安徽省江淮十校2021-2022学年高三上学期第一次联考文科数学试题（含答案与解析）.pdf

江淮十校2022届高三第一次联考试题数学(文科)注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1 .复数z =一在复平面上对应的点位于1 +ZA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .已知集合A =x(2 x+l)(x-l)0 ,B =x|y=l o g2(l-x),则 A C|B 等 于()A (-gl)B.8 -；)C.(l,+o o)D.18,一()5 1,+8)23 .已知双曲线C：=则该双曲线的离心率为()3A.72 B.73 C.2 D.44.“a =1 ”是“直线2 x+a y+4 =0与直线(a-l)x+y+2 =0 平行”的()A.充分不必要条件C.充要条件,1 ,4%x 1A.!B.一246.已知两个等比数列 q,也 的前，A.3 B.2 77.已 知 函 数/(力=6叫g(x)=s i n xB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件=8,则”=()_ ,8y_C.1 D.27项积分别为4，纥，若?=3,贝|*=()C.81 D.2 43某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是()A.=/(x)+g(x)B.y=/(x)-g(x)C y=/(x)g(x)D.y=y j8.将函数/(x)=COS x+卷)图象上各点的横坐标缩短到原来的g 倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向7T左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则 g(x)图象的一条对称轴方程是()9.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为()A.2/3+V 2+lB.73+272+1C.73+V2+2D.V3+V2+110.我国古代以天为主,以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支.天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法(即农历).干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一.今年(2021年)是辛丑年，也是伟大的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是()A.辛酉年 B,辛戊年 C.壬酉年 D.壬戊年11.tABC 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan A=-3tanC,a c-2,则AABC面积的最大值 为(12.若V xe(0,+8),E(以)K 一恒成立，则a的最大值为(二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.尤+)-1 2 013.若x,y满足约束条件 x-y +120,则z=x+2y的最大值为%/,()的焦点为片(1,0),6(1,0),且点7 1二 在E上.a bk 2)(1)求E的方程；(2)已知过定点M(0,相)动直线/交E于A,B两点，线段A8的中点为M若 历 .历 西.西 为定值，试求机的值.22.已知函数/(x)n g/-a l n x .(1)讨论/(X)的单调性；(2)若。0,关于x的方程/。)=6优有唯一解，求a的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.复数z =一 二在复平面上对应的点位于1 +ZA.第一象限【答案】A【解析】B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共辗复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限.【详解】.复数一L=3 x L=W，.复 数 对 应 的 点 的 坐 标 是,1+z l-i 1+z 2 2 2复数一在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.1 +i2.已知集合A =x(2x +l)(x-l)0,3 =x|y =l o g 2(l x),则 ACB等 于()A.(-g l)B.；C.(1,+)D.卜。o,一 g)5 1,+8)【答案】B【解析】【分析】解不等式得集合A ,由对数函数性质得集合8,然后由交集定义计算.【详解】解：(2x +l)(x l)0,A =(-c o,-；)u(L+0，B =(-o o,l),故选：B.23 .已知双曲线c：21=,则该双曲线的离心率为()3A.7 2 B.C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程求出。，c,即可求出离心率.【详解】,双 曲 线 方 程 21=1,；.a =l 力=6，3c=J/+b*=2 =-=2.a故选：c.4.a =-l 是 直 线 2 x+a y+4 =0 与直线(a-l)x+y +2=0 平行”的()A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行可知：4&+814=0求出”，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.详解】解：当两直线平行，.1x2 （。-1）。=0,解得。=2或。=-1,当。=2,两直线重合，舍去；当。=一1时，两直线平行.所 以“a=1 ”是“直线2x+ay+4=0与直线（。一 1）无+y+2=0平行”的充要条件.故选：C5.设函数.f（x）=/1 4-x,x l、,若于=8,则。二（）7C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.（7 7 1【详解】解：/二=4XT一二=3,则力用=/(3)=,得/=8,解得a=2.故选：D6.已知两个等比数列%,勿 的前”项积分别为4,纥，若？=3,则*=（)A.3 B.27 C.8 1 D.24 3【答案】D【解析】A：A：a,【分析】由 题 设 得 曰 二 木7V/，再利用等比中项的性质可得言、骨的关系，进而求值.&4她 她 纭耳【详解】生=4咏的5=竺=固=35=243,B,地力3仙他）5故选：D.7.已知函数g（x）=s in x,某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（）4 y=/(x)+g(x)B.y =/(x)-g(x)c.y=f(x)g(x)D,尸小迫)【答案】c【解析】【分析】结合函数的奇偶性及特值可判断【详解】对 于A,y =/(x)+g(x)=*+s i n x为非奇非偶函数，与函数图象不符，排 除A；对 于B,y =/(x)-g(x)=B -s i n x为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于D，当/ex =2时，0 y l,与图象不符，排 除D,故选C.8.将函数/(x)=co s(x +二 图象上各点的横坐标缩短到原来的;倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向 1 2)兀左平移一个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的一条对称轴方程是()1 271A.x =8兀B.x=8八3兀C.x 1 6八 5无D.x 1 6【答案】B【解析】7T【分析】根据伸缩、平移变换的原则，可得g(x)的解析式，令2x +-=E,k e Z,即可求得对称轴方4程，对Z赋值，即可得答案.【详解】将y(x)=co s(x+方)图象上各点的横坐标缩短到原来的3倍(纵坐标不变)，可得y =co s 2 x+,I 1 2)71再把得到的曲线向左平移右个单位长度，可得g(x)=co s 2 x+2+白711 2I 乙 k JL N y 11/2co s(2x+g,I 4 J兀7T !令 2x d =ku 9 k e Z ,解得 x =-1kit,k e Z .4 8 2所以当女=0时，解得x兀8故选：B9.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A.26+夜+1【答案】BB.7 3 +27 2+1C.昌 夜+2D.V 3 +V 2+1【解析】【分析】通过三视图,还原几何体，即可求出表面积.【详解】解：如图，在棱长等于正的正方体A 8 C O-A M G A上 取 四 面 体 即 为 所 求 四 面 体,SABB、，S。,S“A町 均 为 直角三角形，5,必 为 等边三角形,S A HI,=2 x、V 2=1,S Hljn=x V 2 x 2=V 2,S A lin=x V 2 x 2=A/2,AtSBD 2 、A/AD/7|S“ABA=；x 22x s in 6 0 =G,故该四面体的表面积为V 3+2V 2+1.故选：B.1 0.我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支.天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法（即农历）.干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一.今年（20 21年）是辛丑年，也是伟大的中国共产党成立1 0 0周年，则中国共产党成立的那一 年 是（）A.辛酉年 B.辛戊年 C.壬酉年 D.壬戊年【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】解：中题意知，天干是公差为1 0的等差数列，地支为公差为1 2的等差数列，且1 00=1 0 x 1 0,1 00=8x 1 2+4,因为2 02 1年为辛丑年，则1 00年前的天干为“辛”，地 支 为“酉”，可得到1 92 1年为辛西年.故选：A1 1.A/W C的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若ta nA =-3 ta nC,ac=2,则A BC面积的最大值 为（）A.；B.3 C.I D.22 2【答案】A【解析】【分析】根 据 题 意 得 到=ta n（A +）=-j 结合基本不等式，求得吕右,结+3 ta n C I 6l a nC 合面积公式，即可求解.【详解】在AABC中，满足ta nA =-3 ta nC,且8=万一（A +C）,八 /，ta n A +ta n C 2 ta n C-T-Z H ta n 5 =-ta n(A +C)=-=-z-可得 1-ta n A ta n C l +3 ta n C“2 6一 2百 3，当且仅当2一+3 ta n Cl a nCta nC =Y 3时取等号，所以B e（0,5 ,可得s i n 8 W,3 I 6 2所以 S色A BC 3 ac s i n x 2 x .故选：A.1 2.若V x e(0,+（）、ax n（ax）ex In ex,当0 a r 1易知数 1 1时构造f(x)=x nxt利 用 导 数 研 究 单 调 性 可 得 以 即 可 知。=在(0,+oo)上恒成立，构造8(犬)=并研究求其最小值即可得。的最大值.【详解】由无 0,0=0,由 l n(a r)a l n(a x)a x l n(a r)a r l n(o%)ex In ex,a若0 分 1,l n(a r)40 J,此时满足公Wl l,令f(x)=%l nx,/(3)=1 1 1 1+1 0在(1,+00)恒成立，y =/W 在(l,+8)单调递增，而 a x l n(a x)W ex In ex,f(ax)4/(/)在(1,+oo)恒成立=ax e，综上，依 工/在(。,+00)恒成立，cue a 0、a r l n(a x)ex Inex,讨论0 l判断a x,e*的大小关系，进而求。的最值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.x+y-l 01 3.若x,y满足约束条件 x-y +1 2 0,则z=x +2 y的最大值为.x 2,当 炉=一 时，刀.尸耘=|/而|2-1取得最小值一.2 43故答案为：-416.己知正方体A8CD-A冉C Q的棱长为1,点2为底面为耳C Q的四条棱上的动点，则|却+|0|的取值范围为_ _ _ _ _ _.答案4+2立2【解析】【分析】由于对称性，不妨设点尸在棱4片上，设A 4,=x,则尸a=1-x,由勾股定理可得：|PD|+|Pfi|=J(x-0)2+(0-V 2)2+7(-1)2+(0-1)2 利用几何意义，为x轴上一动点”(x,0)(0 x l)到两定点S(),应)与T。)的距离之和，即可得解.【详解】由于点P在底面各棱上相对点8、。位置相同，不妨设点P在棱A 4上，设P A 1=x,则尸司=l-x,由勾股定理可得：|PD|+|PS|=正+2+(1-4+i =J(x-O)2+(0-V 2)2+/(x-l)2+(O-l)2，其几何意义为x轴上一动点M(x,O)(0 x|=2行；当x=l,|即+|即|=唐+1 2 0.故归邳+归。|的取值范围为“+2 0,2后.故答案为：“+2夜,2 0 .三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 已知函数/(x)=sinxcosx+Gcos?%-走.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)设锐角AABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知/(A)=(),a=23，求的取值范围.TT 77r【答案】(1)EH,kitH-,&cZ；(2)(2,4).12 12【解析】【分析】(1)化简函数/(x)=sin(2x+?),结合三角函数的图象与性质，即可求解；(2)由/(A)=0,得到sin(2A+g)=0,解得A=,再由正弦定理b=4sin8,进而求得实数人的取值范围.【详解】(1)由题意，函数/(x)usinxcosx+cos?=,sin 2x+君2 2 2 2=sin2xd cos 2x=sin(2x+),2 2 3TV TT 3TE TT 77r令2依+一 2x+2kli十 二,k Z,可得ZTIH-xkjt-,k G Z,2 3 2 12 12所以/(x)的 单 调 递 减 区 间 为 麻+今,阮+由M eZ.(2)由/(A)=0,可得sin(2A+g)=0,因为乙2A+二 兀+工，可得24+二=兀，解得A =E,3 3 3 3 3a h由正弦定理得=，即=4sin3,sin A sin B冗 T T因为AABC为锐角三角形，可得一3 aib 哂,a 2a 3，。2伉,a2 b2,岫,a3b2,乙打共1()个，这2人来自不同组的有。也,%瓦,a2bx,a2b2,a3b,生优共6个，所以这2人来自不同小组的概率为P =-=-.1 0 51 9.已知数列 a“的前项和为S“，满足4=1,5“=(；+.C为常数).(1)求%的通项公式；(2)若a=(-l)nl g(-n+1),求数歹U 的前n项和为刀,【答案】4=；(2)7；=(-l)nl g(n+l).【解析】(分析 令n=1,解得:r =g,再由4 =5,-5.,，即可求出an,(2)根据(1)的结论，再利用并项求和，即可求解.【详解】解：(1)令=1,百=4 =(；+,可得.=；,所以5“=(；”+!时，1)+；(n-1),可得-l +g =所以q=(n 2),又因为q=1满足上式，所以乙=(2)因为包=(一l)l g(4 4+i)=(T)(l g a +l g%)I=一(怆4 +1 g%)+(怆 4 +怆。3)(1 g g+1 g 4)+(T)”(1 g 4+l g an+l)=(-l)l g a“+i-l g q=(-l f l g(n+l)所以 7；=(l)l g(+1)20.如图，在四棱锥 PA B C D 中，A B/C D,C D =2 A B =2.（1）在棱PC上是否存在点E,使得B E/平面尸4?说明理由；（2）若平面P C D _ L平面A B C。，B C=B D =应,PC=PD=2,求点A到平面P8C的距离.【答案】（1）存在；理由见解析；（2）叵.7【解析】【分析】（1）取P C,P。的中点E,F,连接B E,E F，A F-易证四边形回所为平行四边形，再由线面平行的判定证B E平面P A D.（2）由等体积法有%JBC=%-A B C，取C。的中点O,连接P。，B O,易得P O _ L面A B C。，求出P O、S.PBC、S.A B C，进而可求A到平面PBC的距离.【详解】（1）存在PC的中点使得B E平面P A D,证明如下；分别取P C,PO的中点E,F,连接M,E F，A F 则 瓦7/8,A B/C D,AB/EF,;E F=C D=1,A B=1,2:.A B =EF，故 四 边 形 为 平 行 四 边 形，即B E/F ,又；BE0 平 面 P A D,AFu平面P A O,B E U平面P A D.(2)取CD的中点O,连接P O,B O,P C =PD,则 P O L C Z),.面PCD上面A B C。，面P C Z)n面A B C D =CD，POu平面P C D,P O 上面 A B C D,设点A到平面PBC的距离为d,则VA_P B C=B e，:.；S4P B c.d=；S盘B C-P O,又OBU面A B。，/.P O V O B,B C =B D =0,C D=2,可得 0 6 =1,易知 P 0 =6，:.P B =2,P C =2,B C =O,P8C=g,血 22_ 与 =W S B C =g x l x l=g ,.-.l x x J =-x l x V 3-可得4=里=且，即点A到平面PBC的 距 离 为 叵.3 2 3 2 近 7 72 2(3、21.已知椭圆氏=+=1 (。0)的焦点为(一1,0),玛(1,0),且点7 1,彳 在E上.b 2J(1)求E的方程；(2)已 知 过 定 点 的 动 直 线/交 于4,8两点，线段AB的中点为M若小人证一小而 认 为定值，试求7的值.2 2 6【答案】(1)+-=1 :(2)2 =4 3 2【解析】【分析】(1)由椭圆的定义可得4=2,再由C =l,结合。2=。2一。2=3即可求解.(2)讨论直线/的斜率是否存在，当直线/的斜率存在，设其方程为y=h+m,将直线与椭圆联立,OAOB-OM ON xtx2+y iy2-m-%；及,利用韦达定理即可求解.5 3【详解】解：由题意可知2a=/用+|%|=：+=4,.a=2,而c=l,V2 V2.户=一。2=3，椭圆E的 方 程 为 土+二=1 .4 3(2)若直线/的斜率不存在，易 得 西.砺-闻 丽=-3，若直线/斜率存在，设其方程为y=-+m,A(XI,yJ,W w，%)，/、y=kx+m则N(岩.然叶联立广+反_得(4女2 +3)V+8/7?u+4m2-12=0,-Skm4k2+3且 +%W-1 2x x,=s，-4k2+3OA-OB-OM-ON=xix2+yiy2-m=xxx2+(点+m)(A x2+m+kx2+m)=(42+1)为 2 (玉+x2)4-m2m2/7 2 i km/八 2 i 4/-12 km-Skm=(+l)x i+万&+%)=(%+1)而与 十 才充直_-1 2/+4-12 _-3(4公+3)+4加-3 46?一3 4k2+3 4公+3 +4/+3要使上式为常数，必须且只需4,/一3=0,即 加=走，此时易知()恒成立，且 丽 丽加 丽=3，符合题意.综上所述，1n=土虫.21 ,22.已知函数/(x)=r-alnx.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若。0,关于x的方程/*)=依 有唯一解，求。的值.【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；(2)a=.2【解析】【分析】(1)求导函数f x),分类讨论确定一(X)的正负，得单调区间；(2)设 g(x)=/(x)-以，求出导函数 g (x),由 g (x)=0 在(0,+8)上解得 x,=+一 +4,得 gW2 2的极小值g(G),按g(/)0，g(Z)=0，g(2)0且 尸(x)=x 9 =土二X X若。W0,尸(幻 0恒成立，则/(X)在(0,+8)上是增函数。0,则尸(x)=x=X X X所以当 x e(0,G)时，/(x)0则/(x)在(0,、G)上是减函数，在(、后,+8)上是增函数综上所述，若4 4 0,y =/W在(0,+8)上是增函数若a (),y =f(x)在(0,&)上是减函数，在(五,+8)上是增函数(2)由题意，可得/(x)=/-a l n x =o x1 ,令 g(x)=/(尤)_ 二万元-a n x-a x,方 程/(幻=以 有 唯 一 解，即)，=g(x)有唯一零点；，/、a I/?g (x)=x-a=x-a x-a),x xx 7令，。)=0,得一 一口 =o.因为。0,x 0,所以X =巴 这 士”.0 (舍去)，*2+一1 2 2当x0，W)时，g G)0，g(x)在5，+8)上是增函数.当 X =W 时,g(电)=0,g OOr n i n =g(%).若g(%)0,则g(X)0恒成立，不存在零点(舍)若 g(W)=O心)二 ,即 g(无2)=。则x -alnx9-ax.=0 八2 -可得_21n/=0-ax2-a=0设。)=l -2 1 n x -x,因为在x0时，/i(x)是减函数，所以久 幻=0至多有一解.又因为版1)=0,所以=1，从而解得。=3.若g(w)o,则 1一2 1 1 1工2 2 1-r-+a-02 e2 e所以y =g(x)存在一个零点；因 为!1 0,则夕(x)=-1 =-0,即e(x)在(0,+。)上单调递减，则X)I 1 J C I 1夕(x)0(O),g|J l n(x+l)-x 0,l n(x+l)x.因为a+4a a +J a-+4 a +4-=a +1 (4 a +l)2-a(4 a)-a(4 a +l)=3 a +0所以y =g(x)在(,4 a +I)存在一个零点；因此y =g(x)存 两个零点(舍).综上所述，a-.2【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，考查用导数研究方程根的个数问题，解题方法把方程根的个数转化为函数零点个数，通过研究函数的单调性，极值确定零点个数