安徽省合肥市2022届高三一模理科数学试题（含答案与解析）.pdf

合肥市第五中学2022届高考模拟检测试卷（一）数 学（理科）（时间：120分 钟 分 值：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第 1卷 选 择 题（共 60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）L 若集合 A =x|X?+5x +4 0 ,集合8 =x x 2,命题q:-1 ,则是-1 P成 立 的（）.3 xA.充分不必要条件C.充要条件3.已知命题p:V x 0,都有3*1”的否定是储+。2=0,则。=（）”的否命题是“a,。命题的是（）A.PM B.P7 f“、2s i nx4.函数/（尤）的图象大致为1-1-1AJ LITB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件*W 0,使3 1 ；命题 4：aa,b e R,若eR,若+）2 N 0,则或。彳0；下列命题为真C.F八 q D.-P z-qBJL5.已知(l +a r)5=4 +4%+。2%2+%/+。4/+5炉.若用=-8 0 ,则 6 +/+。3+。4+。5=()A.1 B.0 C.-1 D.-2x -2 2 0,6.若实数x,y 满足约束条件2 x+y 7 0,则z=3x +4 y 的最大值是()x-y-2 /52 29 .已知抛物线C：V=4GX焦点为F，准线为/，过抛物线上一点尸作准线的垂线，垂足为。，若Z P F Q=1,则 归 尸|=()A.4A/3 B.2 也 C.7 3 D.61 0 .已知偶函数/(x)满足 4+x)=/(4-x)且/(0)=0,当x e(0,4 时，=5 处1,关于x的不等式/丁 +a-/(x)0在-20 0,20 0 上有且只有20 0 个整数解，则实数的取值范围为A.|-1 ln6,ln2 B,(_ ln2,_；ln6)C.1 ,I n6,ln2)D.I n2,-I n61 1.某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”.在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书.某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为（）14 3 9A -B.-C.-D.3 9 4 1 61 2.设函数/（x）在定义域（0,+力）上是单调函数，且 Vx （0,”o）e +x =e,若不等式/（%）+/（X）N o x 对 x e （0,+8）恒成立，则a的取值范围是A.（-0 0,e-2 B.C.（-8,2 e 3 D.（-o o,2 e 1 第 卷 非 选 择 题（共 90分）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分）1 3 .已知向量a=（l,。，=（0,1）,若石与垂直，则，=1 4 .已知/（x）=2 s in（3 x-工）（30）和 g（x）=2 co s（2 x +）+l 的图象的对称轴完全相同，则x e 0,d6时，方程/。）=1 的解是.1 5 .圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线C：的图象以直线y=x为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反X射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与C的 交 点 到 中 心 的 距 离 为.1 6 .如图所示，点。为小针。的 边 上 一 点，丽=2万 V，用为 AC 上一列点，且满足：EnA =（4 a-1）EnD+-一EnB,其中数列 4 满足4%-1 w。，且 q=2,则4。”+1-11 1 1 1-+-+-+-+-=_ 1%1 1 。1三、解答题（本大题共6 小题，共 70分.其中22、23为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）1 7.在 A B C中，a,6,c分别为内角4,B,C 的对边，A B C的面积54（1）若 0 c c o sB =J z-6,求 当 值；sin B（2）求 的取值范围.b18.随着新冠肺炎疫情的爆发和蔓延，国家加强了传染病学的研究.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格:潜伏期（单位：天）0,2(2,4（4，可（6网(8,10(10,12(12,14)人数802003202501003020（1）求 这 1000名患者的潜伏期的样本平均数元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期为标准进行分层抽 样,从 上 述 1000名患者中抽取100人，得到如下列联表:潜伏期V 6 天潜伏期 6 天总计6 0 岁 以 上（含 6 0 岁）506 0 岁以下35100请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为传染病潜伏期与患者年龄有关；（3）在 条 件（2）得到的100人样本中，从潜伏期超过10天的人中，随机选取3 人进行抽血化验，问恰好有一人潜伏期超过12天的概率？附：P(K2k0)0.050.0250.010k03.8415.0246.635K(ad-be)(a+0)(c+d)(a +c)(O+d)其中 n-a+b+c+d.19.已知函数 x）=Asin|（A 0）在同一半周期内的图象过点0,P,Q,其中。为坐标原点，P 为函数/（x）图象的最高点，。为函数“X）的图象与x 轴正半轴的交点，QP。为等腰直角三角形.(1)求A的值;jr(2)将O P。绕点。按逆时针方向旋转角c (0 a =&(攵0)上，求攵的值.x2 0.如图，已知三棱柱A B C-A与G中，侧棱与底面垂直，且A A =A B =A C =2,AB 1 A C,M、N、P、。分别是CG、B C、A4、的中点.(1)求证:A C/平面P O N；(2)求 平 面 与 平 面A B C夹角的余弦值；(3)点。在 线 段 上，若直线A与平面QM N所 成 角 的 正 弦 值 为 寻 时，求线段4Q的长.2 2 万2 1.已知椭圆C：,+京=1的离心率为苧其右顶点为A,下顶点为8,定点C(0,2),AABC的面积为逑过点。作与y轴不重合的直线/交椭圆c于尸，Q两点，直线8尸，B Q分别与X轴交于M，N两2(1)求椭圆。的方程；(2)试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.选修4-4：坐标系与参数方程2 2.在平面直角坐标系xO y中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下x=1 +V3 c os取相同的长度单位，已知曲线C的参数方程为1 广(。为参数)，直线/的参数方程为y=5/3 sinx=2 +/c os a 0,n 0.(1)当加=1,=1时，求关于x的不等式“X)2 4的解集；(2)若 w，证明：,f(x)2 4.参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1,若集合A =xl*+5 x+4 0 ,集 合 八 x|x-2 ,则AD低 可 等 于()A.(-2,-1)B.-2,4)C.-2,-1)D.0【答案】C【解析】【分析】先解出集合A,再由补集和交集的概念求解即可.【详解】由题得A =x|-4 x 2,命题q:!1,则F是M成 立 的().3-xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先将p命题与夕命题化简，再求出f与 力 命题，即可判断出r 是力的必要不充分条件.【详解】由命题p：|x+2|2得x 0或x 1 得2 V x v 3,3 -x所 以1P:-4 x 0,都 有3*1 的 否 定 是“玉W O,使3Y 1”；命 题 0,都 有3、1 的 否 定 是“五 0,使3、W1”，所 以 命 题。为假命题，则 力为真命题,因为力eR,若/+=0,则4=。=。”的 否 命 题 是“a,b w R,若/+工0,则。工。或6羊0”，所 以 命 题q为真命题，则 r 为假命题,所以/7A 0,6.若实数x,y满足约束条件 2 x+y-7 0,则z =3x +4y的最大值是()x-y-2 0,A.2 0 B.18 C.13 D.6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z =3x +4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：x =2 x =2由 c r c 可得、，故A 2,3),2x+y-7=0 y =3 7故 Z n1ax =3x 2 +4x 3=18，故选：B.7.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的 详解九章算法（12 6 1年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,记作数列%,若数列%的前n项和为S,则S,7=C.1034D.2 05 9【答案】B【解析】【分析】先计算出杨辉三角中第47个数在第几行，然后根据每行规律得到这一行的和，然后再求其前47项的和.【详解】根据题意杨辉三角前9行共有1+2+3+4+5 +6+7+8+9 =45故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9,所以前 47 项的和 S 47=2 +2 +22+-+28+1 +9=2 9-1 +1 +9=5 2 1故选B项.【点睛】本题考查杨辉三角的特点，等比数列求和，属于中档题.8.已知圆O：f +),2=9,直线/：=a+与两坐标轴交点分别为M,N,当直线/被圆。截得的弦长最小时，|M N|=()A.述 B.2 75 C.至 D.3#)2 2【答案】C【解析】【分析】由题可得直线恒过定点尸(1,2),结合圆的性质可得直线/_L O P时，直线/被圆0截得的弦长最小，进而可得色=工，再结合直线方程可得M,N的坐标，即得.b 2【详解】直线/：依+外=Q+2 Z?R),即a(x-l)+(y-2)=0,，直线恒过定点p(l,2),又圆0：Y+y 2=9,.由圆的性质可知直线/_L Q P时，直线/被圆。截得的弦长最小，此时左0=2,勺=一色，hkOP,k=1,即=,h 2由直线/：a x+hy=a+2 b a,b&,令 x =0,可得 y =/+2=g,即G I令 y =0,可得 x =l +4 =5,即 N（5,0）,a故选：c.9.己知抛物线C:y2=46x的 焦 点 为/，准线为/,过抛物线上一点尸作准线的垂线，垂足为Q,若Z P F Q -,则 归 尸|=()A.4A/3 B.2A/3 C.百 D.6【答案】A【解析】T T【分析】由抛物线定义可知PQ R为正三角形，根据PQ A F可知乙4/。=/2。/=,由此可求得Q F,由此可得忸耳=|0 F|=4 6.由抛物线定义可知：|PF|=|PQ|，.NPQE=NPEQ=(,PQ/?为正三角形.设准线/与x轴交于点A,由抛物线方程可知：|A尸|=2 6，-.-PQ/AF,:.ZAFQ=ZPQF=,:.QF=2AF4y/3,:.PF=QF4y/3.故选：A.10.已知偶函数/(x)满足/(4+x)=/(4-x)且 0)=0,当x 0,4 时，往1,关于x的不等式/(力 于+。/(60在-200,200上有且只有200个整数解，则实数”的取值范围为A.(一gln6 n2B.f-ln 2,-|ln 6C.I-I n 6,In 2D.(-In 2,-ln 6【答案】D【解析】【分析】判断f (x)在(0,8)上的单调性，根据对称性得出不等式在一个周期(0,8)内有4个整数解,再根据对称性得出不等式在(0,4)上有2个整数解，从而得出a的范围.1 O【详解】当0 V x 0在-20 0,20 0 上有且只有20 0个整数解,.不等式在(0,20 0)内有1 0 0个整数解，V f (x)在(0,20 0)内有25个周期,.f (x)在一个 周 期(0,8)内有4个整数解，(1)若 a 0,由 仔(x)+a f (x)0,可得 f (x)0 或 f (x)0在一个 周 期(0,8)内有7个整数解，不符合题意；(2)若 a 0,可得 f (x)-a,显然f (x)V O在 区 间(0,8)上无解，：.f(x)-a在(0,8)上有4个整数解,V f (x)在(0,8)上关于直线x=4对称，A f (x)在(0,4)上有2个整数解，,、l n 4,、I n 6V f (1)=l n 2,f (2)=l n 2,f (3)=，2 3.*.f (x)-a在(0,4)上的整数解为 x=l,x=2.I n 6 1 ,一-W -a l n 2,3inA解 得-l n 2 a 0)和g(x)=2cos(2x+0)+l的图象的对称轴完全相同,则尤已知 泪6时，方程/。)=1的解是.【答案】B或三6 2【解析】【分析】根据两个函数对称轴相同，则周期相同，求得。的值，根据函数值为1求得x的值.【详解】由于两个函数对称轴相同，则周期相同，故。=2,即 x)=2sin(2x 一看)，当xe0,7i时,，令/(x)=L 则2x _ g=m或 言，解得尤=5或?一【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查已知三角函数值求对应x的值，属于基础题.15.圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线C：y=1的图象以直线 =%为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反X射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与C的 交 点 到 中 心 的 距 离 为.【答案】2【解析】【分析】根据直角三角形的性质，可知|P O|=g|耳6 b e,根据对称轴与双曲线的交点可得实半轴的长“，利用等轴双曲线可求出c,即可得解.【详解】耳，居是双曲线的焦点，P F，,P K分别为入射光线、反射光线，且 尸 片 居，如图，y=x由，1解得4(L D ,故a=|Q 4|=J 5,又双曲线为等轴双曲线，I 3所以b =a =O ,所以 c=J a?+/=J 2 +2 =2，即I。耳 1=2,所以|P O|=；I G 6|=c=2,故 答 案：21 6.如图所示，点。为A A B C的边8 c上一点，丽=2万C，纥(e N)为AC上一列点，且满足:可=(4 4-1)率+1 字,其中数列 叫 满足4。“一1 7 0,且4 =2,则4%+1 1 3【解析】_ _ 3 4 _ /_ 1【分析】首先利用向量的线性运算上,/=九 空 =丁 JO-三瓦万，进而得到4%l =-3 x 一二，整2 2 初+1 ,1 1理得-+2 =3-+2，利用等比数列求出数列的通项公式，进一步利用通项公式求出数列的和.4+1-1 )详解】因为点D为a A B C的边B C上一点，且 丽=2反，瓦力 一 班=2(空E乃)，/.E 3-1 nC=|EnD -EnB,因为 En 为 A C 上一列点,所以E“A =/l空附西-43,又不=(4%-1)9+/三郎,1 -3 3即：4%-1 =-3 x -4 a“+-5 =-,4。,川 一 4 =1 -4 +i-5%-1 4 -14 a,.-44 a“一 1C 1 I 1 1r q=2,二-=1 即-+2 =3 ,!=3 -2.4 7 凡 1 -13 +i-3-4/?故答案为2一2点睛】本题考查了平面向量线性运算的应用，数列的递推关系式求通项公式，分组求数列的前n项和，也考查了运算能力和转化能力，属于中档题.三、解答题(本大题共6 小题，共 70分.其中22、23为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)1 7.在A B C中，a,b,c分别为内角4,B,C的对边，Z V I B C的面积S =c?.4(1)若 O c c o s B =6 a-b，求 当 的 值;sin B(2)求的取值范围.b【答案】(1)及+1或 及-1(2)7 2-1,7 2+1【解析】-j r1【分析 1(1)由正弦定理化简&ccos8 =0a-b可得0 =，由S可 得 与。=c?，结合余弦定2理 得 勺+1=2&x,换 元 求 出 其 值，由正弦定理即可得答案；b2bb(2)由5 =,，得2 ab s i n C =c2,结合余弦定理得/+=2&q b s i n(C +&),变形为4422 1 +l=2/2x-xsin(C+-)，换元r=，可得二二=sin(C+；),结合三角函数的性质可得不等式h2 b 4 b 2V2r 4-/2 x-,bh令贝卜2+1=2 ，解得r=板 1，b由正弦定理得：=7,故包”的值 为 正+1或 夜 一1；sin B b sin 8【小问2详解】由5=,。2 得：-absinC=-c2,即 2absinC=/,4 2 4由余弦定理可得：c2-a+h2-2abcosC=2absinC 即 er+b=2ab(sin C+cos C)=2 0 sin(C+),42故 4 +1 =2 应 xxsin(C+巴)，b2 b 4y.2 .j令 t=区,则/+1 =2/2f sin(C T)，即-f=sin(C+-),h4 2V2r 4由 C (0,兀)得。+：(：,手)，故 sin(C+：)w (-1 ，故 一旦学，即得&-1士4 0 +1，2 2万故3的取值范围是 加-1,&+1 .b1 8.随着新冠肺炎疫情的爆发和蔓延，国家加强了传染病学的研究.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1 0 0 0名患者的相关信息，得到如下表格：（1）求 这1 0 0 0名患者的潜伏期的样本平均数亍（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期为标准进行分层潜伏期（单位：天）0,2(2 4（4，旬（6网(8,1 0(10,12(1 2,1 4)人数8 02 0 03 2 02 5 01 0 03 02 0抽样，从上述1 0 0 0名患者中抽取1 0 0人，得到如下列联表:潜伏期W 6天潜伏期 6天总计6 0岁 以 上（含6 0岁）5 06 0岁以下3 51 0 0请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有9 5%的把握认为传染病潜伏期与患者年龄有关；（3）在 条 件（2）得到的1 0 0人样本中，从潜伏期超过1 0天的人中，随机选取3人进行抽血化验，问恰好有一人潜伏期超过1 2天的概率？附：P（K。）0.0 50.0 2 50.0 1 03.8 4 15.0 2 46.6 3 5n(ad-bc)(a +6)(c +d)(a +c)(/?+d)其中=a+Z?+c+d.3【答案】（1）5.5 2；（2）填表见解析；有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）j.【解析】【分析】（1）根据每组的中间值乘以该组人数，再求和，即可得出结果；（2）根据题中条件，直接完善列联表，由公式求出长2,再由临界值表，即可得出结果；（3）先由分层抽样，确 定1 0 0人样本中（1 0,1 2 中有3人，（1 2,1 4 有2人，再根据古典概型的概率计算公式，即可得出结果.【详解】（1）由题中数据可得，x =（8 0 x 1 +2 0 0 x 3+3 2 0 x 5 +2 5 0 x 7+1 0 0 x 9+3 0 x 1 1 +2 0 x 1 3）4-1 0 0 0 =5.5 2；（2）根据题意，补充完成的列联表如下：则 烂;1。（2 5 1 5-3 5X2 5）；4 1 6 7.5 0 x 5 0 x 6 0 x 4 0潜伏期W 6天潜伏期 6天总计6 0岁 以 上（含6 0岁）2 52 55 06 0岁以下3 51 55 06 04 01 0 0经查表，得K?=4.1 6 7 3.8 4 1，所以有9 5%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.（3）由（2）的条件可知，抽样比为=,1 0 0 0 1 0因 此1 0 0人样本中（1 0,1 2 中有3人，0 2,1 4 有2人.C 2 c l所以从这五人中随机抽取3人，恰好有一人潜伏期超过1 2天的概率P =产35【点睛】本题主要考查求数据的平均值，考查独立性性检验的思想，考查求古典概型的概率，属于常考题型.71-X1 9.已知函数/(x)=A s i n（A0）在同一半周期内的图象过点0,P,Q,其中。为坐标原点，P为函数/（X）图象的最高点，。为函数/（X）的图象与X轴正半轴的交点，为等腰直角三角形.（1）求A的值；77（2）将 O P Q绕点。按逆时针方向旋转角a（0 a 0),x所以na +4可 得 也c os a+4 V 2 s i n=k,s i n(2(z +y=k,c os 2 a =k,可得2 c os a.2 s i nc =h s i n2 ak2“2 4 0 /s由c os?2 a +s i n?2 a =1，得一+k2-1,=(%0),所以氏=-4 5 52 0.如图，已知三棱柱A B C -AgG中，侧棱与底面垂直，且AA=AB=AC=,A B 1 A C,M、N、P、。分别是CG、BC、A4、岗G的中点.(1)求证:A C/平面PON；(2)求平面P M V与平面A 3 C夹角的余弦值;（3）点Q在线段4片上，若 直 线 与 平 面QMN所成角的正弦值为芳.时，求线段4Q的长.【答案】（1）证明见解析；里1 4（3）【解析】【分析】（1）运用线面平行的判定定理可得证；（2）以点A为坐标原点，AB、AC、A A 1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，运用面面角的向量求解方法可求得答案；（3）设 血=44瓦，由线面角的向量求解方法建立方程，求解即可.【小 问1详解】解：2、。分别是44、B G 的中点，P O 4 G，又三棱柱 A B C -A/i G 中，/A C,故 P D A C.又 PD u 平面P D N,ACa平面PON,所以AC平面【小问2详解】解：以点A为坐标原点，A B，A C，A A 1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则 A（0,0,2）、B（2,0,0）、M（0,2,1）,N（l,l,0）,尸（1,0,2）,所 以 丽=（0,1 2）,PM=（-1,2,-1）,取 向 量 羽=（0,0,2）为平面A B C的一个法向量，-/、ii-P M=Q y-2 z =0设平面P M V的法向量为=（x,y,z）,贝 叫 一 ，可得 -、八，i i P N =0-x+2 y-z=Q令 z =l,则 x=3,y=2,则 7 =（3,2,1）,所以cos（福,同=含 治H-I-H0 x3+0 x2+2xl2-V14-14-由图示得平面9V与平面ABC的夹角为锐角，所以，平面 9 V与平面A8C的 夹 角 的 余 弦 值 是 恒；14【小问3详解】解：设 初=4丽，X eO,l,点Q（2X,0,2）,所 以 而=（2/1-1,1,2）,两=（一1,1,1）,W =(0,2,1),设平面QMN 法向量为3=(x,y,Z),则n-NQ=Q_ _ 1，可得n-NM=0(2几-1)冗 -y+2z=0一 x+y+z=0,取 x=3,则 1=(3,22+1,2-2/1),设直线AM与平面QMN所成的角为a,则 sina=|cosn,AM)卜.啊|22+4|网.阿/8A2-4/+14-5/5得，整理可得8九2 一22%+5=0,即(4A-l)(22-5)=0因为0W/IW 1,解得.则4。|=呼1=；,即线段4 Q的长为巳21.已知椭圆1的离心率为当其右顶点为A,下顶点为8,定点C（0,2）,AABC的面积为 述 过 点。作与y轴不重合的直线/交椭圆。于P,Q两点，直线BP,BQ分别与X轴交于M,N两2点.（1）求椭圆C的方程；（2）试探究，N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.，2【答案】（1）+y2=l；（2）定值；，理由见解析2-3【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式结合离心率列出方程，求解即可；（2）利 用 点 斜 式 写 出 直 线 的 方 程，令y=0,得点M,N的横坐标，求 出 如，/，将直线y=丘+2代入椭圆方程利用韦达定理得出玉+，玉，化简即可判断X”-xN为定值.【详解】（1）由已知，A,3的坐标分别是A（a,O）,B（O,-力，由于A 8 C的 面 积 为 辿，二 有!（2 +。）=主巨，又由e =，2得a =J%，解得a =亚力=12 2 2r2椭圆C的 方 程 为 二+丁=1；2 -（2）设直线P Q的方程为丁 =履+2,P,Q的坐标分别为尸（内,乂）,。（，必）y +1 1 x则直线B P的方程为 =义 一x-l,令y=0,得点M的 横 坐 标 对=一 七直线8 Q的方程为y=2山x l,令y=o,得点N的 横 坐 标 标=7%+1.x 一 中2 _“”（凹+1）（%+1）（姐+3）（丘2+3）k2xtx2+3k（xt+x2）+9r2把直线丁=履+2代入椭圆二+y2=i得（1 +2左2）/+8丘+6 =02,.m 8k 6由韦达定理得 +X2=-?,X|X2 y1 +2 1 l +2 k261 +2二6汰 2 2 4/2+9+1 8左223【点睛】本题主要考查了椭圆方程的计算以及直线与椭圆位置关系，（2）问中关键是利用韦达定理化简，属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程2 2.在平面直角坐标系X 0 V中，以原点为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位，已知曲线C的参数方程为x=1 +7 3 co s 0（。为参数），直线/的参数方程为x-2 +tcosay =1 +tsin a（7为参数，a为直线/的倾斜角）.TT（1）求曲线C的普通方程；当。=一 时，求直线/的极坐标方程;3(2)若曲线C和直线/交于M,N 两点，且|MN|=J 1 5,求直线/的倾斜角.【答案】(x-l)2+y2=3,2 0 co s仿+舁 26-1；(2)2 或 空I 6)1 2 1 2【解析】【分析】(1)消去参数可得曲线C的普通方程，a=g 时，把直线/的参数方程化为普通方程，再化成极坐标方程而得；(2)把直线/的参数方程代入曲线C的普通方程，借助韦达定理及参数的几何意义求解即得.)x =l +K c os。_ l 得曲线C的普通方程为(x l +y 2=3；y =，3 sin 9X=2 d tj r 2当。=时，直线/的参数方程为 广。为参数)，y =l dtI 2直线/的普通方程为底一y -2 石+1 =0 ,则其极坐标方程为 p co s0-p sin 0-2 7 3+1 =0,即 20c os+百-1 ；x =2 +/co s cc(2)将 4 代入圆的方程*-1)2 +丁=3,得(l+tco sa)2+(l+f sin a)2=3,化简得y=l+t s m ar+2 r (sin tz+co s )-1 =0 ,又点(2,1)在圆(x I)2 +y 2=3 内，设 加，N 两点对应的参数分别为J t2 9则t1+弓=-2 (sin a+co s a),伍 二-1，贝 i j MN =|八 一&I =,(乙 +q)2 -今七=J4(sin a +co s a)?+4 =2,2 +sin 2 a=V1 0 ,sin 2 a =f 解得 2 a=工或 2 a=&,g|J =4 a=,2 6 6 1 2 1 2所以直线/的倾斜角为上或1 2 1 2选修4-5：不等式选讲2 3.设 函 数/(%)=,一 时+卜+,其中加 0,n0.(1)当?=1,=1 时，求关于X的不等式/(x)2 4 的解集；(2)若加+=/,证明：/(x)4.【答案】(1)(-0 0,-2 U 2,+o o)(2)见解析【解析】【分析】(1)代入?，的值，求出/“)的分段函数的形式，求出不等式的解集即可；(2)变形机+=/9可 得+=1,再利用三角不等式求出了(X)的最小值为加+，由基本不等式即可m n得到/(X)的最小值为4【详解】解：(1)由机=1,n=,2 x,x 1得/(x)=|x-l|+|x +l =1所以/(x)2 4的解集为(F,-2 U 2,y).(2)由=可得 +=1,tn n/(x)=|x-AH|+|X+H|,因为加0,n 0,所以 f(x)N/%+=+(m+)=2 +4 ,V m n)m n当且仅当加=二2时等号成立.所以/(x 4.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及含参数不等式恒成立的问题，属于中档题.