2022高考数学真题分类汇编05函数与导数.pdf

2022高考数学真题分类汇编五、函数与导数一、选择题1.(2 0 2 2全国甲(文T 7)(理T 5)函数y =(3“3在区间 号,，的图象大致为()【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令/(x)=(3 3一-*,则/(-x)=QT-3,co s(-x)=-(3工-3 T)co s x =,所以/(x)为奇函数，排除B D；(jr又当x e 0,-时，3*-3-、0,co s x 0,所以x)(),排除 C.2)故选：A.2.(2 0 2 2全国甲(文T 8)(理T 6).当x=l时，函数/(x)=a l n x +2取得最大值一2,则.八2)=()【答案】B【解析】【分析】根据题意可知/(I)=-2,/=0即可解得a,。，再根据/(x)即可解出.【详解】因为函数/(x)定义域为(0,+8),所以依题可知，/(I)=-2,/=0,而/)=/52?所以方=-2,“一力=0,即a =2力=2,所以/，(可=1+不，因此函数/(x)在(0,1)上递增，在(1,4 8)上递减，x =l时取最大值，满足题意，即有了(2)=l +g =一 ；.故选：B.3.(2 0 2 2全国乙(文T 8)如图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3 的大致图像，则该函数是(3*x+3xlx cos X【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，(x)=：m，则/(1)=。，故排除B；设,当时，o co s x l,所以(x)=2 x：s x0,故排除D.X+1 1 0故选：A.4.(2022全国乙(理)T12)已知函数，(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若 y=g(x)的图像关于直线 x=2对称，g=4,则22/伏)=()k=lA.-21 B.-22 C.-23 D.-24【答案】D【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到/(%)+/(%-2)=-2,从而得到了(3)+5)+21)=-10,/(4)+/(6)+.+/(22)=-10,然后根据条件得到/(2)的值，再由题意得到g=6从而得到/(1)的值即可求解.【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以 g(2-x)=g(x+2),因为g(元)一/(%-4)=7,所以g(x+2)-/(%-2)=7,即g(x+2)=7+/(x-2),因为/(x)+g(2x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,代入得/(x)+7+/(x-2)=5,即/(x)+f(x-2)=-2,所以/(3)+/(5)+.+/(21)=(-2)x5=-10,/(4)+/(6)+.+/(22)=(-2)x5=-10.因为/(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以/=一2-/(0)=3.因为g(x)-/(x-4)=7,所以gQ+4)-f(x)=7,又因为/(x)+g(2-x)=5,联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,所以g=6因为/(x)+g(x+2)=5,所以/(l)=5_g(3)=L所以22/a）=/（l）+/（2）+/（3）+/（5）+.+/（2 1）+/（4）+/（6）+.+/（2 2）=-l-3-1 0-1 0 =-2 4k=故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.5.（2 0 2 2新 高考I卷T 1 0）已知函数/（x）=V x +1 ,则（）A.A x）有两个极值点 B.X）有三个零点C.点（0,1）是曲线y =/（x）的对称中心 D.直线y =2 x是曲线y =f（x）的切线【答案】A C【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A,结合/（x）的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，r（x）=3 x2-l,令/（力0得%立 或X令r（x）。得一 1%且，3 3所以在（_ 曰,等）上单调递减，在（_ 8,_曰），（*,+8）所以x =走 是 极 值 点，故A正确；3因-冬=1 +0,Y）=l-2）=-所以，函数在-8,一 等）上有一个零点，当xN*时，/（）2/（等 卜0，即函数/（X）在 乎，+8综上所述，函数/（X）有一个零点，故B错误；令/2（X）=d 一,该函数的定义域为 R,（一X）=（-A：）-（一X）6-,3上单调递增，-5 0,上无零点，x+x =_,则(X)是奇函数，(0,0)是(X)的对称中心，将(x)的图象向上移动一个单位得到/(X)的图象，所以点(0,1)是曲线y=/(%)的对称中心，故C正确；令/(%)=32-1 =2 ,可得x =l,又/=当切点为(U)时，切线方程为 =2 x 1,当切点为(1,1)时，切线方程为y=2 x+3,故D错误.故选：AC6.(2 0 2 2 新高考I卷T 1 2)已知函数/及其导函数/(X)的定义域均为R,记g(x)=/(x),若1-2XL g(2+x)均为偶函数，则()A./(0)=0 B.gf-1|=0 c./(-1)=/(4)D.g(l)=g(2)【答案】BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为/1一2；,g(2+x)均为偶函数，所以一2 x =+即/一x =/(j +x ,g(2+x)=g(2-x),所以/(3-x)=x),g(4 x)=g(x),则/(-1)=/(4),故C正确;3函数/(x),g(x)的图象分别关于直线x =,x =2对称，2又g(x)=r(x)，且函数久扃可导，所以 gg =0，g(3_x)=_g(x),所以g(4-x)=g(x)=-g(3x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),(A/3、所以g-g-=。，g(f =g=_g,故B正 确,D错误；若函数X)满足题设条件，则函数/(X)+C(。为常数)也满足题设条件，所以无法确定/(X)的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.7.(2022 新高考n卷T8)若函数X)的定义域为R,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/(l)=l,则22 f(k)=()A=lA.-3 B.-2 C.0 D,1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的/(1),/(2),/(6)的值，即可解出.【详解】因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=l,y=O可 得,2/(1)=/(1)/(0),所以0)=2,令=0可得，f(y)+-y)=2y),即y)=/(y),所以函数/(x)为偶函数，令y=l得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有f(x+2)+/(x)=f(x+1),从而可知/(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(-4)故/(x+2)=/(x_4),即/(x)=/(%+6),所以函数 的 一 个 周 期 为6.因为 J(2)=/(l)J(O)=l2=1,/(3)=/(2)/(1)=一1一1 =一2,f(4)=)(2)=/(2)=1,/(5)=/(-1)=/(1)=1./(6)=0)=2,所以一个周期内的/。)+/(2)+/(6)=0.由于22除以6余4,22所以 Z)=1)+/(2)+/(3)+/(4)=1 1 21 =3.=1故选：A.1f（x）=-8.（2022北京卷T4）己知函数 1 +2*,则对任意实数x,有（）A./(-x)+/(x)=0B./(-%)-/(%)=0c.f(-x)+f(x)=lD.f(-x)-f(x)=1【答案】c【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.1【详解】r/(-x)+/(x)=-1-=-1-1 +2-x 1 +2V 1 +2V 1 +2,1,故A错误，C正确;1?v-l 2 =一,不是常数，故BD错误:112、1 +2 1 +2 1 +2 1 +2*2+1 2*+1故选：C.9.（2022北京卷T7）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和Ig P的关系，其 中7表示卜列结论中正确的是（）A.当 7=220,尸=1026时，二氧化碳处于液态B.当 T=270,尸=128时，二氧化碳处于气态C.当 T=300,P=9987时、二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.【详解】当T =220,P =1026时，lgP 3,此时二氧化碳处于固态，故A错误.当T =27 0,P =128时，2lg P 3,此时二氧化碳处于液态，故B错误.当T =300,P =998 7时，1g尸与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，T =300时对应的是非超临界状态，故C错误.当T =36 0,P =7 29时，因2 IgP 0且的极小值点和极大值点.若将 七,则。的取值范围是.【答案】|-,1le)【解析】【分析】由为,超分别是函数/()=2优-e V的极小值点和极大值点，可得XG(Y O,XJD(X2，+8)时，r(x)l和Ocavl 两种情况讨论，方程21na.a*2ex=0的两 个 根 为.即函数y=Ina优与函数y=ex的图象有两个不同的交点，构造函数g(x)=In a d ,根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.【详解】解：r(x)=21na-a 2ex,因 为 占 分 别 是 函 数/(x)=2-ex2的极小值点和极大值点，所以函数/(X)在(F,王)和(W,+00)上递减，在(,X 2)上递增，所以当%-00,%)。(孙+00)时，/(x)0，若a l时，当力0,2ex(),与前面矛盾,故 不 符 合 题 意，若0。1时，则方程21na-2ex=0的两个根为内，6,即方程如a a=e j的两个根为,，工2 ,即函数y=n优与函数y=e x的图象有两个不同的交点，令 g(%)=In a a,则 gr(x)=In2 a a,0 a v 1,设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(无o，lna-a&),则切线的斜率为g(xo)=ln2a.a*,故切线方程为 了一Ina a*=ln2 a(x x。),则有一lna-a*=-x0In2 a-a,解得x0-,Ina则切线的斜率为In2a“*=e ln 2 a，因为函数y=lna-a*与函数y=ex的图象有两个不同的交点，所以eln2ae,解得一 a e,又0 a 0,解得。0和x 0时设切点为(xoJn%),求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出天,即可求出切线方程，当x 0时y=ln x,设切点为(,In%),由y=，所以丁1=，所以切线方程为x尤o-lnx0=(x-x0),尤0又切线过坐标原点，所以T n/=L(T o),解得x0=e，所以切线方程为y 1 =(x e),即 =工人x()e e当x 0八，解得X 4 1 且 X H 0,故函数的定义域为（T ,O）U（）,1;故答案为：（F,0）D（0,l x）=L-o_r+/1,2xa,6.（2 02 2 北京卷T 14）设函数 一若 幻存在最小值，则的一个取值为一；a的最大值为.【答案】0（答案不唯一）.1【解析】【分析】根据分段函数中的函数丫=-以+1的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，0不符合条件，。0 时函数丫=-以+1没有最小值，故 A x）的最小值只能取y =（x-2 尸的最小值，根据定义域讨论可【详解】解：因为/（X）=j +J=,所以，知 一。2+1 2 0 或一“2 +1 2（“一2 丫，解得 0 a W l.1 ,x 0【详解】解：若“。时，&)=-2)240,(垢0；若a 0时，当X T 时，/(x)-8,故/(x)没有最小值，不符合题目要求；若a 0时，当尤 /(a)=-t z2+1,0当时，小篇=%_2)2(0 6 T 2)一。2+1 2 0或 一/+12(。-2)2,解得0 a W l,综上可得O W a W l；故答案为：0(答案不唯一)，17.(2 02 2浙江卷 T 14)已知函数/(x)=1,X；若当无e a,加时,1 /U)3,则a的最大值是一【答案】.女 .3 +g#G+3【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出“的最小值力的最大值即可.【详解】由 己 知 错)=一 出+2 =(，/(9 =:+；-1=备所 以“外豢当x W l时，由14/(幻 3可得1 l时，由1W f(x)W 3可得l W x+2一 1 4 3,所以1%4 2+血，X1(/()(3等价于一14 4 2 +6,所以。,6 =-1,2 +石,所以力 一a的最大值为3+37故答案为：,3+-7 3 -三、解答题1.(2022全国 甲(文)T20)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=/(x)在点(占,/(再)处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若=1,求。；(2)求a的取值范围.【答案】3 (2)-l,4w)【解析】【分析】(1)先由Ax)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出。即可：(2)设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得。的取值范围.【小 问1详解】由题意知，/(T)=-l-(-l)=0,/(幻=3/1,/(-1)=3-1=2,则y=/(x)在点(一1,0)处的切线方程为 y=2(x+l),即y=2x+2,设该切线与g(x)切于点(%2送(工2)，g(x)=2x,则g(x2)=2X2=2,解得=1,则g(l)=l +a=2+2,解得 =3；【小问2详解】/,(X)=3X2-1,则y=f(x)在点&/a)处 的 切 线 方 程 为-玉)=(3X；1)(X M),整理得y=(3x；,设该切线与g(x)切于点(，g)，g(x)=2x,则g(%)=2&,则切线方程为y-(x；+a)=2(x-砌，整理得y=2-%；+7 ,3x：1 =2X2 2xj%2+a则 0,解得4 2 4 x1,3令力（x）0,解得x -g或0 X I,则X变化时，/2（x）,/（x）的变化情况如下表:X卜 哈 T 3(4-)0（。，1）1(1,同（九）0+00+力（X）527/_4-1/则 的 值 域 为-1,”），故”的取值范围为-1,+8）.2.(2022全国甲(理)T 2 1)已知函数/(x)=-nx+x-a.（1）若求。的取值范围;证 明：若/（X）有两个零点片,9，则 环 玉/0,再利用导数即可得证.x _ 2 xj_【小 问1详解】/“）的定义域为（。,+8），1x x2 y1 1 (ex-+l=-1-1XXe+卜、I x jX 1 c 1-+1X令/。)=0,得 x =l当 x e (0,1),_ f(x)0,/(x)单调递增 f(x)/(I)=e +1 -a ,若/(x)2(),则 e +l a N O,即 ae +l所以a的取值范围为（T,e +1【小问2详解】由题知,/（x）一个零点小于1,一个零点大于1不妨设玉1 工 21要证内1,即证王一X21（1 A因为 与 一 （0,1）,即证X2 X2 7/因 为/（百）=/（），即 证/（%2）/即证-ln x +x-x ev-I n x 0,XG(l,+oo)x x即证-e-”-xev1 -2n I,nx-1 I (x11I 0n下面证明xl 时，xex 0,ln x-x-|1,x设夕(x)=j(x),9 (x)=二-r ev=-ex 0所以e(x)e(l)=e,而e 0,所以g(x)0 x所以g(x)在(1,物)单调递增即 g(x)g(D=0,所以 Je xe-、0 x令(x)=lnxx,x 12(x)/、1 i A 1 1h(x)=-1 +x 2 1 x2 J2 x 4 二 1 二 (x 二 IK2x2 2x2所以(*)在a+。)单调递减1 (1 A即/1(%)(1)=0,所以1111x 0,则/(%)=二 _，=,x XXX当x e(O,l)时，/x)0,/(x)单调递增；当x L”)时,fx)0 ,则+=斗工。,当时，a x-l 0,/(x)单调递增；当 x e(l,”)时，/x)0,/(x)单调递减；所以/(力,山=/(1)=。-1 0,此时函数无零点，不合题意；当0“1,在上，fx)0,x)单调递增；在上/x)0,/(x)单调递减；又/=。-1 l时，g e l,在(0,：),(1,物)上，*(x)0,“X)单调递增；在(：1)上，/x)(),又 八 三 二二丁一优+(a +l)ln“，当趋近正无穷大时，/趋近负无穷,d J C l C l yl所以/（x）在（0,（）有一个零点，在无零点，所以/（X）有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为（0,+8）.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.4.（20 22全国乙（理）T 21）已知函数f（x）=l n（l +x）+a x e r（1）当。=1时，求曲线=/（力 在点（0（0）处的切线方程；（2）若“X）在区间（-1,（）,（）,小）各恰有一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）y=2x(2)(T O,1)【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导，对。分类讨论，对x分（-1,0）,（0,收）两部分研究【小 问1详解】/“）的定义域为（-1,中刈当a =1时,/（x）=l n（l +x）+义（0）=0,所以切点为（0,0）/（幻=一 +彳 J （0）=2，所以切线斜e 1 +x e率为2所以曲线y=/（x）在点（0,/（0）处的切线方程为y=2x【小问2详解】H Y/(x)l n(l +x)+-1-十1 +xa(l%)ex+a(-x2(l +x)e*设 g(x)=e*+a(l-x 2)1 若a0,当(-l,O),g(x)=e+a(l-x 2)o w/(x)0所以f w在(-1,0)上单调递增,/(x)0所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)g(0)=1+a.0,即(x)0所以f W在(0,+8)上单调递增,/(x)/(0)=0故/(x)在(0,+8)上没有零点，不合题意3 若当 X (0,+0 0)，则 g(X)=e*-2 ax 0,所以 g(x)在(0,+o o)上单调递增g(0)=1+a 0所以存在m e (0,1)，使得g(加)=0,即f(m)=0当x e(0,m),/(x)0,/(x)单调递增所以当 x e(0,m),/(x)4-0 0,f(x)+0 0所以/(X)在(，”,+)上有唯一零点又(0,m)没有零点，即X)在(0,+8)上有唯一零点当 x e (-1,0),g (x)=e +a (1 -)设 hx)-g(x)=ev-2a xh(x)=e*-2a 0所以g(x)在(一 1,0)单调递增g(-l)+2a 0e所以存在“(-1,0)，使得g()=0当 x e (-1,n),g (x)0,g(x)单调递增 g(x)g(0)=1 +a 0e所以存在t e (-1,ri)，使得g(r)=0,即于()=0当x G(1/),f(x)单调递增，当x G(f,0),/(x)单调递减有 x 1,f(x)-OO而/(0)=0,所以当 X e (f,0),/(x)0所以f M在(-l,r)上有唯一零点,Q,0)上无零点即/*)在(1,0)上有唯一零点所以a =，其与两条曲线y=/a)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【答案】(1)=1(2)见解析【解析】【分析】G)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a注意分类讨论.(2)根 据(1)可得当人 1时，e x =6的解的个数、x-l n x =8的解的个数均为2,构建新函数/?(x)=e+l n x 2 x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的大小关系，根据存在直线 =匕与曲线 =/)、y=g(x)有三个不同的交点可得。的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小 问1详解】/(x)=e*-亦的定义域为R,而f(x)=ex-a,若a 40,则/(x)0,此时/(x)无最小值，故a 0.8。)=狈 _1 1 1%的定义域为(0,+8),而g(x)=。_L=竺 .当x c l n a时，f(x)l n a时，f(x)0,故.*)在(l n a,+o o)上为增函数，故/(x)m i n =/0 n a)=a-a l n a.当0 x，时，g(x)0,故g(x)在(L+8上为增函数，a)(1故 g(X)m i n=g -=l-l n-.a)a因为f(x)=e -a r和g(x)=a r T n x有相同的最小值，1a-故l l n =a-Q l n a,整理得到-=na f 其中a 0,a 1 +a,x n 1 t /2 1 Cl-1设g(a)=；-l n a,a 0,则g ()=-3-=.+a(1 +a)a a l +a)故g(a)为(0,+8)上的减函数，而g(l)=0,故g()=。的唯一解为。=1,故 匕 =l n a的解为a =I.1 +a综上，a =1.【小问2详解】由(1)可得/(x)=e*-x和g(x)=x-l n x的 最 小 值 为=当人1时，考虑e x=8的解的个数、x l nx=/?的解的个数.设 S(x)=e*-S/(x)=e -1,当0时，S (x)0时，S (x)0,故S(x)在(-8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以 s(x L=s(o)=0,s(b)=eb-2 b,设 b)=e -2Z?,其中。1,则/=e -2 0,故 在(1,+o o)上为增函数，故“(l)=e-2 0,故5伍)0,故S(x)=e -x-b有两个不同的零点，即e x=b的解的个数为2.设T(x)=x-l nx-b,F(x)=-,当0 x l时，T x)0,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+a)上为增函数，所以 丁(需=7(1)=1一 0，而T(e-)=e()，T(e )=e 2 0,T(x)=x-l nx-匕有两个不同的零点即x-l nx=。的解的个数为2.当6 =1,由(1)讨论可得x-l nx=b、e，x=人仅有一个零点，当 1.设 (x)=e*+l nx-2x,其中 x 0,故/(x)=e*一 2,x设 s(x)=e，-x l,x 0,则*x)=e*-l (),故s(x)在(O,+8)上为增函数，故s(x)s(O)=。即e*x+l,所以“(x)x+!l N2 1 0,所以(x)在(0,+8)上为增函数，1 7?而=e 2 0,/()=e，-3 -e 3 -0，e e e故(x)在(O,+)上有且只有一个零点%,4/1且：c当0 c x e不)时,力(力0即 一%-111%即7(%)X o时，/?(X)0即 一%1111即/(%)8()，因此若存在直线丁=与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同 交点，故人=X o)=g(%)l，此时e -x=匕有两个不同的零点不，入0(玉0%)，此时x l nx=b有两个不同的零点七,/(/1 1,x0=x4-b c故 ，即玉+七=2 5.%=玉)一8【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论,而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.6.(2022 新高考H卷 T 2 2)已知函数/(x)=xe“e .(1)当。=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x 0时，求。的取值范围；1 1 1 ,八(3)设e N*，证明：/,+/,+,+/,I n(+1).V l2+1 V 22+2 y/n2+n【答案】/(x)的减区间为(8,0)，增区间为(0,”(2)a,时题设中的不等式不成立，再就结合放22缩法讨论(X)符号，最后就“4 0结合放缩法讨论(力的范围后可得参数的取值范围.(3)由(2)可得21nf l恒成立，从而可得l n(+l)l n”/对任意的“w N*恒t yln+n成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小 问1详解】当a =l 时，/(x)=(xl)e、，则/(x)=xe ,当尤()时，fx)0时，故/(%)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+8).【小问2详解】设/(x)=xeM e1+1,则 ()=0,又=+公)泮 一y,设g(x)=(l +a x)e _e”,则 g(x)=(2a +/x)e -e”,若ag,则g(0)=2a -l 0,因为g(x)为连续不间断函数，故 存 在/G(0,+8),使得V xw(O,X o),总有g 0,故 g(x)在(0,%)为增函数，故 g(x)g(o)=o，故(x)在(0,不)为增函数，故()()=-1,与题设矛盾.若 0 0,总有l n(l +x)x成立，证明：设S(x)=l n(l+x)-x,故S x)=1一 一1 =土 0,故S(x)在(0,+8)上为减函数，故S(x)S(0)=0即l n(l +x)x成立.由上述不等式有 ea v+l n(1+a v)-ev -e*=e2a t-e 0，故(x)W O总成立，即/?(x)在(0,不)上为减函数，所以当a 4 0时，有 (%)=*-6、+0泮 1一1 +0=0,所以(x)在(0,+o o)上为减函数，所以(x)1,=e ,x=21nf,故24 n r 产_ 1即2 I n r 1恒成立.t所以对任意的e N*，有21 n整理得到：l n(+l)-l n/yjn+故一/+-)/I n 2 I n 1 +I n 3-I n 2+肝口 V?豆 7工 l-l n(n+l)I nn=l n(+l),故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.7.(2022北京卷 T2 0)已知函数/()=?l n(l+x).(1)求曲线y =f(x)在点(0,/(。)处 切线方程；(2)设g(x)=/(x),讨论函数g(x)在 0,+/(s)+/(f).【答案】(1)y=x(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；(3)令砥%)=/(1+。一/0),(x,r 0),即证加(x)加(0),由第二问结论可知，“(X)在 o,+8)上单调递增，即得证.【小 问 1 详解】解:因 为/(x)=e 1 n(l +x),所以 0)=0,即切点坐标为(0,0),又/(x)=e X(l n(l +x)+J-)，l+x切线斜率攵=r(o)=i二切线方程为：y=x【小问2 详解】解：因为 g(x)=/(x)=e*(l n(l+%)+/一),l +x2 1所以 g(x)=e*(l n(l +x)+-,l +x (1 +x)令 h(x)=l n(l +x)+-,1 +X (1 +X).,1 2 2+1 则 h(x)=-7+-=-7-0,1 +x (1 +x)2(1 +x)3(1 +X)3.(x)在 0,+8)上单调递增，/.h(x)7?(0)=1 0g(x)0在 0,+/)/(0),令 m(x)=f(x+t)-f(x),(x,t0),即证2(X)2(0),m(x)=f(x+t)-f(x)=eA+/l n(l +x +r)-ev l n(1 +x),e*+QXm(x)=er+,l n(l +x+r)+-ex l n(l +x)-=g(x+f)_ g(x),1+x+Z 1+x由(2)知8(%)=/(幻=6(1 11(1 +*)+占)在 0,+00)上单调递增，g(x+f)g(x),m(x)0.(x)在(0,-K o)上单调递增，又因为X J 0,m(x)m(0),所以命题得证.e8.(2022浙江卷 T 2 2)设函数f(x)=+l nx(x 0).2 x(1)求/(X)的单调区间;(2)已知a,6 e R,曲线y =/(x)上不同的三点(%”/(*),(马，/()，(七，/(当)处的切线都经过点(4加.证明：(i)若ae,则0/?_/(a)；八2 e-a 1 1 2 e-a(i i)若 0。v e,玉 v 工2 ，则一 1 /o 1 -.e 6e-x3 a 6e-(注：e =2.7 1 8 28是自然对数底数)【答案】(1)/(x)的减区间为 o,),增 区 间 为+8 ,(2)(i )见解析；(ii)见解析.【解析】【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.(2)(i )由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，(ii)k=A,玉a?(m-1 3)(川一根+1 2)m =则题设不等式可转化为tt+t3-2-一L,结合零点满足的方程进一步em 36/U i+f 3)转化为I n m +八一尸-L 0,利用导数可证该不等式成立.7 2(/”+1)【小 问1详解】，3=一 苏 +9 第，当0 x ,/x),/x)0,故/(X)的减区间为(o,5，4X)的增区间为|,+8).【小问2详解】(i)因为过(。力)有三条不同的切线，设切点为(七,/(%)=1,2,3,故 )-b =ra)(%a),故方程-匕=r(x)(x-a)有3个不同的根，设 g(x)=该方程可整理为e、x-a)-lnx+b)2x则e g(x、)=1;_彳e+(1 e Y(i)x 1 eA 4人 y A Ay A 4人=-e)(x-a),当0 cx a时，gx)0；当e x 0,故g(x)在(0,e),(a,+8)上为减函数，在(e,a)上为增函数，因为g(x)有3个不同的零点,故g(e)0,(l e、e l e e故-(e-tz)-Ine+bvO且-y(a-a-lna+b0,1e 2e)2e a 2a y 2a/7巳整理得到：一+1 且 +lna=/(a),2e 2a-此时 bf (a 1 +1 -|+In +=-In a,，2(e)2e(2a J 2e 2 2 2a3 e 巳-2设(a)=-I n a,贝=-0,、)2 2a v 7 2a23 e故(。)为(e,+8)上的减函数，故”(a)5-甚 一lne=O,故0/?/()f 121e/(ii)当()a e时，同(i)中讨论可得：故g(x)在(0,a),(e,+o。)上为减函数，在(a,e)上为增函数，不妨设X 1 马 /，则0%a /e 七，因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)0,故(-c-(eA-/a)-、-e-lne+/?0且-r(。一。x)-e-lna+Z?0,(e 2e 7 2e a 2a2 P 7 2a整理得到：+l/?1,m =,t3x a e2e 。1 1 2e a e t z 2e e 1要证：一 +一+一 即证2 +4+八 -e 6 e-Xj x2 a 6 e 6 e a 6 e即证:1 3-m62 1+3 V-m 1 T即证:一1 3丁-z n2+人1-m-1-m 6 0,2 (Z T7-1 3)(/712-m +1 2)即证：2获 1,则“仅一2 1 n 0,1 2 2 2设(%)=%-21nA,则/(A)=1H2-=0 即夕(女)0,kk k k k故9 在(1,+00)上为增函数,故0优)夕(加)，所以0 +1)如 R(m-13)(/M2-W +12)(m+l)ln/n(/n-13)(m2-w +12)-72-m-T2-/n+12)iy(m)=ln/?zH-,0 m -0,72m(m+l)72m(/n+l)所以(加)在(0,1)为增函数，故o(7)y(l)=(),-?+12)(m+l)lnm(m-l3(m2-nz+12)故 In 机+-0，72(?+1)m-72故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.