2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷八（学生版+解析版）.pdf

绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷八学校:姓名：-班级：考号：一题号二三四总分得分注意：本试卷包含I、1【两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2 B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第I【卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分.第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合A =x|x 1 ,则下列关系中正确的是（）A.0 U 2 B.0 =4 C.。U 2 D.0 e A2.已知i n、n,I是三条不同的直线，a、0是两个不同的平面，则下面说法中正确的是A.若m u a,n u a,且1 1 m,11 n,则/1 aB.若2 ua,n u ,且/1 n,则I，0C.若m 1 a且，1 m,贝!，/aD.若 ml a,n 1 /?,且1 I /n,贝！a 口3 .点P（co sa,si n a）在直线y =k x +2上，则实数k的取值范围是（）A.V3,V3 B.（-8,-V3 U V3,+co）C.V2,V2 D.（o o,V2 U V2,+0 0）4 .本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A.7 2种 B.1 4 4种 C.2 8 8种 D.3 6 0种5 .随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5 G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2 0 2 0年底，我国已累计开通5 G基站超7 0万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5 G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5 G网络覆盖.20 21年1月计划新建设5万个5 G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通5 0 0万个5 G基站时要到（）A.20 22年 12月 B.20 23年2月 C.20 23年4月 D.20 23年6月6.已 知 直 线-y+4=0与x轴相交于点4,过直线/上的动点P作圆/+丫2=4的两条切线，切点分别为C,。两点，记M是C。的中点，则|AM|的最小值为（）A.2/2 B.3A/2 C.V17 D.37.过 双 曲 线 会，=l(a 0,b 0)的左焦点F 作直线，与双曲线交于A,B 两点，使 得 网 =4 b,若这样的直线有且仅有两条，则离心率e 的取值范围是()A.(1,苧)B.(V5,+oo)C.(,V5)D.(l,9 u (强+8)8 .已知函数/(幻=2，一尤0)与9(幻=10 8 2(%+1)的图象上存在关于轴对称的点，则a 的取值范围是()A.(-c o,V2)B.(oo,V2)C.(0 0,27 2)D.(-2或，)二 多选题：本题共4 小题，每小题5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2 分，有选错的得0分。9 .下列说法正确的是()A.命题p：3x 1,的否定：Vx 0,ex x 0,前n项和为无，即=店+国e N*,且n 2 2).(1)求数列 即 的通项公式；(2)记=青，求数列 4 的前n项和18.在 ABC中，角4 B,C的对边分别为a,b,c,且2a+c=2bcosC.(1)求角8的大小；(2)设D为边AC上一点，乙ABD=LCBD,BD=1,求 ABC面积的最小值.19.如图，三棱柱4B C-4B 1G的所有棱长都为2,BiC=通,且AB 1&C.(1)求证：平面488遇11平面4BC；(2)若点P在棱幽上且直线CP与平面4CC14所成角的正弦值为右求BP的长.20.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(0,3),E(2,-3),动点C满足关系式|次.就|=3|而(1)求动点C的轨迹M的方程；(提示：求谁就将谁的坐标设为(x,y)(2)过点F任意作一直线AB交M于4 B两点，试确定在y轴上是否存在点P,使得直线P4,PB的斜率之和恒为零？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.21.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，4市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生).(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生数X的分布列：(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从4市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数V的期望和方差.22.已知函数/(x)=lnx 写&+1.(1)求函数f(x)的极值；(2)(i)当x 1时，/(%)。恒成立，求正整数k的最大值；3)证明：(1+1 x 2)(1+2 x3).1+n(n+1)en(2 绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷八学校:姓名：一 班级：考号：一题号二三四总分得分注意：本试卷包含I、I 两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2 B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第I【卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分.第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合A =x|x 1,则下列关系中正确的是（）A.0 U 2 B.0 =4 C.。U 2 D.0 e A【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是元素与集合，集合与集合之间的关系的判断，属于基础题.根据集合4中元素满足的性质xl,逐一判断四个答案，即可得到结论.【解答】解：集合4 =xx 1.4中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故A错误；B中，0 1不成立，.（）=4不对，故8错误；C中，空集是任何集合的子集，故C正确；。中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故。错误；故选：C.2 .已知小、“E是三条不同的直线，a、口 是两个不同的平面，则下面说法中正确的是A.若zn u a,n c a,且1 1 m,11 n,则1 1 aB.若Z u a,n u ,且，1 n,则，1 0C.若m 1 a且1 1 m,则/aD.若m J La,n _ L0,且I m,I /n,贝 3 6【答案】D【解析】本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题.【解答】：由m,n,1是三条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，知：在4 中，考察直线与平面垂直的判定，缺少条件 瓶与n相交，所以推不出l_ L a,故 A错误；在B中，若l u a,n u 0,n i l,则/与 相交、平行或，u a,故 8 错误；在。中，若m_La,I 1 m,则I与a 平行或在a 内，故 C 错误；在D中，由条件可得，a,/1/?,所以得a 氏 故。正确.故答案为。.3.点P(cosa,si7ia)在且线y=以+2上，则实数k的取值范围是()A.V3,V3 B.(-co,V3 U V3,4-00)C.-VZjVZ D.(-8,-u V2,+00)【答案】B【解析】解：P(cosa,si?iQ)的轨迹是半径为1的圆，直线y=kx+2恒过(0,2)与圆有公共点，如图，临界为相切时刻，直线和圆相切时，根据1=等 等，求得k=+6,V1+KZ所以k G(-00,-V3 U V3,+00),故选：B.根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值，数形结合可得结论.本题主要考查任意角的三角函数的定义，直线和圆相切的性质，属于基础题.4.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有()A.72种 B.144种 C.288种 D.360种【答案】B【解析】【分析】本题主要考查排列与分步计数原理的综合应用，属于基础题.利用分步计数原理结合排列公式计算即可.【解答】第一步排语文，英语，化学，生物4科，且化学排在生物前面，有=12种排法，第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有A：=12种排法，所以不同的排表方法共有12 x 12=144种，故选B.5.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（）A.2022年 12月 B.2023年2月 C.2023年4月 D.2023年6月【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的应用，考查等差数列的求和，考查分析与计算能力，属于基础题.根据题意，每月建设的基站数为首项由=5,公差为d=1的等差数列（单位为万个），设累计开通500万个基站数要花n个月，即可得%专 值 d=4 3 0,计算解得?i的值，即可求解得到答案.【解答】解：根据题意，每月建设的基站数为首项由=5,公差为d=1的等差数列（单位为万个），设累计开通500万个基站数要花n个月，由题70+Sn=5 0 0,即Sn=430,所以S.=兀 的 +弯辿=430,Bp|n2+|n =430,解得m=25.17,n2=-37.17（舍），所以经过26个月后，即2023年2月，可累计开通500万个基站，故选B.6.已知直线x y+4=0与x轴相交于点A,过直线，上的动点P作圆/+y?=4的两条切线，切点分别为C,。两点，记M是CC的中点，则|AM|的最小值为（）A.2y/2 B.3V2 C.V17 D.3【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.设P（Xo，g +4）,则以。p为直径的圆的方程为（X-）2+（y 一 竽）2=趣产，化简与/+y 2=4 联立，可得CD所在直线方程：xox+（x0+4）y=4,直线CD过定点Q（-l,l），由题意得，0 M le。，Q为直线CD上的一个定点，则点M在以OQ为直径的圆上，可得M点的轨迹为：（+2+3-2=方 圆 心 0，半径R,由题可知4（-4,0）,可得答案.【解答】解：如图:设P(a,X o +4),则以。P 为直径的圆的方程为(X -)2 +(y -竽)2 =*3.化简得/xox (x0+4)y +y2=0,与2 4-y2=4 联立，可得C。所在直线方程：XQX+(x0+4)y =4,易得，直线CD过定点Q(-1,1),由题意得，O M L C D,Q 为直线CD上的一个定点，则点M 在以。Q 为直径的圆上，可得：”点的轨迹为：(x +2 +(y 2=4，圆心。式 一 去，半径/?=今由题可知4(一 4,0),.1 4 0/=J(-4 +2 +(2 =浮 线段AM 长的最小值为2-五=2 夜.2 2故选A.7.过 双 曲 线 会，=l(a 0,b 0)的左焦点F 作直线，与双曲线交于A,B 两点，使 得 网 =4 b,若这样的直线有且仅有两条，则离心率e 的取值范围是()A.(1 片)B.(V5,+o o)C.(y,V5)D.(1 净 u (强+8)【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题.根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：4 8 只与双曲线左支相交，4 8 与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案.【解答】解：由题意过双曲线提3一(。，。，。卿左焦点/作直线,与双曲线交于4 B两点，使 得 网 =4 b,(1)当直线I与左支交于两点时，可得?4 b,解得：0-1,可得：l e|4 B|=4 b,并且2 a 2,可得：e V5；综上可知：有2条宜线符合条件时，e V 5或l e虫.2故选D.8.已知函数/(均=2，一尤 0),令/i(x)=g(x),得 A -,=1 0 f t j(x+a),(x 0)，则方程T。-J =lo伪3 +a)在(0,+8)上有解，作出y =2-x ；与=1 0 32(+。)的图象，如图所示：当a 4 0时、函数y =2-x -g与=1 0取（工+0）的图象在（0,+8）上必有交点，符合题意,若a 0,若两函数在（0,+8）上必有交点，则lo g2 a：,解得0 a VL综上可知，实数a的取值范围是（-8,&）,故选B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是（）A.命题p：3%1的否定 7：Vx 0,ex x 1B.二项式（1 +2 x）5的展开式的各项的系数和为3 2C.已知直线a u 平面a,则“/a”是/a”的必要不充分条件D.函数y =sinx+工的图象关于直线x =物称sinx 2【答案】A D【解析】解：对于4命题p：3%1的否定 p：V x 0,ex-x 1,故A正确;对于B：二项式（1 +2 x）5的展开式的各项的系数和为（1 +2户=3 5,故B错误；对于C：已知直线a u 平面a,由于直线I与a的关系不确定，故是2 a”的既不必要不充分条件，故C错误;对于必 由于x关于4 =:的对称点为兀-X,故/(x)=s i n x +夫,满足八兀一乃=5皿（兀 一 乃+而 言,=s,in1x H-sinx=/(%)，故函数y =Sinx+*的图象关于直线X =别 称，故D正确故选：A D.直接利用命题的否定，二项式展开式的系数和二项式系数的关系，线面平行的判定和性质，对勾函数的性质的对称轴，判断4、B、C、。的结论.本题考查的知识要点：命题的否定，二项式展开式的系数和二项式系数的关系，线面平行的判定和性质，对勾函数的性质的对称轴，主要考查学生的运算能力，属于基础题.1 0 .已知实数x,y满 足 方 程/+外 一4久+1 =0.则下列选项正确的是（）A.喜的最大值是当B.的最大值是百C.过点（1,_立）作2+丫2-4；|；+1 =0的切线，则切线方程为 -近丫+1 =0D.过点（1,一夜）作/+y 2 -4%+1 =0的切线，则切线方程为x +&y+1 =0【答案】A D【解析】解：由/+y 2 4%+1 =0,得(%2)2 4-y2=3.圆心坐标为C(2,0),半径r=l.对于4 8,设 备 =攵，即、=女(无+1),由圆心(2,0)到直线y =fc(x +1)的距离等于半径，得 舄 =V 3,解得2 =1,即的1a x =立，f cm i n=-故 A正确，B 错误；N 2 2对于C D,点(1,一位)在圆(-2)2+y 2 =3 上，过点(1,一企)与圆心(2,0)的直线的斜率k =V 2，由切线的性质可得，/=-它，2则切线方程为y +V 5=当。1),即x +&y+l=0，故 C 错误，D 正确.故选：A D.由圆的方程求得圆心坐标与半径.设W=k，即 =卜0+1),由圆心到直线的距离等于半径列式求得k,即可判断4 与B；判断点(1,-位)在圆上，求出该点与圆心连线的斜率，得到切线斜率，再由直线方程的点斜式求得切线方程判断C与。.本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题.1 1.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1-co s O为角。的正矢，记作5 血 6,定义1-s i n。为角。的余矢，记作8”r 曲1 6,则下列命题中正确的是()A.函数y =coversinx-u er s i n x 在 泉兀 上是减函数B.若空吧以 二=2,贝！Jc o ver s in 2 x ver s in 2 x =-versinx-1 5C.函数/(X)=ver s in(2 0 2 0 x -g)+c o ver s in(2 0 2 0 x +沙贝 的 最 大 值 2 +V 2【答案】B D【解析】【试题解析】【分析】本题考查三角函数的性质，属于中档题.解题时利用等式 vereiii 6=1-coe。，cover ein e=1-sine将每个选项分别化简判断即可.【解答】选项 A：Xf=wereiii x-ver sin x=1 sinx-(1-COSH)=coex dux=/2 coe当H+#今 春，可知其不是=反8k+；)的单减区间，故 A错;选项B：awersin x-1ver sin x-11 einx 12 GR=t2,则c 0;当0 x 时，f(x)=1 一日一 cosx 0;当/X 0;当X 兀时，f(x)=1 子一cosx 0,/(x)在(-8,0)上单调递增，在(0 5)上单调递减，在G 上单调递增，在(7T,+8)上单调递减.二 当 x=0时，取得极大值f(0)=0;当X=时，f(X)取得极小值/)=g-1;当 =兀时，/(x)取得极大值/(兀)=0,当尤=0或x=n 时，/(X)取得最大值为0,7(x)有3个极值点，/(x)有两个零点，故 A错误，B正确;由于f(x)的极大值为0,故x轴为/(x)的一条切线，故 C正确；/(x)在(-8,0)上单调递增，在(0弓)上单调递减，故存在久1，%2满足条件/0%2 ，且f(%l)=/(小)，显然X1+不 1，故 D错误.故选：BC.第 H 卷(非 选 择 题)三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。1 3.已知向量a=(1,1),B=(m,2),且方 +2。，则TH的值等于.【答案】-2【解析】【分析】本题考查向量共线的充要条件，考查向量的坐标运算，属于基础题.根据向量共线，利用公式计算即可.【解答】解：由已知4=(m,2)，可得a+2b=(2m+1,-3),因为:位+2 1)，所以 3-(2m+1)=0,解得m=-2.故答案为-2.1 4.若复数Z满足|Z i|W注(i为虚数单位)，则Z在 复 平 面 内 所 对 应 的 图 形 的 面 积 为.【答案】2兀【解析】【分析】本题考查了复数的几何意义，设z=;r+y i(x,y R),由|z 得M+2 s 2,从而得出结果.【解答】解：设2=*+(%丫 6 幻，由|z-i|w V L W|x+(y-l)i|V2.x2+(y I)2 2,z在复平面内所对应的图形为以(0,1)为圆心，夜为半径的圆内，z在复平面内所对应的图形的面积为27r.故答案为27r.1 5.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩XN(100,225).若成绩低于m+10的同学人数和高于2m-20的同学人数相同，则整数m的值为.【答案】70【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和。的应用，考查曲线的对称性.由题意可得正态分布曲线的对称轴，结合成绩低于血+10的同学人数和高于2m-20的同学人数相同，可得P(X 2 m-2 0),由此列式求得m值.【解答】解：由XN(100,225),可知正态分布曲线的对称轴为=100,若成绩低于巾+10的同学人数和高于2m-20的同学人数相同，则P(X 2 m-20),(m+10)+(2m-20)2=U=100,解得 7 7 1 =70.故答案为：7 0.1 6.已知正方形4 B C D边长为3,点E,F分别在边力B,4。上运动（E不与4 B重合，尸不与4。重合），将 A E F以E F为折痕折起，当4 E,F位置变化时，所得五棱锥4 一 E B C D尸 体 积 的 最 大 值 为.【答案】2 V 3【解析】【分析】本题主要考查五棱锥的体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查空间中面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数思想，属于难题.设4 E =x,A F=y,当平面4 E F _L平面E B C D F时体积有最大值，建立五棱锥4 -E B C D F体积U =Sh=|（9-|x y）x-,利用基本不等式后换元建立函数，利用导数求出函数的最大值即可得到五棱锥A-E B C D F体积的最大值.【解答】解：设4 E =x,4 F =y,因为正方形A B C O边长为3,所以底面E 8 C C F的面积为S =9-枭y,设AAEF的高为/i,所以 x y =y/x2+y2/i 所 以 八=卷，因为翻折时，当平面A E F J平面E B C D F时体积有最大值，所以五棱锥A -E B C D F V=|s/i =J（9-%y）x -=,因为/+y 2 2 x y,当且仅当x =y时取等，所以y W（9-2）x晨=9（9一 知）日;,设=t,0 t an 0,前项和为5,。4=居+房7 5 6 2*,且正2 2).(1)求数列S n 的通项公式；(2)记d=箫，求数列%的前n项和葛【答案】解:(1)在数列 中，an=Sn-Sn(n 2),an=向+底=且 n 0，式+式 得：房 一 底 二=1522),.数列 向 是 以 店=何=1为首项，公差为1的等差数列,=1 +(n-1)=n,S”=1 1 2 ,当n 2时，斯=S n-Sn-i =n2-(n-l)2=2 n-1,当n=l时，的=1,也满足上式，数 列 6的通项公式为即=2 n-l;(2)由(1)知，an=2n-l,2-n1 1 0 1 3 n 2 n两式相减得,.-.Tn=onn 2n，【解析】本题考查求数列的通项公式，以及由错位相减法求和，其中利用前n项和与通项的关系式与已知式子作商得到 店 是等差数列是关键，属于中档题.(1)由a n=S n-S n-i(n2),得数歹U 房 是 以 何=何=1为首项，公差为1的等差数列，应用等差数列的通项公式得前n项和公式，进而得通项公式：(2)cn=黑，利用错位相减法求得结果.1 8.在A B C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,且2 a +c =2 bc os C.(1)求角B的大小；(2)设。为边A C上一点，U BD =MB D,B D=1,求A B C面积的最小值.【答案】解：(1)由正弦定理知，号=号sinCv 2Q+c =2bcosC,:.2sinA +sinC=2sinB cosC,又 s i n4=s i n(B +C)=sinB cosC+cos B sinC,2cosB sinC+sinC=0,v sinC H O,，cosB =A2v B e (0,7T),B =y.(2)由知，8=等/.A B D=BD=p在 A A B。中，由余弦定理知，A D2=A B2+B D2-2A B -B D-cosA B D=c2+1 -2 c -1|=c2-c +1,在4 B C D 中，由余弦定理知，CD2=B C2+B D2-2B C-B D-c os z C B D =a2+1 -2 a -1 .|=a2-a +1,由角分线定理知，*=霹=，CD B C a:工:=9，化简得(a -c)(a +c -a c)=0,当a c =0,即a =c时，A B C为等腰三角形，其面积为定值；当。+:：-=0时，有a c =a +c N 2 7 3 a c 2 4,当且仅当。=2时，等号成立，4B C的面积S =a c ,sinB|x 4 x s i ny =V 3,A B C面积的最小值为旧.【解析】(1)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，即可得解；(2)在4 B C D中，均使用余弦定理表示出4/)2和c 0 2,再结合角分线定理，推*(a _ c)(a +c-a c)=0,然后分类讨论，并结合基本不等式，得解.本题主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理的运用，还涉及基本不等式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.1 9.如图，三棱柱A B C-41 8 1 c l 的所有棱长都为2,B 1C=巫,且48 1当仁(1)求证：平面J 平 面 4 B C；(2)若点P 在棱B B i 上且直线C P 与平面4 出 所成角的正弦值为g,求B P 的长.【答案】(1)证明：取A B 中点。，连接C D,BD因为三棱柱ABC-4 中传1 的所有棱长都为2,所以4B _L C。，CD=6，B D=1.又因为4 B1&C,且C D D B i C =C,C D,夕也匚平面当仪)，所以Z B J _平面&C D.又因为当。u 平面为以)，所以在直角三角形&BD中，B D=1,B 1 B =2,所以8 山=百.在三角形B i C D 中，CD=V 3 B1D=V 3,BrC=V 6,所以C D 2 +B 。2 =gm 2,所以 CD 1 B !D.又因为A B CD=D,A B,C D u 平面A B C,所以B J 平 面 A B C.又 因 为 u 平面4 B B 1 4,所以平面J _平面A B C.(2)解：以D C,DA,0/所在直线为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,1,0),8(0,1,0)，C(V 3,0,0)BI(0,0,V5),因 此 西=(0,l,V 5),A C=(V 3,-l,0).A A =B B =(0,1,V 3).因为点P 在棱B 8I上，则 设 前=4 西=4(0,1,百)，其中0W；lWL则 方=CB +B P=CB +4 西=(-V 3,-1 +A,V 3 A).设平面4 CG2的法向量为元=(x,y,z),由E匹=。,得 产7y =。，(n A A1=0,(y +y/3z=0.取x =l,y=V 3,z =-1,所以平面/C C M i 的一个法向量为元=因为直线CP 与平面A C G 4所成角的正弦值为亲所以c o s =:-1=-=-|n|x|C P|V5X73+(A-1)2+3A2 5化简得 16 -84+1 =0,解得;1 =；,4所以BP =4 BBi【解析】本题考查了面面垂直的判定，也考查了空间角的计算问题，考查了运算求解能力和逻辑思维能力，是中档题.由 C D 1 B 1 。，/I B 1 当。证得！_ 平面力B C,再由面面垂直的判定定理可得平面4 8 8 遇 平面A B C,(2)以D C,DA,O B1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，设 肝=X 西=2(0,1,7 3).其中0 A 1,结合空间向量法可得直线CP 与平面4C G 4所成角的正弦值的式子，故可解得B P 的长.2 0.在平面直角坐标系式。丫 中，已知点尸(0,3),E(2,3),动点C满足关系式|称.觉|=3|不j.(1)求动点C 的轨迹M的方程：(提示：求谁就将谁的坐标设为(x,y)(2)过点尸任意作一直线Z B 交M于4,B 两点，试确定在y 轴上是否存在点P,使得直线P4 P B 的斜率之和恒为零？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：(1)设动点C(x,y);则 有 而=(0,3)，EC=(x-2,y+3),CF=(-x,3-y).又由|行 正|=3|不j，得|3(y +3)|=3()显然成立，由韦达定理得X +=12/c,xxx2=3 6.依题意，有力=生叮+3,y2=kx2+3,由O =kpA+kpB=江+江=k X i+3-aAkx2+3-aXz得 0=x2(kx1+3 a)+Xj(kx2+3 a)=2kx1x2+(3 a)(xt+x2)=36k 12ak,即12k(a+3)=0对k 6 R恒成立，只需a=-3 即可，此时P(0,-3).故存在唯一一点P(0,-3)满足题中条件.【解析】本题考查求轨迹方程，考查抛物线和直线的位置关系，考查圆锥曲线的探索性问题，属于中档题.(1)依题意设点建立等量关系求轨迹方程；(2)假设满足条件的点P存 在,设 P(O,a),4(4 冉)，8(冷，丫 2)由题意有=k/+3,y2=kx2+3,根据条件如4+kpB=0进行探究求解.2 1.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，4 市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生).(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生数X的分布列；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从4市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数F的期望和方差.【答案】解：(1)根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件4,则 P()=磊=024,“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B,则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件48,则 P(4B)=+=0.08,故所求的概率为：(引4)=需=黑=(，所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是，(2)依题意，佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0,1,2,_ 6x5x4其中：P(X=0)=.P 3=1)=窘=耋=蔡=热8 6p（x=2）=一储=6 =_L=2.X -Z）-C3-8X7X6-56-28,0 6所以男生人数x的分布列为：X012p5141528328(3)由已知可得：丫 -8(20,0.08),则E(Y)=n xp=20 X 0.08=1.6,)(/)=np(l-p)=20 X 0.08 X 0.92=1.472.则佩戴角膜塑形镜的人数y的期望是L 6,方差是1.472.【解析】本题主要考查古典概型的概率计算，条件概率，离散型随机变量的分布列，期望与方差的计算,属于中档题.(1)利用古典概型计算出这位小学生佩戴眼镜的概率及这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜的概率,根据条件概率可得；(2)写出8人中选取3人，男生人数X的所有可能取值，进而计算取每个值时的概率，可得分布列；(3)由已知可得：丫“8(20,0.08),根据二项分布的性质计算期望和方差可得.2 2.已知函数f(x)=lnx 写2+1.(1)求函数f(x)的极值；(2)(。当4 1时，/(x)。恒成立，求正整数k的最大值；(1)证明：(1+1 x 2)(1+2 x 3).1+n(n+1)en(2)【答案】解：(l)/(x)=签，%0,当k S 0时，f(x)0,函数在(0,+8)上单调递增，没有极值；当k 0时，由/(X)0得x k,由/(X)0得0 x i时,f(x)0恒 成 立,即 只 要 0即可，由(l)k 0时，(x)在(0,k)上单调递减，在(k,+8)上单调递增，(阿若kW l时,/(X)在(1,+8)上单调递增，/(X)min /(I)=1满足题意;(b)当k l时，/(%)在(0,k)上单调递减,在(k,+8)上单调递增,f(x)m i n=f(k)=/nfc-fc+2 0,令。(乃=Inx x+2,则g(x)=?0,g(3)=Zn3-1 0,g(4)=Zn4-2 0的解集为综上k的取值范围(一8,而)，其中沏(3,4),所以正整数k的最大值3；(i i)证明：两边取对数得l n(l +1 x 2)(1 +2 x 3).1 +n(n +1)2 n 含，即只要证l n(l +1 x 2)(1 +2 x 3).1 +n(n+1)2n 由(i)知n x 自F-1,令 =1 +n(n+1),3 3 3 3则11 1伽5+1)+1 2 ；7 7 2 ;=2 9-；7 1)，E(1 +1*2)(1 +2*3).1 +”71 +D 2”3(1/+泊+:上=2建-含,所 以(1 +1 x 2)(1 +2 x 3).1 +n(n +1)en(2 -【解析】本题考查函数与导数的综合应用，涉及恒成立问题和数列求和的方法，属难题.(1)对函数人为求导数，分类讨论函数的单调性，从而求得函数的极值；(2)(i)将问题/(X)0恒成立转化为/(x)min 0成立，结合的结论求出/(X)min，构 造 函 数=I n%-x+2进而可得k的取值范围，从而求得正整数k的最大值；(ii)首先两边取对数，转化为证ln(l+1 x2)+ln(l+2 x 3)+1,+ln l+n(n+1)2 n 成立，由知ln(x+1)2 左，令x=n(n+l)(n G N*),将一系列式子相加，由裂项相消法可得ln(l+1 x2)+ln(l+2 x 3)+-+ln l+n(n+1)2n-,进而可得答案.