数学高考真题卷--天津文数（含答案解析）.pdf

20 1 8 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷(文史类)本试卷分为第I 卷(选择题)和第I I 卷(非选择题)两部分,共1 5 0 分,考试用时1 20 分钟.第 I 卷参考公式：如果事件A,8互斥，那 么?C 4 U B)=P(A)+P(B).棱柱的体积公式V=S h,其中S 表示棱柱的底面面积，力表示棱柱的高.棱锥的体积公式V S h,其中S 表示棱锥的底面面积，力表示棱锥的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(D 设集合 4=1,2,3,4 ,8=-1,0,2,3,C=x C R/-lW x 2,则(4 U 卤 A C=(A)-1,1 (B)0 1 1(0 -1,0,1 (D)2,3,4)p+y o,(A)6 (B)1 9 (C)21 (D)4 5 设 x G R,则“f8”是“|x|2 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出7 的值为(A)l(B)2(C)3(D)4(5)已知a=log：g 6=(汐,c=log4 则a,b,c的大小关系为(A)a bc(B)b a c0 3/输入N/(C)c b a(D)c a b(6)将函数y=sin(2x q)的图象向右平移指个单位长度,所得图象对应的函数(A)在区间-一,曰上单调递增(B)在区间-?0 上单调递减(C)在 区 间 上 单 调 递 增4 2(D)在区间/，页 上单调递减(7)已知双曲线马4 口(a ,0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,6两点.设a2 b2A,8到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d和必且d、+c k=0则双曲线的方程为a i=l,b i=b i+2,A i=a s+a5,及=&+2 a.(I)求 和 T;(II)若 S,+(方+A+北)=a+Ab,求正整数n的值.(1 9)(本小题满分1 4 分)设椭圆(a)6 X)的右顶点为4,上顶点为已知椭圆的离心率为手，|/冽=近4a2 bz3(I)求椭圆的方程;(H)设直线l:y=k x(k e)与椭圆交于P,0 两点，1与直线4?交于点瓶且点P,必均在第四象限.若欧V 的面积是加0 面积的2 倍，求衣的值.(2 0)(本小题满分1 4 分)设函数f(x)(x F)(x F),其 中 t i,t2,f i j G R,且力，协友是公差为d 的等差数列.(I )若 用 0,d=l,求曲线片/(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(1 1)若 虑,求 其 0的极值;(III)若曲线尸/Q)与直线片-(*-切与国有三个互异的公共点,求d的取值范围.1234567891 01 11 21 31 4CCABDAAC4-ie13x+y 2x=O14舄 2 1(DC【考查目标】本题主要考查集合的交、并运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由题意得4 1)庐-1,0,1,2,3,4 ,又 0 了 口/-1 在旌2 ,.：(4 1)4 0。=-1,0,1 .故选(：.(2)C【考查目标】本题主要考查运用线性规划知识求最值，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线3 x 与y R,平移该直线,可知当平移后的直线过点4(2,3)时,z 取得最大值,此时z 皿之1.故选C.(3)A【考查目标】本题主要考查不等式的解法、充分必要条件的判断，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由六)8 可得x 2,由|3 2 可得/2 或/2”的充分而不必要条件.故选(4)B【考查目标】本题主要考查循环结构的程序框图，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的数学核心素养是逻辑推理.【解题思路】运行程序,逐一写出循环结果,即得答案.【解析】运行程序，4=1 0 是整数，7=1,母不是整数，2 9;“巧是整数，石，退出循环.输出7 的I I 3 1值为2.故选B.(5)0【考查目标】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性与对数的运算，考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性,并将1 作为中间值比较大小.【解析】l o g i|o g3.i 5 =l o g 3 5,因为函数y=l o g 3 X 为增函数,所以l o g35 l o g l o g 3 3 ,因为函数y=(为3 524减函数,所以(；b.故选D.(6)A【考查目标】本题主要考查三角函数的图象变换、三角函数的图象与性质,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解析】尸s i n(2 x f r i n 2(x*),将其图象向右平移热个单位长度，得到函数尸s i n 2 x 的图象.由2 AJt在 灭 jkQ Z,得 kwJ,令公0,可知函数片s i n 2 x 在区间 一 上单调递2 2 4 4 4 4增.故选A.(7)A【考查目标】本题主要考查双曲线的方程、几何性质，考查运算求解能力，分析问题、解决问题的能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】先根据题意设出A,5点的坐标,然后利用点到直线的距离公式求得儿丸由d +d 由得。的值，进而得才的值,即可得结果.【解析】由题意不妨设AG,B(c,q)，双曲线的一条渐近线方程为y 弓x,即b x-a y=Q,则Jbc-b2 _bc+b2故 d 乜 芈 舞 片 代 欠 M+bc+b4。故 4 3.V a2+b2 V a2+b2 c又=户 乎=h+号 2,所 以 6 23 a 2，得 a?=3.所以双曲线的方程为14=L(8)C【考查目标】本题主要考查向量的线性运算及向量的数量积,考查考生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】连接M N,由平行线分线段成比例定理推得BC/M N,取 丽,而 为一组基底,表示出方,结合已知即可求解.【解析】由 丽 切 丽 可 知 鹦 2 .:晶 3 由 丽 切 谩,可 知 黑 幺.：察 丑 故 繇 黑 玛 连 接M N,则BCMA MA|N 川 NA MA NA助V 且|正|=3 而配=3 而-3(而 砺)，.：近 O M=3(O A?-O M)-O M 3(O N O M-OM2)(O N 两c os 1 20。丽 =6 故选 C.(9)4-i【考查目标】本题主要考查复数的运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】利用复数的四则运算求出结果即可.匐2 布】6+7i _(64-7i)(l-2i)_6+14+7i-12i.解析,-(l+2 i)(L 2 i)-5-4r.(1 0)e【考查目标】本题主要考查导数的运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】先求出导函数f (X),再将x=l 代入导函数求出结果.【解析】由题意得f (x)气 I n 则 f 毛X(l l)i【考查目标】本题主要考查空间几何体的体积,考查考生的空间想象能力、化归与转化能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】先求出四棱锥的高,再利用四棱锥的体积公式直接求出结果.【解析】解法一 连接4G交 8 心于点后则4 Z L L 8 M 4 A L 圈，则 4心 平 面 隔 4所 以 为 四 棱 锥4-跖的高,且4端,矩形微的长和宽分别为应,1,故匕 小。送 胃 刈乂玲解法二 连 接 物，则四棱锥4-仍由分成两个三棱锥B-A M与VA1.B B 1 D 1 DB.A1DD1+VB.A1B1D1 X1 1 1 1-XI XI Xl-X-Xl XI X I.2 3 2 3(1 2)x22-2=0【考查目标】本题主要考查圆的方程，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】设圆的一般方程为f+/+丹岭+/闪(。必辿 0),分别将三点的坐标代入圆的方程,求出D,尸即可;或者设圆的标准方程为(x-a)H y M)2 4,分别将三点的坐标代入圆的方程,求出a,6,r即可.F=0,【解析】解法一 设 圆 的 方 程 为 加 烟+-0(4+与 e 0),则I+I+D+E+F=0,解得。=-4+2 D +F=0,2,炉0,4 0,即圆的方程为x+y-2x-O.p2+b2=r2,解法二 设圆的方程为(x-a)2+(广。)2=式 则 11_。)2 +(1-与2=,由-，得 a=l,代入，得(1-(2-a)2+b2=r2,b)2=r,结 合 ,得 所 以r=l,故圆的方程为即/+/-2 万 4.解法三 记A(0,0),8(2,0),C(l,1),连接AB,由圆过点加0,0),6(2,0),知 46的垂直平分线x=l必过圆心.连接BC,又圆过点7(1,1),%的中点为(|,I),回所在直线的斜率以=-1,所以回的垂直平分线为直线y=x-l,联立,得?=得圆心的坐标为(1,0),半径为1,故圆的方程为(X T)，y=1,即 1+7-2 X 4).【方法总结】一般来说,求圆的方程有两种方法：(D 几何法,通过已知条件及圆的性质求出圆的基本量；(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.应用待定系数法求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标和半径,常设为圆的标准方程求解;如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系,常设为圆的一般方程进行求解.(1 3)：【考查目标】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查考生的推理论证能力及运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】利用基本不等式直接得出最小值，但要注意取得最小值时的条件.【解析】由题知a-3 6=因为2 9,8 5),所以12a x%力.X后 怎 壬当且仅当24即a=-8 0 8 0 4 8D3b,a=-3,8=1 时取等号.【解后反思】利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式：(D a,bGR,/为 当 且 仅 当 a%时取等号；(2)aC R；a+b 2庙当且仅当a功时取等号.利用基本不等式求解时，首先要注意公式的使用范围,其次要注意等号成立的条件.(1 4)2【考查目标】本题主要考查分段函数、函数的最值及不等式恒成立，考查考生的推理论证能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】结合分段函数,将对任意的x e -3,+吟，fB W|x|恒成立,转化为当-3 W 启 0时,丁+2 户a-2 W-x 恒成立；当 0时，-x 2,2*-2 aW x 恒成立,再通过分离参数分别解出a 的取值范围，得出结果.【解析】当-3 W 尽 0时,f(x)W/x/恒成立等价转化为x+2 x+a-2 W-x 恒成立，即 a W-/与万也恒成立,所以 a W (-。-3 户2 濡 之;当 时，f(x)W/恒成立等价转化为-V+2 x-2 aW x 恒成立，即 a 23f恒 成立,所以a2(卓)皿 卷 综 上,a的 取 值 范 围 是 2 .2 8 8(1 5)【考查目标】本题主要考查分层抽样、古典概型，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，考查的数学核心素养是数学运算、数据分析.解题思路(I )由已知得抽样比，即可得结果；(I D (i)试验中抽取的2名同学无先后顺序,列举时不能重复或遗漏，(i i)事件材涉及年级,因此,先将7名同学分出三个年级,然后确定 中的基本事件.【解析】(I)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3 ；2 ；2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2 人,2 人.(H)(i)从抽出的7 名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为仇 呢 4,a,41,仇 野，仇 月，/,G,出 a,瓦加，身，丹，山 以，匕 为，匕)，匕 索 ，瓦，凡 仍。，出 身，笈a,但。，共 2 1种.(i i)由(I )，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,七来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2 名同学来自同一年级的所有可能结果为A,8 ,仇 a,仍 a,仍 因，M a,共 5种.所以,事件 发生的概率p(删卷【易错警示】本题在用列举法列出随机抽取2名同学的所有可能结果时，需注意两名同学之间无先后顺序，做到不重不漏.（16）【考查目标】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角公式以及正弦定理、余弦定理,考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】（I ）由已知条件结合正弦定理,得到关于6 的正切值,即可求得角3的大小；（）结合已知条件，利用余弦定理便可求得6,再由二倍角公式求得s i n 2A,c o s 2 4最后利用两角差的正弦公式求解即可【解析】（I ）在4 7 C 中，由正弦定理、-可 得 6s i n 4=as i n B,又由6s i n /=ac o s（8 二），得 as i ns i n 力 s inB 68=ac o s （5），即 s i n c o s（8 看），可得 t an B-y/3.又因为 8 c （0,无），可得 6g.A-.因为a ,8 苦,有 b 2=a -2 ac c o s 8=7,故 b-y H.由 6s i n 4=ac o s（85），可得 s i n因此 s i n 2 J=2 s i n /f c o s 力 32 c o s 2 J=2C O SJJ-17 7所以，s i n（2/=s i n 2 4 c o s B-c os 2/I s i n X-i X 7 2 7 2 14（17）【考查目标】本题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直，考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（I ）要证明ADLBC,只需证明4 勿 _平 面/%;（I I）也为棱四的中点,可取然的中点人得/8 C 中边欧的中位线M N,则觇8C所以也V 与必所成的角即BC与场所成的角，然后借助脚的边角关系求异面直线所成角的余弦值；（I I D 要求缪与平面/被所成的角，需构造过点C 且与平面/劭垂直的直线,再通过解三角形求解.解析】（I ）由 平 面/比 工 平 面 平 面ABCQ平面4应58,ADLAB,可 得 平 面ABC,故ADLBC.（I I）如图,取棱 1 的中点N,连接M N,也又因为材为棱加?的中点,故M N/BC.所以N 如（或其补角）为异面直线BC与，跖所成的角.在 双!中，4竹1,故 DM J AD2+A M2-V 1 3.因为 4Z L 平面 ABC,故 ADV AC.在 Rt卤W 嵯b.中，4川=1,故 D N A D2+A N2-7 1 3.1MN 方c在等腰三角形DM N 中，M N A,可得co s ZW 3DM 2 6所以,异面直线BC与,切所成角的余弦值为孚.2 6（I H）连 接CM.因为4?。为等边三角形，为边四的中点，故CM LAB,CM 3.又因为平面 WL 平面4能 而G f c 平面ABC,故 C 以 平 面ABD.所以，/CW 为直线切与平面/切所成的角.在 RtZ C 4 中，CD/AC2+A D2=4.在 RtZ XC 初中，si n/。?嗒 唱.所以,直线与平面力物所成角的正弦值为【解题关键】求异面直线所成的角的关键在于通过平移使得两直线相交,可通过构造中位线或平行四边形实现.求线面角的关键是构造过直线上一点且与平面垂直的直线,可以直接根据题中的垂直关系作出，也可以构造此垂线后证明.（1 8）【考查目标】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式，考查数列求和的基本方法,函数与方程思想,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】（I ）设出公比q,结合题设条件求得q,及b,%再设出公差d,结合已知条件求得d,及（I I）由（I）求 得7 +H 然后通过S n+（T +i+T）=a“S 4 得出关于的方程,求解即可.【解析】（I ）设等比数列 切的公比为 7.由 4=1,左+2,可 得d-q气小.因 为 可 得 g,故bH：所以，北 若 0 T.设等差数列 4 的公差为d.由 6 尸金出5,可得4+3/4.由 公=8+2%,可得 3 a+1 3 d=1 6,从而 a=l,d=l,故 an=n.所以,5,誓2.（I I）由（I ）,有T +Ri +T通Q+2 2-2 ）-产（D-之、-2.12由 SH+（T+T2为“+T=&崔b“可得迎 出+2 -2=+2 ,2整理得解得n=-l（舍），或n=4.所以，的值为4.【解后反思】利用等差（比）数列的通项公式及前项和公式列方程（组）求出等差（比）数列的首项和公差（比），进而写出所求数列的通项公式及前项和公式,这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法,计算时需保证结果的准确性.（1 9）【考查目标】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程等，考查用代数方法研究曲线的性质，考查分析问题和解决问题的能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解析】(I)设椭圆的焦距为2 c,由已知有a2 9又由+c,可得2 a=3 6.由 /AB/=l a2+b2 V 1 3,从而 a%,加 2所以,椭圆的方程为1 4=1.9 4(I I)设点户的坐标为(汨,巾)，点的坐标为(弘，由题意,a为 X,点 0的坐标为(-和.).由 第 V 的面积是加0 面积的2 倍，可得 掰=2 1 P Q,从而才2-矛曰 汨-(-小),即矛2 巧 矛】.易 知 直 线 的方程为2*+3 片6,由方程组产 J =6,消去%可 得 用*由方程组存+?=1，消去可U=I 3k+2(y =k x,得 为 登=.由范巧川,可得，9k2+4 巧(3 A+2),两边平方,整理得1 8左+2 5A+8R,解得k 话,或k=9.当k=V9k+49 2 时，%=-9e,不合题意，舍去；当代一时，用=1 2,小专,符合题意.所以，衣的值为三【题型风向】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及轨迹方程问题、定值问题、最值问题、参数的取值或取值范围问题等,其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决此类问题要重视化归与转化思想及设而不求法的应用.(2 0)【考查目标】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等，考查函数与方程思想和分类讨论思想,考查分析问题和解决问题的能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.【解析】(1)由已知,可得(才)=矛(*-1)(户1)=?-%故/(*)=3/-1.因此/(0)=0,/(0)=T,又因为曲线 片 f(x)在点(0,A 0)处的切线方程为y-A O)=f (0)(x-o),故所求切线方程为x+y.(H)由已知可得 f(x)=(了-勿+3)(x-友)(x F-3)=(x-t2)-9 x-tz)=x-3 tz x+(3 抬-9)x-t1 埒 3故 F (x)=)x-6 友 x+3 抬 9.令 f (x)=0,解得 x=tz-6,或 x=t，i.当“变化H寸，F (x),f(x)的变化情况如下表：X(-8,灰 75)t 2 V 3七人”)f e A/3(A/3,+8)f (x)+0-0+f(x)/极大值极小值/所以函数f(x)的极大值为F Q 7 5)=(7 5)2 X(7 5)呻后;函数/U)的极小值为f(&S)=(百尸f xV 3-6 V 3.(Il l)曲线片/U)与直线片-(x-友)后有三个互异的公共点等价于关于X的方程(X 愁 城(x-tM x-td)+(x-tj V 3 O 有三个互异的实数解.令 u=x-ti,可得 4+(1 -/)u-)y/3=0.设函数屋x)=7+(1-x +-d.当dwi时,g(x)0,这时g(x)在 R上单调递增,不合题意.当 1 时，令 g(x)=0,解得为7,x z更等.V3 V3易得,g(x)在(-8,刘)上单调递增,在 小,及 上单调递减,在(&+8)上单调递增.g(x)的极大值 M 语(-等)史 萼 里 治百见爪入)的极小值(毛)=g(y等)=一巡(；1)2/0.若 M 2,由g(x)的单调性可知函数y科(x)至多有两个零点,不合题意.若 g(*z)莅,g(/d/)=/阳百刀,且-2/X g(-2/d/)=弋 小2/d/6/5-6 2 VTU 6&0,从而由g(x)的单调性，可知函数y/(x)在区间(-2/,为)，(xi,%),(检/)内各有一个零点,符合题意.所以，d 的取值范围是(-8,-V1 0)U (U,+8).