2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列、均值与方差.pdf
第六节离散型随机变量及其分布列、均值与方差【考试要求】1 .了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及数字特点2 .掌握离散型随机变量的分布列3 .掌握离散型随机变量的均值与方差【高考考情】考点考法：离散型随机变量的分布列、均值及方差是高考考查重点，一般以实际问题为命题载体，考查分布列、均值与方差在决策问题中的应用.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，难度中档.核心素养：数据分析、数学运算、逻辑推理Q一知谓梳理二 1&/爰 一 o归纳知识必备1 .随机变量的有关概念(1)随机变量：对于随机试验样本空间O中的每个样本点，都有唯一的实数才(5与之对应,我们称才为随机变量.离散型随机变量1，：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量.,注 解 1离散型随机变量力的每一个可能的取值为实数，其实质代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的.若才是随机变量，则-从a,6 为常数)也是随机变量.2 .离散型随机变量的分布列及性质(1)设离散型随机变量才的可能取值为及，如，X”我们称才取每一个值小的概率以才=x)=p6 i=l,2,，为3的概率分布列,简称分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质.2 0,7=1,2,，n；。-=1.；注 解 2判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用7=1,2,及R+RH-卜p0=l检验.3 .两点分布如果P(A)=p,则P(A)=1p,那么X的分布列为X01PP我们称/服从两点分布或0 1 分布.4 .离散型随机变量的均值与方差”离散型随机变量片的分布列为XAi用X”PAAPn（1）均值称 （A）=x1p1+x2p2+.+xnpn=xipi为随机变量 的均值或数学期望,数学期望简称i=l期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（2）方差称（第=5 2 （出一夙乃）力，为随机变量才的方差，可以用来度量随机变量才取值与其均值i=l的偏离程度,并称（Z）为随机变量才的标准差,记为。（.注 解 3期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.以乃是一个实数，由 X的分布列唯一确定，即作为随机变量，乃是可变的，可取不同值，而以及是不变的，它描述片取值的平均状态.5 .均值与方差的性质爪aX+8）=a4（乃+6.（a,8 为常数）（口才+6）=迤 .（a,6 为常数）智学变式探源1.（改变条件）某位射箭运动员命中目标的环数1的分布列为（）1.选择性必修三P 6 1 T 42.选择性必修三P 9 0T 4X67891 0P0.05 0.1 5 0.2 5mn如果命中9 环或1 0环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（）A.0.3 5 B.0.2 0 C.0.5 5 D.0.8 0【解析】选 C.由题意知，他一次射击成绩为优秀的概率是尸（才=9）+尸（1=1 0）=加+=1 一（0.05+0.15+0.25）=0.55.2.（改变题型）已知离散型随机变量X的分布列如表所示.012P0.36-2 qQ2则常数q=;双心=.【解析】由概率分布列的性质可知：0.36+(12 g)+d=l,即/2q+0.36=0.解得q=0.2 或 1.8(舍去).所以/0)=0 义0.36+1X0.6+2X0.04=0.68.答 案:0.2 0.68-慧 考四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本能力6.基本应用3.（多选题）（离散型随机变量的概念）下列随机变量乃是离散型随机变量的是（）A.某市每天查到违章驾车的车辆数开B.某网站中的歌曲 爱我中华一天内被点击的次数才C.一天内的温度XD.射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0 分，用片表示该射手在一次射击中的得分【解析】选 ABD.因为A,B,D的结果均可以一一列出，而C不能一一列出.4.（离散型随机变量的可能取值）袋中有大小相同的5 个球，分别标有1,2,3,4,5,五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X,则1所有可能取值的个数是（）A.5 B.9 C.10 D.25【解析】选 B.由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5 中的某个，故两次抽取球号码之和片的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,1 0,共 9 个.5.（离散型随机变量的均值）某射手射击所得环数4 的分布列为178910PX0.10.3y己知才的期望0)=8.9,则y 的值为()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4f x+O.1+0.3 +y=l,【解析】选 D.由 ,7 +8 X0.1+9 X0.3+1 0y=8.9,解得y=0.4.6.（离散型随机变量的方差）有甲、乙两种品牌的手表，它们的日误差分别为 K（单位：s）,其分布列如下：-101P0.10.8 0.1Y-2-1012P0.10.20.10.2 0.1则 两 种 品 牌 中 质 量 好 的 是.【解析】（乃=以力=0,。（乃=0.2,（丹=1.2.因为（乃=（。，（与 （,所以甲品牌质量好.答案：甲。、白榇究悟法培优,。7 考点一分布列的性质|讲练互动 典例1 （1）（多选题）已知随机变量乃的分布列如表所示（其中a为常数）：X01234P0.1 0.20.4 0.2a则下列计算结果正确的是()A.a=0.1 B.。(4 2)=0.7C.尸(43)=0.4 D.尸 0 0)=0.3【解析】选 A B D.由分布列的性质可得a=0.1,则尸(42)=A/=2)+尸(1=3)+尸(1=4)=0.4+0.2 +0.1=0.7,尸(43)=尸(片=3)+尸(1=4)=0.2+0.1 =0.3,产(收1)=尸(乃=0)+/(=1)=0.1+0.2 =0.3,故 A,B,D 正确，C 错误.(2)离散型随机变量才的概率分布规律为P(1=)=(=晨2 3,4),其中a是n(十 1)1 6常数，则吒 x E(X),所以应先答B类问题.教师专用3【规律方法】求离散型随机变量的均值、方差的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值.(2)求X的每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值定义求出E(X),D(X).注意 E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.，对点训练为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1 小时的部分每小时收费标准为4 0元(不足1 小时的部分按1 小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1 小时离开的概率分别为;，:；14 61 9小时以上且不超过2 小时离开的概率分别为a ,；两人滑雪时间都不会超过3 小时.乙 0(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量自 ,求自的分布列与均值E(g ),方差D(&).【解析】(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,4 0,8 0元，甲、乙两人2小时以上且不超过3 小时离开的概率分别为1 1，1-:一=7 .I 4 少 4 k b 6两人都付0 元的概率P 1=；x：=/,两人都付4 0元的概率P 2=),两人都付8 04 6 2 4 2 3 3元的概率P a=；X：=,则两人所付费用相同的概率P =P i+P 2+P 3=.4 6 2 4 2 4 3 2 4 1 2(2)&的所有可能取值为 0,4 0,8 0,1 2 0,1 6 0,则 P(&=0)=(x 5 =(,p(g=4 0)=2 1 1 1 z x 1 1 1 2 11 5 /x 1 1 1X-+-X-=,P(=8 0)=-X-4-X-+X-=,P(=1 2 0)=-X-+1 X。乙 o-A o z.r o A o 乙 乙 o|=；,P(&=1 6 0)=；.所以4的分布列为3 4 4 6 2 4E(g)=0 X +4 0 X”+8 0X 7 +1 2 0X7 +1 6 0X-=8 0.2 4 4 1 2 4 2404 08 01 2 01 6 0P12 4J.451 21412 4115 iD(C)=(0-8 0)2X +(4 0-8 0)2X-+(8 0-8 0)2XTT+(1 2 0-8 0)2X-，/、2 1 4 000+(1 6 0-8 0)2X.丽宣 创【加练备选】如图，A,B 两点由5 条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2,现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为.(1)写出最大信息总量&的分布列；(2)求最大信息总量它的数学期望.【解析】(1)由已知，&的可能取值为7,8,9,1 0,因为 P(g=7)=-J-=-,P(&=8)=-=讪,、C C 2 /、。1PG=9)=,P(310)=M=a所以8 的概率分布列为7891 0P153T o251T o13 2 1 4 2 E（己）=g X 7+-X 8+-X 9+-X 1 0=-=8.4.
