人教版数学必修一.pdf

人教版数学必修一第一章集合与函数的概念重难点解析第一章课文目录1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质【重点】1、集合的基本概念与表示方法；子集与空集的概念；用 V e n n 图表达集合间的关系。集合的交集与并集的概念；集合的全集、补集的概念；2、理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；3、区间的概念，求函数的定义域和值域；4、函数的三种表示方法，分段函数的概念；5、映射的概念;6、函数的单调性及其几何意义；7、函数的最大（小）值及其几何意义；8、函数的奇偶性及其几何意义；【难点】1、运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；弄清元素 与 子 集、属于与包含之间的区别；集合的交集与并集“是什么”，“为什么”，“怎样做”;集合的全集、补集以及求集合中元素个数问题；2、符 号 y=f（x）”的含义，函数定义域和值域的区间表示；3、根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象；4、利用函数的单调性求函数的最大（小）值；6、利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性；7、判断函数的奇偶性的方法与格式.一、集合的含义与表示1.集合的含义（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为 元 素（e l e me n t）,把一些元素组成的总体叫做巢台（s e t）（简称为靠）。说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的,不定义的概念，只可描述，不可定义。(2)表示方法：集合通常用大括号 或大写的拉丁字母A,B.C表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c表示。注意：集合的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征.确定性是指构成集合的元素具有明确的特征，而某一元素在集合A 中或不在集合A 中二者必居其一，能够明确的区分，不能模棱两可.互异性是指集合中不同的字母表示不同的元素，而同一元素在集合中不能重复.无序性是指集合的构成与元素的顺序无关，构成集合的元素相同而仅排列的顺序不同应认为是同一个集合.2、集合的表示方法(-)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号里的方法.说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；(2)一般不必考虑元素之间的顺序；(3)在表示数列之类的特殊集合时，通常仍按惯用的次序；(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律，其余元素以省略号代替；(-)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号里的方法)。表示形式:A=x|p,其中竖线前x 叫做此集合的代表元素；p 叫做元素x 所具有的公共属性；A=x I p表示集合A 是由所有具有性质P 的那些元素x 组成的，即若x 具有性质P，则 xe A；若 xe A,则 x 具有性质p。说明：(1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；(2)应防止集合表示中的一些错误。3、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，如图所示：图 11图12表示任意一个集合A表示3,9,27说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.【典型例题】【例 1】平方后仍等于原数的数集解析：X i=%=0,1【例 2】比2 大 3 的数的集合解析：xlx=2+3=5【例 3】不等式X2-X-60的整数解集解析：x e Zl x2-x-60=x e Zl-2x-2,B=xlx-2D xlx3=xl-2x3 o【例 8】设人=国似是等腰三角形,B=xlx是直角三角形）,求 AA B。此题运用文氏图，其公共部分即为AAB.（图 1-7）解：ACB=xlx是等腰三角形 A xlx是直角三角形=xlx是等腰直角三角形）。【例 9】设人=4,5,6,8,B=3,5,7,8 ,求 AU B。图1-6 运用文氏图解答该题（图 1-8）解：V A=4,5,6,8,B=3,5,7,8 ,贝 ijAUB=4,5,6,8U3,5,7,8=3,4,5,6,7,8）。【例 10设 A=xlx是锐角三角形,B=xlx是钝角三角形,求AU B。解：AUB=xlx是锐角三角形 U xlx是钝角三角形=xlx是斜三角形。【例 111 设 A=xl-lx2,B=xllx3,求 AU B。利用数轴，将 A、B 分别表示出来，则阴影部分即为所求（图1-9）解：AUB=xl-lx2）U xllx3）=xl-lx 0)；y=l 与 y=x 若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x 所代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为x m,长是宽的2 倍，其面积为y=2x?,此函数的定义域为x 0,而不是x e R .(3)值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。(4)区间的概念设 a、b是两个实数，且 a b,规定：(1)满足不等式a Wxb的实数的x 集合叫做闭区间，表示为 a 力;(2)满足不等式a xb的实数的x 集合叫做开区间，表示为(a,b)；（3）满足不等式a xb的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为 a,b）；（4）满足不等式a x Wb的实数的x 集合叫做也叫半开半闭区间，表示为（a,b ；说期 对 于 a,b ,（a,b）,a,b）,（a,b 都称数a和 数 b为区间的端点，其 中 a为左端点，b为右端点，称 b-a 为区间长度；引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：不等式表示法：3 x 7 （-一般不用）；集合表示法：x|3 x a,x b,x b的实数x的集合分别表示为 a,+8 、（a,+8）、（-8,b）、（-8,b）。2、函数的三种表示方法（1）解 析 法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如 y =3x2+2x +l,5=7ir,C=2万 尸,S =6 产等。心 上f简明，全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值；（2）列 表 法（列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（3）图 象 法（用图象来表示两个变量的函数关系）：如：优点:直观形象地表示自变量的变化。3、分段函数把函数的定义域分成几个区间,在各个区间内，函数的解析式不一样的，这样的函数称为I*jj 1 3 VJT0分段函数.如-c 是一个分段函数.分段函数表示的是一个函x+l 0 x0,即x l；乂x +4 2 0,即x 2-4,故函数的定义域为-4 W x l,用区间表示为-4,1 ).【例 14求函数y=ar csi n，的定义域.X解析：除x不能为零外，O i l-1 这个不等式已经把x=0除外，所X以函数的定义域是(一0 0 ,-l U f 1 ,+0 0).【例 15】某种笔记本的单价是5元，买X(X W 1,2,3,4,5 个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y =f(x)o解析：这个函数的定义域是数集 1,2,3,4,5 ,用解析法可以将函数y =/(x)表示为y =5 x,xw 1,2,3,4,5 。用列表法可以将函数y =f(x)表示为笔记本数X12345钱 数 y51 01 52 02 5图象法略。说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。【例16】作出下列函数的图象(l y =|x 2|(x +l)；(2)y =l d*分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外,我们还应想到对已知解析式进行等价变形.解析：(1)当x2 时，即x 2 N0 时，y =(x-2)(x +l)=x2-x-22_ 9-4当x 2 时，卬x 2 0,y =10W=10l g x=x；当0 x l 时，l g x l)I,(0 x l)这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.（见图7）图6图7说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价,要特别注意x,y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.【例17】某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）.已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义.根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.解析：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是 x N*l x W 19.山空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：2 0 x 53 5 x 1 0 、,*y =（x e N ）4 10 x 155 15x 那么就说/(x)在这个区间上是增 函 数(i n c r e a s i n g f u n c t i o n)o如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值X I、X 2,当 X X 2时都有/(X。了(X 2).那么就是/(x)在这个区间上是减函数(de c r e a s i n g f u n c t i o n)o(2)如果函数y=(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y (x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y (x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：A、函数的单调性也叫函数的增减性；B、注意区间上所取两点xi,xz的任意性；C、函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。(3)函数最大值与最小值的含义一般地，设函数y =/(x)的定义域为/,如果存在实数M 满足:对于任意的X /,都有/(X)M;存在与 e I，使得/(x0)=M o那么，我们称我是函数y =/(x)的最大值(m axi m u m val u e).思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数)=/(x)的最小值(m i n i m u m val u e)吗？(4)二次函数在给定区间上的最值对二次函数5?=。/+加;+0时，函4cic b 4 oc b数有最小值是，当。0时，函数有最大值是；若 给 定 区 间 是 切，则4 a4a必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值(见下列例题)。【典型例题】【例18】证明函数/(x)=3 x+2 在 R上是增函数。证明：设任意xi、x2e R,且 xK xz.则/(X)-/(xz)=(3 xi+2)-(3 xz+2)=3 (xi-x2).由 Xi X2 得 Xi-X2 0./(Xi)-/(X2)O,即/(x)y(X2).,./(x)=3 x+2 在 R上是增函数。分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设 Xi、XzG 给定区间，且 xi X2；b.计算/(XM/(X2)至最简;C.判断上述差的符号；d.下结论。【例19】已知a,beR4,3 a+4 b=1 2,求 ab最大值。解析：(法一，考 虑化归为：次函数类问题)*/3a+4b=12,b=3一 r a,ab=r a+3a=r (a-2),+3又由题设 a,bR ,J a e (0,4)n由二次函数性质可知-；(a-2)2+3在区间a e(0,4)上非单调,顶点纵坐标即y 最大值。rJ即(ab)hix=3,当 a=2,b-时取得。(法二，考虑运用三角换元化归为Asin(3x+)类)a b.-,/a.bGR；3a+4b=12,即 4 3=1,故 可 设4=cosa,a2A-3-29aa=4cos,b=3sin2 a,ab=12sin a cos2a=3sin 2 a,X a G(o,2),2a G(o,n),/.sinJ2 a (0,1,(ab)=3.，ab=12 3 a 4 bW 12 2=3,当且仅当3 a=4 b=6,即 a=2,b=?时不等式等号成立。即 当 a=2,b=工时，（ab）-3。评注：平均值定理使用时，必须同时兼顾三个方面，1 各项各因式均正，2 求最值，放或缩都要到定值，3 要考虑等号能否取到。JK【例22】已知x,y R,满足（x-2）?+y 2=3,求 X 的最值。解析：考虑运用数形结合思想，因为该题目所涉及内容有解析几何背景。解析：依题，设 P（X,y）为以点C（2,0）为圆心，以S为半径的圆上任一点，求 x的最值亦即求该点P与坐标原点0连线的斜率的最值。山图示可知当0 P 与。C相切时取到，山解三角形知识可得，（*）g=石，（*）他=-45。I+巨当 X=h y=2 时取得。评注：数形结合方法的运用需要熟知一些代数式的几何意义和对一些问题的联想能力。如例4中（4）亦可用数形结合方法求解。由 y=x-J l-x”可变为 Jl-=x-y。令J 1 一J=x-y=t,贝 Nl-J=x-y 的意义可理解为两个函数，t=J l-，t=x-y 有公共点的问题，此处可看作定曲线，t=x-y可看作固定斜率的动直线，问 当y取何值时，两曲线有交点，y的最大最小值？由图示可知，-y w T,忘,ye卜 衣，.六、函数的奇偶性1.偶函数一 般地，(板 书)如 果 对 于 函 数/(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=/(x),那么函数/(x)就 叫 做 偶 函 数(e v e n f u n ct io n)。2.奇函数/(-x)=-fix)一 般 地，(板 书)如 果 对 于 函 数f(x)的定义域内任意一个x,都有，那么函数/(x)就 叫做奇函数(o dd f u n ct io n)o3 .奇偶性如果函数/(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数/(x)具有奇偶性。注 意：主要根据奇函数或偶函数的定义进行判断；函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有/(x)=0 (x G R或x G(-a,a).a 0)既是奇函数又是偶函数。从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；其次/(-X)=/(x)或/(-X)=-/(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算/(-X),看是等于/(X)还是等于(x),然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。结论：奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；【典型例题】【例 21】已知函数y=f (x)在 R上是奇函数,而且在(0,+8)是增函数。证明y=f (x)在(一 o o,0)上也是增函数。证明：设 x x：,-X 2 0./(X)在(0,+8)上是增函数。.,/(-X,)/(-x2),又户X)在 R 上是奇函数。.(X l)/(X 2),即产X)/(X 2).,.函数y=/(x)在(0,+8)上是增函数。【例2 2】判 断 函 数 /(X)=,X G(-0 0,+0 0)和 函 数 力(%)=,%G%：X W 0 的奇偶性.解析：因为/(一%)=(一%)2 =)/2(-X)=-(-X)-3=X-2=-/2(X)所以工(%)为偶函数，力()为奇函数.【例 23】判断下列各函数的奇偶性：(1)y=x(x+sinx)(2)y=-(3)y=x3 4-2cosxax-ax解析：(1)因为/(-x)=(-%)(-%)+sin(-x)=-x(-x-sin x)=x(x+sin x)=/(x),所以y=x(x+sinx)是偶函数.(2)因为/(x)g-x+g-i-x)ax-a-(x)Q.+Qa-X-ax=-7(x)x-x所以y=+a 是奇函数.ax-ax(3)因为/(-x)=(-x)3+2cos(-x)=，+2cosx R/(x),也不等于一/(x),偶函数奇函数图 1.2