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圆锥曲线专题(定点、定值问题)圆锥曲线专题一定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒 模型【例 题】已知椭圆C：二+二=1若直线/：y=+与 椭 圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点)，T 3且 以AB为直径的圆过椭圆C的右手点.求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标。,J y=kx+m,解：设 A(JI),8(x),由 0,3+4k2-m2 08mk 4(m2-3)x+x=-,x x=1 2 3+44 2 1 2 3+4左23(7722 4左 2)y-y=(kx+m)(kx+m)=k2xx+mk(x+x)+m2=1 2 1 2 1 2 1 2 3+4%2:以AB为直径的圆过椭圆的右顶点0(2,0),且 左 k=-1,VAD BD/.M 2 =-1,y y+x x-2(x+x)+4=0,x-2 x-2 1212 1 21 23(m2-4女2)4(加2-3)16m 4.4=0,3+4%2 3+4左 2 3+4女 22k整理得：7m2+16m2+4%2=0,解得：m=-2k,m=-_ _,且满足3+4人一加2 012 7当 机=一 说 时，/：y=k(x-2 f直线过定点(多0),与已知矛盾；当机=一_ 时，/：y=直线过定点(_,0)T 7 72综上可知，直线/过定点，定点坐标为(一,0).7 方法总结：本 题 为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB,则AB必过定点(0(。22)必(碎一枚)a2+b2 a2+b2 模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模 型：只要任意一个限定AP与BP条 件(如 左”,储户=定值，k+k=定 值)，直 线AB依然会过定点(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)。AP BP此模型解题步骤：Stepl:设AB直线 =区+，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；Step2:由AP与BP关 系(如k k =-1),得一次函数k=f(m)或者tn=f(k)；Step3:将Z=/(m)或者m=/(A)代 入=丘+机，得y=Z(x-x)+y。定 定 迁移训练练 习1:过抛物线M：产=2冗上一点P (1,2)作倾斜角互补的直线PA与PB,交M于A、B两点，求证：直 线AB过 定 点.(注：本题结论也适用于抛物线与双曲线)-1 -圆锥曲线专题(定点、定值问题)练 习2:过 抛 物 线M：2 =4 x的顶点任意作两条互相垂直的弦O A、0 B,求证：直 线A B过定点。(经典例题，多种解法)练 习3:过2 x 2 -y2=1上的点作动弦A B、A C且4 k=3 ,证明B C恒过定点。(本题参考答案：(L,-1)AB AC5 5练习：4：设A、B是轨迹C：产=2 px(P 0)上异于原点0的两个不同点，直线0 A和0 8的倾斜角分别7 1为a和B ,当a,P变化且a +p=彳时，证 明 直 线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。(参考答案(_ 2,2 p)【答案】设),8(x,y),由题意得x,x#0,又 直 线O A,0 B的倾斜角a,0满足a +(3 =：,故1 1 2 2 1 2 4710 a,P 0)联 专 肖/x，得2-2 py+2 p。=0由韦达定理知y+y=一,y-y=兀 1 2 4 1 2 ka p R t a n a+t a n P 2 p(y+y )由+=用 1 =t a n =t a n f+P)=-=i 24 4 1-t a n a t a n p y v2-4/?2将式代入上式整理化简可得：,之：=1,所以b =2 p+2 pk,b -2 pk此时，直 线A B的方程可表示为y=kx+2 p +2 p k即k(x+2 p)-(y-2p)=0所以直线AB恒过定点(2 p,2 p)。练 习5:已知动圆过定点A (4,0),且 在y轴上截得的弦M N的 长 为8。(I)求动圆圆心的轨迹C的方程；(I I )已 知 点B(-1,0),设 不 垂 直 于x轴的直线/与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴 是NPBQ的角平分线，证明直线/过定点。【答案】解：(I)A (4,0),设 圆 心C(x,y),线 段 的 中 点为E,由几何图像知ME=,CA2 =C M 2 =M E 2 +E C 2-2=&-4)2 +y2=4 2 +A2 n2 =法(I D 点B(-1,0),设23九),Q(,人)，由题知3+2 力 乂 8+y y =0 直线 PQ 方程为:X+1 +1 X 2+8,+8 1 2 1 2 2 1 1 2y-y 1y-y=2 1 (%-%)=y -y =(8 x-y2)1 x-x 1 1 y+v 12 1 2 1=y(2 +”一 中 2+y)=8x-yj nN%+y)+8=8 x n y =0,x=1所以，直 线P Q过 定 点?1,0)练 习6：已 知 点8(1,0),C(1,0),P是平面上一动点，且;阮|国前2(1)求 点P的轨迹C对应的方程；(2)已知点 4见2)在曲线C上，过点A作曲线。的 两 条 弦A。和AE,且A O _ L A E,判 断：直线OE是否过定点？试证明你的结论。【解】(1 )设P(x,y)代入I记|.|丽=丽 丽得J(x-1)2 +y2 =1+1化简得),2 =4 x.(5分)-2-圆锥曲线专题(定点、定值问题)(2)将A(m,2)代入产=4x得机=1.点A的坐标为(1,2).设 直线DE的方程为x=my+t代入产=4x,得y2-4mt-4/=0,设O(x,y),y)则y+y=4/n,y-y=-4r,A=(-4m)2 +16/0(*)1_1 2 2 12 1 2:,AC=-1)(X-1)+(y-2)(y-2)=xx-(x+x)+1+y-y -2(y +y)+41 2*1 2 1 2 12 1 2 1 -2V2 V2 V2 V2=.上 一(二+=)+y-2(y +y)+54 4 4 4 1 2 1 2(”y)2(y+y)2-2 y-y 1 2-12 12+y-y-2(y +y)+516-4 1 2-1 2(一4/)2 (4m)2-2(-4r)=-+(-4r)-2(4/n)+5=0化简 得/-6f+5=4机2+8m16 4即f2-6/+9=4加2+8/n+4即(Z-3)2 =4(m+1)2 z.r-3 =2(m+1).J=2?+5或1 =-2?+1,代 入(*)式检验均满足A 0直线)E的方程为x=m(y+2)+5或x=y-2)+1.直线 七过定点(5,-2).(定 点(1,2)不满足题意)练 习7:已知点A(1,0),B(1,-1)和抛物线。C：y2=4x,0为坐标原点，过 点A的 动 直 线I交抛物 线C于M、P,直 线MB交抛物线C于另一点Q,如图。(I)证 明：。河 而 为 定 值；5 _(I I)若P0M的 面 积 为 一 求 向 量R F与亦的夹角；2(III)证 明 直 线PQ恒过一个定点.解：设 点M(一:，乂)，P(y 尸、M、A三点共线,4 1 4 2y y-y .k=k,即 e=J J，A M D M 产+J 2 y2 t 4-4y 1即.=_ _ _ _ _ _ _y y=42+4 y+y 1 21 1 2一._ y2 y2OM-7yp=_L _2_+y y=5.4 4 1 2(I I)设NP0M=a,贝U I 丽COSa=5.5 _.S I OI I Tt)P I-sina=5.由此可得 tan a=1 oR O M 2又a G(0,K),.-.a=45,故向量OM与。尸的夹角为45.(III)设点Q(=，y),M、B、Q三点共线，.&=k,4 3 BQ QM即,3 =3+4=0.11分y)=4,即y=一 .一-y+-4-+y+4=0,1 2 1y 2 y2 3y2 即 4(y+y)+y y +4=0.(*)2 3 2 3-3-43圆锥曲线专题(定点、定值问题)kPQ 21-21 力+匕T T直线PQ的 方程是y_y=24yJ+y2即(y-2)(%+3)=4%-*即y()，2 +)一 吟3=4工由(*)式，-yy=4(y+y)+4,代入上式，得(y+4)(y2 3 2 3 2由此可知直线PQ过 定 点E (1,-4).+y)=4(x-1).模型二：切点弦恒过定点34 1又M到A B的 距 离d M l tM1*t 9S-4-例 题：有如下结论：圆x2 +y2=/2上 一 点P(x,y)处的切线方程为xy-yy=r2,类比也有结o o o o论：椭 圆 三+匕=1(。0)上一点P(x,y )处 的 切 线 方 程 为 二+22=1 ，过 椭 圆C：上+产=1的a 2 b2 o 0 口2 万2 4右 准 线I上任意一点M引椭圆C的两条切线，切 点 为A、B o(1)求证：直 线A B恒过一定点;(2)当 点M在 的 纵 坐 标 为1时，求4 A B M的面积。4/3x x【解】(1)设 M(_y _,/)(r eR),A(x y ),B(x,y )，则AM的方程为+y y =11,1 2 2.点M在M A上./x+=1 同 理 可 得 卫 光+)=1 3 1 1 3 2 3 42由 知AB的方程为x+b =1,即工=点(1_9)易知右焦点F(J 5,O)满足式，故A B恒 过 椭 圆C的右焦点F(晶,0)X2(2)把 A B 的方程x=J 3(1 y)代 入 一 +y 2=1,化简得7y 6)，一1=04/.|AB|=3 6+2 8 =16V 7 7.A B M 的面积 S=1|A fi|.d JM2 2 1 方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？圆锥曲线专题（定点、定值问题）练 习1:已知抛物线C的顶点为原点，其焦点/（o.c X c。）到直线/：x-y-2 =0的距离为.设P为直线/上的点，过 点P作抛物线C的两条切线P A,P 8,其 中A,8为切点。（I）求抛物线C的方程；（I I）当 点P（x,y ）为直线/上的定点时，求 直 线A3的方程；0 0（I I I）当点P在直线/上移动时，求|4目化日的最小值.【答案】（I）依题意，设抛物线。的方程为X2=4 c），由|0-2|=W 结合,042 2解得c =1.所以抛物 线C的方程为m=4 y.(I I)抛物线C的方程为m=4，即y =x2,求导得,、,、4 2()()X 2 X 2设 A x,y ,B x,y(其中 =-p,y =工)，1 1 2 2 1 4 2 41 1则切线P A,P B的斜率分别为_ x ,_ x ,2 1 2 2X/X X2所以切线 P A ：y-y =T九 一 x 即 y =x 1-+y ,x x-2 y-2 y=01 2 1 2 2 1 1 1同理可得切线PB的方程为x x-2 y-2 y=0因为物线P A.7P B均 超 点P(四y 0),所以冗x-2 y-2 y=0 ,xx-2 y-2 y(八)1 0 0 1 2 0 0 2所 以x,y ,x,y 为方程x x-2 y -2 y =0的两组解.1 1 2 2 0 0所 以直线A B的方程为x x-2 y -2 y=Q.0 0(i l l)由抛物线定义可知p/卜 乙+1,fF=y+1,所 那 H牛 B|F=(y+1)G+I)=y y +(v+y)+1I I J I 1 2 1 2 1 2 Z x x-2 y-2 y=0 ()联立方程。.。，消 去x整理得yz+Yyxz/y +y 2=0=0 x2 =4 yo o o由一元二次方程根与系数的关系可得y +y=X 2 2 y,y y=y 2/1 2 0 0 1 2 0所 vX AF B ff=yy+(y +y z+1=y 2+2-2 y +11 2 0 0 0又点PG,y)在直线/上，所 以x=y+2,0 0 0 0/、(1 9所以 y2 +x 2-2 y+1=2 y 2+2 y +5=2|y +|+-o o o o o 1 0 2 J 21 Q所 以 当 花=一,时，|4勺 8勺取得最小值，且最小值为练 习2如图，抛物线C ：x 2=4 y,C ：X2=2 py（p0）,点M（x,y ）在抛物线C上，过M作C的切线,1 2 0 0 2 1切 点 为A,B （M为原点O时，重合于O）X o=1-&,切线MA.的斜率为-2。（I）求p的值；（I I）当M在C上运动时,求线段A B中点N的轨迹程。（A,8重合于。时,中点为0）.2-5-圆锥曲线专题（定点、定值问题）【答案】X 打）：仁 l.即x/=-4y0.斫以III 3-b W7 4K=q-y丈，0.J4芍X=x、时.A.H*自 于 班 2。AP lZ N)O.空标满足/n亍y.因此4 8 中点人的轨逶方仃为4x2=y y.12 分-6-圆锥曲线专题(定点、定值问题)模型三：相交弦过定点相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。例题：如 图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：2+晨,=i(a/,o)的右焦点F,且交椭圆C 于 A、B 两2点，点A、B 在直线G：x=2 上的射影依次为点D、E o 连接AE、B D,试探索当m 变化时，直 线 AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N,请 求 出 N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。法一：解：尸(1,0)次=(4 2,0)先探索，当 m=0时，直 线 L_Lox轴，则 ABED为矩形，由对称性知,AE与。2+1。2+1BD相 交 于 FK中 点 N ,且限,0)猜想：当 m 变化时，AE与 BD相交于定点N(,0)2 2证明：设 A(x,y ),B(x,y),E(a 2,y),D(a 2,y)当m变化时首先A E 过 定 点 N1 1 2 2 2 1 ，I x -/%y+1*/即(2+2帆2)?2+2仍2+/?2(1 。2)=0.8分 加+2 y2-2入 2=0 二 4。2 2(。2+加2/72-1)0(v a 1)又 K=?一,K 二二AN 21 EN 1一 2-my -2 2而K-KAN EN9(必+”一吗_1201-。2(-my )2-；(这是.竺Z l(y y)-m y y2 1 +2 1 22 mb 2、/?2(1-672)-)-m -2。2+m2 b 2 a 2 4-7222/72(“2-1).(仍 2-m b 2)-4 2+出=S，K=K:.A、N、E 三点共线A N B i 4a 2+1.AE与 BD相交于定点N(,0)同理可得B、N、D三点共线法 2:本题也可以直接得出A E 和 B D 方程，令 y=0,得 与 x 轴 交 点 M、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大。方法总结：方 法 1 采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。-7-圆锥曲线专题（定点、定值问题）X2例 题、已知椭圆C:一+产=1,若直线/：%=/（/2）与x轴 交 于 点T,点P为直线/上异于点丁的任一4点，直 线PA ,PA 分别与椭圆交于M、N点，试问直线M N是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。1 2方 法1:点A、A的坐标都知道，可以设直线PA、P A的方程，直 线PA和椭圆交点是A （2,0）和M,1 2 1 2 1 1通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动 点P在直线/：x =f（f2）上，相当于知道了 点P的横坐标了，由 直 线P A、P A的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求12的M、N点的坐标，求出直线M N的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t2,就可以了，否则就不存在.j y =女（x +2）解：设M（x,y）,N（x ,y ）,直线A M的斜率为左，则直线A M的方程为y =Z:（x +2）,由/,2 2 兀2+4产=4消 y 整理得(1+4A2)X2+16ZX+16Z2-4=012 1 1 6A：2-4.-2和x是方程的两个根，2r=,则11 1+44 22-Qk2 4k 1即 点M的坐标为_ 丘)，1 +4%2 1+4k22-8k2X =-4 1 1 +4%214Z-1 1+4218k2-2 -4k同理，设 直 线A N的斜率为k,则 得 点N的坐标为（_,2）21 +4 女 2 1+4攵 2y =k(t+2),y=k(Z-2)22k-k 11 2:k+k1 2令 y=0,2 p 2 y y y y.直线MN的方程为：-二2.1 ,t x-x x-X12 1褥X=x/f 2.将 点M、N的坐标代入，化简后得：x =4y -y41 24又z？，.0 _ =2（%-2）消y整理得1 1+4&2 1 1 +4左2 推+4尸=41 6A:2-4 8 2-2-4 k（1 +4女2）x 2-1 62x+1 642-4=0,得 到2x -2 即 =2,y-*很快。不过如果看到：2 2 22 1+4女2 1+4 攵 2 2 1 +4&21 6k2 4 2 2 g 42 2-4f e-2 x=1 中的 用中换下来.X前 的 系 数2用一2换下来，就 得 点N的坐标（,）,如果在1 1+4公 1 2 1 1+4%2 1+44 212 2解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。本题的关键是看到点P的双-8-2 圆锥曲线专题(定点、定值问题)重 身 份:点P即在直线A M上 也 在 直 线AN上，进而得到女 k之=_,由 直 线M N的方程一=匕一片得12 k+k t x-x x-x直 线 与X轴的交点，即 横 截 距 工=H1 2.1 2.1o4 4 4 jS1，将 点M、N的坐标代入，化简易得x=_，由_=户 解 出f=,7 7 v 丁到此不要忘了考察/二V 是否满足r 2。3 方 法2:先猜想过定点，设谢N的方程，得出AM、A N方 程,进而得出与T交点Q、S,两坐标相减R。如下:1 2设/：x=,2 +W，联立椭圆方程，整理：M N(4+解)y2+275，y-1=0；A求出范围；设M(x,y),N (x,y),得直线方程:5 2 2y：y=%(%2)；x-22若分别于相较于Q、5：易得Q )；”2),S，,I 2)x-2 x-21 ,2y-y =1 (t-2)-(r-2)0 s%2 x 212整理=-4 叫%+2-W)(X+4)+(W，-4)(%-4)(.：2)(%+2)韦达定理代入=1 4?(前 4)+(加-4)(y)(x-2)(x+2)4+7?7 V 7 121 2显然，当时，猜想成立。-3-方法总结:法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。因此法2采用这类题的通法求解,就不至于思路混乱了.才弹交法1,未知数更少，思路更明确。练习1：在平面直角坐标系如y中，如图，已知椭圆错误!+错误!=1的左右顶点为A.B,右 焦 点 为F,设过点T (t,m)的 直 线T A,T B与椭圆分别交于点M (x,y ),N(x,y ),其中m0,y 0,y0。1 1 2 2 1 2 设 动 点P满 足P F 2P B 2=4,求 点P的轨迹(2股x=2,x嘴误!，求 点T的坐标1 2 设t=9,求证：直线M N必 过x轴上的一定点(其坐标与m无关)解析：问3与上题同。1 8.本小题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圜的方程等基础知识.考查运算求解能 力 彳 噫 和 可 眩 郴 物.满 分 16分.解:由 腮 伽 山*3),8(3,0),尸(2,0).(1)设点尸(3 y),则 用)、),*=(工-3尸+六由 -2=4.得(*-2)+/-(丁-3/-旷 2=4.化武得 了 =%.故所求点P的轨迹为直线k =小 心2 3-9-圆锥曲线专题(定点、定值问题)(2)由 z,=2,y+y =1 及 匕 渺 畚；=M&：举 瘠漱而交线A.W的方程为y=浦*2=3、9-y).从而直线BN的方程为y由所以点T的坐标为(7,-X =71107=Ty .则点$+1 ；=-翌 则 点尸 铲+1,声,告 解 得1及y：1)满足i+3).lT+T=,得3g+3)m1 5+3)2,因为 存*3,则 苻 尸m2 +3 240-3 m方-=-!?.二-解 得“诟k从 而 得 为=之 上80+m炭 -洞常F.则 由 希程为=1,过 点P(L O).点 做 一，力)满足3m1-60,巧关320+m1,力=20+m及m 0,得m若斯#与,则m72/I O.直线M D的斜率%“二-2 0mC,心=2/区 此 能 线M N的方40/7180+m；10m蜃维则)嘛睇j -W W VUXXKXOM-20mk、=泮嘤=$彳，得k 尸 人 所 以 直 线 过D点.3m-CO 40-m20+m1-因此.直线M N必过x轴上的点(1,0).(3、练 习2：已知椭圆E中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2,0)、B(2,0)、C 1,_2三点.过椭圆的 右 焦 点F任做一与坐标轴不平行的直线/与椭圆E交于M、N两点，AM与BN所在的直线交于点Q。(1)求椭圆E的方程：(2)是否存在这样直线加，使 得 点Q恒在直线机上移动？若存在，求出直线加方程，若不存在，请说明理圆锥曲线专题(定点、定值问题)解析：(1)设椭圆方程为/n x 2 +加=1(川 0 7 0),将A(2,0)、f i(2,0),C(l )代入椭圆E的方程，得24 m =1，解得?=L=I .椭圆 E的方程 2 +)2=1 6 0)的 离 心 率 为 直，并且直线y =x +/2是 抛 物 线”=4戈的一条切线。a2 b2 2(I)求椭圆的方华(II)过 点S(0,-_)的 动 直 线L交 椭 圆C于A、B两点，试 问：在坐标平面上是否存在一个定点T,使 得 以A B3为直径的圆怛过点T?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。解：(I)由 悌=x +b 消去)，得：X2+(2 0-4)X+/?2=0y2=4x因直线 y=x+b与抛物线y 2 =4 x 相 切A =(2 b 4)2 4b 2=0 b A-11-万-1 12 1.e=*,。2=匕2+C2,a 2 0)的 离 心 率 是 差，A,A分别是椭圆C的左、右两个顶点,a2 b2 2 1 2119点尸是椭圆。的右焦点。点。是入轴上位于A右侧的一点，且 满 足-+=-S-=2 o2IADI AP F D(1)求椭圆C的 方 程 以 及 点。的坐标；(2)过点。作x轴的垂线，再作直线/=履+?与椭圆C有且仅有一个公共点尸，直线/交直线于点Q。求证：以 线 段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标。解：(1)A A(a,Q),F(c,0),设。(x,0),1 11 2 1 1由-+-=2有-+-=2,|D|x+a x-a又卜。日,r.x-c =1,r.x=c+1,于 是-+-=21 1 c+1+a c+1-ac J2=c+1=(c+1+a)(c+1-a),文；=X n a=扉c,a 2c+1 =(c+1 +y/2c)(c+1 -J2c)=c2 c=0又c 0,/.C =1 ,.6Z=JZ z?=1,椭圆 c ：X2一+2=1,且 0(2,0)2-12-圆锥曲线专题(定点、定值问题)y=kx+m 腔(2)方法 1：2Z+M,设 P(x,y),由心=一+(京+/)2=1o o I,c 1 9=X2+2(京+加)2=2=(2%2+1)JT+4kmx+2m2-2=0,由于4=16攵222-4(22+1)(2m2-2)=0 n 2k2 一m2+1 =0=根2=2k2 +1 (*),2k而由韦达定理：2x _ Y km -丫 _-2 k m，M)-2km,o 2A2+1 0 2依+1 m2 tn,2k 2 1 2k 1y-k x +m=-_+m=_,/.r(-_),0 m m m m设以线段PQ为直径的圆上任意一点由 瓯 平 匹=0 有(x+空)(x-2)+(y-J_)(y-(2攵 +m)=0 n X2+尸+(兰一2)x+(2k+机+_L)y+(1-2)=0 由对称性知定点m m m m m在 X轴上，令 y=0,取 x=l 时满足上式，故 过 定 点 K(l,0).法 2:本题又解：取极值，PQ与 AD平 行，易得与X 轴相交(F(1,0)。接下来用相似证明PFJ_FQ。设P(x,y),易得PQ切线方程为x x +2 y y =2;易得0(O,t)0 0 0 0 y设 PH 1 FD1-xPH=y-,HF=-x；DQ=o;F=1;y0丝 1=丝，固 尸 相 似 于 AF。，易得NPFQ=90。PH FD问题得证.练习：(10广 州 二 模 文)已 知 椭 圆 C：上+匕=1(。6 0)的右焦点尸与抛物线C:y2=4 x 的焦点重合，。2 枚 5 2 2椭圆C 与抛物线C在第一象限的交点为P,P F=_ o 圆C 的圆心T 是抛物线C 上的动点，圆C与 y 轴I 2 2 3 3 2 3交 于 M,N 两点，且|M N|=4.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：无论点T 运动到何处，圆C恒经过椭圆C 上一定点.31(1)解 法 1:.抛物线C,:2=4 x 的焦点坐标为(1,(),.点匕的坐标为(1,0)。二椭圆C 的左焦点尸质坐标为F(-1,O),抛物线C 的 准 线 方 涯 为 x=-1。设 点 P 的坐标为(x,y),由抛物 5 5 2 8 1 1线的定义可知 lP F x+1,：PF=x+1=_ ,解得 x=_ o 由 y 2 =4x=_，且 y 0,得 y=2 j 8。1 21 1 21 3 i 3 i 3 i 3 i i 3V.点P 的坐标为2 在椭圆C：l(a 6 0)中，3 3 J i a2 bic=o 2a=PF +PF|=/产+(29-。)2+书-1)2+(一0)2=4j _ X2 y i。=2,=五=7 1=/。椭 圆。|的 方 程 为 4+(1。解 法 2：,抛物线。：=4 工的焦点坐标为(1,(),点厂 的坐标为(1,0).J 抛物线C 的 准 线 方 程 为 x=-l2 2 2设 点 尸的坐标为(x,y),由抛物线的定义可知|PFj=%+1,-13-u匚co圆锥曲线专题(定点、定值问题)3 3/o QPF|,/.尢 +1=_,解得 x=_ _ o 由 y2=4x=且 0得 丁=_1 21 3 1 3 1 3 1 1 3 1 1 3V2 2.点尸的坐标为(_,一 的.在椭圆C：上+巴=1(a 6 0)中，c=1。3 3 1 a2 b2 由 2=4%上的动点，2把x =_y2代入(*)o 4 o1=4 x(x 0)o,尤=尸.o 0 040消去工 整理得：(1-%)y2-2yy+(X2+产-4)=0。(*)方程(*)对任意实数2I1 2=0,y恒成立，-2y=0,fx=2,解得X 2+y2-4 =0.y=0.点(2,0)在椭圆C：之+匕=1上，.无论点T运动到何处，圆C 恒经过椭圆C上一定点(2,0)o1 4 3证 法2：设点T的坐标为(x,y),圆。的半径为r,0 0 3 点T是抛物线。：2=4 x上的动点，,y 2=4 x(x 0)o圆C与y轴交于M,N两点，且|M N|=4,3.二圆C的方程为(x x3 0)2+(y-y)2=4 +%2,令1=0,则 尸=4x=0,得y=0.此时圆。由 ro ox2+y a=4,X2 V 2 4 令=1,0解得0 0；|MN|=4 o 1(*)的方程为X 2+产=4.*=2，.圆。：尤2+产=4与椭圆C的两个交点为(2,0)、(-2,0)o 0.30002o00003o0033分别把点(2,0)、(-2,0)代入方程(*)进行检验，可知点(2,0)恒符合方程(*),点(-2,0)不恒符合方程(*).无论点T运动到何处，圆c 恒经过椭圆C上一定点(2,0).3 1-14-