沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形集体备课教案教学设计（9课时含教学反思）.pdf

第23章解直角三角形教学设计23.1 锐角的三角函数.-I-23.2 解直角三角形及其应用.-11-23.1 锐角的三角函数2 3.1.1 锐角的三角函数第1课时正切教学目标1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。2、了解计算一个锐角的正切值的方法。教学重难点【教学重点】理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。【教学难点】计算一个锐角的正切值的方法。课前准备课件、教具等。教学过程一、情境导入如图，这种方法可以用来测量物体的高度.由图我们想到在直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本章的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关问题.二、合作探究探究点一：正切的定义【类型一】根据已知条件求锐角的正切值B例 1 如图，在中，ZC=90,AC+BC=：（ABO,A B=5,求 tan 8的值.解析：要 求 tan6的值，根据锐角三角函数的定义，则需要求出对边IC 和邻边优的长.已知斜边4月 5,且 4C+6C=7,所以可以根据勾股定理进行计算.解：设则比=7 x.根据勾股定理，得/+（79 2=5 2,解得x=3 或 4.AC 4*：AOBC,.,.AC4,BCi./.ta n j?=-=-Z zO o方法总结：本题的解题思路是根据已知条件确定的对边和邻边的长，采用了一般的解题方法，并体现了方程思想在求三角函数值中的应用.实际上，根据以往做题的经验，不通过计算，直接观察就可以解决.因为斜边是5,且两条直角边的和为7,所以两条直角边的长分别是4 和 3.【类型二】已知锐角的正切值求解其他问题例 2 在 中，NC=90,tan/=0.75,的周长为 24.求 的 面 积.解析：因为/比为直角三角形，所以要求它的面积可求两直角边4。和 宛 的 长.又 tan/RC O=齐=%AC+BC+AB=2,且 就=+6 巴 故 可 求 4。和比1的长，从而可求面积.AC 4BC 3解：V ZC=90,tanJ=0.75,tan J=.ziO 4设 BC=3k,则 AC 4k,:.AB=yjA。+Bd=y 16A2+9A2=5k.U：AC+BC+AB=249,.44+34+54=24,：.k=2,.C=8,6 6.8 =6 T x 8X6=24.方法总结：题目中已知锐角的正切值，通常利用正切的概念将其转化为边的比值，再根据周长求出各边的长度.这里采用了设参数（面的方法.探究点二：坡度、坡角例 3如图所示，梯形护坡石坝的斜坡初的坡度7=1：3,坝 高 BC=2米，则斜坡AB的长是（）BA.24米 B.2标 米C.4邓 米 D.6 米BC 1解析：先 由 4k1,芯=2 米，求出；再利用勾股定 理 求 出 的 长 /%=9 0 ,nC J7=1 :3,Be=-VBC=2 米，；.AC3BC=3 X2=6 （米）.AC J46=W d+6d=3 36+4=2yfTo（米）.故选 B.方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键.三、板书设计正切：在R t 板 中，我们把锐角4 的对边与邻边的比叫做N 4 的正切，记作t a n/.的对边 BC at a n ,?的邻边=方=务正切 坡度：坡面的铅直高度力和水平长度/的比叫做坡面的坡度，记作了，即w坡角：坡面与水平面的夹角，记 作。，J =，=t a n a.教学反思注重学生对锐角的正切概念的理解，引导学生积极主动地参与正切概念的探索过程.加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用.培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力，并注意联系实际，提高运用数学知识解决实际问题的能力.第 2 课时正弦和余弦教学目标1 .理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。2 .能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。教学重难点【教学重点】正弦、余弦的概念。【教学难点】准确运用正弦、余弦表示直角三角形中两条边的比。课前准备课件、教具等。教学过程一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(A 8).斜坡与水面所成的角(NO可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得.你能求出它的高度(AB)吗？二、合作探究探究点一：正弦的定义【类型一】求正弦值例 1 在 RtAABC 中，Z C=90,a=3,c=5,求 sinA 和 taM 的值.解析：先根据勾股定理求出人的长，再根据锐角三角函数的定义求解.解：在 RtZVIBC 中，c=5,a=3,byjc2a2=.5 2-3 2=4,.4 a 3 A a 3 si nA=1=tanA=g=方法总结：解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值.【类型二】已知锐角三角形的一个三角函数值，求其他三角函数的值例 2 已知在 RtZUBC 中，Z C=90,s in A=|,则 tanb 的值为()A-3 B-5C-4D-4解析：在 RtZkABC 中，Z C=9 0 ,则 sinA=*tanB=,a2+b2=c2;由 sinA=知，若b 4 Y 4设 a=3 x,则 c=5x.结合/+=/,得 6=4x.所以 ta n B=j=.故选 A.方法总结：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值.探究点二：余弦的定义【类型一】求余弦值例 3 如图所示，/A O B 是放置在正方形网格中的一个角，贝 I j c o s/AOB=.解析：如图所示，连接A B,设每个小正方形网格边长为1,则。A =转 不 不=2 小，0B=/1B=A/32+12=V T 0,所以 AB2+O B2=20,OA2=2Q,AB2+O B2=O A2,故 N A B O=9 0,O B 回平cosZAOB-O A-2-2 方法总结：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题.【类型二】构造直角三角形求余弦值例 4 如图，已知点P在第一象限，其坐标是（“，力，则 c o s a 等于（）A粉 把b a2+j(T+b1解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解.过点尸作P H _ L x轴，垂足为点H,如 图.在 R t A O P H 中，：PH=b,OH=a,：.OP=jOH2+P H2=yJa2+b2,.O H a,0.cosao p 后 转.故 选 C.方法总结：也可以过点尸作PM Ly轴于点M,注意点P（a,加到x 轴的距离是，到 y轴的距离是同，若点尸不在第一象限，则要注意字母的符号.三、板书设计1 十.,/A的 对 边BC a正 外M.IA-斜边-AB C正弦和余弦1|人共，NA的 邻 边A C b 本宓：c s A 一 斜边 一A B 一,教学反思注重学生对锐角正弦、余弦概念的理解.加强学生对数学思想方法的理解和应用，注意数形结合思想的应用.培养学生熟练运用方程思想求直角三角形中的某些未知元素的能力.通过数学建模把一些实际问题抽象为数学模型，从而提高分析问题、解决问题的能力.23.1.2 30,45,6 0 角的三角函数值第1课时30,45,6 0 角的三角函数值教学目标【知识与技能】1.熟记3 0、4 5、6 0 角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.2.在直角三角形中，如果一个锐角等于3 0 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【过程与方法】1 .培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.2 .培养学生观察、比较、分析、概括的能力.【情感态度价值观】经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性,感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度.教学重难点【教学重点】3 0、4 5、6 0 角的三角函数值。【教学难点】与特殊角的三角函数值有关的计算。课前准备课件、教具等。教学过程一、情境导入我们天天与三角板打交道，知道三角板有两大类型.如图，有 3 0。角的三角板和4 5。角的三角板，但你是否留意，每副三角板中两直角边的比值是多少？二、合作探究探究点一：3 0。、4 5。、6 0。角的三角函数值例 1 计算：(1)s i n6 0 X c os 4 5；(2)t a n23 0 +c os23 0 -s i n24 5 t a n4 5 .解析：把 3 0 ,4 5 ,6 0。角的三角函数值代入上式进行计算，注意1 声3 0。表示t a n3(r M a n3 0。.解:(l)；s i n6(T X 孚 c os 4 5 o=；义乎X 乎 义 坐=坐：Z Z Z Z Z Z o(2)t a n23 0 0+c os23 0 s i n24 5 t a n4 5 0=()2+()2()2 x 1=(+-=卷方法总结：这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算.探究点二：由特殊三角函数值确定锐角的度数、八 A例 2 在 RtAABC 中，若 sinA=2 则 8$万=.A解析：由 s iM=，得 NA=60。，所以 cos,=cos3()o=牛.例 3 在 RtZXABC 中，Z C=90,sin(9(T-NA)=坐，则 N4=.解析：因为sin45=苧，所以90 N A=4 5,所以NA=45.方法总结：熟练掌握特殊角的三角函数值，并能够由特殊的三角函数值来确定特殊角的度数.教学反思经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，让学生感受数学思考过程的合理性，逐步培养学生观察、分析、概括的思维能力.23.1.2 30,45,6 0 角的三角函数值第 2 课时互余两角的三角函数值教学目标1.理解并掌握任意两个锐角互余时，正、余弦之间的关系；2,会利用互余的角进行正、余弦函数的互换，进行简单地三角变换或相应的计算.教学重难点【教学重点】两个锐角互余时，正、余弦之间的关系。【教学难点】简单地三角变换或相应的计算。课前准备课件、教具等。教学过程一、情境导入1.在A8C 中，Z C=9 0 ,若/A=3 6。，则 N8=；若/8=5 3。2&,则/A =2.sin300=cos60o：=,s i n 6 0 =c o s 3 0 =,s i n 4 5 =c o s 4 5 =.完成上面两题我们不难发现，30。、45。、60。这三个角的正(余)弦的值，分别等于它们余角的余(正)弦的值.这个规律，是否适合任意一个锐角呢？二、合作探究探究点：互余的两个锐角三角函数间的关系【类型一】互余两角的正弦、余弦值的关系例 1 在AABC 中，ZC=90 ,若 sin B=g,则 cosA 的值为()A.|B.C.I D.*解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立.故选A.3例 2 已知 cosa=5，Q+=9 0。，则 cos=()3c 2c 4、33 3解析：cosa=5，a+，=析。，.siny8=cosa=5.设夕是一个直角三角形中的锐角,且sin/?3c i A-k 4=二C=SD 设 b=3k,c=5 k,则另一直角边的长度为。=4攵，cosS=C 二D=K五=3w故选C.方法总结：利用互为余角的锐角三角函数关系时，先判断两角关系，然后再寻求锐角三角函数之间的关系.将角放到直角三角形中，画出图形，根据图形设出比例式，表示出各边.【类型二】互余两个锐角的正切值的关系例 3在ABC中，NA,N B 是锐角，tanA,tanB是方程3/一拉+3=0 的两个根，则N C=.3解析：；tanA,tanB为方程3 f 一式+3=0 的两根，NA,N 8 是 锐 角.tan4 tanB=1,NA+NB=90,NC=180 N A-N B=90.方法总结：利用tanA tan(9()o-/A)=l,可得N A 与N 8 之间的关系，从而求出N C 的大小.三、板书设计任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值.si nA=cos(90ZA)cosA=sin(90ZA)tanA ta n(90-NA)=1互 余 两 角 的 三角函数关系教学反思互为余角的正弦与余弦函数值之间的关系是锐角三角函数的重要关系之一.掌握这一关系,对学生全面系统了解锐角三角函数以及后继的学习与应用都是十分重要的.23.1.3 一般锐角的三角函数值教学目标1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值；2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小;3.熟练掌握计算器的按键顺序.教学重难点【教学重点】用计算器求任意角的三角函数值。【教学难点】用计算器求任意角的三角函数值的实际应用。课前准备课件、教具等。教学过程一、情境导入如图，有一个斜坡，现在要在斜坡勿上植树造林，要保持两棵树水平间的距离为2 米,那么应沿斜坡方向每隔几米挖坑（已知坡面的倾斜角为16。1 8,即 图 中 的 弱？你能求出两坑的距离吗？二、合作探究探究点一：用计算器求一个锐角的三角函数值例 1 求 sin63 52 4 1 的 值.（精确到 0.0001）解析：按照计算器的说明操作.解：按下列顺序依次按键：扇1网 间 而 行 问 同 丽 尸 团 耳 回卜P s|R .显示结果为 0.897859012.所以 sin63 52 4 1 七0.8979.例 2 计算sin20-cos20o的值约为（保留4 个有效数字）（）A.-0.5 97 6 B.0.5 97 6C.-0.5 97 7 D.0.5 97 7解 析：本题是一道运用计算器进行计算的题目，运用计算器可知其结果是一0.5 97 7.故选C.方法总结：利用计算器求锐角的三角函数值时要注意：(1)参照计算器的说明书，掌握正确的按键顺序；(2)按键时要细心，不能输入错误的数据.探究点二：用计算器完成己知三角函数值求锐角例 3 已知 s ina=0.2,c o s =0.8,则万.(精确到 1 )解 析：已知一个角的三角函数值，求这个锐角，先按|2 nd F|,然后选择有关三角函数的键，输 入s in 或c os,后，再输入数字，得 到 这 个 锐 角 的 度 数.此 题 应 填4 8 2 4 .探究点三：三角函数大小的比较例4 (1)锐角的正弦值和余弦值随着锐角的变化而变化.试探索：随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值的变化规律；(2)根据你探索到的规律，试 比 较1 8、3 4、5 0、6 2、8 8 这些锐角的正弦值的大小关系和余弦值的大小关系；(3)比较大小:若 a =4 5 ,则 s in。_ c os a ；若 a 4 5 ,则 s in a c os a(填或“=”)；(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：s inl0 、c os 3 0 、s in5 0 、c os 7 0 0 .解：(D锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小；(2)s inl8 0 s in3 4 s in5 0 s in6 2 s in8 8 0 ,c os 8 8 c os 6 2 c os 5 0 c os 3 4 c os l8 ；当 a=4 5 时，s in a=c os a-当 a 4 5 时，s in a 4 5 时，s in a c os a；(4)Vc os 7 0 0 =s in2 0 ,c os 3 0 0 =s in6 0 ,A s inlO0 c os 7 0 0 s in5 0 0 tan30 tan45:AD+BAAB,.(4 +1)3 6 0 0,.加 300(#1)(km).在 R t6 中，6c=30味(/一 1)(km),在 RtZX/察 中，600(73-1)(km),.C+8 6 0 0(小一 1)+300班(十-1)-7 4 7(km),747-600=147(km).答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了 147km.方法总结：构造直角三角形，分别解两个直角三角形.三、板书设计方向角问题指南或指北方向线与目标方向线所成的小于9 0 的水平角，叫做方向角.教学反思通过学习本课时内容，让学生认识到日常生活中许多问题可以转化为直角三角形的问题，并从中体会直角三角形的边角关系在解决实际问题中的作用.23.2 解直角三角形及其应用第 4 课时坡度问题教学目标【知识与技能】会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法.【情感态度价值观】使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.教学重难点【教学重点】理解坡度的概念和有关术语。【教学难点】解决有关坡度的实际问题。课前准备课件、教具等。教学过程一、情境导入在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量.从尸处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示.4H你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？二、合作探究探究点：与坡度或坡角有关的实际问题例 1 一辆汽车从坡底走到坡顶共用3 0 s,车速是2m/s,汽车行驶的水平距离是40m,则这 个 斜 坡 的 坡 度 是.解析：坡面距离为30X 2=60m,水平距离为4 0 m,铅直高度为啊二而=2帖（m）,；.坡度/=2 附：40=小：2.方法总结：根据坡度的定义了=夕，解题时需先求得水平距离/和铅直高度几例 2如图所示，在平面上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m,如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为（）A.5mB.6mC.7mD.8m解析：由题知，水平距离/=4 m,，=0.7 5,铅直高度力=1，=4X 0.75=3（m）,坡面 距 离 为 后 S=5（m）.故选A.方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离.例 3如图所示，给高为3 米，坡度为1：1.5 的楼梯表面铺地毯.已知每级楼梯长度为1.5 米，地毯的价格为每平方米8 元，则铺完整个楼梯共需多少元？解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为比1与 4C的和，而由坡度的定义知号士，所以4C可求.AC 1.Be 解：=，月 6=1.5?=1.5义3=4.5（米）.AC 1.5：.AC+BC=A.5+3=7.5（米）.地毯的总面积为1.5X7.5=11.25（平方米）.，需要的钱数为8X 11.25=90（元）.答：铺完整个楼梯共需9 0元.三、板书设计坡度（坡比）的问题：坡面的铅直高度力和水平宽度/的比叫坡度（或坡比），即f=ta n a=/?：1,坡面与水平面的夹角。叫坡角.教学反思本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义.