2022年高考数学真题分类汇编专题：解析几何.pdf

2022年高考数学真题分类汇编专题：解析几何一、单选题（共8题；共4 0分）1.（5分）（2 0 2 2全国甲卷）椭 圆C：鸟+4=1缶 6 0）的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,A Q的斜率之积为1 ,则C的离心率为（）A.三 a.2 u-3【答案】A【解析】【解答】解：依题意易知A （-a,0）,设 P （xi,yi）,则 Q （-xi,yi）,八Q心ayll+X21xrzl+21-2X-a又b-以所p故1-42-26-Q即1-4故选：A.=Xa+【分析】设p（XI,y）,则Q （-XI,y）根据斜率公式结合题意可得K 4 P 4 b0）的离心率为1 A2分别为C的左、右顶点，B为C的 上 顶 点.若 瓦石=一1 ,则C的方程为（）A-T+15=1B y2g+g _ c-y2T +T-1【答案】B【解析】【解答】解：因为离心率e=a记 A i,A 2 分别为C的左右顶点，则 A i(-a,0),A 2 (a,0),又B为上顶点，所以B (0,b),所以B Z i=(-a,-,BA2=(a,-b),因为扇1 BA2=-1所以-a2+b 2=-l,将以等2 代入,解得a2=9,b2=8,故椭圆的方程为+普=1 .y o故选：B.【分析】根据离心率及B：B7 2 =-1，解得关于a?，b?的等量关系式，即可得解.3.(5 分)(2 0 2 2 全国乙卷)设F为抛物线C：y2=4 x的焦点，点 A在 C上，点 B(3,0)，若 AF =BF ,贝 i j AB =()A.2 B.2A/2 C.3 D.3A/2【答案】B【解析】【解答】易知抛物线的焦点为尸(L 0),则 AF =BF =2,即点A到准线x=-1的距离为2,所以点A的横坐标为1,不妨设点A在x 轴上方，代入得，4(1,2)，所以 AB =J(3 -1)2 +(0 _ 2A=2 V2 故选：B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.4.(5 分)(2 0 2 2全国乙卷)双曲线C的两个焦点为,F2，以C的实轴为直径的圆记为D,过F i 作 D的切线与C交于M,N两点，且COSF1NF2=1 ,则C的离心率为()A.在 B.J C.巫 D.身2 2 2 2【答案】C【解析】【解答】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设 过F i作 圆D的切线切点为G ，所 以OG 1 N F 1，因 为C 0 S N&N F 2 =|0，所 以N在双曲线的右支,所以 0 G =a ,|。&|=c ,|GF J =b ,设 Z,F1NF2=a,4 F 2&N =0 ,由 CO SZ-F1NF2，即 c os a=1 ,则 s in a=，,s in/?=?，c os。=,在 F2FTN 中,s in/F i F?N =s in(7r a 一夕)=s in(a+/?)=s in ac os S +c os as in/?=x +|x =3 K由正弦定理得益=%1ISI5 c所 以|N F i|二萍也乙?出村=s in z F1F2/V=T，5 c 3 a+4 b 3 a+4 bX-p-2 5 c2|N F 2|=s i n =：x肄 苧又 NF1-NF2=3 a+4 b 5 a 4b-2a2 22=2a ，所以2 b =3 a,即2 所以双曲线的离心率a 2a1+/-坦.1+2-2故选：C【分析】依题意设双曲线焦点在x轴，设 过 心 作圆D的切线切点为G,可判断N在双曲线的右支，设 出 NF 2=a ,乙 F 2F 1 N=B,即可求出s in a,s in/?,c os 0 ,在&鼻可 中由s in z F/2 N =s in（a+6）求 出s in z /V，再由正弦定理求出|N&|,|/VF2|,最后根据双曲线的定义得到2 b =3 a,即可得解.5.（5分）（2 0 2 2北京）若直线2%+y 1 =0是 圆（%-a）2 4-y2=1的一条对称轴，则a=)12A.B-Ic.1D.-1【答案】A【解析】【解答】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标（*0）,所以由2 a+0-1 =0解 得a =故答案为：A【分析】由直线是圆的对称轴，则直线过圆心，求圆心代入直线方程即可求得a 的值.6.(5 分)(2022北京)已知正三棱锥P-A B C的六条棱长均为6,S 是X A B C及其内部的点构成的集合，设集合7=Q 6 S PQ 5 ,则T表示的区域的面积为()A.竽 B.n C.27r D.37r【答案】B【解析】【解答】过点P 作底面的射影点O,则由题意，C 0 =2百，PC =6,所 以P0=2V6,当CO上存在一点Q 使 得 PQ=5,此时Q O=1,则动点Q 在以QO为半径，。为圆心的圆内，所故答案为：B【分析】过点P 作底面的射影点O,根据题意可计算P0=2乃，当CO上存在一动点Q 使得PQ =5,此时Q 0=l,即可得动点Q 的轨迹，从而计算T表示的区域的面积.7.(5 分)(2022浙江学考)已知圆M 的方程为(x+I)2+(y-2)2=4，则圆心M 的坐标是()A.(-1,2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(1,2)【答案】A【解析】【解答】(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心坐标为(a,b);.(%+l)2+(y-2)2=4 的圆心坐标为(一 1,2)。故答案为：A.【分析】利用已知条件结合圆的标准方程，进而求出圆的圆心坐标。8.（5 分）（2022浙江学考）设A,B 是平面上距离为4 的两个定点，若该平面上的动点P 满足|PA|-|PB|=3,则 P 点的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】C【解析】【解答】因 为 PA-PB=3 0）的焦点F 的直线与C 交于A,B 两点，点A 在第一象限，点 M（p,0）,若|4F|=|AM|,则（）A.直 线 A B 的斜率为2瓜 B.OB=OFC.AB 4OF D./.OAM+/.OBM 2p=4|O F|，C符合题意；对于D：OA.OB=（r孚）曙-率）=斗 鸟+堂.（-字）=-挈0，则 乙1 O B 为钝角，又 也 丽=（_ 5 字）Y-冬，字）=一 （华）+冬（粤）=孚。，则为钝角，又 AOB+MB +OAM +NO B M =3 6 0 ,则/.OAM +乙 OB M 1 8 0 ,D 符合题意.故答案为：A C D.【分析】由 AF =AM 及抛物线方程求得似 斗，孚），再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线A B的方程，联立抛物线方程求得B，-等），即可求出 OB判断B选项；由抛物线的定义求出|4 8|=等 即可判断C选项；由 65 砺 0,A M .M F|OA|2 D.|BP|-|BQ|BA I2【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由题意可知：l=2 p,所以抛物线C：x2=y,故C的准线为 丁 =-故 A错误；由y，=2 x得曲线C在点A（l,1）处的切线斜率为2,所以切线方程为y=2 x-l,又直线AB为：沪 耳 =8，即y=2 x-l,故直线AB与C相切，故 B正确；过点B（0,-1）的直线设为y=kx-l,交C于 P,Q两点的坐标分别设为P（x”y i）,Q（x2,y2）,联立直线与C方程可得/,=旷，=x2-kx+l=0,（y =f c x 1则 xi+x2=k,X IX 2=L 且2 1=/c2 4 0,B P k2 4,则 y i+y 2=k2-2,y i y 2=L此时|OP|O Q I =J（岩+光）（好+y j =J（y 1 +光）8 2 +）=J y i y 2（y i y 2 +%+丫 2 +1）=4,又|OAF=2,贝IJ OP OQ II OA I2,故 c 正确；BP BQ =BP-BQ =（xr,yx+1）（x2 y2+1）=xtx2+yry2+y1+y2+l =/c2+l 5 又|B A F=5,则|BP|-|BQ|BA|2,故 D 正确.故选：B C D【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A,根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B,根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C,根据向量的数量积运算可判断D.三、填空题(共12题；共60分)1 1.(5 分)(2 0 2 2 浙江)已知双曲线*=l(a 0,b 0)的左焦点为F,过 F且斜率为白的直线交双曲线于点A(xx,%),交双曲线的渐近线于点8(X 2,y 2)且 均 。0,设直线AB的倾斜角为0,则t a n。=2，则 翳 J =2，即 首 j =右则尸4 1 =4 小 OF =c=3 m,|A|_ AF _ 1 u i j.bm be又 画 一 画 一 守 则 1 4 4 1 =而=酝，又=g,则|FA|=则，|%i|=3m gm =gm =.点A的坐标为（专，器），代入双曲线方程化简可得另=令所以6=2=半a 4故答案为：半【分析】过点A作AA，_Lx轴于点A，过点B作BB，J_x轴于点B,依题意，点B在渐近线丁=：%上，不妨设B（m,m 0,根据题设条件可求得点A的坐标为（一湃 熊），代入双曲线方程，化简可得a,c的关系，进而可求离心率.12.（5分）（2022新高考团卷）已知椭圆4 +g=1 ,直线1与椭圆在第一象限交于A,B两点，与X轴，y轴分别交于M,N两点，且|AM|=|NB|,M N =2y/3，则直线1的方程为.【答案】x+/2y 25/2=0【解析】【解答】解：记A B的中点为E,因 为 M A =NB ,所 以 M E =NE ,ky）设 A（X1，y i），B（X2,y2），则 -+o-=1，-+-=1，O D O D所以乱一+Z 1 2 一红一=0 ,即 色 士）.色 辿 +3巾2）3厂丫2）=06 6 3 3 6 3所以：；彳，；+驾=一/，即喙,匕48=一号，设直线 A B：y=k x+m ,k 0,令 无=0得 y =m,令 7 =0得=一 五，即M(一不,0),N(0,m),所 以E(-忝，号)，rn即 kxa=3,解 得 k =_ q 或 卜=孕(舍去)，-2k Z 2 2又|M N|=2 V 3 ,即 M N -Jm2+(V 2 m)2=2 6，解得 m =2 或 m=2 (舍去)，所以直线 AB：y=-x+2 ，即 x +V 2 y -22=0 ;故答案为：x+2y 2 2 =0【分析】记A B的中点为E,设),B Q?，y2)，利用点差法得到初丁以8 =，设直线AB：y=k x+m ,k 0,结合已知条件求出M、N的坐标，再根据 M N求 出k、m ,即可求得直线方程.1 3.(5 分)(2 0 2 2 新高考圈卷)已知点4(一 2,3),8(0,a),若直线A B关 于y=a的对称直线与圆(x +3)2+(y +2)2 =1存在公共点，则实数a 的取值范围为.【答案】方,|【解析】【解答】解：因 为 7 1(-2,3)关 于y=a对称点的坐标为A(-2,2 a -3),B(0,a)在直 线 y =a上，所 以A B所在直线即为直线I,所以直线I为y=-x +a,即 -3)x +2 y -2 a =0 ；根据圆方程可得圆心。(一 3,-2),半 径 r =1 ,I 3(a 3)4 2 a|依题意知圆心到直线I的距离d =-1，即(5 5 a)2 0)的渐近线与圆X2+y2-4 y +3 =0相切，则 T H =.【答案】卓【解析】【解答】解：双曲线y 2 _=i（mo）的渐近线为y =看，即x土m y=O,不妨取x+m y=O,圆X 2 +y 2 4 y +3 =0,B P x2+（y-2）2=l ,所以圆心为（0,2）,半径 r=L|2加依题意圆心（0,2）到渐近线x+m y=0的距离弓=不 力 =1,解得血=空或7 n=一 与（舍去）.故答案为：孚.【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.1 5.（5分）（2 0 2 2全国甲卷）设点M在直线2 x +y-l=0上，点（3,0）和（0,1）均 在O M上，则 0 M 的方程为.【答案】（1）?+（y+1）2 =5【解析】【解答】解：点M在直线2 x +y-l=0上，设点M为（a,l-2 a）,又因为点（3,0）和（0,1）均在上，.点M到两点的距离相等且为半径R,一 3尸 +（1 -2 a）=J a 2 +（-2 a）2 ,化简得:a2-6 a+9+4 a2-4 a+1 =5 a2,解得a=l,：.M（1,-1），R=小，则O M的方程为（X 1）2 +（y +1）2 =5 .故答案为：（x-l）2+（y +l）2=5【分析】设出点M的坐标，利用点（3,0）和（0,1）均在O M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.1 6.（5分）（2 0 2 2全国甲卷）记双曲线C：今一3=1（。，力 。）的离心率为e,写出满足条件“直 线y =2%与C无公共点”的e的一个值.【答案】2 （满 足l 0,b0),所以C的渐近线方程为y =1 x，结合渐近线的特点，只需0幺式2,即 4,a a2 可满足条件“直线y=2 x 与C无公共点”所以e=a1 +2 l,所 以 le4通，故答案为：2(满足l e W遍 皆可)【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y =。尢 中 0。式2即可求得满足要求的e 值.1 7.(5分)(20 22全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程2 2【答案】(%-2)2+(y-3)2=1 3 或(x -2)2+(y -1)2=5 或(X 一 g 4-(y -1)=萼 或 8,2 _ 1 69(%一5)+0-1)=芯【解析】【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+E y+F =0 ,若 过(0,0),(4,0)(F =0(一 1,1)三点，则 1 6+4D +F =0(l+l-/)+E +F=0(F =0解 得 D =-4,E=-6所以圆的方程为 x2 4-y2-4x -6y =0 ，即(x -2)2+(y-3)2=1 3;若 过(0,0),(4,0)(F =0(4,2)三点，贝 l j 1 6+4D 4-F =0(1 6+4+4D +2E +F =0F =0解 得D=-4，E =-2所以圆的方程为 x2 4-y2-4%-2y =0 ,即(%-2)2+(y -I)2=5;F =0若 过(0,0),(4,2),(一 1,1)三点，贝 i j l+l-O +E +F =0 ,解得(1 6+4+4D +2E +F =0所以圆的方程为所+y 2 _ g*_ 竽 y =o ,即(x_V+(y_ 7)2=.O83143=一F=DE1651652l+l-0+E+F=O 0=若 过(一1,1),(4,0)，(4,2)三点，则 16+4D+F=0,解得 b 0）的左、右焦点分别为匕，F2.已知点a bM（0,-b）线 段M F 2交椭圆于点P,。为坐标原点.若 PO +IPFJ=2a,则该椭圆的离心率为.【答案】|【解析】【解答】根据椭圆定义知 PF2+IPF/=2a,又v PO+|PFi|=2a ,PF2=PO，由三角形M OF2为直角三角形可得点P是M F2的中点,0）,毕把点p代入椭圆方程中得，呼）2 _ _ 1 _ _ 1 o次 +=l=*4=e-2故答案为：!【分析】根据椭圆定义知 PF2+|PFi|=2a ,再利用 PO +IPFJ=2a,得 出 PF2=PO ,由三角形M OF2为直角三角形可得点P是M F2的中点，再利用椭圆标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点的位置，进而得出焦点坐标，从而结合中点坐标公式得出点P的坐标，将点P代入椭圆方程中得出a,c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率。22.（5分）（2022上海）已知双曲线-y2=l（a 0）,双曲线上右支上有任意两点 式打，为），2（%2，丫2），满 足X 1X 2-yiy2 0恒成立，则a的取值范围是【答案】a N 1【解析】【解答】解：如图所示，取点P关于X轴对称的点P 3,则P3（X 2,学），分别在渐近线上取点M,N则 由X 1 X 2 -巧 为 0恒成立，得0%1.0 7 3 0恒成立，则N P Q P 3恒为锐角，即 N M O N W 9 0。，则其中一条渐近线y =的斜率:1故答案为：a 1【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.四、解答题(共8题；共80分)22 3.(1 0分)(2 0 2 2浙江)如图，已知椭圆 务+y 2 =i .设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且 点Q(0,1)在线段A B上，直 线PA,P B分别交直线y =-1 x +3于C,D两点.(I )求点P到椭圆上点的距离的最大值;(H)求 C D的最小值.【答案】解：(I )设Q(2国c os。，si n。)是椭圆上一点，P(0,1),贝U144 1 144 PQ 2-1 2 c os2。+(1 si n 0)2=1 3 llsi n20 2 si n 0 =-pj-ll(si n 0 +y -)2 0,b 0）的右焦点为F（2,0）,渐近线方程为y=y/3x.(1)(5 分)求 C的方程；(2)(5 分)过 F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B 两点，点 P Q i，y j,Qg,y2)在C ,且i 牝 0,%0 .过 P且斜率为-6 的直线与过Q且斜率为V3的直线交于点M,请从下面中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：M 在 AB 上；PQ|AB；|M 4|=M B .注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)解：由题意可得.=后 痛+必=2 ,故a =1,6 =b.因此C 的方程为/Y=i -(2)解：由已知得直线P Q的斜率存在且不为零，直 线A B的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线A B的斜率存在且不为零；若选推，则M为线段A B的中点，假若直线A B的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知 M 在轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q 关 于 X轴对称，与从而%i =%2-已知不符；总之，直 线A B的斜率存在且不为零.设直线A B的斜率为k,直 线A B方程为y=k(x-2),则条件M 在 AB 上，等价于 y0=k(x()-2)o k y0=/c2(x0-2)；两渐近线的方程合并为3/-y 2 =o ,联立消去y并化简整理得：(/-3)/+4 k2 =0设 做%3，为)，B(%3,y4)，线段中点为 N QN，%V)则 XN=物=,yN=k(xN-2)=n f c -36k72：，k-3设 M(x O,y0)则条件|/M|=|B M|等价于(XO-X3)2+(y0-y3)2=(x0-x4)2+(y0-y4)2，移项并利用平方差公式整理得：(“3 -%4)2 XO-(%3+X 4)+(7 3 -丫 4)团 0-(为+7 4)=。，2%0-(%3 +%4)+蒋 兰 2%一。3 +%)=。，即 与 一孙+K y0-yw)=0，a n ,i 8 k2即 XO+k y0=-2-；k 3由题意知直线P M的斜率为 7,直 线QM的斜率为V 3 ,二 由 一 y（）=-V 3（x i -x0）,y2-y0=遮（%2 -与）,yx y2=一遮（x i +%2 2%o），所以直线P Q的斜率m =纥 及=6（巧+也-2a）,/一 刀 2 xl-x2直线 PM：y=-V 3（x x0）+yo,即 y =y（）+汽配 一 ，代入双曲线的方程3 x2-y2-3 =0,即（V 5 x +y）（V 5%y）=3中,得：S o +V 3%o）2 V 3 x -（y0+V 3 x0）=3 ,解 得P的横坐标：x i =南（丁+/面+%）+63），1 Q同理：*=一 韭（京 西+几 一 任。），+%）,修+也-2%0=一7。,条件P Q 4 B 等价于 m=/c k y0=3 x0 综上所述:条件M 在A B上，等价于k y0=k2（x0-2）；条件P Q/I B 等价于k y0=3 x0；条件|A M|=BM 等价于 x0+k yQ=;k 3选 推 ：2 2由解得：x（）=,A XQ+k yQ=4 x0=f c 3 k 3选 推 ：2 2由解得：x0=k yQ 警，k-3 k-3 k y0 3 久 0，.成立;选 推 ：2 2由解得：%o =r,k y0 =*k”-3 甘 一：*k y0=/c2（x0-2）,，成立.，劭-2 -k-3【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得C的值，利用渐近线方程求得Q,b 的关系，进而利用Q,b,的平方关系求得馥b 的值，得到双曲线的方程;(2)先分析得到直线A B 的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x O,y O),由|A M|=|B M|等价分析得到4,+k y0 =?由直线P M 和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的k -3方程，两点间距离公式得到直线P Q 的斜率m=辛，由P Q A B 等价转化为ky o =3 出,由M在4 B 上，等价于k y0=k2(x0-2),然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.2 5.(10分)(2 02 2 全国甲卷)设抛物线C：y 2 =2 p x(p 0)的焦点为F,点 D(p,0),过产的直线交C 于 M,N两点.当直线MD垂直于x 轴时，|M F|=3 .(1)(5 分)求 C 的方程：(2)(5 分)设 直 线M D,N D与C 的另一个交点分别为A,B,记直线M N,A B的倾斜角分别为 a,6 .当 a-6取得最大值时，求直线AB的方程.【答案】(1)解：抛物线的准线为x =,当MD与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为p,此时|M F|=p+=3 ,所以 p =2 ,所以抛物线C 的方程为y2=4%；24-4+B，23-1A如22-1TN/也M(设直线 MN：x=m y+1 ,X=4r由2y得可，OO44=由斜率公式可得k M N -_圣y i-道y2一_ 五4 顼，4 B _一 y通3-工y|4 _一 可4包，不一4 丁一 T直 线MD：x=-y +2,代入抛物线方程可得8 =0,y y4 o,为为=一 8，所 以 为=2 y2，同理可得y4=2 y 1，所 以AB4 _ 4 _/0，则 t a n（a 夕）+t a n a t a n i+2 k?-%+2/c 2P2 4当且仅当%=2k即 k =时，等号成立，所以当a-B最大时，kAB=，设直线A B：x=V2y+n ,代入抛物线方程可得y2-4V2y-4n=0,A 0,y3y4=-4n=4yly2=-1 6，所以九=4,所以直线A B：x=V2y+4.【解析】【分析】(1)由抛物线的定义可得|MF|=p+*即可得解；(2)设点的坐标及直线MN：x=m y+l,由韦达定理及斜率公式可得KMN=2KAB,再由差角的正切公式及基本不等式可得K.=乎，设直线AB：x=V2y+n，结合韦达定理可解.26.(10分)(2022全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且 过 4(0,-2),B(,-1)两点.(1)(5 分)求 E 的方程；(2)(5 分)设 过 点 P(l,-2)的直线交E 于 M,N 两点，过 M 且平行于x 轴的直线与线段AB交于点T,点H 满 足 丽?二 用.证明：直线HN过定点.【答案】(1)解：设椭圆E 的方程为m x2+n y2=1,过 4(0,2),B(|,-1)，则)(49 巾+九=11，解得 m=3,N=4A 9所以椭圆E 的方程为：学+1=1(2)证明：4(0,-2),B(|,-1),所以 A B：y+2=jx ，若过点P(l,-2)的直线斜率不存在，直 线 x=l.代入1,可 得M(1,亭)，N Q,琴)，代入AB方 程 y=|%-2 ，可得T(乃+3,竽)，由 祈=而 得 到 W(2V6+5,孥)求得HN方程：y=(2 个身x 2，过 点(0,2).若过点P(L-2)的直线斜率存在，设 kx y +2)=0,yQ,N(x2,y)-kx y (fc+2)=0联立 x2 y2 _，得(3 1 +4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,T+T=1可得X1+X2xtx2=_ 6k(2+fc)3/C2+43k(4+k)3k?+4丫1+丫23 2 =、-8(2+k)3k?+44(4+4k-2k2)3/C2+4口24k x、且=F (*)3/c+4联立 =当 3vy =2x_r 可得 7(昼+3,%),H(3yi+6 Xi，y j.可求得此时 H N：y-y2=3yiX -X2(x-x2)，将(0,-2).代入整理得 2(xi+x2)-6(yi+y2)+xty2+x2yi _ 3yly2-12=0,将(*)代入，得 24k+12k2+96+48k-24k-4 8-48k+24k2-36k2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,-2).【解析】【分析】(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1,将所给点的坐标代入方程求解即可；(2)分直线斜率是否存在进行讨论，直线方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理结合已知条件即可表示直线H N,化简即可得解.2 7.(5 分)(2022.北京)己知椭圆E：|+|=l(a 6 0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2次.(1)求椭圆E 的方程：(I I)过 点 P(-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B,C,直 线 AB,A C 分别 与 x 轴交于点M,N,当|MN|=2 时，求k 的值。【答案】(I)由已知6=1,2c=2V3a=2X2E：-4+y2=i(II)设直线 y=k(%+2)+l,B：(“为)，C：(%2，72)联立y=k(x+2)+1.x2+4y2=4n (4/c2+l)x2+(16fc2+8k)x+(1 6/+16k)=0由/0得k 1)上，直 线I交a，az1C于P,Q两点，直线AP,A Q的斜率之和为0.(1)(5 分)求，的斜率;(2)(5 分)若ta n AQ=2&，求P A Q的面积.【答案】因 为 点 A(2,1)在双曲线C：*l(a 1)上，所以有今 一空匕=1解 得 a2=2 ,所以双曲线c：Y-y2=1设直线 I：y=k x+m,y。,Q(&，、2)，x2 2-1联立 三一=1 消去 y 得 到(1 -2k2)x2-4k mx-2 m2-2 =0y=k x+m显 然 1-2/w o ,否则不可能有两个交点，而 4 =(4 f c m)2-4(1 -2/c2)(-2 m2-2)=8(m2+1 -2/c2)0,由韦达定理得X l +%2 =则 4 ，xxx2=W-2l-2 f cz l-2 f c2因为直线AP,A Q的斜率之和为0,所以 =5 +容=(%-1)(：2 _2 2 2(及；?(叼 _2)叼一2%2-2 (X1-2)(X2-2)所以1 2x2 2 所 以(y1 1)(%2 2)+(y2 l)(%i 2)=0即(k xi+m l)(x2 2)+(k x2+m 1)(/2)=0 ,所以有 2/C%I%2+(血1 2k)(xi+%2)4(m 1)=0 ,将韦达定理代入化简得(k +l)(2 k +m l)=0 ,而 当 2/c +m-1 =0 ,此时直线I 为 y=k x+-2k,易知恒过定点4(2,1),故舍去,所 以 k =-1 ,此时满足J 0 .(2)又 由(1)易知+%2 =4 m,x1x2=2m2+2 ,且 xi xi =J+%2 尸4%I%2=2 V 2 V m2 8依题可设A P 斜率为3，A Q斜率为-3，则由夹角公式知(后面补充证明)2 鱼=t a n 2 Q =，由对称性易知，只需考虑/C 1 0的情况就行，所以有我 抬+自 一 直=0 ,解 得弧=四 或 灯=一 苧(舍).而 七=-1 =自(%1 -2)，同理 丫 2 -1 =一的(%2 -2)，而 AP (%i 2,1),AQ=(%2 2，y?-1)SXPAQ=21(%1 2)(y2-1)一(%2 2)(7 1 -11)1 =2 I -上1(%1 -2)(%2-2)-自(%2 2)(%1 2)1Wy2|(%1 2)(%2 _ 2)1 =0y2 1%1%2 -2(%1 +%2)+4|=VL2|m.2-4 m +3|另一方面，联立 I%v 2),=,加=自,(1 一 2)，+，l，+，i ,(1)同理m=一 女 式%2 -2)+1 +小，(2)将以上两式相加，得2m=的(%1 -2)+2 +(%i +%2)，解 得m=百，所以 S&PAQ-V 2|m2-4 m +3|=g【解析】【分析】(1)先根据题意列式求得双曲线C的方程会_y2 =i ,再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得(k +l)(2 k +m-l)=0 ，再判断2 k+m-l=0不成立，易得(2)先设AP斜率为的，A Q斜率为-3，由夹角公式求得匕=&，同时根据两直线的位置可 得2 m =k i(%i -%2)+2 +(%i +小)，结合(1)，可 得m=半，再由韦达定理与三角形面积公式可得S P A Q=V 2|m2-4 m +3|,代入计算即可.2 9.(1 0分)(2 0 2 2浙江学考)如图，已知抛物线C：y2=2 p x(p 0)的焦点F到其准线的距离为2.(1)(5分)求p的值;(2)(5分)设过焦点F的直线1与抛物线C交于A,B两点，O为坐标原点，记AAOB的面积为 S,当 F A F B =6 S时，求直线1 的方程.【答案】(1)抛物线C：y2=2px(p 0)焦点为 飕，0),准线为b%=+,.焦点到准线间的距离为p,由已知得抛物线C：y2 =2 px(p 0)的焦点F到其准线的距离为2,.p =2 ；(2)由(1)可得抛物线的方程为y2=4%,焦 点 F(l,0),显然直线I的斜率不可能为零，故可设直线I的方程为x=m y+1 ,代入抛物线方程整理得y2-4 m y-4 =0 ,设 4(%1，%)，8(*2,，2)，则、1+%=4瓶，丫 1%=-4,S&AOB=OF yl-y2=1 J(4 m)2-4 x (-4)=2y/m2+1，n n|F 4|尸 B|=(xx+.)(%2 +分=(/+D E+1)=O%+2)(m y2+2)=7 n2 yl y2 +2 m(yx 4-y2)+4 =4 m2+8 m2+4 =4 m2+4 由 =6 S ,得 4 7 n 2 +4 =1 2 V m2+1，解得 m 2A/2，.直线 1 的方程为 x 2y/2y 1 =0 或+2 2y 1 =0.【解析】【分析】(1)利用已知条件结合抛物线的定义和点到直线的距离公式，进而得出实数p的值。(2)由(1)得出p的值可得抛物线的标准方程，再利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而得出焦点F的坐标，显然直线I的斜率不可能为零，故可设直线I的方程为x=m y+1,设4 Q 1，yi),B(X2,y2)，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得 出 力+丫2 =4 m,为丫2 =-4,再利用三角形的面积公式得出S-OB=2后 E，再结合抛物线的定义和两点距离公式，进而得出|F Z|F B|=4 巾2+4 ,由 F A F B =6S,得出m的值，进而得出直线1 的方程。3 0.(1 5 分)(2 0 2 2 上海)在椭圆r：J+y2=1中，直线 Q =a上有两点C、D(C点在第一象限)，左顶点为A,下顶点为B,右焦点为F.(5 分)若 N A F B =1,求椭圆r的标准方程；(2)(5 分)若 点 C 的纵坐标为2,点 D 的纵坐标为1,则 BC 与 AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；(3)(5 分)已知直线BC 与椭圆r相交于点P,直线AD 与椭圆r相交于点Q,若 P与 Q关于原点对称，求 CD的最小值.【答案】(1)由题意知，*/ZA FB屋,.在 RtA BOF 中，BF=2OB,即 a=2b=2则椭圆r的标准方程为+y2=l；(2)由题意知 A(-a,0),B(0,-1),C(a,2),D(a,1),则直线BC y=|”l直线 AD：y=则由符合椭圆r：4 +y2=i，故交点在椭圆上;(3)设 P 为(acosO,sinG),又 B(0,-1),贝 IJKBP=sin0+lacosd则直线B P:y=嘿 会 x 1,*点C(a.sinJ+1 1、cos J/同理可得,设 Q 为(-acosO,-sin。)，又 A(-a,0),则 KAQ=sin。acosO-a则直线 A Q t =8（x+a），二点D（2sin0 a,cos0 1/.s z sin0+l 1 2sin0im =-T-E =r =Zsingcosg+sirS+cos2?4singcosgcos2-sin2-2n si.n 202设t=tan 3，则CD 2 目 +-2.1 1 4a+b-+b 1,1、4“1 t t-1 t+tA|CD|6即|CD|的最小值为6【解析】【分析】（1）根据椭圆方程，运用数形结合思想求解即可；（2）根据直线的斜截式方程，以及两直线的交点，结合点在椭圆上的判定求解即可;根据直线的斜截式方程，以及直线与椭圆的位置关系，运用换元法，结合两点间的距离公式以及不等式的性质求解即可.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：190分分值分布客观题（占比）55.0(28.9%)主观题（占比）135.0(71.1%)题量分布客观题（占比）11(36.7%)主观题（占比）19(63.3%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题12(40.0%)60.0(31.6%)解答题8(26.7%)80.0(42.1%)多选题2(6.7%)10.0(5.3%)单选题8(26.7%)40.0(21.1%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(73.3%)2容易(16.7%)3困难(10.0%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1平面向量数量积坐标表示的应用5.0(2.6%)22椭圆的简单性质30.0(15.8%)1,2,20,21,233直线与圆的位置关系10.0(5.3%)5,134圆的一般方程10.0(5.3%)14,175两点间的距离公式20.0(10.5%)3,306直线与圆锥曲线的综合问题40.0(21.1%)23,25,28,297正弦定理的应用5.0(2.6%)48椭圆的应用5.0(2.6%)129双曲线的简单性质40.0(21.1%)4,11,14,16,18,22,2410向量在几何中的应用5.0(2.6%)911导数的几何意义5.0(2.6%)1012恒过定点的直线10.0(5.3%)2613圆锥曲线的轨迹问题5.0(2.6%)814与直线关于点、直线对称的直线方程5.0(2.6%)1315点到直线的距离公式5.0(2.6%)1416抛物线的定义15.0(7.9%)3,2517两圆的公切线条数及方程的确定5.0(2.6%)1918双曲线的定义5.0(2.6%)2219轨迹方程5.0(2.6%)620直线与圆锥曲线的关系80.0(42.1%)9,10,12,20,24,25,26,27,28,3021两条直线的交点坐标15.0(7.9%)3022抛物线的标准方程15.0(7.9%)10,2523平面向量数量积的运算15.0(7.9%)2,10,2224两直线的夹角与到角问题10.0(5.3%)2825抛物线的简单性质5.0(2.6%)926椭圆的定义10.0(5.3%)20,2127三角形中的几何计算10.0(5.3%)2828圆的标准方程15.0(7.9%)7,14,1529棱锥的结构特征5.0(2.6%)630斜率的计算公式15.0(7.9%)1,2831余弦定理的应用5.0(2.6%)432点与圆的位置关系5.0(2.6%)1733圆与圆的位置关系及其判定5.0(2.6%)1934双曲线的标准方程20.0(10.5%)24,2835椭圆的标准方程35.0(18.4%)20,26,27,3036直线的两点式方程5.0(