2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第四章导数及其应用第一节导数的概念及其意义、导数的运算.pdf

第四章 导数及其应用第一节导数的概念及其意义、导数的运算【考试要求】1 .会根据导数的几何意义求切线方程.2.体会极限思想.3 .熟记基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，会求简单函数的导数，能求复合函数（限于形如f（a x+6）的导数.【高考考情】考点考法：高考命题常以导数的运算、导数的几何意义为重点考查内容，考查形式以选择题、填空题为主，属于中档题.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象O-一.如 谓 梳 理 恩推 激活 =o归纳知识必备1.函数产=f（x）在X=X o处的导数2.函 数f（x）的导函数定义设函数y=f（x）在区间（a,6）上有定义，XoW（a,6）,若A x无限趋近于0时，比 值?=.2+.）f（必）无限趋近于一个 常数z ,则称常数4为函数f（x）在x=x A x处的导数，记 作 尸（吊）记法,f(xn+A x)-f(xn)当时，-力_ _ _ _ _ _ _A x _ _ _ _ _ _ _ _几何意义是曲线在点（照,/（荀）处的切线斜率，相应的切线方程为（荀）（x一&）函 数 尸（%）=lim,（包十八：）=/-为/V）的导函数.x o o X注解1 f（X。）代表函数/1（*）在X=X 0处的导数值，也 可 以 是 导 函 数 尸（X）在*=荀处的函数值；（f（x。）是 函 数 值 的 导 数，且（F（荀）=0.注意书写的准确性.3.基本初等函数的导数公式表基本初等函数导函数f(x)=c(c 为常数)f(x)=0fx)=x (a Q,a w o)f(x)=ax fx=s i n xf1(x)=CO S Xf(x)=c o s Xf1(x)s i n xF(x)=evf(x)=e*f(x)=H(a 0,a W l)f1(x)=H l n afx=l n x(x 0)f(X)=-X_ f(x)=l o g；/(x 0,a 0,a W l)x I n a4 .导数的运算法则(1)f(X)g(x)=(X)士 士(X)；(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)；f(x)一.g(X).f，(x)g(x)f(x)g(x)g(X)2(g(x)w 0).5 .复合函数的导数(1)复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=fu),u=g(x)的导数间的关系为必=%,即 y对 x的导数等于y 对“的导数与 对 x的导数的乘积.(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.(3)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.智学变式探源1.选择性必修二P 6 1 练习T 12.选择性必修二P 8 1 练习T 7L (改变条件)某跳水运动员离开跳台后，他达到的高度/?(m)与时间M s)的函数关系为力=-5产+31+11.5,则他在1.5 s 时的瞬时速度为()A.-15 B.-12 C.-9 D.-6【解析】选 B.由力=-5/+3，+11.5,求导得力=-10z +3,所以他在1.5 s 时的瞬时速度为力(1.5)=-10X 1.5+3=-12.2.(改变条件)设曲线f(x)=(2x+l)e、与y 轴相交于点尸，则曲线在点P 处的切线的方程为【解析】点秋o,1).求导可得r (x)=(2x+3)e,所以切线斜率f (0)=3,所以切线方程为 y=3 x+l,即 3xy+l=0.答案：3xy+l=Q-慧 考 四基自测3.(求导)已知函数/(0)+/(一1)=()A.0 B.-1 C.1 D.2【解析】选 B.由题意，得/(x)在 x=0 处的切点为(0,1),所以f(x)在 x=0 处的切线/的方程为 y l =f (0)(十 一 0),即/：y=f(0)%+1,又/过点(1,0),所 以 尸(0)=-1；结合题图，f(x)在才=一1处的切线的斜率等于0,所以 (-1)=0,所以6(o)+r (-1)=-1.5.(求参数)直线y=9 x+8 是曲线产=f+6 x+3 的一条切线，则实数8=()A.-4 或 3 B.1 或 5C.-4 D.5【解析】选 B.因为/=X 3+6*+3,所以=3/+6,令=3/+6=9,解得x=l,故切点为(1，1。)或(一1，4),而 A=y 9 x,所以 6=109 =1 或 6=-4+9=5.6.(导数综合)已知函 数/的 导 函 数 尸 3,满足f G)=2xf +21n x,则 尸(0=()A.eB.2 C.2 D.e【解析】选 C.由）=2/（l）+21n x得 f，3 =2 广 口，令-1,则 产=2 f(1)+2,解得 F (1)=-2.=一空 点 探 究 悟 法 培 优/5考点一导数的概念自主练透1.在气象学中，通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度，它是反映降雨大小的一个重要指标.下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据.则下列四个时段降雨强度最小的是()时间t/m i n01020304 05 06 0降雨量y/m m061118202324A.0 m i n 到 10 m i n B.10 m i n 到 30 m i nC.30 m i n 到 5 0 m i n D.5 0 m i n 到 6 0 m i n6 0 3 18 _ 6【解析】选D.0 m i n 到 10 m i n 的降雨强度为高-=；10 m i n 到30 m i n 的降雨强度为正100 5 3010=5 ；30 到5 0 min的降雨强度为|鸿=7 ；5 0 min到6 0 的降雨强度为|舒3-51-410为因O所以四个时段中5 0 m i n 到 6 0 m i n 的降雨强度最小.2.（命题新视角）设球半径为时间看的函数/?）,若球的体积以均匀速度。增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A.成正比，比例系数为。B.成正比，比例系数为2cC.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2。【解析】选 D.因为 金）V,所以（Z）=（；口 =4口 川*（Z）,因为 S(t)=4#,所以 S (1)=8 R-R(D ，(t)8 n 川(t)所 以 丁 一 =4 一*(D_2=R即 S （0 =禁，所以球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2 c3.如图，函数/oof(l+)FXx=-2.答案：一2，规律方法求函数f（x）在X=x0处的导数的步骤求平均变化率wF(吊 +*)F(X o)x求瞬时变化率，即取极限lim 翌，得 到 广（苞）x f 8 X提醒：函数y=f（x）的 导 数/（x）反映了函数/（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其 大 小5）1反映了变化的快慢，（x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.设函数y=f(x)在 x=2 处可导，且lim=1,则 尸(2)等于()A x 8 乙 d X11A.2 B.-C.-2 D.-【解析】选A.由导数的定义可得limAx-oo/(2+)-F(2)=f（2）,因为limAx o of (2+A x)f (2)2x1=5 A i 0f (2+A x)f (2)=1 f(2)=1,所乙以 f（2）=2.7考 点 二 求导公式和求导法则及其应用讲练互动 典例1 若函数/V）=x-f（0 f+2 x 5,则/（2）的值是（）【解析】选 B.因为/x)=/-r(1)y+2 x 5,所以 f (x)=3 7-2 r (1)x+2,所以 F (1)=3X/一2 (1)X l+2,解得 f(1)=T ，o所以 f(x)=3/T T x+2,0所以/(2)=3 X 2?当 X 2+2 4.o od一题多变若本小题已知条件不变，则函数值f(2)=.【解析】因 为 尸(1)=|,所以f(x)=/-1 /+2 -5,所以f(2)=1 .O O O答案：2(2)求下列函数的导数：y=(x+l)I n x；尸 e c o s 2x,【解析】由 尸(x+1)I n x,得y=(x+l)I n x+(x+l)(in x)=l n x+(x+l)-=l n x+；X X由 y=e-xc o s 2 x 得y=(e v)c o s 2x+e(c o s 2x)=e-c o s 2 r 2 e-xs in 2x.规律方法1 .求函数导数的总原则先化简解析式，再按照求导公式和求导法则求导.2 .常见形式及具体求导的几种方法(导数的运算方法)连乘积形式：先展开化为多项式的形式,再求导分式形式：观察函数的结构特征.先化为整式函数或较为简单的分式函数.再求导对数形式：先化为和、差的形式，再求导根式形式：先化为分数指数轼的嬴再求导三角形式：先利用三角恒等变换将函数化简，再求导3.含有导数值的求值问题的解法对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)=f，(x)g(x)+h(x)(x,为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确伊(X。)是常数，其导数值为0.因此先求导数f (x),令 x=X o,即可得到(X。)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值.提醒：1.在应用导数的除法法则时，注意分子上是减号.2.对数函数与指数函数求导公式中，注意系数，千万不要忘记.，,对点训练1.(多选题)若函数f(x)的导函数f (x)的图象关于y轴对称，则 f(x)的 解 析 式 可 能 为()A.f (x)=3cos x B.f (x)=x3+xC.f(x)=x+-D.f(x)=ex+xx【解析】选况:根据题意，依次分析选项：对于4 f(x)=3 s 力 y x,为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意.对于8 尹(X)=3X2+1,为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意.对于C,f (x)=l 二，为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意.X对于。，f (x)=S+l,不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意.2.若函数f(x)=2 口 +c(c为 常 数)，则 f，(x)0的解集为e.【.解 析,r】_ (/x )=2-X-e-(-2-x-1-)-君-=32x(e)e所 以 伊(x)2 0的解集为(一8,1.答案:3一co,，2【加练备选】求满足下列条件的函数f(x).(l)f(x)是三次函数，且 f (0)=3,f(0)=0,f =一3,f (2)=0；(2)f(x)是二次函数，Kx2fz(x)(2x l)f(x)=l.【解析】(1)由题意设 f(x)=a x3+b x2+c x+d(a 0),则 f (x)=3 ax-+2bx+c,f f (0)=d=3,f (0)=c=0,f (1)=3 a+2 b +c=-3,I f (2)=12a+4b+c=0.解得 a=l,b=-3,c=0,d =3,由已知得故 f (x)=xf3 x +3.(2)由题意设 f (x)=ax+bx+c(a#0)，则 f (x)=2ax+b.所以 x2(2ax+b)(2x 1)(ax2+b x+c)=1,化简得(ab)x+(b 2c)x+c=1,因为此式对任意x都成立，f a=b,所以J b=2 c,l c=l,解得 a=2,b=2,c=l,故 f (x)=2x2+2 x+l./考点三 导数的几何意义|多维探究高考考情：重点考查导数的几何意义，k=f，(x0),求切线方程是重点考查的知识点.角 度1求曲线在(或过)某一点处的切线方程.典例2(1)已知过点(0,0)的直线，与曲线G：y=l n x相切于点P(x。，y),若点P在曲线Q 丫=k上,则曲线G在点P处的切线方程为-.【解析】因为y=l n x,所以y =1,所以曲线C：y=l n x 在切点P （x（）,y）处的切线斜率为k 产,，又k 1=，所 以 =，所以y（）=l,即 I n x0=l,所以x（）=e.X o X o X o X o所以切点P（e,1）,因为P（e,1）在曲线C 2：y=晟 上，所以l=T 5 r ，所以a=e e e1 -2 x 1 2P由y=3r求导数得y =产 *，所以曲线C?在点P 处的切线斜率为=e e e匕 在，所以切线方程为y1=匕 在（x e）,即 y=Ex +2e.e e e小生1-2e）答案：y x+2ee（2）已知曲线f（x）=x3 x,则 曲线在点（1,0）处 的 切 线 方 程 为；曲线过点（1,0）的 切 线 方 程 为.【解析】f（X）=3 x2-1.曲线在点（1,0）处切线的斜率为1 0,be R.曲 线 尸 f(x)与曲线尸g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线，则 公 切 线 的 方 程 为.【解析】f(x)=2 ax,g(x)=3/+Z ,因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1，。)处具有公切线，所 以,L,解得a=3,b=3,c=4 所以公共点为、a+l =l +b=c(1，4),斜率为2 a=6,所以公切线的方程为y 4=6 (x1),即6 xy 2=0.答案：6xy-2 =0，规律方法公切线问题的解题步骤(1)设公切线y=k x+b 与曲线y=f(x)相切于点(x”y),与曲线y=g(x)相切于点(X 2,g (x2)；求导数 f(x),g，(x),及斜率，(x),g，&)；(3)写出切线方程y f(x)=尹(x,)(x-x.),y g(x2)=g(x2)(xx2)；(4)根据两条切线重合得到方程组k=f(X i)=g(X 2).b =f(x)X i f (X)=g(X 2)X z g (x2)(5)解方程组，得到x“制的值，并求出k,b;(6)写出公切线方程丫=1 +氏#多维训练1 .曲线y=F(一2 在点(一1,一鼻处切线的倾斜角为()A.30 B.45 C.1 35 D.1 5 0【解析】选 6.因为y =x2,所以切线斜率k=y 17=1,则切线的倾斜角为45 .2 .(多选题)下列曲线与直线y=2 x相 切 的 有()A.曲线 y =2 e 2 B.曲线 y=2sin xC.曲线 y =3x+，D.曲线 y=xx2X【解析】选/四 直 线 y=2 x的斜率为2,对于4若 f(x)=2 e*2,则由f (x)=2/=2,得 x=0,点(0,0)在直线y=2 x上，则直线y=2 x与曲线y=2 3-2 相切，故/正确；对于B,若 f(x)=2 s 力 7 X,则由 f(x)=2cos x=2,得 x=2 k”(k e Z),f(2kn)=0,当4=0时，切点为(0,0),点(0,0)在直线y=2 x上，故直线y=2 x与曲线y=2 s i n x 相切，故 B正确；对于 C,若/(x)=3x+，,则由 f(%)=3 A=2,得彳=1,点(1,4),(1,x x一4)都不在直线尸2 x上，所以直线尸2 x与曲线尸3x+，不相切，故C 错误；对于D,若Xfx)=/A 2,则 由/()=3 7 1=2,得、=1,其中(一1,2)在直线 y=2 x上，所以直线y=2 x与曲线尸=fx2 相切，故D正确.9 v 13.（2 02 1 全国甲卷）曲 线/=不 过 在 点（一1,一3）处 的 切 线 方 程 为.【命题意图】本题考查导数的概念及其几何意义，考查曲线的切线方程的求法，考查考生的运算求解能力.53【解析】f 3=（4一，f（-1）=5,f（-l）=-3,所以切线方程为：y+3 I 乙）1=5(x+l),所以 y=5 x+2.答案：y=5 x+2蝎1【加练备选】已知曲线f（x）=,和曲线g（x）=a In x（a W R）相交，且在交点处有相同的切线，则该切线方程是.19【解析】f（*）=，g （x）=（x o）.2yx 设两曲线的交点为（x,，则公切线有两种表达式：y-/U）=r（的）（xx0）和 y g（x0）_ a=g（苞）（*一向），B P yyjxo=（x吊）和 y a In 苞=：（矛 一 场）化 简 得 尸 亡a不 口 y=x+a In 照一aA bLI1 a因此一r=2yXO X。=a In xaa,p p i联立解得a=,x0=e2,将 a=5 ,代入y=耳厂或 y=A b x+j ea l n k a 中得到公切线方程为尸赤叶 即x2 e y+e .答案：2 e y+e2=04.（命题新视角）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是/（单位：。C）,环境温度是%（单位：。C）,其中Ox%.则经过t分钟后物体的温度将满足。=/*）=%+（%一%）e-A,其中4 为正常数.现有一杯80 的热红茶置于2 0 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却，正 确 的 结 论 是.（填序号）/（t）0；若/（3）=6 5 ,则/（6）=5 0；若（3）=-4,则其实际意义是在第3 分钟附近，红茶温度大约以每分钟4 c 的速率下降；红茶温度从80下降到60所需的时间比从60下降到40所需的时间少.【解析】由题意知J=f（r）=20+60e*,对于，因为A为正常数，所 以 （=-6 0 的-*0,故正确；对于，若 f（3）=65,即 65=20+601”,所 以,=1 锹，则/（6）=20+601=20+60（“）2=20+60X-=53.75,故错误；416对于，f（3）表示t=3 处的函数值的变化情况，若f（3）=-4 0,故 F（。是定义域内的单调递增函数，由 于 尸（t）0,由题意得 f (%)=g(X o),即 1+1-=(A b 0),/去)则 a=_ x()_ 2 =|o+|2 A /A b -=一 2乖 ,x0 xt t)j x0 v当且仅当X o=2 ,即用=啦 时，等号成立，吊所以实数a 的取值范围为(一8,2 啦.