高中数学选择性必修二等比数列的前n项和讲义.pdf

4.3.2.1等比数列的前n项和共 同 基 础 系统落实GONGTONGJICHUXITONGLUOSHI要点一 等比数列的前”项和公式课前自主学习，基稳才能楼高.叫(q=l)S产 6(1 q)1。(g/l)等比数列前 项和公式【重点总结】(1)等比数列前n项和公式分q =1与 q W l 两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论.(2)q W l 时，公式=当 三B 与 S”=千 等 是等价的，利用加=aiq n r可以实现它们之间的相互转化.当已知a”q与 n时，用 S“;当 二3“较方便；1 q当已知a”q与 an 时，用 S0=+曹 较 方便.要点二 等比数列前n项和的性质 当 K时，当 户 附*含(2)S+m=Sj+q S”=S+夕 Sin.(3)设 S 饵与S 奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2，则f j=q；若项数为2+1,则 十 里=q.(4)当 41 时，连续加项的和(如S,“，Slm-S,S3 m-S2m,)仍组成等比数列(公比为0 ,加2 2),注意:这连续m项的和必须非零才能成立.【笔记小结】(1)当 q =且 k 为偶数时，Sk，S2k Sk，S3k S2k，不是等比数列；(2)当 q W 1 时，或 q =-1 且 k 为奇数时，Sk,S2k Sk,S3k S2k，是等比数列.(3)若 aj是公比为q的等比数列，则：前n项积=aY q 誓；连续m项的积仍为等比数列，即 Tm,要,1 m缶，是等比数列，公比为q m 2.【基础自测】1.判 断 正 误(正 确 的 画，错误的画“X”)(1)求等比数列 四 的前项和时可直接套用公式$=知肾”来求.()(2)若首项为。的数列既是等差数列又是等比数列，则其前项和为S“=a.()若某数列的前项和公式为S产 一 时+a(a O,g#0 且 q W l,e N*),则此数列一定是等比数列.()(4)若 S“为等比数列的前八项和，则 S3,S6,S9 成等比数列.()【答案】(1)X (2)V (3)V (4)X2.已知等比数列 如 的首项0=3,公比q=2,则 Ss 等于()A.9 3 B.-9 3C.4 5 D.-4 5【答案】Ar 缶”*c。|(1 一 夕 )3(1-2$)0a【解析】S5 1I q ,1 o2 9 3.故选A.3.己知等比数列 的前项和为S，若 S3=l,S 6=9,则公比q=.【答案】2【解析】S6 53=。4 +5 +6 =(苗+2+。3)03=8 3，夕 3=1 X =8.=2.关 键 能 力 重点培优 课堂讲练设计，举一能通类题GUANJIANNENGLIZHONGDIANPEIYOU题型一 等比数列前项和的基本运算【例 1】在等比数列 飙 中，(l)S2=30,S3=1 55,求 S”；(2)。1+。3=1 0,。4 +。6=1，求 55；(3)。1+。”=66,U2(ln-1=1 28 r Sn=1 26,求 4.。1(1 +q)=30,【解析】(1)由题意知,口(1+炉)=1 55,(_=i l H6)c a+=给 =&；项数为2M=12.则此等比数列的项数为12.【方法归纳】(1)在涉及奇数项和S 存与偶数项和Sw时，常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2，则丁=q(S+W0);3号Q _若项数为2n+1,则 “=夕(SeW0).(2)等比数列前项和为&(且&W 0),则S，S2LSn,S3 一 S2“仍成等比数列，其公比为必夕工一1).题型三与S 关系的应用【例 4】设数列 斯 的前项和为S.已知。1 =1，。2=2,且%+2=3S-S/1+3,(1)证明：斯+2=3。“；求Sn.【解析】(1)证明：由已知,即+2=3S S+1+3,因而对任意WN*,2 2,有an+1=35”-1 S+3.两式相减，得 R+23+1=3。一%+1,即。+2=3。，22.又因为。1 =1,42=2,所以。3=3S 52+3=3。(4|+2)+3=3。.故对一切 仁 N*,如+2=3。.(2)由 知,%W 0,所 以 等=3,于是数列。2,一 是首项0 =1,公比为3 的等比数列；数列。2.是首项02=2,公比为3 的等比数列.因此ain-i-y,a2n2X3.于是 S2=ai+42+。2=(|+。3+。2”-1)+(2+。4+。2”)=(1+3+3 1)+2(1+3H-F 3 1)3(31)3(3-1)3=3(l+3 +-+3 -1)=L 2 从而 S2n-1 =S2fl2=L2 2X3f l-1=5(5X 3fl-2-1).住 5X3宁一1),是奇数，综上所述，遥 1),是偶数.【方法归纳】由a=S-S -i(N 2),进行转化，得到斯+2=3。.由如+2=3许知 4 是由两个等比数列构成，所以求S时要分奇数项与偶数项和，并且要注意对是奇数和偶数时讨论.2 1【跟踪训练2若数列 斯 的前项和S产子z+亨 则如【答案】（-2）门【解析】由an=Sn-Sn-i（n 2）得（in 2%-1（篦22）2(2 2)又 4 1=1 ,（-2）1,经检验当=1时,上式也适合，期=（一2）工【易错辨析】忽略对公比q的讨论致误【例5】已知等比数列”“中，a=2,53=6,3=.【答案】2或8【解析】若 夕=1,则 S3=3I=6,符合题意，此 时 的=0=2,若q W l时，则S3 =2（1一炉）1q 1 q=6,解得 q=-2,此时 a3=mq2=2X（2）2=8.综上。3的值为2或8.【易错警示】1出错原因忽略了对公比夕的讨论，直接使用了等比数列的前项和公式s.=，二从而漏解致误2.纠错心得解答有关等比数列求和问题时，应考虑公比q两种情况夕=1或q W l,否则容易出错.一、单选题1.已知等比数列 叫 的 前 项 和 为S，若$2=1,S6=7,则S4=（）A.-2 或 3B.-2C.3D.土币【答案】C【分析】用等比数列的基本量表示出邑,邑,56,然后代入条件计算得答案.【解析】由题可知4工1,0S2=q(i-d)cq(i-q)0 4；-，/=i-q(1-夕6i-qS4 12s6 1 2 4团寸=1+如，消=i+0+q ,32 0 S2=1 ,S6=7 ,W+q 2+/=7,叼 2=2,团 S 4=1 +g?=3.故选：C.2.数列/,也 满足4=仇=2,a+l-an=2,e N-,则数列%的前1 0项 和 为（）A.*4 T）B.（4 1-1）C.1（4M-1）D.|（4 8-1）【答案】B【分析】根据题干所给条件写出数列MJ,也 的通项公式，并写出数列也J,得知数列%是等比数列，再用等比数列的前项和公式即可.【解析】b回数列。“,他 满足 4 =伉=2,an-an=2 ,n N,回数列 4 是等差数列，首项是2 且公差是2,也,是等比数列，首项是2 且公比是2,回数列 q 的通项公式为4=q =2，数列出 的通项公式为bn=h,-2T=2,则数列%为%=2%,设%=%,贝 此“=%=2 2=4,邑=4团数列%是等比数列，且公比为4,首项为4.则数列&的前1 0 项和为九=，丫 丁）=（41 0-1），即数列h 的前10项和为。（4 -1）.故选：B.3.设S,为等比数列 q 的前项和，已知3 s广4-3,3与=%-3,则公比，尸()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【分析】根据题干所给条件列式并联立计算即可.【解析】设等比数列 的第一项为a,，则a3=a,q2,a4=a,因为3 s 2=3-3,则3(4+01g)=qg2 _ 3,得3 q+3 qq_ qq？+3 =0 因为 3 s 3 =%-3 ,则 3(弓 +ayq+aAq2)=atq3-3,得 3勾 +3 4 g+3 atq2-a 4 +3 =0 式子-，得4”。=闻3,显然”产0,行0,则4 =4.故 选:B.4 .数列 ,中，4=2,对任意见w,若%i+%2 +，+1 0 =2”-2 5 ,贝必=()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】取，=1,可得出数列%是等比数列，求得数列%的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于Z的等式，由 w N*可求得女的值.【解析】在等式a,i=4 中，令”=1,可得4川=4 4=2。“，乎=2,所以，数列 4是以2为首项，以2为公比的等比数列，则为=2X2T=2,初 +*+/。=2）=2）=2 （2 -1）25（2|0-1）.2t+,=25,则4+1 =5,解得=4.故选：C.5 .设数列 q 满足4+2%+4 4+2 一&=j 则数列%的前。项和5，为（）【分析】由题得4+2%+4 a3+2%,1=、1(2 2)(1),弓+2%+4%+2 一&=:,(2),两式相减求出=(1 r+l即得解【解析】由题得q+2%+4/2)(1),M又 4 +2a2+4 a3 -H 2W xaH=(2),(2)-(1)得 2&=；,；q=(g 严 适 合 ,=；.所以=(；)，所以数列 4 是以:为首项，以g 的等比数列，2故选：C6.定义区 表示不超过的最大整数,如-0.5 =-1,2.3 =2.若数列 4 的通项公式为/=log2矶 e N-4095则 z“”=（）n=lA.10X2I2+2 B.9 x 2+2 C.2l0-2 D.7 8【答案】A【分析】由题可得当2,W 2*+i(A e N)时，含有2,个数列“中的项4,=log2 =&,又2”4 0 9 5 4 0 9 6 =2%再利用错位相减法即求.【解析】由题知当2 W”2*+|(k e N)时，含有2k个数列 4 中 的 项=log2 n=k,又 2”4 0 9 5 4 0 9 6 =22,4095所以=0 x 2+1 x 2 1+2 x 2?+1 1 x 2”,n=l4095两边同乘以2,得2 Z q,=0 x 2 i+l x 2 2+2 x 2 3+-+l l x 2%n=l两式相减，得4095-a,=0+2+22+-+2-11X212n=2(1-叫-11X2,2=-10X2I2-2,1-24095所以 Z。,=1 0 x 2 1 2+2.n=l故选：A .7 .给出命题：若 S“=a q”+b(,b,4 都是与 无关的常数)等比数列 q 的前“项和，贝 h+6=0.在这个命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【分析】根据公式q=得到原命题为真，故逆否命题为真，举出反例S,恒等于0 得到逆命题和否命题为假,得到答案.【解析】因为所以q=S =殉+；当 N2 时，a=S-5 小=(的 +b)-(aqn-+b)=a(q-1 时一，由于 4 是等比数列，所以=(4-I M 对4 =预+。也适合，所以+6=z(g -1),化简得a+Z?=0,所以原命题是真命题，因此逆否命题也是真命题；反之，当a=b=0 时，满足a+b =0,但此时5“恒等于0,S“不可能是等比数列 a,的前 项和，所以逆命题是假命题，因此，否命题也是假命题.故选：C.8 .已知数列 q 的前项和为S“，且满足四+3 2 4+3 a=(e N*),若对于任意的x e 0,l ,e N*,不等式S,-2 f-(a+l)x+/-a+g恒成立，则实数。的取值范围为()A.(ro,TU3,+oo)B.(-oo,-l)U(3,+o)C.(0,-2Ul,+30)D.(,2)J(l,+oo)【答案】A【分析】首先根据题意求出4=(,从而得到S“；再由对于任意的x e 0，wN”,不等式S,-2/-(“+l)x+a2 a+g 恒成立，得至I不等式2丁+(a+l)x-。在左6.,1 时恒成立，从而得到f f(:0)0,通过解不等式组即可求出实数的取值范围.J u【解析】因为 3。1 +3 ci-,+.+3=/?(?w N),以“22 时，3q+3 a?+.+3 =1,两式相减，得3%,=1(之2),即=(2 2),又=1 时，3 4=1,所以q=g,因为4=：也适合所以所以iLfiYls=3 _J/,“_ 2 _(3川 23因为对于任意的x e 0,1,e N,不等式S“2x (a+x+a a+恒成立，所以对于任意的x 0,1,不等式g -2x2-(a +l)x+a2-a +恒成立，即对于任意的x e 0,1,不等式2/+(。+1)；(:-/+。0恒成立，(0)4 0 -a2+a0 所以只需:即I (八2 一 八，解得或姓3.7(1)0 2+(a+l)-a-+a 。，S“是数列 4 的前 项和，若 4=2,a2+a3=l2,则下列结论正确的是（）A.S$=63B.q=2C.数列*+2 是等比数列D.数列 lg 是公差为2 的等差数列【答案】BC【分析】利用已知结合等比数列的通项公式求公比4,进而写出通项公式、前”项和公式，结合各选项判断正误即可.【解析】由题设，4（q+q2）=2（q+q2）=12,即/+4-6=（q+3）（q-2）=0,由q 可得：g=2,0a=2 S=W）=2+J2,i-q回 lgq,=lg2且公差为lg2；S“+2=2“且 邑=2 J 2 =62.综上，A、D错误，B、C正确.故选：BC1 0.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形如下图的雪花曲线，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得 图（2）,如此继续下去，得 图（3）L,记 q 为第 个图形的边长，记 也 为第个图形的周长，S“为.小 的前项和，则下列说法正确的是（）1 1 oC.若 如 勾 为 低 中 的 不 同 两 项，且 以 也=为 也，则上+上最小值是2m n 314D.若 人 2s“一 3。恒成立，则 的 最 小 值为:n【答案】AD【分析】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的应用，属于较难题目.设第w个图形的边数为p“，可得 p,为等比数列，求得其通项公式，并求得 可 的通项公式，进而得到5“和也,的通项公式，即可对A,B作出判定；利用等比数列的性质得到?+=6,进而求得工+，的最小值，tn n判断C选项；根据s“的单调性和范围求得2s“一白单调性和范围，从而求得-4 的最小值，从而判断D选项.【解析】由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的（，边数是上一个图形的4 倍，I 4可得周长的递推关系式为2=：X42 口 ,由图知，4=3.也=3仁，选项A 正确;从第2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的g,所以数列 为 是 1 为首项，g 为公比的等比数列，1-仕丫,1所以S=1=3 1-flY =3 一 !,选项 B错误；1_1 2 U J J 2 2-3-3由寓，3.肌肌唱广唱计算得九+2=6所以,+，=!（,+=+当 且 仅 当，=时取=.m n b m nJ 6 m n J 5因 为 题 中 要 求 相 所 以 选 项 c 错误；根据选项B 中的分析，S“=弓一所以Z Z,J Z V J）Z J）Z3即 14s设 y=2 S“-：,则y 在 S“e 1,1）上单调递增.所以S“e 1,|）时，ye7所 以 -几 的 最 小 值 是.选 项 D正确.故选：A D.11.（多选题）如果有穷数列 ai,G,S,，am（m 为正整数）满足 5=%,BP a；=am-；+i（/=l,2,.m）,我们称其为“对称数列”.例如，数 列 1,2,5,2,1 与数列8,4,2,2,4,8 都是“对称数列”.设 瓦 是项数为2m（ml,m 倒 N*）的 对称数列”，且 1,2,22,23,.依次为该数列中连续的前m 项，则数列 6 的前100项和Si。可能的取值为（）A.21001 B.251-2C.2264 D.2m+122m-10 1【答案】A B D【分析】依题意可得数列 劣 为 1,2,2 2,23,2 g，2-，.2 3,22,2,1,再对机分类讨论，利用等比数列的求和公式计算可得；【解析】解：由题意知数列 6 为 1,2,22,23,2 .2 3,22,2,1.若，”=5 0,则S 1n o=2 x,x,；）=2）_2,故 B 正确；l xh-22 m-l o o1 ,右 51 4?故 D 正确.0 0 1-2 1-2若加之1 0 0,则 Sg：上1故 A 正确.1 0 0 1-2故 选:A B D第 H 卷（非 选 择 题）请点击修改第I I 卷的文字说明三、填空题12.若等比数列 4的前 项和为S ，且*=3,则含=.【答案】5【分析】根据题意和等比数列的求和公式，求得q?=2,结合求和公式，即可求解.【解析】因为q=3,若9 =1时，可得含=2*3,故 1,2d24。一/)所以/i，/旦=3,化简得 1-T=3(1 /),q(i )i-qi-q整理得/-3/+2 =0,解得/=1或g =2,因为4#1,解得不=2,所以言 =d4 l-q 1-2故答案为：5.13.已知数列 4满足4,=1 +2 +2 2+2 则 4的前项和S“=.【答案】2+-2-n【分析】根据等比数列前项和的公式求出数列%的通项，再利用分组求和法即可求出答案.【解析】1 _ 9N解：团2=1 +2 +2?+2 T =-=2 -1,1-2回5“二(2 +2 2 +.“+2 )_ =2*1；2 =故答案为：2 i-2-.14.在等比数列处 中，%-%=1 2,&-。4=2 4,记数列 4的前项和、前“项积分别为S“，T,若(S +叶4/1 7；对任意正整数都成立，则 实 数 尤 的 最 小 值 为.【答案】8【分析】先求出4=1,0，要(S,+1)*蜀，-q 1-2 ”即a *生 土 1 L对任意正整数”都成立，I.取7 (，+1 广只要4*-,-m a x(S“+l)2 _上_ 2,卓_ 如 )_ 刹T乂 不 一 (-1)一 乙 一 乙 一 乙 ,/2 2所以”=2 或3 时，(臬+1)取最大值8,T.所以228,九的最小值为8.故答案为：8四、解答题1 5.已知等比数列 q 的各项均为正数，2%,即 4&成等差数列，且满足=4 诏，数 列 也 的前 项和S.=d，eN*,且=1.(1)求数列m 和 的通项公式;设求数列匕 的 前 项 和&a，u=2k(k wN)【答 案】(1)=()(n G N*);=(w e N)(n+D ln 1、.(2)P.=2.,”e Z)n 1八 1 、+-(1-),n=2k14 3 r【分析】设等比数列 叫 公 比 q，由给定条件求出q 及 a i即可得 4 的通项；由5=色!工2 结合 当 w N,*2 时，S.-%=*即可得b的通项.(2)利用(1)的结论分类讨论，借助分组求和方法及等差等比数列求和公式即可计算得解.(1)设正项等比数列 4 公比q,因2%,%，46 成等差数列，则2%+4%=2%,即/q+2a4q2=4 ,22+-1=0,而 4 0,解得 q=g,又%=4抬，即 q/=4(/)2,q=4“；q,解得 4=5,所以数列 ,的通项公式是a=(g),e N；n e N 数列出 的前n 项和S“=*2,当”2 2 时，=S“-S -=后 如 整理得：4=冬，于是得数列 4 是常数数列，则 组=3 =1,得=，n n-n n 1所以数列也 的通项公式是=,neN.(2)n.n=2k-l(k G N*)由(1)知，cn=S“即可得答案.(1)解：设 2021年度火电发电量为q=8亿千瓦时，以后每年度的火力发电量为外,令，因为根据规划，2021年度以后，火电发电量每年比上一年减少20%,所以2021年起，每年的火力发电量构成数列%,且满足 =8,所以数列 4 是等比数列，公 比 为 首 项 为 q=8,所以a“=8 x(1),贝=40 1-(：)=4 0-4 0 x(1)，1-5设 2021年度清洁电能发电量为=4 亿千瓦时，以后每年度的清洁电能发电量为打也,因为根据规划，2021年度以后清洁电能发电量每年比上一年增长25%,所以2021年起，每年的清洁电能发电量构成数列 4 ,且满足4=4,心 2),所以数列 是等比数列，公比为：，首项为4=4,入 V-J i.所以6,=4XQ)，则工,=*L16 一图=16x(：)-1 6，1-4(2)解：根据题意，假设第年清洁电能总发电量将会超过火电发电总量,所以4 5 ，即 16 40 4 0 x(g),整理得 16x(q)+4 X()56,令图=t ,则 16f+少5 6,即 16/-56r+4 0 0,解得f|或f 2所以仔即,l og,-5=Ig5-lg2=l-21g-21 h Ig5-lg4 l-31g24.1故当=5 时，Tn Sn,即从2025年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量1 7.已知等差数列 q 满 足%+%=28,6=%+9(1)求数列 4 的通项；(2)无穷等比数列他,的前”项和为S“，且4=%-q,再从条件、条件、条件，这三个条件中选择两个作为已知条件，求满足S,2022的最小正整数n.条件：4 =12；条件：b“；条 件 ：$=21.【答案】(1)=3 n-l；(2)/i=10.【分析】(1)由等差数列通项公式可构造方程组求得4 7,由此可得(；(2)(i)选择 时，结合等比数列通项公式和瓦 2022且 6 N“可解不等式求得结果；(ii)选择 时，结合等比数列通项公式和邑可求得4,利用等比数列求和公式求得S“，由S”2022且wN*可解不等式求得结果；(iii)选择 时，利用等比数列求和公式和么可求得4,利用等比数列求和公式求得5.，由S”2022且“N*可解不等式求得结果.(1)./+%=2a,+8d=28 fa=2设等差数列 4 的公差为d，贝 IJ ；_二=3=9 解得：=3 “5 02 I /.an=2+3(-1)=3-1；(2)选择 ：由(1)可知：。二 3九 一 1,.4=2,a2=5,贝|J4=3.设等比数列 也 的公比为夕，.屹=12,.刖2=3。2=2,解得：q=2,又b“1-2由3.2-3 2022且e N*得:，1 0,则满足S,2022的最小正整数”=10；(ii)选择 ：由(1)可知：an=3 n-1,/.,=2,%=5,贝|J仇=3.设等比数列也 的公比为4,.4=1 2,.刖2=3 4 2=1 2,解得：q=2f又$3=2 1,.3+4+12=2 1,解得：b?=6,:.q=2,.=乂 匕 工)=3-2 一 3，1-2由3-2 -3 2 0 2 2 且 e N,得：上 210,则满足2 0 2 2 的最小正整数 =1 0 ；(i i i)选择 ：由(1)可知：an=3/7-1,6 7,=2 ,a2=5,则4=3.设等比数列也 的公比为9,由 邑=3 +3 4 +3 勺 2=2 1 得：“=3 或4=2.又 仇=3,:.q=2,.s=3.2”3，1-2由3.2 -3 2 0 2 2 且 e N*得：41 0,则满足S,2 0 2 2 的最小正整数 =1 0.