2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系.pdf

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【考试要求】1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【高考考情】考点考法：高考对直线和圆的位置关系的考查常涉及切线和弦长问题，圆与圆的位置关系主要是根据两圆的方程判断位置关系、公切线的条数、参数的范围、公共弦长等，多以选择题、填空题为主，属中档题.核心素养：直观想象、数学运算Q_ 、知 赫 理 思雍派话,o归纳知识必备1.直线与圆的位置关系(半径为人圆心到直线的距离为初2.圆与圆的位置关系设 两 圆 的 圆 心 距 为 从 两 圆 的 半 径 分 别 为r(Q r),则项目相离相切相交图形;G代数法zl0几何法d rd=rdR+r4外切1d=R+r3相交2R r d R+r2内切1d=R-r1内含0dRr0到确切的结论.如当4V0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当/=0时，还需要判断两圆是外切，还是内切.-智 学变式探源1.选择性必修一 P 9 6 例 52.选择性必修一 P 9 3 T 21 .(改变条件)已知圆Q：(x 1)2+(9+2)2=9,圆(*+2)2+3+1)2=1 6,则这两个圆的位置关系为()A.外离 B.外切 C.相交 D.内含【解析】选 C.根据题意，圆(x l)2+(y+2)2 =9,圆心。(1,-2),半 径 仁 3,圆 口：(x+2)?+0+1)2=1 6,圆心。(一2,-1),半径 r=4,圆心距|。”|=如,有 4 3 小 0,6 0）被圆*+/+2 X-4y+14 1=0 截得的弦长为4,贝a卜+7b的最小值是（）1 1A.9 B.4 C.-D.2 4【解析】选 A.直线被圆截得的弦长为4,圆的半径为=4+；6 4=2,乙 乙圆心为（一1,2）,可知直线过圆心，故一2a28+2=0,4 1 4 1 4b a 厢 a即 a+=l,+7 =（一 +T）（a+力=4+T+1 2 5+2、/一 -=5+4=9,a b a b a b 1 a b当且仅当”=7时，a b即a=2 b时等号成立，最小值为9.o 一、考点探 究 恰法塔坦 o 考点一 直线与圆的位置关系|自主练透1.（一题多解）直线/：屐一了+1 一勿=0 与圆C：*+（了-1）2=5 的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定【解析】选 A.方法一：（代数法）由mx-y+1 m=。,./+(y-1)2 =5,消去y,整理得（1+序）V 2x+M 5=0,因为/=1 6/z f+20 0,所以直线/与圆相交.方法二:（几何法）由题意知，圆心（0,1）到直线/的距离占I -g?lj/n+l175，故直线1与圆相交.方法三：易得直线/过定点（1,1）.把点（1,1）代入圆的方程有1+0 1”是曲线。表示圆的充要条件B.当面=3m时,直线/与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.加=一3”是直线/与曲线。表示的圆相切的充分不必要条件D.当加=一 2 时，曲线。与 圆 三+/=1 有两个公共点【解析】选 A BD.对于 A,曲线 C：系+/+4x+2m y+5 =0=(x+2)+(y+/z?)=/1,曲线 C要表示圆，则后一1 0=成-1 或加 1,所以“1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件，所以A 错误；对于B,当m=3 小 时，直线7：x+y/3 y+l=0,曲线&（*+2尸+3+3/=2 6,圆心到直线/的距离d=(-+1|V1+3=5,所以弦长=2#J=2226 25=2,所以B错误;对于C,若直线/与圆相切，圆心到直线/的距离占6 ZZ7+3|+/=迎 二 T=加=3,所以“勿=3 是直线/与曲线。表示的圆相切的充分不必要条件，C正确；对于D,当必=一 2 时，曲线C：（x+2）2+（y 2尸=3,其圆心坐标（一2,2）,=小,曲线。与 圆*+了=1 两圆圆心距离为Y （2 0）+（2。2 =2 2 心+1,所以两圆相离,不会有两个公共点，D 错误.3.（多选题）（2021 深圳模拟）已知圆C：/+/=?（r l）,尸为直线/：y=x+8 上的动点,则下列结论正确的为()A.当，=2/时，/与。可能相交B.若 0 为。上的动点，且尸0 的最小值为八则=2啦rC.若b=3 r,则 C上恰有2 个点到1的距离为2rD.若 6=r+,，且圆尸的半径为r l,则圆尸与。不可能内切r【解析】选 BCD.已知，圆C-./+/=/(1)的圆心。(0,0)到直线1-.x-y+b=0的距离d=行对于A,当 6=2 r时，直线/的方程为xy+2r=0,圆心。(0,0)到直线/：xy+2 r=0I 2 r的距离占 D 上恰有2 个点到/的距离为2人 所以C选项正确;对于D,若 6=r+：,圆尸的半径为r 1,若圆尸与。内切，则 I =r-(r l)=l,而圆&泰+/=/51)的圆心到直线h x y+b=Q的距离为d=+=PC ,圆尸与。不可能内切，所以D选项正确.教师专用q【规律方法】判断直线与圆的位置关系的一般方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，特点是计算量较小；(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，通过解的情况判断，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系.n中【加练备选】1.已知点M(a,b)在圆0：(+y 2=l 外，则直线a x +by =1 与圆0的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定【解析】选 8.因为M(a,b)在圆0：(+/=1外，所以a+bA l,而圆心0到直线a x+by =l 的距离d=1A/a2+b 0,即 bV 2.因为直线a x +y +a+l =0 过定点(1,1),所以点(-1,一D在圆x?+y 2 2 x 2 y+b=0的内部,所以6 +b V O,解得b V 6,所以b 的取值范围是(一8,-6).3.(2 0 2 1 武汉模拟)设有一组圆C k：(x-k)2+(y-k)2=4(kGR),则下列命题不正确的是()A.不论A 如何变化，圆心4始终在一条直线上B.所有圆4 均不经过点(3,0)c.存在定直线始终与圆a相切D.若 4 e(一 乎，乎)，则圆&上总存在两点到原点的距离为1【解析】选 D.圆心坐标为(A,A),在直线y=x 上，A正确；若(3 A)?+(0 公?=4,化简得2/一6 4+5 =0,4=3 6 4 0=4 2 1”是“圆 G 和圆C相交”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 B.由已知圆G：G 3)*2+(y-4)一5,-7(0-3)2+(0 +4)2=5；A 选项，若圆G 与圆C无公共点，则只需1 C GI 1 或 1 C GI r+l,解得r 6 或 0 2+1 =3,所以圆 G 与圆G 相离；又 P,0 分别是圆G 与圆G 上的点，所以iGC l -(1+2)w|国 I w iGGi+1 +2,B P 2|PQ W8,所以C 选项正确；D 选项，当O O K 4 时，由A 选项可知，两圆外离；记直若圆G 和圆C相交，则|1 听V|GC|=4 彳 不=5 2 1”是 2 1 V%V 4 1”的必要而不充分条件.(2)(多选题)(2 0 2 2 苏州模拟)已知圆G：/+/=1,圆 J(*3)4(7+4)2=/(力0),则()A.若圆G 与圆G 无公共点，则0 GK 4B.当r=5 时，两圆公共弦长所在直线方程为6 x 8 y 1=0C.当r=2 时，P,0 分别是圆G 与圆G 上的点，则|尸的取值范围为 2,8：D.当O O K 4 时，过直线6 x 8 y+/2 6=0 上任意一点分别作圆G、圆 G 切线，则切线长相等【解析】选 B C D.由已知，圆 G：*+/=i 的圆心为。(0,o),半径为四=1；圆 G：(x 3)2+G+4)2=r2(r 0)的圆心为G(3,-4),半径为r；则 圆 心 距 为=线 6 x 8 y+/2 6=0 上任意一点为（x o,必）,则6 为一8%+产2 6 =0,所以|MC y|=7 克+1,I 制 I=（的-3）5（%+4）?=京+、一6 荀+8%+2 5 =7 定+1+H1 ,因此切线长分别为 di=yj|MCX|-f 克+/一1 ,d2=yl|MO,|2/=/AO+y0 1 ,即d、=&,所以D正确.,规律方法1 .判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.2 .若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去7项得到.3 .两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d,半弦长g ,半径r 所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解.4 .两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.，对点训练已知直线尸一x 被 圆 肱*+/+。=0。0）截得的弦长为2 班，且圆 的方程为V+/2 x2 y+l =0,则圆 与圆/V 的位置关系为（）A.相交 B.外切 C.相离 D.内切【解析】选 A.因为圆M：*+/+砂=0（0）,可化为/+卜+号可知圆必的圆心坐标为（0，一号，半径为工尸一彳，圆心（0,5 到直线x+y=0 的距离为d=*,由d=Jr；-（）2=52|，得（=2,解得 =4,E=4（舍去），所以圆心（0,2）,rv=2,圆N的方程可化为（xl）2+（yl）2=l,则圆N的圆心坐标为（1,1）,A=1,因为N（0-1）+（2 1）=y/2 ,乃+n=3,一八=1,所 以 及 一 为+”，则圆，与圆”相交.5那!丽【加练备选】已知两圆 V+/2 r 6y1 =0,/+/1 0*1 2 y+z?=O.(1)加取何值时两圆外切？(2)加取何值时两圆内切？当必=4 5 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【解析】因为两圆的标准方程分别为(x1)2+33)2=1 1,55)2+56)2=61 加，所以两圆的圆心分别为(1,3),(5,6),半 径 分 别 为,何61 加，(1)当两圆外切时，由。(5 1)+(63)2 =yii+止61 勿,得加=2 5 +10#!.(2)当两圆内切时，因为定圆半径迎 小于两圆圆心之间的距离5,所以y/61m JTi=5,解得力=2 5.(3)由(/+/-2 A-6y-l)一(y+/-1 0-1 2 y+4 5)=0,得两圆的公共弦所在直线的方程为4 x+3y2 3=0.故两圆的公共弦的长为I 广，1 4+3 X 3 2 31)22 y而)-所J =2 于.7 考点三 直线与圆、圆与圆的综合问题I多维探究高考考情：高考对该部分内容的考查主要以直线与圆的位置关系为主，侧重于切线问题及弦长的求解问题.多以选择题或填空题的形式出现.角度1 圆的弦长问题 典例2 (2 0 2 1 北京高考)已知圆G/+/=4,直 线 入y=k x+m,当A 变化时，/截得圆。弦长的最小值为2,则/=()A.2 B.72 C.土小 D.3【解析】选 C.由题意得圆心。(0,0),半径r=2.圆心C 到直线1的距离/=y,则弦长为2 y弦一(/=2 /4,显然当在=0时，弦长取得最小值次所方=2,得加2=3,得m=.(2)(2 0 2 1 济南模拟)已知圆G(xl)2+(y+l)2=l 与直线Ax+y+l =0 相交于4 8 两点,若 0 5 为等边三角形，则衣的值为()A.土*B.2C.f D.f【解析】选 A.圆 C：(*1)(7+1)2=1 的圆心为。(1,-1),半径为1,故|=|。|=1,又 0 3为等边三角形,所以点。到直线k x+y+l=0的距离为好乙即春=，解 得 仁 士 木.(3)(2 0 2 1 郑州模拟)设圆*+/-2*2 片-2=0 的 圆 心 为&直 线/过(0,3),且与圆。交于 儿 6 两点，若|阴=2 铺，则直线/的方程为()A.3x+4 y1 2 =0 或 4 x3y+9=0B.3x4 y+1 2=0 或 4 x+3y+9=0C.4A3y+9=0 或 x=0D.3+4 y1 2 =0 或 x=0【解析】选 D.当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,由,x=0,.j f2+y 2 x2 y2=0,*=0,7=1+3得x=0,r-或,.7=1 3所以|/团=2*,符合题意.当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=kx+3,由已知可得圆的标准方程为(X 1)2+31)2=4,其圆心为C(l,1),半径r=2,所以圆心C(l,1)到直线k x-y+2=0的距离d=I k1+31|A+2 1、产+1 +1 二 2 2 J AB k2 r（A+2）2因 为 =/一（:）”,所 以一7+厂=4-3即(4+2)2=芥+1,解得衣=-j ,3所以直线/的方程为尸一宁x+3,即 3x+4 y1 2 =0.综上，满足题意的直线1的方程为x=0 或 3 x+4 y 1 2=0.角度2 圆的切线问题 典例3 (1)过点P(2,4)引圆C：(x l T+(y 1)2=1 的切线，则切线方程为【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2,此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y 4=k(x 2),即k x y+4-2k=3因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即二;1 3 k|z 4后T=l解得k=4 4所以所求切线方程为鼻x-y+4-2 X-=0,O 0即 4 x-3 y+4=0.综上，切线方程为x=2 或 4 x 3 y+4 =0.答案：x =2 或 4 x 3 y+4 =0 点 P 为射线x =2(y 2 0)上一点，过P 作圆x?+y 2=3 的两条切线,若两条切线的夹角为9 0 ,则点P的 坐 标 为()A.(2,1)B.(2,2)C.(2,2 )D.(2,0)【解析】选 C如图所示.设切点为A,B,则OA J _ A P,OB 1 B P,OA=OB,A P=B P,A P J _ B P,故四边形0 A P B 为正方形，则|0 P|=m ，又XP=2,可求得丫产地，则 P(2,y2 ).扇 团【备选例题】(1)由直线y=x+l 上的一点向圆(x 3 +y 2=l 引切线，则切线长的最小值为()A.1 B.2 。.巾 D.3【解析】选 C切线长的最小值是当直线y=x+l 上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d=2号1=2 7 2 ，故切线长的最小值为后不=小.(2)已知直线/：x+m y 3 =0 与圆C：x?+y 2 =4 相切，则m=3【解析】由于直线/与圆C 相切，则圆心到直线的距离d =|0+0-3|=2,整理得，解得m=答案：土手，规律方法1 .弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何法：若弦心距为d,圆的半径长为r,则 弦 长 二 注.2 .求过某点的圆的切线的方法(1)确定点与圆的位置关系，再求切线方程.(2)若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线.多维训练1 .过点(3,1)作圆(x l)2+y 2=d 的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2 x +y 5 =0 B.2 x+y 7 =0C.x 2 y 5 =0 D.x 2 y 7 =0【解析】选 8.由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r?=5,圆的方程为(x l T+y Z=5,则过点(3,1)的切线方程为(x-l)(3-l)+y(l 0)=5,即 2 x+y -7=0.2 .已知直线/：y=m x+2 2 m 和圆C：x?+y 2=9 交于A,B 两点，则使得弦长A B 为整数的直线 1 的条数为()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选 C直线/：y=m x+2 2 m 过定点Q(2,2),该点在圆C：x?+y 2=9 内，则弦长A B 的最大值为6,满足弦长A B 为 6的直线有1 条.当 C QJ _/时，弦长A B 最小，且最小值为2 归 两=2,满足弦长A B 为 2的直线有1 条.若弦长A B 为整数，则整数为2,3,4,5,6,其中满足弦长A B 为 3,4,5 的直线各有两条.故使得弦长A B 为整数的直线1的条数为2 义3 +1 +1=8.3.(命题新视角)在直角坐标系x Oy 中，曲线y =x +m x 2与 x 轴交于A,B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现A C L B C 的情况？说明理由；(2)证明过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.【解析】不能出现不_ L B C 的情况,理由如下:设 A(x”0),B(X 2，0),则X”x?是方程x +m x 2 =0的两根，所以*凶=2,又点C的坐标为(0，1)，则 蓝,B C =(-x,1)(x2 1)=x1x2+l =2 +1 =1#0,所以不能出现A C 1 B C 的情况.(2)设过A,B,C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D,由*凶=-2可知原点。在圆内，则由相交弦定理可得|0 C|0 D =|0 A|OB|=xJ 周=2.又|0 C|=l,所以|0 D|=2,所以过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|0 C|十|0 D|=3,为定值.中【加练备选】如图所示，已知。0的方程为x?+y 2=4,直线/的方程为x =4,圆0 与 x 轴的交点分别为A,B,P 是圆0 上异于A,B的任意一点，直线P A,P B 分别交直线/于M,N 两点.求证：当点P 变化时，以MN为直径的圆必过圆0内一定点.【解析】由已知，A(-2,0),B(2,0),设直线，与 x 轴的交点为K,直线P A 的方程为y=k(x+2),则直线P B 的方程为丫=一;K(X 2).由已知 M(4,6 k),N(4,一：所以MN的中点为（4,3 k吕,|MN|=2 3k+?,所以以MN为直径的圆的方程为（x-4）?+（y-3 k+（）2 =0k+J 2,即 x?+y2 8x2（3 k3 y+4=0,令 y=0,则 x。-8 x+4=0,解得 X=42，5,点（4+2m，0）在圆0外部，点（4-2m，0）在圆0内部，所以以MN为直径的。C 必过。0内一定点（4一2m，0）.