专题12 三角形-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（解析版）.pdf

专题12三角形一、单选题1.（2022湖南永州）下 列 多 边 形 具 有 稳 定 性 的 是（A.)D.【答 案】D【解 析】【分 析】利用三角形具有稳定性直接得出答案.【详 解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性,故 选D.【点 睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键.2.（2022广西玉林）请 你 量一量如图AABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是（）A.0.5cmB.0.7cmC.1.5cmD.2cm【答 案】D【解 析】【分 析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可.【详 解】解：如图所示，过 点A作A用刻度尺直接量得A O更接近2 cm,故选：D.【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键.3.(2 0 2 2江苏宿迁)若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm,则这个等腰三角形的周长是()A.8 cm B.13 cm C.8 cm 或 13 cm D.11cm 或 13 cm【答案】D【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【详解】解：当3是腰时，；3+3 5,A 3,3,5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3+3+5 =11(cm),当5是腰时，V 3+5 5,5,5,3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5 +5+3=13 (cm),则三角形的周长为11cm或13 cm.故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.4.（2022 湖南邵阳）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（)A.1cm,2cm,3cm B.女m,4cm,5cmC.4cm,5cm,10cm D.6cm,9cm,2cm【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边“，进行分析.【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2=3,不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B、3+4 5,能够组成三角形，故选项正确，符合题意；C、5+4 1 0,不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D、2+6 9,不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B.【点睛】此题考查了三角形的三边关系.解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数.5.（2022四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.3,4,8 B.5,6,11 C.5,6,10 D.5,5,10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得.【详解】解：A、3+4=7 1 0,能组成三角形，此项符合题意；D、5+5=1 0,不能组成三角形，此项不符题意；故选：C.【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键.6.（2022广西贺州）如图，在中，ZC=90,Z B=56,则乙4 的度数为（）A.34 B.44 C.124 D.134【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出N A 的度数.【详解】解：.心ZkABC 中，ZC=90,ZB=56,二 /A=90-/B=90-56=34；故选：A.【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.7.（2021四川宜宾）若长度分别是服 3、5 的三条线段能组成一个三角形，则。的值可以是（）A.I B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出。的取值范围即可得解.【详解】根据三角形的三边关系得5-3 。5+3,即2 a=（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据尺规作图的方法步骤判断即可.【详解】由作图痕迹可知A D为/B A C的角平分线，而 AB=AC,由等腰三角形的三线合一知D为 8c重点，BD=3,故选8【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质，关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.1 1.（2 0 2 0 福建）如图，面积为1 的等边三角形A 8 C 中，。瓦厂分别是A B,B C,C 4 的中点，则A D E F 的面 积 是（）A.1 B.；C.D.一234【答案】D【解析】【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形，即可判断一个的面积是【详解】.。，旦尸分别是4 氏BC,C 4 的中点，且 A B C 是等边三角形，,A A D F 沼 A D B E 安 A F E C d D F E,/DEF的面积是:.故选D.【点睛】本题考查等功三角形的性质及全等，关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质.12.（2020四川巴中）如图，在AABC中，NBAC=120。，A。平分NBAC,DEI I AB,AD=3,CE=5,则AC的 长 为（）【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的性质可得到NBAZ）=N CW =gzBAC=60。，然后由DEAB可知ZADE=60。，从而得到/AZ?E=NE4r=60。，所以AADE是等边三角形，由AC=A E+C ,即可得出答案.【详解】解：V ZBAC=120,A。平分NBAC,NBAD=ACAD=-ABAC=60,2DE I!AB,：.NBAD=ZADE=0,：.ZADE=ZEAD=6O,是等边三角形，/.AE=AD=3,：CE=5,：.AC=AE+CE=3+5=8故选：B.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相应的判定定理和性质是解题的关键，属于基础综合题.13.（2020广西贺州）如图，将两个完全相同的放AC8和拼在一起，其中点4与点8重合，点C在边A 8上，连接夕C,若N A 8 C=/4 B C=3 0。，A C=A C=2,则夕C的 长 为（）cA.2/B.477 C.2 6D.4 6【答案】A【解析】【分析】先根据直角三角形的性质可得AB=4,AB=4,ZBAC=60,再根据勾股定理和角的和差可得BC=2底NB，BC=90。,最后在R f/B C 中，利用勾股定理即可得.【详解】解：V ZACB-ZACH1=90,/ABC=ZABC=30,AC=AC=2,AB=4,AB=4,ZBAC=60,BC=4 AB1-A C =273，BBC=ZABC+ZfiWC=90,则在R tH B C 中，BC=-JBC2+BB2=依 后+甲=2币,故选：A.【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键.14.（2020四川广安）如图，在五边形ABCQE中，若去掉一个30。的角后得到一个六边形BCDEMN,则N1+N2的度数为（）A.2100B.110C.150D.100【答案】A【解析】【分析】根据三角形的内角和定理可得N A M N+4 A N M=150,根据平角的定义可得Z 1 +/A M N=180,Z 2+NAMW=180。，从而求出结论.【详解】解:V ZA=30,二 Z A M N+N A N M=180-ZA=150,./l+N4MN=180,N2+NANA/=180.*.Z1+Z2=I8O0+18O0-（N A M N+N A N M）=210故选A.【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键.15.（2020.山东济南）如图，在AAfiC中，A B=A C,分别以点A、8 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E,F,作直线E F,。为 3 c 的中点，M 为直线E F上任意一点.若8 c=4,AABC面积为1 0,则长度的最小值为（）【答案】D【解析】【分析】由基本作图得到得E尸垂直平分A 8,则 M 8=A M,所以8例+A/=M 4+M Q,连接AM、D A,如图，利用两点之间线段最短可判断M A+M D的最小值为A D,再利用等腰三角形的性质得到A D L B C,然后利用三角形面积公式计算出AO即可.【详解】解：由作法得EF垂直平分A8,：.MB=MA,：.B M+M D=M A+M D,连接MA、D A,如图，C-：M A+M D A D（当且仅当M 点在AD上时取等号）,：.M A+M D的最小值为AD,：AB=AC,D点为B C的中点，.AD1BC,V 54flC=C.A D =10,.8M+MO长度的最小值为5.故选：D.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键.16.（2020山东烟台）如图，点 G 为AABC的重心，连 接 CG,AG并延长分别交AB,B C 于点E,F,连接E F,若 AB=4.4,AC=3.4,BC=3.6,则 砂 的 长 度 为()A.1.7 B.1.8 C.2.2 D.2.4【答案】A【解析】【分析】由已知条件得E F是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度.【详解】解：点G 为 A B C 的重心，：.AE=B E,B F=C F,：.E F=A C =l.J,2故选：A.【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得E F 为三角形的中位线.1 7.(2 0 2 0 山东淄博)如图，在AA8C中，AD,3 E 分别是B C,AC边上的中线，且 A )_ LB E,垂足为点F,设 8 C=a,A C b,A B c,则下列关系式中成立的是()A.a2+b2=5 c2 B./+加=4 c?C.+加=3 c 2 D.层+/=2/【答案】A【解析】【详解】设 E/=、D F=y,根据三角形重心的性质得AF=2y,B F=2 E F=2 x,利用勾股定理得到4/+4、2=己 4/+产=/汽/+4）2=占/2,然后利用加减消元法消去X、y 得到、氏。的关系.4 4【解答】解：设 EF=x,D F=y,.AD,8 E 分别是2C,AC边上的中线，二点尸为 ABC 的重心，A F=A C=b,BD=a,2 2 2：.AF=2 D F=2 y,B F=2 E F=2 x,：AD 1.B E,：.Z A F B=Z A F E=ZB F D=9 0,在 R/AAFB 中，4 f+4)2=，在 RdA EF 中，A +f b2,4在 RdBFD 中，,4+得 5r+5丫 2=（辟+）,4-得/W（东+按）=0,5.4X2+4)2=工(/+吩),5即 a2+b2=5 c2.故选：A.【点评】本题考查了三角形的重心；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了勾股定理.18.（2020湖南益阳）如图，在 AA6C中，AC的垂直平分线交A 8于点。，OC平分ZA CB,若 ZA=5（T,则D8的度数为（）A.25。B.30=C.35 D.40:【答案】B【解析】【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得/A C B 的度数，再根据三角形内角和求出/B 的度数.【详解】解：）是 AC的垂直平分线：.AD=CD,NACO=NA=50；0 c 平分 ZACB，ZAC8=2NACO=100/.ZB=180o-100-50o=30故 选:B.【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键.19.（2021广西河池）如图，ZA=4 0,NC3O是“ABC的外角，ZCBD=120,则NC的大小是（）A.90 B.80 C.60 D.40【答案】B【解析】【分析】根据三角形的外角性质直接求解即可.【详解】NC3O 是 AABC 的外角，Z4=40。，ZCBD=120,Z C B D =Z A+Z C.ZC=N C B D-ZA=120-40=80。.故选B.【点睛】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角性质是解题的关键.20.（2021.黑龙江哈尔滨）如图，ABC乡 D E C,点A和点。是对应顶点，点8 和点E 是对应顶点，过点A作A F C D,垂足为点F,若Z B C E=65,则Z C A F的度数为（)AA.30 B.25 C.35 D.65【答案】B【解析】【分析】由题意易得4b=NBCE=65。，ZAFC=9 0 ,然后问题可求解.【详解】解：:ABgZDEC,：.ZACB=NDCE,，ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,即 NAb=ZBCE,NBCE=65。,二 ZACF=ZBCE=65,?AFYCD,：.ZAFC=90。，ZCAF=90-ZAC产=25：故选B.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及宜角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键.21.（2021 广西贵港）如图，在“8C中，ZABC=90,A8=8,BC=12,。为AC边上的一个动点，连接BD,E为8。上的一个动点，连接AE,C E,当时，线段AE的最小值是（)DA BA.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】如图，取 3 c 的中点7，连接AT,E T.首先证明NCB=90。，求出AT,ET,根据E T,可得结论.【详解】解：如图，取 BC的中点7,连接AT,E T./ZABC =90,.ZA B D+Z C B D =90,；ZABD =/B C E,:C B D +ZBCE=9Q。,1./C E B =90。,;CT=TB=6,ET=BC =6f AT=y/AB2+BT1=+62=10，-A E A T-E T,:.A E 4,，AE的最小值为4,故 选:B.【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出A T,E T的长，属于中考常考题型.2 2.（2 0 2 1 辽宁本溪）如图，在AABC中，AB=B C,由图中的尺规作图痕迹得到的射线B O 与AC交于点E,点 F 为 BC的中点，连接 尸，若 B E=4 C =2,则C EF的周长为（）A.7 3 +1 B.6+3 C.石+1 D.4【答案】C【解析】【分析】根据作图可知3。平分N A B C,AB=B C,山三线合一，解Rf B E C,即可求得.【详解】平分 ZABC,AB=BC.BE=A C =2：.B E 1 A C.A E =EC=-A C 2BC=d BE?+E C2=V22+l2=旧 点F 为BC的中点 EF=-B C=F C =2 2 Z k C EF的周长为：CE+EF+FC=l+=y/5+2 2故选C.【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出8c边是解题的关键.2 3.（2 0 2 2 青海）如图，在 R t A B C 中，N ACB=90,。是 4B的中点，延长C B 至点E,使=连接 OE,尸为QE 中点，连接B F.若 A C =1 6,8 c =1 2,则 B F 的 长 为（)CDA.5 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理求得A8=20；然后由宜角三角形斜边L的中线等于斜边的一半求得C力的长度；结合题意知线段跳 是 的 中 位 线，则8尸=:8.2【详解】解：在RtZA3C中，Z 4c3=90。，AC=6,8 c =12,AB=VAC2+BC2=/162+122=20.又.=5.故选：A.【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段C。的长度是解题的关键.24.（2022辽宁大连）如图，在AABC中，ZACB=90。，分别以点A和点C为圆心，大于 A C的长为半径作弧，两弧相交于M,N两 点,作直线M N,直 线 与A 8相交于点，连接8,若A8=3,则C）的长是（)MCA 干 BA.6 B.3 C.1.5 D.1【答案】C【解析】【分析】由作图可得：MN是4 C 的垂直平分线，记 MN与 AC的交点为G,证明MN3 C,再证明AO=b。，可得A D =B D =C D,从而可得答案.【详解】解.：由作图可得：MN是 AC的垂直平分线，记 MN与 AC的交点为G,:.A G =C G,M N A CyA D =CD,/ZACB=90,M N BC,.A G A D CGA D =BD,A8=3,C D =-A B =-=.5.2 2故选C【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例，证明的=%=8 是解本题的关键.25.（2022湖南）如图，点0 是等边三角形A8C内一点，OA=2,08 =1,O C =,则AAO8与ABOC的面 积 之 和 为（）A.迫 B.C.m D.734 2 4【答 案】C【解 析】【分 析】将AAOB绕 点8顺时针旋转60。得ABC。，连 接O D,得 到ABOD是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可 得NCOD=90。，从而求解.【详 解】解：将M OB绕 点B顺时针旋转60。得ABCD,连 接OD,D:.OB=OD,ZBOD=6()。，CD=OA=2,；.MOD是等边三角形,:.OD=OB=,._，2V OD2+OC2=12+(V3)=4,CD2=22=4,:.OD2+OC2=CD2,:.ZDOC=90,AAO3与ASOC的面积之和为a ABOC 丁 M Dc.c 6 2,1 A 3拒=SABOD+SCO D+-x lx V 3 =-.故选：c.【点 睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将AAOB与M O C的面枳之和转化为5 a元+S.BCD，是解题的关键.26.（2022黑龙江）如图，中，AB=AC,AO平分ZfiAC与BC相交于点。，点E是AB的中点，点厂是OC的中点，连 接 防 交4 0于点P.若AABC的面积是24,P=1.5,则PE的 长 是（）A【答案】A【解析】【分析】连接。E,取A。的中点G,连接E G,先由等腰三角形“三线合一”性质，证得AQJ_BC,BD=C D,再由E是4 8的中点，G是4。的中点，求出M E G D=3,然后证AEGP咨M O P（A4S）,得GP=CP=1.5,从而得O G=3,即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长.【详解】解：如图，连接C E,取A。的中点G,连接EG,：AB=AC,平分4 A C与8 c相交于点。，：.ADLBC,BD=CD,：.S A B l2-S ,K r=-x 24=12,AA风 2是AB的中点,SAED=2 S A/AioRzn7 =2 x 12=6,G是A）的中点,/.SAEGD=-2 S 4AA匕FDn =2x 6=3,E是A8的中点，G是A。的中点，：.EG/HC,EG=BD=CD,：.NEGP=NFDP=90。,.尸是CO的中点，：.DF=CD,：.EG=DF,：NEPG=NFPD,：./EG P/FD P(AAS),：.GP=PD=L5,：.GD3,:SAEGD=GD-E G=3,即EG x 3=3,2 2：.EG=2,在放AEGP中，由勾股定理，得PE=VEG2+GP2=722+I.52=2$，故选：A.A【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键.27.（2022四川乐山）如图，在 MAABC中，Z C=90,BC=际，点。是AC上一点，连接3D.若tanZA=3，tan Z A B D=；,则 C D 的 长 为（）A.2/5 B.3C.y/5 D.2【答案】C【解析】【分析】先根据锐角三角函数值求出AC=2石，再由勾股定理求出48=5,过点Q作于点E,依据三角函数1 1 Q值可得OE=/AE,DE=从而得8E=i AE,再 由 他+3E=5 得AE=2,DE=,由勾股定理得A D=不，从而可求出CD.【详解】解：在 中，ZC=9O,BC=4S,/“B C 1.tan ZA=A C 2二 A C =2BC=26由勾股定理得,AB=VAC2+B C2=7（2）2+（A/5）2=5过点D作DE_L4?于点E,如图，.DE DE:.DE=-AE,DE=-BE,2 3：.-A E =-BE2 33:.BE=-A E2AE+BE=5,?.AE+-AE=52/.AE=2,：.DE=i.在RtM.DE 中,AD2=AE2+DE2AD=xiAE2+DE2=x/22+l2=x/5AD+CD=AC=245,：.CD=AC-AD=2y/5-45=y/5,故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，山锐角正切值求边长，正确作辅助线求出O E的长是解答本题的关键.28.（2022.内蒙古包头）如图，在mAM C中，ZACB=90,ZA=30,BC=2,将AM C绕点（7顺时针旋转得到V A Q C,其中点A与点A是对应点，点B与点8是对应点.若点8 恰好落在A 8边上，则点力到直线A C的距离等于（）A.3月B.2 GD.2【答案】C【解析】【分析】如图，过A作A 0AA s t于Q,求解AB=4,AC=2 g,结合旋转：证明?B?A B C 60?,BC B也？ACB?9 0?,可得 M C为等边三角形，求解？A 6 0?,再应用锐角三角函数可得答案.【详解】解：如图，过A作 AQA ACTQ,山 NACB=90,NA=30,3 c =2,AB=4,AC=lAB2-BC2=25/3,结合旋转：?B?A B C 60?,BC 8玲？A C8?90?,V B B Q为等边三角形，?BCB”60靶 ACB=30?,?Afc4 60?,AQ=AC蟀in60?2卧 与 3.到A C的距离为3.故选C【点睛】本题考查的是旋转的性质，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定廿性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键.29.（2021内蒙古鄂尔多斯）如图，在R h A B C中，ZACB=90,AC=8,BC=6,将边8 c沿C N折叠，使点8落在A 3上的点8 处，再将边A C沿C N折叠，使点A落在C夕的延长线上的点4处，两条折痕与斜边A8分别交于点N、M,则线段A M的 长 为（)A6【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求出A8=10,利用等积法求出CN=半，从而得A N=,而即可得到答案.【详解】解：AACB=90,AC=S,BC=6AB=yjAC2+BC2=762+82=10，,再证明 NNMC=NNCM=45。，进,?S4ABe=|xABxCN=|xACxBC.C7V=y,：AN=JAC2-CN2=折叠：.AMAM,/BCN=NBCN,ZACMZACM,:ZBCN+ZBCN+ZACM+Z/i CM=90,.N8CN+NACM=45,/.ZMCN=45,且 CNJ_A8,NNMC=/NCM=45。,:.MN=CN=个,a5 24 8:AM=AM=AN-MN=-5 5 5故选B.【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键.二、填空题3 0.（2 0 2 2 云南）已知A A B C 是等腰三角形.若N A=4 0。，则AABC的 顶 角 度 数 是.【答案】4 0。或 1 0 0【解析】【分析】分N4为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解.【详解】解：当NA为三角形顶角时，则Z A B C 的顶角度数是4 0。；当乙4 为三角形底角时，则A A B C 的顶角度数是1 8 00-4 0-4 0=1 0 00；故答案为：4 0。或 1 0 0。.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论.3 1.（2 0 2 2 青海西宁）如图，在AABC中，ZC=9 0,Z B=3 0,A B=6,将 8C绕点A逆时针方向旋转1 5。得到9C交 AB于点E,则夕E=.【答案】3 6-3【解析】【分析】根据已知可以得出N 8 A C=6 0。，而 将 8 c 绕点4按逆时针方向旋转1 5。，可知N C A E=4 5。，可以求出AC=AC=E C=3,据此即可求解.【详解】解：在 Z k/W C 中，ZAC B=9 0,N 8=3 0,AB=6,贝Ij/A 4c=60。，AC=3,8 c=而万=3退，将AABC绕 点A按 逆 时 针 方 向 旋 转15。后，则NCAC=15,AC=4C=3,8C=8C=3退，:ZCAE=45,而N4CE=90。，故ZiACE是等腰直角三角形，：.AC=AC=EC=3：.BEBC-EC=3y/3-3.故答案为：3 6-3.【点 睛】本题考查旋转变换、直 角 三 角 形30度角的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.32.（2021 吉林长春）将 一副三角板按如图所示的方式摆放，点。在 边AC上，BCHEF,则4 4DE的大小为 度.C【答 案】75。【解 析】【分 析】根据两直线平行，得同位角相等，根据三角形外角性质求得NCDG,利用平角为180。即可求解.【详 解】设。F、交 于 点GBC/EF:.NF=NDGB=NC+NCDG=45NC=30/.ZCDG=150ZADE=180-9015=75故答案为75。.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，平角的概念，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系.33.（2020湖北）如图，在中，Q E是A C的垂直平分线.若AE=3,）的周长为1 3,则AABC的周长为.【解析】【分析】由线段的垂直平分线的性质可得AC=2AE,AZ）=O C,从而可得答案.【详解】解：；O E是A C的垂直平分线.AE=3,:.AC=2AE=6,AD=DC,AB+BD+AD=3,的周长=Afi+BC+AC=AB+BO+M+AC=13+6=19.故答案为：19.【点 睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.34.（2020.山东日照）如图，有 一 个 含 有30。角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若N 2=65。,则/I的度数是.【答 案】25#25度【解 析】【分 析】延 长E F交B C于点G,根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解.【详 解】解：如图，延 长EF交8C 丁 点G,1直尺,J.AD/BC,二/2=/3=6 5。，又 二！。角的直角三角板，.,.N l=90-65=25.故答案为：25.【点 睛】本题主要考查平行线的性质及直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.35.（2020江苏常州）如 图，在AABC中，BC的垂直平分线分别交BC、A 8于 点E、F.若AFC是等边【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到N8=N8C凡 再利用等边三角形的性质得到NAFC=60。，从而可得NB.【详解】解：E f垂直平分8C,/.BF=CF,：.NB=NBCF,AC尸为等边三角形，/.ZAFC=60,：.ZB=ZBCF=30.故答案为：30.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得至 U/8=/8C E36.（2020.辽宁辽宁）如图，在A4BC中，M,N分别是A 3和4 c的中点，连接点E是C N的中点，连接M E并延长，交8 c的延长线于点。，若8C=4,则8 的长为.【答案】2【解析】【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=WBC=2,MN/BC,依据4 M N E 经ADCE(AAS),即可得到CD=MN=2.【详解】解：例，N分别是AB和AC的中点，.M N是A A8C的中位线，；.MN=；BC=2,MN/BC,:./N M E=2 D,N M N E=N D C E,.点E是CN的中点，：.NE=CE,：./XMNE/XDCE(AAS),:.CD=MN=2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.37.(2021新疆)如图，在中，AB =AC,ZC=7 0 ,分别以点A,8为圆心，大于!AB的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作直线M N交AC于点 ,连接B O,则N3OC=【答案】80【解析】【分析】由等腰三角形，”等边对等角“求出WC,再由垂直平分线的性质得到最后由三角形外角求解即可.【详解】解：AB=A C,NC=70/.NA8C=70,NA=40M N 垂宜平分A 8A D=D B:.ZABD=Z A =4 0Z B D C=Z A+Z A B D=4()+4()=8 0 .故答案为：8 0 .【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角概念，能正确理解题意，找到所求的角与已知条件之间的关系是解题的关键.3 8.(2 0 2 1.山东聊城)如图，在AABC中，ADLBC,C E L A B,垂足分别为点。和点E,A D 与 C E 交于点O,连接B。并延长交AC于 点 凡 若 A B=5,B C=4,AC=6,贝 ij C E：A D：B F 值为.【答案】1 2:1 5:1 0【解析】【分析】由题意得：B F 1 A C,再根据三角形的面积公式，可得5“叱=4 4。=3CE=3 B F,进而即可得到答案.【详解】解：.在中，ADLBC,CEA.AB,垂足分别为点。和点E,4。与 C E 交于点O,J.BFLAC,V Af i=5,8 c=4,AC=6,：.S /.tRo er=-2 B C A D =-2 A B CE=-2A C BF,s A K C=4AD=-CE=3BF,；.CE：A D：8 尸 =1 2:1 5:1 0,故答案是:1 2:1 5:1 0.【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键.56.（2022北京）如图，在 AA5C中，AO平分/B 4C,）E_L AB.若 AC=2,OE=1,则 林。【答案】1【解析】【分析】作。尸，AC 丁点巴山角平分线的性质推出。F=止=1,再利用三角形面积公式求解即可.【详解】解：如图，作QF_LAC于点儿A：AZ）平分 NBAC,DE LAB,DF V A C,:.DF=DE=,S.r=-AC-DF=-x 2x1=1.MC0 2 2故答案为：1.【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键.39.（2022山东青岛）如图，已知ABC,AB=AC,3c=16,A）_L3C,NABC的平分线交4）于点E,且DE=4.将NC沿G M折叠使点C与点E恰好重合.下列结论正确的有：（填写序号）BD=8点E到A C的距离为3=EM/AC【答案】#【解析】【分析】根据等腰三角形的性质即可判断，根据角平分线的性质即可判断，设。M=x，则=8-x,RtAEDMAp AU中，EM2=DM2+DE2 OE=4.继而求得 EM,设 AE=a,则4。=4+。=4+,3。=8,根据一=一,ED BD任+4 ED 4进而求得。的值，根据厂AO 3 4,tanZMD=-=可得NC=N M D,即可判断tanC=-=-=DM 3DC 8 3【详解】解：V AABC,AB=AC,BC=6,AD BC,8。=OC=4 BC=8,故正确；2如图，过点E作 所_L/W于尸，EHlAC-fH,:AD _ L BC,AB=AC,AE 平分 ZBAC,/.EH=EF,瓦:是NAH。的角平分线，.ED上BC,EF上AB,:.EF=ED,:.EH=ED=4,故不正确，.将NC沿GM折叠使点。与点E恰好重合,/.EM=MC,DM+MC=DM+EM=CD=8,设 M=x,则 M=8 x,RtZXEDM 中，EM1=DM-+DE2.DE=4.(8-x)2=42+x2,解得x=3,；.EM=MC=5 故不正确，设=则 AO=AE+E=4+4,BO=8,AB2=(4+a)2+82,AABEABDE-A B xE F 1 AExBD2=2-B D xE D 1 EDxBD2 2,AE AB*BDa AB一 ，4 8AB=2a,(4+4+8 2=(2 0)2,解得 或a=-4（舍去）t a n C*DC20 4+4_3_84,3ED tan NEMD=-DM43:.4 C =4EMD,:.E M/A C,故正确,故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，三线合一，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键.40.（2022 河南）如图，在用AABC中，NACB=90。，AC=BC=2 0，点。为 4 8 的中点，点 P 在 AC上，且 C P=1,将 CP绕点 C 在平面内旋转，点尸的对应点为点Q,连接AQ,D Q.当N4OQ=90。时，AQ的长为.【答案】后 或 而#后 或 拓【解析】【分析】连接C D,根据题意可得，当/A C Q=90。时，分。点在线段CD上和D C 的延长线上，“CQ=CP=1,勾股定理求得AQ即可.【详解】如图，连接CD,在的AABC 中，ZACB=90,AC=BC=2 6,.AB=4,C D 1AD.:.CD=-A B =2,2根据题意可得，当NADQ=90。时，。点在CZ）上，且 CQ=CP=1,:.DQ=C D-C Q =2-=,如图，在RtzA。中，A Q =1 A D。+D Q。=h+1。=石，在 R tA。中，A D =C D =2,QD=C D+C Q =3A Q =飞 AD?+D Q。=+32=V13故答案为：逐 或 加.【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点。的位置是解题的关键.41.（2022 青海西宁）矩形ABCD中，AB=8,AQ=7,点 E 在 4 8 边上，AE=5.若点P 是矩形ABC。边上一点，且与点A,E 构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是.【答案】5&或 4石【解析】【分析】分情况讨论：当AP=AE=5,点?在 边 A O 上时，由勾股定理可求得底边PE 的长；当=A E=5,点 P在边BC上时，求出B E,由勾股定理求出P B,再由勾股定理求出底边AP即可.【详解】解：.矩形ABC。:.ZA=Z B=90,分两种情况:当4P=A E=5,点 P 在边AC上时，如图所示:ZBAD=90,；PE=yjA+A E2=由2+52=5应：当 P=4E=5,点尸在边BC上时，如图所示:.8E=48-AE=8-5=3,ZB=90,PB=4 PE?-BE?=552-32=4,底边 4尸=-JAB2+PB2=782+42=475；综上，等腰三角形4E P的底边长是5板 或 4石【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键.42.（2022辽宁锦州）如图，在AABC中，AB=AC,ZABC=3 0 ,点。为8 c 的中点，将绕点。逆时针旋转得到V A&C,当点A 的对应点4 落在边A 8上时，点C 在 8 4 的延长线上，连接3 8，若 A4，=l,则ABBD的面积是.CAB【答案】逋4【解析】【分析】先证明AAA。是等边三角形，再证明AO再利用直角二角形30角对应的边是斜边的一般分别求出4和A O,再利用勾股定理求出0。，从而求得双姐7）的面枳.【详解】解：如下图所示，设A E与 交 于 点0,连接AD和AO,.点。为BC的中点，AB=AC,ZABC=30,ADBC.ADrBC,4。是NBAC的角平分线，AD是 ZZMC,ZBAC=120 NBAC=120*.ZBAD=ZBAD=60；AD=AD,AAD是等边三角形，AA=AD=AD=,/ZR48=180-ZBAC=60,.ZBAB=ZAAD,：.AB/AD,/A O 1 BC,AB=2A=2ZABD=ZADO=30,：.B O =O D：.O/?=2-=|,B D =2OD=y/3,S RR，