA=ZOAC=ZOCA=ZOCD=NODC，r ZOAD+ZODA+ZOAC+ZOCA+ZOCD+ZODC=180,ZOAD=ZODA=ZOAC=ZOCA=ZOCD=ZODC=30,ZCOB=2ZCAO=2x30。=60，QAB为。的直径，:.ZADB90,ZABD=90-ZDAO=90-30=60,:.ZABD=NCOB=60,OC/DE,QCE上 BE,:.CEOC,直线CE为。的切线.27.（2022 福建）已知ABC 且OEC,AB=AC,ABBC.图 I a 图 2 图 3(1)如 图1,CB平分NACO,求证：四边形A8OC是菱形；(2)如图2,将(1)中的ACQE绕 点C逆时针旋转(旋转角小于/3AC),BC,OE的延长线相交于点F,用等式表示N4CE与NEFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3,将(1)中的ACOE绕点C顺时针旋转(旋转角小于NA8C),若NBAD=/BCD,求NAO8的度数.【答案】(1)：A3C 四Z)EC,：.AC=DC,：AB=AC,：.ZABCZACB,ABDC,.,C8 平分 N 4 m/.ZACBADCB,/.ZABC=NDCB,：.AB/CD,，四边形A8OC是平行四边形，5L：AB=AC,.四边形A8DC是菱形；(2)结论：ZACE+ZEFC=180.证明：V AABCADEC,/.ZABC=NDEC,：AB=AC,：.ZABCZACB,：.ZACB=ZDEC,/ZACB+ZACF=ZDEC+ZCEF=SO0,/.ZACF=/C E F,：ZCEF+ZECF+ZEFC=180,ZACF+ZECF+ZEFC=180,/.ZACE+NEFC=180；(3)在4 0上取一点M,使得AM=C8,连接8例,:AB=CD,/BAD=/BCD,：.ABM/C D B,：.BM=BD,ZMBA=NBDC,；ZADB=NBMD，ABMD=ZBAD+ZMBA,ZADB=ZBCD+NBDC,设/BCD=/BAD=a,=，则 NAO3=a+/?,：CA=CD,：.ZCAD=ZCDA=a+2/3,：.ABAC=ZCAD-BAD=2(3,/.ZAC5=1（18O0-ZBAC）=9O0-,ZAC。=（90。-+a,ZACD+ZCAD+ZCDA=180,/.（90 4）+e +2（c+24）=180。，a+，=30,即/AQB=30.28.（2022安徽）已知四边形ABC。中，BC=CD.连接BO,过点C作8。的垂线交AB于点E,连接。E.图1图2(1)如 图1,若DE BC,求证：四边形8C3E是菱形；(2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,OE垂直平分线段AC.(i)求NCED的大小；(ii)若 AF=AE,求证：BE=CF.【答案】(1)证明：,:DC=BC,CE1,BD,：.DO=BO,：DE/BC,：.NODE=NOBC,NOED=ZOCB,：.ODEAOBC(AAS),DE=BC,四边形为平行四边形，：CE1BD,四边形BCDE为菱形.(i)根据解析(1)可知，BO=DO,CD.CE垂直平分BD,:.BE=DE,:BO=DO,：./BEO=/DEO,TOE垂直平分AC,:AE=CE,；EG 工 AC,：.ZAEG=ZDEOf：./AEG=/DEO=/BEO,ZAEG+ZDEO+ZBEO=180,1 Q A OZCEZ)=-=60.3(ii)连接 EF,；EG_LAC,；ZEGF=900,ZEFA=90-ZGEF,7 ZAEF=1800-ZBEF=180-/BEC-ZCEF=180-ZBEC-(ZCEG-ZGEF)=180-60-60+Z.GEF=60+ZGEFAE=AF9 ZAEF=ZAFE,：.90-NGEF=60+Z.GEF，；.NGEF=15,：.Z.OEF=ZCEG-NGEF=60 15=45,CE1BD,：.ZEOF=ZEOB=90,：.ZOFE=90。-ZOEF=45,/.ZOEF ZOFE,：.OE=OF,;AE=CE,ZEAC=ZECA,ZEAC+ZECA=ZCEB=60,.NG4=30,NEBO=90-NOEB=30,：.NOCF=NOBE=30。,:/BOE=NCOF=90,：.BOENCOF(AAS),:.BE=CF.29.(2022毕 节)如 图1,在四边形ABC。中，AC和相交于点O，AO=CO,?BCA?CAD.(1)求证：四边形ABC。是平行四边形；(2)如图 2,E,F,G 分别是 8O,CO,AD 的中点，连接 EF,GE,GE,若 BO=2AB,SC=15,AC=16,求AEPG的周长.【答案】(1)证明：V ZBCA=ZCAD,J.BC/AD,N B C A =N CAD在“0。和 ACOB 中：C O =AO ,Z CO B=Z AO D：.AAODACOB(ASA),：.B C=A D,：.四边形A B C D为平行四边形.(2)解：.点、产分别为8。和C O的中点，尸是A O B C的中