2023年高考数学第 12讲直线与圆、圆与圆的位置关系的求解方法.pdf

第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系的求解方法一、知识概要1.直线与圆的位置关系设直线/：A x+8 y+C =0,圆C:(x-4)2+(y-b)2=/,判别直线/与圆C的位置关系有以下两种方法.(1)几何法：圆心C(a,6)到直线I的距离d=*+B C|,贝 1 J直线/与圆C相 交；d=ro直线/与圆C相 切；d ro直线/与圆C相离.代数法：，:：二：；2=,消之得关于乂(或旧的一元二次方程，其判别式为A,则A 0 0 直线/与圆C相交；A =0o直线/与圆C相 切；A +弓 相离=两圆有4条公切线；d=4+外切Q两圆有3条公切线；|4-r2 c d rt+r2 o相交=两圆有2条公切线；d=rt-4 1 =内切=两圆有1 条公切线；4|=内含=两圆无公切线.二、题型精析【例 1】已知直线y=/n r+2 与圆f +y?=1,判断直线y=2 与 圆/+y?=1的位置关系【策略点击】直线与圆的位置关系的判断除了常用的代数法、几何法之外，还可以运用直观图法，因为毕竟解的是几何问题，抓住参数在变化过程中观察直线与圆位置关系的变化，有时很容易使问题迅速解决，不失是一个最佳“方案”.【解法一】（儿何法）-2圆心0（0,0）到直线的距离d=.1d=即内 或“时，直线与圆相交；V/M2+1 1.即-?石 时,直线与圆相离.V w2+1【解法二】（代数法）,1 y=mx+2 g）_ ,、由，得（江+1）厂+4 a+3=0 ,其中 二 4 12.f x+y=1当D0,即 伍 后 或 7-后 时，直线与圆相交；当D=0,即相=G或 7=-百 时，直线与圆相切；当D0,即-后，G或m -时，直线与圆相交；或-6 皿 两点，若|A 8|=2 G，则|CD|=；(3)已知直线x+y-后=0(*0)与圆d+y 2=4 交于不同的两点A,从 O 是坐标原点，且有|OA+Oq?,那么人的取值范围是()A.(疯+?)B.V2,+?)C.V2,2/2)D.73,272)(4)求过 两 圆 f +V+6x-4=0 与 x?+6y-28=0 的交点的直线方程和圆心在直线x-y-4=0 上的圆的方程.【策略点击】对于第(1)问，由圆的参数方程求得圆心坐标与半径，由直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径，求出。的值.对于第(2)问，利用数形结合法求解.对于第(3)问，可用代数法，即联立直线与圆的方程，由方程有两解求得，也可用几何法，转化为圆心与直线的距离小于半径求得，后者解法更显简捷.对于第(4)问，利用圆系方程解.【解】由 圆的参数方程可知，圆心C(2,l),半径/-2,由于直线与圆相切，则圆心C 到直线以-y+2=0 的距离d=乌=上 以=r=2,解得a=(2)：ZAO3巳知圆半径为2括，弦4 3 长也是26，A 0 8 是 边 长 为 的 正 三 角 形，其一边上的高为匕=2后 sin60=3,也就是原点到直线/的距离为3.八 yD CXO(A)B A图 2-22如图2-22所示，作O M八A B于点M,由点到直线的距离公式知:IOM|=1 3：”由1=3,化简得：9?-6 6机+3=9(机2 +1),m=.必y/m2+1 3直线方程为y=x+2 6，此直线的倾斜角为30。，故|。|=二 一=4.3cos30(3)如图2-23所示，当|QA+O8|=时，O,A,8三点为等腰三角形的3个顶点，3其中 04=0 3,?AOB 120?.从 而 圆 心。到 直 线x+y-k=()(A 0)的 距 离 为1.此 时 人 友 ,当k 血 时，OA+OB y|AB|,又因为直线与圆+y?=4存在两个交点，故k +4=0,此即为公共弦所在直线的方程.把整理得：(1+2)x2+(1+A)y2+6x+6Ay-4-282=0.：.圆心的坐标为勤 工5 1+23 7十1 +4。而圆心在直线X-y-4=0上，.-4=0,解得2=-7,1+4 1+4代 入 圆 系 方 程 得y2_ x+7 y-32=0.【例3】在平面直角坐标系中，己知圆G:(x+3 f+(y-I)2=4和圆C?:(x-4)2+(y-5)2=4,如图2-24所示.(1)若直线/过点4(4,0),且被圆G截得的弦长为2万，求直线/的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点尸的无穷多对互相垂直的直线4,它们分别与圆G和G相交，且直线4被圆C1截得的弦长与直线4被圆C?截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.【策略点击】对于(1),可设直线1的点斜式方程，由弦长为2后求解，也可结合图形特征来解.对于(2),可着眼于“无穷多对”转化为“恒成立”问题来解，若能进一步研究图形的几何特征，还可以获得-一种简捷的解法.【解】(1)设直线/的方程为y=Z(x-4),即M y-4r=0,由垂径定理得：圆心G到直线/的距离1=1-结合点到直线的距离公式得上当=匕的=i.7化简得24公+7%=0,解得2=0或左二247故所求直线/的方程为y=0或y=-五(x4),即 产 0或7x+24y-28=0.【解法一】设点P的坐标为(W),直线4,的方程分别为广=k(x-ni),y-n-y(x-ni).即 A x-y +一初2 =0,x-y +n+m=0.k k 直线4被圆C1截得的弦长与直线4被圆C?截得的弦长相等，又两圆半径相等.由垂径定理得圆心G到直线4的距离与圆心c2到直线12的距离相等，故有4.m-5+及 H-3 k-i+n-k m _ k k去掉绝对值，化简得(2-6 一 )左=/口一一3 或(加一+8)Z =忆+一 5 ,关于2的方程有无穷多解.2-m-n =0有m-n-3=0加一+8=0或加+-5 =0解得点P的 坐 标 为(或(g J)解法二 这样的点若存在，应是连心线GC2的中垂线与以G e 2 为直径的圆的交点，故有1 4 x +8 y-3 1 =01X 2、276 5 .解得尸I一3,只 或 2-.再验证即可.2 2)(2 2)7方法提炼1 .圆的切线(1)以 圆/=/上一点？(拓,%)为切点的切线方程为X o X+%y =r 2.(2)若圆的方程为1+2 +6+小，+尸=0,则以其上一点(与,%)为切点的切线方程为 XoX+yoy+o-W 1+EA+R nO.(3)若 P(%,%)在圆/+：/=/外，则可引两条切线外,P B,切点弦AB 所在直线方程为X o X+%y =/；同理，若 P(%,%)在 圆/+2 +6+反+尸=()外，则可引两条切线 B4,P B,切点弦A3所在的直线方程为毛尤+为)，+。三 包+E 芍 为+/=().(4)若点尸(如为)在圆/+V+瓜+y +F =0 外，则所引切线P A的长度为I PA.|=旧+y；+Dx0+取 +F .2 .圆系方程(1)过圆。：V+V+以+4+=0 与直线/：小；+g y +C=0 交点的圆系方程为+y+Dx+Ey+F +4(A x +By+C)-0(2)过圆。:x2+y2+Dtx+Ety+=0 与圆Q :/+y?+2 X+g=0 交点的圆系方程为2+丁+。俨+耳+；1(f+旷 2+0/+外)=()(不 包括圆a).当;1 =一 1 时，为一条直线/,称为根轴；即过两圆交点的直线.3.与圆有关的最值问题若 P(x,y)是定圆C:(x-a):+(y-b)2=r2上的一动点，则i x+n y 和这两种形式的x最值一般有如下两种求法.(1)代数法.侬的最值:设 氏+到=,与 圆 的 方 程 联 立，化为一元二次方程，由判别式等于0,求得，的两个值，一个为最大值，一个为最小值.上的最值:设y =与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于()，求得，的两X个值，一个为最大值，一个为最小值.(2)几何法.的最值:设,圆心C(a,Z?)到直线如+盯=1的距离为dma+n h-tI 7 2lm+n,由4 =即可解得两个/值，一个为最大值，一个为最小值.上的最值:上即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值.X X三、易错警示【例】设X,丁满足/+丁一8工一6)+1 6 =0,问：上士2是否有最大值和最小值？如果x-2有，求出其最大值或最小值；如果没有，说明理由.错解:由己知点(x,y)是 圆 意-4)2+(丫-3)2=9上的点，匕表示点(x,y)与点(2,2)连线x-2的斜率，如图2 2 5所示，图 2-2 5画出圆(x 4尸+(y 3)2=9,过点(2,-2)作圆的切线.设切线方程为y +2 =A(x-2),则圆心(4,3)到该直线的距离为3,即|4%-3-2 Z-2 1 1 2 k -5|J+k2 yj+k26 R=3,解得左=2 3二.二上上2的最大值为&=一2 +处，最小值为=-2-处.x-2 5 5【评析及正解】上述解法中，没有注意直线的斜率是倾斜角的正切值，而正切函数在区间(0,上单调递增，在(方,兀)上也单调递增，是两个不同的单调递增区间，在6 =时没有言 的 范 围 不 是-2 一 第,一 2+空，而是意义.如图2 26所示，因此,（注:此处就不再另附正确解法的具体步敢）也没有最小值.图 2 26四、难题攻略网（2019年高考数学江苏卷文科第18题）如图2-2 7 所示，一个湖的边界是圆心为。的 圆.湖的一侧有一条直线型公路/,湖 上 有 桥 是 圆。的直径），规划在公路/上选两个点P，Q,并 修 建 两 段 直 线 型 道 路 QA.规划要求：线段尸8 QA上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.已知点4 8 到直线/的距离分别为A C 和 8 0（C,。为垂足），则得AB=10,AC=6,B D=1 2（单 位：百米）.若 道 路 与 桥 A B垂直，求道路P B 的长.（2）在规划要求下，尸和。中能否有一个点选在。处?并说明理由.（3）在规划要求下，若 道 路 总 和 QA的长度均为d （单 位：百米）.求当d 最小时，P,。两点间的距离.CD图 2-27【破难析疑】在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系，建立适当的直角坐标系应遵循3点：若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为生标轴；常选特殊点作为直角坐标系的原点；尽量使已知，点位于坐标轴上.第问，可作垂线，利用余弦函数的定义求解，或建立平面直角坐标系以。为原点，过。且平行于/的直线为x轴俾立平面直角坐标系）利用两直线垂直的条件得直线BP的方程，并与直线/的方程联立求解点尸的坐标.再由两点间距离公式求解PB的 长.第问，分点尸在。处和，点。在。处进行讨论，进而可作出判找.第问，先讨论，点尸的位置，再讨论点。的位置，利用两点间距离公式，直线与圆的位置关系建立目标函数，再求解最值.【解法一】（1）如图2-2 8所示，过A作垂足为E,由已知条件得，四边形ACDE为 矩 形.D E=B E A C=6,A E=C D 8 .P B AB,8 4cos/PBD=sinzf A B E=10 512:.PB=c o s/P B D 45=15因此道路PB的长为15（百米）.若P在。处，由（1）可得E在圆上，则线段座 上的点（除B E）到点。的距离均小于圆。的半径.选在。处不满足规划要求.若0在。处，连接A。，由知.,A D2+A B2-BD-7、,、从而 c o s/B A D-=0.2 A D A B 25./B 4D为锐角，线段AO上存在点到点O的距离小于O的半径.因此Q选在。处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在。处.(3)先讨论点P的位置.当/。时，线段尸3上存在点到点。的距离小于圆。的半径，点p不符合规划要求；当/O 8 P.9 0时，对线段P 8上任意一点R O E.0 3,即线段P 5上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径，点P符合规划要求.设=6B cos/E5A=15xg=9当/Q B P 9 0时，在中，P B R B=1 5 .由上可知,d.A5.再讨论点0的位置.由知，要使2 A.i5,点。只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时，CQ=yjQA2-AC2=V152-62=3A/21.此时，线段2 4上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.综上，当P 3 L A B,点0位于点C右侧，且CQ=3&1时，4最小.此时，P，。两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=I7+3扬.因此，d最小时，P，。两点间的距离为17+3际(百米).【解法二】(1)如图2-29所示，过。作O 4 _ L/,垂足为H,以。为坐标原点，直线OH为y轴，建立图 2-29BD=2,AC=6,O H=9直线/的方程为y=9,点A 8的纵坐标分别为3,3,A 8为圆。的直径，A B=1 0,圆。的 方 程 为/+尸=2 53从而A（4,3）,8（Y,3）,直线AB的斜率为i .P B 1 A B,4 4 2 5 直线尸8的斜率为一,直线P B的方程为.P（-1 3,9）,P B=7（-1 3+4）2+（9+3）2=l5,因 此 道 路 的 长 为1 5（百米）.若P在。处，取线段8。上一点E（TQ）,则EO=4 上存在点到点。的距离小于圆。的半径.因此。选在。处也不满足规划要求.综上，P和。均不能选在。处.（3）先讨论点P的位置.当/。8尸 PtB=5.由上可知，。-1 5.再讨论点。的位置.由（2）知，要使得QA 1 5,点0只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当。4=1 5 时，设。（。,9）,由 4）,得 a=4+3同0（4+3伍9）,此时，线段Q A上所有点到点。的距离均不小于圆。的半径.综上，当尸（一1 3,9）,Q（4+3 7 2 1,9）d 最小.此时P，。两点间的距离|PQ|=4+3-（-1 3）=1 7+3。因此，d最小时，P，。两点间的距离为1 7+3亚（百米）.五、举一反三1.（1）已知圆G：/+V=9与圆。2：f+y 2-4 x+4 y-l=0关于直线/对称，则直线/的方程为（）.A .4 x-4 y+l=0B.x-y=OC .j H-y=OD .x-y-2=0【解】由题意可知/为储G的中垂线，因为圆G的圆心为G（o,o）,圆G的圆心为G（2，-2）,则直线G e?的斜率为b=-1，故直线/的斜率是&=1 .又因为CG中点为（1，-1），故/的方程为y+l=x l .即为x-y-2=0,故选D.圆M：一+（）-。）2=4 2的圆心为M（o,a）,半径为a,如图所示，作M4L直线H y=0于点A,则AO M是等腰直角三角形.第 1（2）题图又 半弦长|。4|=四,二0=|。徵=2.圆N的圆心为N（l,l）,且半径为1.故连心线=J（0-1）?+Q T）2=6 .两圆半径和为3,而半径差为1.1V20)截直线x+y=O 所得线段的长度是2 血，则圆M 与圆N：(x l)2+(y -l)2=l的位置关系是().A .内切B.相交C .外切D ,相离2 .已知点(x,y)在圆(x 2+(y+3)2=l 上.求x+y的最大值和最小值；求上的最大值和最小值；X(3)求7 2+/+2%-4 +5 的最大值和最小值.阐【解法一】设/=升 n，则丁=一尸匕，可视为直线丁=一叶，的纵截距.叶 y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径.即 付 M二4=1,解之得片企1 或片一血一 1 .叶 y的最大值为近一1,最小值为一夜一1 .【解法二】设L2+COS夕 外0,2),贝 IJ jr-y=2+cos0-3+sin0=/2sin+|-1 ,由y=-3+s i n=2 x-4,设圆C的半径为1,圆心在/上.若圆心C也在直线y=x-l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M,使MAF=2MO,求圆心C的横坐标。的取值范围.图 2-30解方程组，v=2 x 4；=X 1得圆心C为(3,2),又圆C的半径为1.圆 C 的方程为(x 3)2+(y 2)2=1 .显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=k x+3,即日y+3=0,-1-1,即|3Z+I|=JK+I,解得=0或%=.V P+i 1 1 4，所求圆C的切线方程为y=3或3升4 y 1 2=0.(2)圆C的圆心在直线/：y=2 x 4上，可设C(a,2所4),则圆C的方程为：(x-a)2+y-(2 a-4)2=l.又 一 M A=2 M O,设 M(x,y),则有 耳可于；整 理 得/+(什1)2=4,设为圆D.点M既在圆。上又在圆。上，即圆C和圆。有交点.|2-1|a2+(2-4)-(-l)2|2+1|,即 掇 加 片 _12丁+9 3.由 5/-12a+8.0 得 X e R；由 5/一 12,0 得 嗯 必 ,综上所述，。的取值范 围 为0,y .