2022年必考点解析北师大版九年级数学下册第二章二次函数章节测试试题（含解析）.pdf

北师大版九年级数学下册第二章二次函数章节测试考试时间：9 0 分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第I I 卷（非选择题）两部分，满分1 0 0 分，考试时间9 0 分钟2、答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选 择 题30分）一、单选题（1 0 小题，每小题3 分，共计3 0 分）1、已知点A （汨，必），Pi（跖 J 2）为 抛 物 线 尸-a V+4a x+c （a W O）上两点，且为如则下列说法正确的是（）A.若小+也4,则必必B.若汨+照4,则yiy2C.若 a（X i+用-4）0,则%度D.若&（为+1 2-4）0,则%必2、已知二次函数日=+加+，,当一I V x V l 时，总有一 I M y M l,有如下几个结论：当/=c =O 时，|1 ；当4=1 时，c 的最大值为0；当x =2 时，y 可以取到的最大值为7.上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.3、抛物线），=（X+1）2-2 的顶点坐标是（A.（L 2）B.（1,2）4、下列各式中，y 是*的二次函数的是C.y=2x2-)C.(1,-2)D.(1,2)()B.y=x2+XD.y =J x2-15、已知抛物线旷=加+法+4 0）经过,3（%2 -1,加），C（9,p）,0（%,-1,?）,则加，p,q 的大小关系是（）A.rnpqB.m p =qC.P=q mD.Pqm6、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形 B.双曲线 C.抛物线D.平行四边形7、已知二次函数=加+及+0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.abc0 D.h2a8、已知二次函数y =ax2+b x +c 中的y 与x 的部分对应值如下表所示.根据表中的信息，给出下列四个结论:X -i 0 12y -513 1抛物线的对称轴是直线X =1;抛物线的顶点坐标是（1,3）；当x =3 时，y 的值为-3；若点4-2,y）,点B（-3,%）两个点都在抛物线上，则%.其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4个9、某服装店购进单价为15 元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为2 5 元时平均每天能售出8 件，而当销售价每降低2 元，平均每天能多售出4 件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A.2 1 元 B.2 2 元 C.2 3 元 D.2 4 元10、在平面直角坐标系中，已知点何,N的 坐 标 分 别 为（3,3）,若抛物线丫 =/-2 郎+/-机+2与线段只有一个公共点，则加的取值范围是（）A.T”m v 0 或 7 以,7 B.T,一 0 或,“J -屈2 2 2rC.7%C0 或-V-F-7-6,直接写出的取值范围.4、跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线.如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1 m,并且相距4 m,现以两人的站立点所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是(0,1).身高L50 m的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1 m时，绳子刚好经过她的头顶.(1)求绳子所对应的抛物线的解析式(不要求写自变量的取值范围);(2)身高1.70m的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？(3)身高1.6 4 m 的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手s m,为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s 的取值范围.5、为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长2 5 加的空地上修建一个矩形小花园4 8微小花园一边靠墙，另三边用总长4 0 万的栅栏围住，如下图所示.若设矩形小花园边的长为X/,面积为y而.(1)求y 与X之间的函数关系式；(2)当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？-参考答案-一、单选题1、C【分析】先求出抛物线的对称轴为X=2,然后结合二次函数的开口方向，判断二次函数的增减性，即可得到答案.【详解】解：抛物线 y=-a V+4 a x+c,二抛物线的对称轴为：x=-=2,-2a当点A(西，力)，Pz(而，7 2)恰好关于x =2 对称时，有X 二2,/.x+电=4,gp X j+x2-4 =0,X1X2,：.xt 2 0 时，抛 物 线 尸-a V+4 a x+c 的开口向下，此时距离x =2 越远，y 值越小；.a（用+范-4）0,/.x,+x,-4 0,.点K （如角）距离直线x =2 较远，二 乂 2 ；当 0,X1 +4 ）距离直线x=2 较远，.%丫2；故 C 符合题意；D 不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行分析.2、B【分析】当6=C=0时，根据不等式的性质求解即可证明；当4=1时，二次函数的对称轴为：X=-1,分三种情况讨论：当-l时；分别利用二次函数的的最值问题讨论证明即可得；当x=-l,x=l,x=0,x=2时，分别求出相应的y的值，然后将x=2时，y的值变形为：y=4a+2b+c=3(a+b+c)+(a-b+c)-3c,将各个不等式代入即可得证.【详解】解：当。=c=0时，y=ax2,1 ctx2 4 1,V-l x l,.,0 x2 l,即|。区1,正确；当4=1时，二次函数的对称轴为：x=-二=-t，2x1 2当一 2时，函数在x=-1处取得最小值，即-b+c=-,c=-2+/?0,函数在X=1处取得最大值，即l+b+c=l,c=-b-2,二者矛盾,二这种情况不存在；当一14一.1时，即 一 2 4 6 4 2 时,0/?2 4,函数在x=-g 处取得最小值，即H J+Z?XH)+C=-H 2C =1 H-0,4/.c 0,当-g =l 时，即b=-2时，y=x2-2%,x=l 时，y=-1；x=-l 时，y=3,不符合题意，舍去；当-g=-l 时，即匕=2时，y=x2+2x,x=1 时，y=3；x=T 时，y=T,不符合题意，舍去；A c1时，即 0,函数在x=-l处取得最大值，即-b+c=,c=/?-2,二者矛盾，这种情况不存在；综上可得：c （）；故错误；当=-1 时，y=a-b+c,且-1 ；当 x=l 时，y=a+b+c,且一1 =*且一I WcWl；当 x=2时，y=4+2/?+c=3（a+/?+?）+（。一 人+c）3c,3 3（6f+Z?+c）3,-la+b+ci,-3 3c3,-7 4a+2b+c W 7,.当x=2时，y可以取到的最大值为7；正确；故选：B.【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键.3、B【分析】根据二次函数顶点式的特征计算即可；【详解】抛物线 y =(x+l)?-2,.顶点坐标为(-1,-2)；故选B【点睛】本题主要考查了二次函数图象顶点式的图象性质，准确分析计算是解题的关键.4、C【分析】根据二次函数的定义依次判断.【详解】解：4、丫 =!不是二次函数，不符合题意；XB、y=x2+-+,不是二次函数，不符合题意；Xa y=2x2-1,是二次函数，符合题意；D、)，=序 工，不是二次函数，不符合题意；故选：C.【点睛】此题考查二次函数的定义：形如)，=如2+法+c(a w O)的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点.5、C【分析】由4（不加），8（士-1，加）纵坐标相同可以看出力关于对称轴对称，即对称轴为x=5+；2 7，再结合C、坐标可得C、关于对称轴对称，再根据西 电，比较应和。的大小即可.【详解】,:A（xl9m）,5（Z-1,6）.对称轴为x=%+；T/.C（x,p）,。（西T q）关于对称轴对称，即。=4*.玉 X?西+1 1%+电,x2 2 2 2C（w，p）在对称轴右边当4（%,?）也在对称轴右边时此时由y=G?+bx+c（a（）y 随 x 的增大而减小，：芭 刍，p=qm当8（%-l,m）在对称轴右边时此时由y=02+瓜+44 0）；/随 x 的增大而减小，V x2-lx2,:.p=qm：.p=q2 a,可判断选项D.【详解】解：由抛物线的开口向下，得到a 0,一o,2a：.b0,abc0,故选项A 错误;广-1时，对应的函数值大于0,a-bcQ,故选项B错误；尸-2 时对应的函数值小于0,.*.4a-2ZH-c 6 2a 故选项 D 正确，2a故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数尸aV+6x+c(aWO),a 的符号由抛物线开口方向决定；方的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意产1,T,2 及-2 对应函数值的正负来判断其式子的正确与否.8、C【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列三元一次方程组并求解，即可得到二次函数解析式；根据二次函数图像的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.【详解】根据题意，得：a-b+c=-5 c=1a+h+c=3a=-2J b=4c=1y=ax2+bx+c=-2x2+4x+1.抛物线的对称轴是直线=-3=1,故正确；当X=1时，抛物线取最大值y=3抛物线的顶点坐标是(1,3),即正确；当x =3时，的值为-2X32+4X3+1 =-5,故错误；.(),抛物线的对称轴是直线x =l，x-3/.%，即正确故选：C.【点睛】本题考查了二次函数、三元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解.9、B【分析】设每天的销售利润为w元，每件的定价为x元，则每件的利润为(-1 5)元，平均每天售出8 +二 广*4=(-2+5 8)件，根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，即可求解.【详解】解：设每天的销售利润为w元，每件的定价为x元，则每件的利润为(-1 5)元，平均每天售出8 +“x4 =(-2 x+5 8)件，根据题意得：y =(x-1 5)(-2 x+5 8)=-2 x2+8 8 -8 7 0 =-2(x-2 2)2+9 8 ,-2 0,对称轴 x=0,.,.一次函数y=W+4与 y 轴的交点在x 轴的上方，且力 0,经过一、三象限，二一次函数丫=汝+。的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故答案为：第四象限.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象的性质，掌握二次函数及一次函数图象的性质是解题关键.4、(3,-8)【分析】根据题意将抛物线y=r-6x+l 配方成顶点式求解即可.【详解】解：抛物线y=*-6x+l,：.y=x-6A+1=X2-6X+9-9+1 =(X-3)2-8,顶点坐标为：(3,-8).故答案为：(3,-8).【点睛】此题考查了二次函数的顶点式表达式，二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数一般式表达式配方成顶点式表达式的方法.5、y =x2-3#【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.【详解】解：将抛物线y =V向下平移3 个单位长度，所得到的抛物线解析式为y =f-3故答案为：y =/-3【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题的关键.三、解答题1、(1)y x,k=1 ；(2),f(2,)【分析】(1)根据抛物线y=a V+Z x+c(a W O)与直线 尸x(A W O)相交于点(1,1),N(3,3),且这条抛物线的对称轴为X=l,利用待定系数法求出原来的原来的抛物线，然后根据平移后的抛物线经过原点，且对称轴不变进行求解即可；1 3 1 3(2)过尸作尸0 尸轴，交 物 吁 Q,设 0(3 t),则尸(t,-x1 2-x+-则 图=-不/+2一孑，求得13 1 3则(“-/+二)=一 一t2+2t一 一 ,2 2 2 2:.S=PQX(3 -1)=PQ=-；e+21-彳=-；C t-2)2+y ,Q.当t=2 时，q 的面积最大，此时。(2,S =y .5=-(f-2)2+y,由此利用二次函数的性质求解即可.【详解】-=12。解：(1)由题意得，a+b+c=,9a+3 b+c=31a=2解得卜=-1,3c=217.抛物线为y=1-x+3，v该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，平移后的抛物线为=-2 2-将M(1,1)代入y=4 才得k=1；(2)过夕作图y 轴，交仞V 于 0,1Q设 0 (I),则 P(t,x2-x +),yo2x【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，二次函数图像的平移，熟知相关知识是解题的关键.2C 、(/1I)、y=3 x2 一1二5 x+(6;(2)x =?1 4或T x =3 4 6o 4 j【分析】(1)由题意代入力(2,0),8(8,0)两点求出a 6 的值，即可得出抛物线的解析式；(2)根据题意分点户在以下方的抛物线上和点P 在仇?上方的抛物线上两种情况，结合全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质进行分析即可得出答案.【详解】解：(1)由题意代入4 (2,0),B(8,0)两点，可得：_ 3 0 =4。+2/?+6，-8I Q Q 八么 解得：0 =64。+8/7 +6.1 5ib=-4所以抛物线的解析式为：=9/一?尢+6；8 4(2)当点尸在8 c下方的抛物线上时，此时N尸龙=3/国力即少平分N 6 C 0,如图，作“平分N a力，交工轴于点过作DEJ_8C垂足为,：CP平分 4BC0,DE工 BC,：.OD=DE,ZDCO=ZDCE f：OD=DE,ZDCO=ZDCE9 NCOD=NCED=9。,DOC-DEC、CO=CE=6,BC=y/CO2+BO2=762+82=10,BE=SC-CE=4,设 OD=DE=m,BD=S-m,勾股定理可得：BE1+DE1=BDT,即不+病=（8-M）2,解得：加=3,即OD=OE=3,。的坐标为（3,0）,设切的解析式为：=履+。（左/0）,代入G 可得：,，解得：It/，所以切的解析式为：y=-2x+6,|0=3%+b b=6P为直线如与抛物线的交点,Q 1 S,联立可得：-2x+6=-f x+6 ,8 4解得：14 14x=0（舍去）或”=热即尸的横坐标为工二小当点夕在加上方的抛物线上时，此时N R坊=（/为,如图，作交抛物线于点R延长 原 交 行 于 点E过/作夕/l x轴交于点从:/P C B=W/B C O,ZDCB=ZDCOf.NPCB=NDCB,:C B =/DCB,CE=CE,ZDEC=/F E C,：.DEC=/EC,D E=D F,/ZCBO=NEBH,NCOB=NEHB=90,:.AEHBSACOB,BE EH _ BH 4 _ EH BH可得H=1,8”=,Q H =8 O-8“=V，设 几 Z7为M(加，)，由i Z_)_=_D _F_可r z得n w +3 =24 ，7 1+0=12 ,解&力侍/n：m=-3 3-,n=-2-4,即产为仁学,设期的解析式为：y=kx+b(k0),代入心厂可得：6 =b,2k=-7 2 4 3 3 .7,解得：11,所以的解析式为：=-7 7 工+6,=-k+b.於 H5 5 3 =6,.为直线与抛物线的交点，二 联立可得：-%+6 =，2 一?x+6 ,11 8 4解得：x =0(舍去)或*=等，即P 的横坐标为x =箸，综上所述P 的横坐标为工=告或=等.【点睛】本题考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质和角平分线性质是解题的关键.3、(1)片一(广 1)2+4；(2)水-5.【分析】(1)利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线产T,顶点坐标为(-1,4),则可设顶点式片a(户1)?+4,然后把(1,0)代入求出a 即可；(2)根据抛物线与一次函数有公共点，联系根的判别式求解即可.【详解】解：(1)抛物线经过点(-2,3),(0,3),(-1,4),4-0 抛物线的对称轴为直线产三m=T，顶点坐标为(-1,4),设抛物线解析式为产a(A+1)、4,把(1,0)代入得 a(1+1)2+4=0,解得抛物线解析式为尸-(矛+1)M；(2).二次函数的图象与直线，=有两个交点,(A+1)-+4=n,B P -x2-2 x+3-n =0.=(-2)2+4(3-)0,解得水4,的取值范围为水4,：AB=ylh2-4acl l=-716-4/J,.V(不不 6,解得次-5,综上 的取值范围为水-5.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数片 9+力 妙。(a,b,c是常数，a W O)与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.1 94、(1)y=-x2+-x+l；(2)不能，理由见解析；(3)1.6 5 2.4.6 3【分析】(1)设抛物线的解析式为：y=aX2+bx+c(aO),把小涵拿绳子的手的坐标是(0,1),小军拿绳子的手的坐标(4,1),以及小丽头顶坐标(1,1.5)代入，得到三元一次方程组，解方程组便可；(2)利用二次函数的性质求解函数的最大值，再与1.7 0比较即可得到答案；(3)由y=l.6 4 时求出其自变量的值，便可确定s 的取值范围.【详解】解：(1)设抛物线的解析式为：y=ax1+bx+c(a 20),抛物线经过点(O R,(1,L 5%(4,1),11 a=.i1 cr-l 1 ii 6：.la+b+c=1.5，解得，1万=：,：1 6+4 c =l i 0.绳子对应的抛物线的解析式为：y=-x2+：x+l ；6 3(2)身高L 7 0 nl的小兵，不能站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶，理由如下:C 1 2 2 1Q y =-%+-%+,6 32当*Q =2时 *1 -2?2 1 =1-2 1,7,.绳子能碰到小兵的头，小兵不能站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶；1 2(3)当 7=1.64 时，-二/+1 =1 64,6 3即4x-3.8 4=0,解得，=凶 巫=上 山，2 2 X =2.4,x2=1.6,1.6 5 2.4.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的性质求解最大值，利用二次函数的图象解不等式，解题的关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题.5、(1)(1)y=-2x2+40 x.(7.5 x (40-2才)创，花园的面积为：产(40-2x)=-2f+40 x,V 40-225,产K 40,.x7.5,X 20,A 7.5X 20,/与x之间的函数关系式为：片-2/+40 x (7.5WK 20)；(2)y =-2(x 7 0)2+20 0,(7.5 x 20)当 x =1 0 时%=20 0.答：当x为1 0/时，小花园的面积最大，最大面积是20 0/.【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式.