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新高考数学一轮复习讲义：三角函数与解三角形 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念【考试要求】1 .了解任意角的概念和弧度制.2 .能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3 .借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【知识梳理】1 .角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着蜀底从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.按旋转方向不同分为正角、负角、零角.分 粕 -I 按终边位置不同分为象限鱼和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角。终边相同的角，连 同 角。在内，可构成一个集合S=2|=a+k 3 6 0 ,A S Z.2 .弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度记作r a d.(2)公式角。的弧度数公式1。|=夕弧长用/表示)角度与弧度的换算1 8 0 馆山 1 r a d 一弧长公式弧 长 7=|o r扇形面积公式1 ,1 1 I 2S=-l r=-a r3 .任意角的三角函数(1)定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸(x,。，那么s i n a y _,c o s ay=x,t a n a=-(B 0).-x(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段 0M,47 分别叫做角a的正弦线，余弦线和正切线.WVJ 4(1,0)工思考1 .总 结一下三角函数值在各象限符号为正的规律.提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦.2 .三角函数坐标法定义中，若取点尸（*,。是 角。终边上异于顶点的任一点，怎样定义角a的三角函数？V X V提 示 设 点?到 原 点。的距离为r,则 s i n a=;,c o s a=;,t a n =-(0).【基础自测】题 组 一 思考辨析1 .判断下列结论是否正确（请在括号中打”或“X”）（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.（X ）J I（2）角+/（A W Z）是第一象限角.（X ）M 若 s in a=s in -y,则。=右（X ）（4）-3 0 0 角与6 0 角的终边相同.（J ）题 组 二 教材改编2 .终 边 落 在 第 一 象 限 角 平 分 线 上 的 角 的 集 合 是.（用角度表示）答案 。|。=衣 3 6 0 +4 5 ,A e Z）3 .一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为一弧度.几答 案 T4 .若 角a的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点尸（-1,2）,则 s ina c o s a+t a n a=.3 乖 一1 0口 5题 组 三 易错自纠5 .（多选）已知角2 a的终边在x 轴的上方，那 么 角。可能是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答 案 A C解析 因为角2。的终边在x 轴的上方，所以4 360 2 czA 360+180,AZ,贝 ij有 180 a 180+90,k l.故当 k=2n,时，n-360 a n-360+90,6 Z,。为第一象限角；当衣=2 +1,时，360+180?/?360+270,e Z,。为第三象限角.故选 AC.6.已 知 角。的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若 4(1,力 是 角 9 终边上的一点，且 s i n 0=一4 华，则 y=.答 案 一 3解析 因为s i n。=一 噂 0,加一1,。是 角。终边上一点，所以八0,由三角函数的定义，得 号=一 噌.io解得y=-3.题 型 一 角及其表示9 n1.下列与角丁的终边相同的角的表达式中正确的是()9 nA.2/CJI+45(AeZ)B.A-360+(AZ)5 nC.A-360-315(A-GZ)D.4”+(/wZ)答 案 C9 ji 9 JI解析 与角丁的终边相同的角可以写成2 4 n+-二GZ)或 A 360+45(衣口)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.JIJI2.集合,a An+彳W a W A+57,AeZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()答 案 C解析 当 A=2(WZ)时，2 n。h+|，此 时a表示的范围与宁。表示的范围一样；当 a=2+1(WZ)时，2 五+n。W2 n+n+彳，此 时。表示的 范 围 与 五 a W n+；表示的范围一样，故选C.3.设集合 x 180+45,keZ ;A x=1 180+45,kZ ,那么()A.M=N B.IC/VC AU D.J/n/0答 案 Bk解析 由 于 中，x=-180+45=A 90+45=(2A+1)45,24+1 是奇数；k而,V中，x=“180+45=公 45+45=(4+1)45,4+1 是整数，因此必有四V,故选B.a4.若 角 a 是第二象限角，则万是第 象限角.答 案 一 或 三解 析 是 第 二 象 限 角，7 1.,.+2kt a n+2An,AEZ,.号+%“吟 吟+h，6 Z.当为偶数时，是第一象限角；当在为奇数时，是第三象限角.综上，是第一或第三象限角.思 维 升 华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数4(AGZ)赋值来求得所需的角.(2)确定：(%GN”)的终边位置的方法Ka a先写出A。或丁的范围，然后根据次的可能取值确定左。或7 的终边所在位置.K K题型二弧度制及其应用n例 1 一扇形的圆心角。=7，半径=1 0 c m,求该扇形的面积.解 由已知得。=辛 夕 =1 0 c m,；Sc 扇 形=/1 a /or=21 n 1 02-=5 0-n(c m 2 x).【引申探究】1 .若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.,n 1 0 n解 1=a /?=X 10=-(c m),O JS弓形=s画 形 S三角形50 n 1 o n=丁 一 5 八 s i n g=5 0 n j _ 2,33 2 250 n 75，,八=-j-(c m ).2 .若将本例已知条件改为：“扇形周长为2 0 c m”，当扇形的圆心角。为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，7+2 7?=2 0,则/=2 0 2 7?(0 欣1 0).所以 S=；/=；(2 0 2 必/?=1 0 7?-=一(一5尸+2 5,所以当k 5 c m 时，S 取得最大值2 5 c m2,此 时 1=1 0 c m,a=2 r a d.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.跟踪训练1 (1)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为 30 步，其所在圆的直径为1 6步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为()A.1 2 0 B.2 40C.360 D.480答 案 A解 析 .圆的直径为1 6步，.圆的半径为8 步，又 ,弧长为又步,扇形面积S=；-8 30=1 2 0（平方步）,9R（2）一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的个面积等于圆面积的六，则扇形L i I的 弧 长 与 圆 周 长 之 比 为.弓答 案 7?i o解 析 设 圆 的 半 径 为 r,则扇形的半径为苧，记扇形的圆心角为。，由扇形面积等于圆面积的行，可得nrJ：券 解 得。=等2 7 65 n 2 r15所 以 扇 形 的 弧 长 与 圆 周 长 之 比 为-=玄.C 2 兀 r 1 8rl题型三三角函数的概念 师 生 洪 研例 2 已 知 角。的终边与单位圆的交点为/（|，则 s i n a t a n。等于（）A-乎 B-土乎 c-D-i 1答 案 c解 析 设。为坐标原点，由 炉=1+/=1,得/=*尸 土 坐方法一 当 尸 当 时，s i n。=乎，t a n a=一木,3此时，s i n a t a n。=一当 尸 一 平 时，s i n。=一 坐，t a n a=/，此时,s i n o t a n a=-3所以 s i n o t a n a=-方法二 由三角函数定义知，c o s。=；，s i no=y,s i n所以 s i n o t a n a=s i n a-c o sa s i.n 2 a y2a c o s a3234a2 0,c o s -12(2)若a为第二象限角，则 c o s一中，其 值 必 为 正 的 有()A.0个C.2个B.1 个D.3 个答 案 A解析 由题意知，2 4兀+5 4 2 4 兀+hU e z),则 4攵冗+元2。4女冗+2 元(A ez),所以2。的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上，所以s in 2。0,COS2 a可正可负也可JI n a a为 零.因 为“+彳 万 4 页+5(4 e z),所以万的终边在第一或第三象限，所 以 c o s 5可正可负.故选A.(3)己 知 角。的终边上一点(一，5,勿)(/W 0),且 sin则 c o s a=t a n a 依a 乖答 案 一 号 一3解析 设 P(x,y),由题设知x=-4,y=m,所以？|(一小/+卬“。为原点)，即r=、3 +Z,所以 s in o=7=所以=)3+/7：=2 蛆,即 3+/=8,解得必=士乖,当勿=小时，r=2小,x=y=木,所以c o s a=&市=-牛,t a n a=当勿=一季时，r=2y/2t x=_小,y=一#,所以 c o s a丰邛t a n。2y 2 4V153 ,思 维 升 华(1)利用三角函数的定义，已 知 角。终边上一点一的坐标可求。的三角函数值;已 知 角。的三角函数值，也可以求出角a终边的位置.(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.跟踪训练2 (1)已 知 角。的终边经过点(3,-4),则 s i n。+等于()C O S a1 3 7 八 3 7 1 3A-R-r n 5 1 5 2 0 1 5答 案 D4 3解析 因 为 角 a的终边经过点(3,-4),所 以 s in a=-9 c o s a=-,所 以 s in a+5 51 4,5 1 3 、-c o-s-7o+Q=5 773-故1选5 D.4(2)己 知 角。的终边过点户(一8%，6 s in 3 0 ),且 c o s a=-f则/的值为()0平D.1B.-V 23C2 _1一A.-2答 案 c解析 由题意得点户(一8/，3),r=y l&4m+9,广 一8 m 4所以a、而齐所以0 0 0 设0是第三象限角，且 c o s =c o s ,则 于 是()乙 乙 乙A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答 案 B0解 析 由，是第三象限角知，万为第二或第四象限角，0 0 0c o s -=c o s -,.,.co s-0,乙 乙 乙0综上可知，可为第二象限角.课时精练【基础保分练】1.给出下列四个命题:一斗是第二象限角;是第三象限角；一4 00是第四象限角；一3 1 5 是第一象限角.其中正确命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答 案 C解析中一早是第三象限角，从而错.中 4 冗 =口+冗 则4 冗 是第三象限角，从而_正确.O O O中一4 00 =3 6 0 4 0 ,从而正确.中一3 1 5 =-3 6 0+4 5 ,从而正确.2 .已知点 t a n c o s。）在第三象限，则 角。的终边在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答 案 B解 析 由 题 意 知 t a n 0,c o s。,3 元B.1 a a=k 2 n A GZ4f 3 J i 1C.a Q =k n-,kQ Z jnD.a a=k n 9 kEZ答 案 D解 析 由 图 知，3 n J l角。的取值集合为，。=2 兀+丁，lUj a a=2 n n 7，WZJ Ta a 2+l n ,WZJIU a a=2/7 n ,4na a=A五,43 JI4.若扇形的面积为彳-、半径为1,则扇形的圆心角为（）O3 n 3 n 3 n 3 五K B-C-D.亮答 案B解 析 设 扇 形 的 圆 心 角 为 明,3兀 ,扇形的面积为寸、半径为1,O3 n 1 .1-2.3 n5.（多选）已知扇形的周长是6 c m,面积是2 c m?,下列选项可能正确的有（）A.圆的半径为2B.圆的半径为1C.圆心角的弧度数是1D.圆心角的弧度数是2答 案A BC解析 设扇形的半径为r,圆心角的弧度数为。，2r+ar=6,则由题意得 1 解得 或-a r 2,。=4 。=1,可得圆心角的弧度数是4或1.6.（多选）关于角度，下列说法正确的是（）A.时钟经过两个小时转过的角度是6 0B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若。是第二象限角，则匚?是第一或第三象限角答 案B D解 析 对 于A,时钟经过两个小时转过的角度是一6 0 ,故错误；对于B,钝角一定大于锐角，显然正确；对于C,若三角形的内角为90 ,则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；对于D,:角。的终边在第二象限，.24口+:。24人+兀，k Z,JI a JIAeZ.当 4=2/7,Z 时，2兀+亍 2 五+彳,Z,得是第一象限角;n a JI a当=2 +L Z 时，(2/?+l)n+-r-(2/?+1)n+,W Z,得不-是第三象限角,R 乙 乙 乙故正确.7.己 知 a 是第二象限角，P(x,m)为其终边上一点，且 c o s。=乎 X，则 x=答 案一事x+5解析依题意，得 cosa%0 时，_ r=5 d,s i n 0+c o s 0=-5 5 53 4 1当 a 0 时，s i n则 c o s(s i n 。)s i n(c o s当水0 时，s i n 0.综 上,当 d 0 时,c o s （s i n 0）s i n（cos。）的符号为负；当水0时，c o s （sinl）s i n （cos。）的符号为正.【技能提分练】a as i n -c o s -1 3.（多选）角。的终边在第一象限，则-+-s i n -c o s -A.-1 B.1 C.3 D.3答 案 AD解 析 角 a的终边在第一象限，.角1的终边在第一象限或第三象限.a 当角万的终边在第一象限时，at a n 1 的值为（）t a n -a as i n -c o s -a as i n -c o s -at a n -=1 +1 +1 =3,at a n 万a当角万的终边在第三象限时,a a as i n -c o s -t a n -a a as i n c o s -t a n -1 4.在平面直角坐标系中，A B,C D,E F ,G是圆/+/二在其中一段上，角。以公为始边，为终边，若 t a n c o s弧是（）1 上的四段弧（如图），点尸 0,co s a 0,sin a 0,co s a 0,不满足.故选C.【拓展冲刺练】1 5.若 角a的终边落在直线y=/x上，角 的终边与单位圆交于点七，且 sin a-co s 0，贝 U co s a sin =_.答 案 士 平解析 由角尸的终边与单位圆交于点&，得 co s=3，又由sin a co s 知,sin 因 为 角。的终边落在直线尸4x上，所 以 角a只能是第三象限角.记尸为角a的终边与单位圆的交点，设 P（x,力（水0,X 0）.贝为坐标原点），即/+/=1.又 由 尸/x得才=一；，y=一坐，所以CO S a=x=一因为点（；，在单位圆上，所以解得加=乎，所 以 sin =乎，所以co s a sin =9.1 6.在一块顶角为1 2 0、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料。1 8中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？A DBA.B方案一 方案二解 因 为 仍 是 顶 角 为 1 2 0。、腰长为2的等腰三角形，J i所以力=8=3 0 =,A M=B N=3 AD=2,6所以方案一中扇形的弧长=2X0=k；方案二中扇形的弧长=1 *4-=勺-6 3 3 3方案一中扇形的面积=所以t an a=-=-故选D.c os a 32.已 知。是三角形的内角，且 t a n。=一 ，则 s i n a+c os 的值为心 g Jio答 案 一 七 一解析 由 t an a=-f 得 s i n a=-c os a,将其代入 s i n2 a+c os2。=1,得当c os?。=1,y9所以 c os 2q=77；,易知 c o s。0,所以 c s .=_ 嗜,S in a=平故 s i n a+c os a=3 .若 角。的终边落在第三象限，则/文 一 十 任 的值为_I -s i n Q I-c os a答 案 一 3解析 由 角。的终边落在第三象限，得 s i n。0,c os a 0,s i n 0 c os =1 31 69所 以。6 仔，斗B，所以ta n，=一.思 维 升 华(1)利 用 s i r?a+c os 2 a=1 可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角。所在象限确定符号；利用列=t an a可以实现角a的弦切互化.c os a(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于s i n a+c os a,s i n a co s a,s i n a-c os。这三个式子，利用(s i n o c os a)2=l 2s i n t c os a,可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：l =s i r?a+CO S?。，s i n2 a=1 c os2 a,c os2 a=1 s i n2 a.题型二 诱导公式的应用(2 0 21 nA例 1在平面直角坐标系x 分 中，角。的终边经过点月(3,4),则 s in(。一一-J 等于4-53一5-5-3C氏4A.-5-答 案 B4 3解析 由题意知s in a=-,c o s a oJ=s in(2 021/.s in l 25 n3的值为.解 析 因 为 。)=c o s a a t a n 兀一 s in a-c o s a一 c o s a(s in a)I c o s a)a，(2 5吟 (2 5吟所以F l )=C 0 SJ=c o sn _J _n思 维 升 华(1)诱导公式的两个应用求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含 2 n整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有23r的整数倍的三角函数式中可直接将2 n 的整数倍去掉后再进行运算.如c o s(5 n a)=c o s(n a)=-c o s a.跟踪训练1 已 知 s in(a+1)=|,则 c o s 6 一 等 于()答 案 B,.(哈 12解析 因为s in(a+旬=而,(2)已知 a C (0,n),且 c o s =-j y,则15 15 8 8A-R r-n 八,17 7”.17答 案 D解析 s in(万+t a n(TI+a)=c o s oa =一 工，所以 s in a=y 1 1 -c o s 2 a =s in(+a)t a n(n +a)等于()t a n a=s in a,因为 a G (0,),且 c o s,B P s in l -+a I t a n (兀 +)o=j y.故选D.题 型 三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例 2（1）已 知。为锐角，且 2t a n（兀-a）3 c o s（7+）+5 =0,t a n（兀 +。）+6 s in（n+）1=0,则 s i n。的值是（）1D.3-噂c平B.喑案A.答解析由已知得，3 s in 2t a n o+5=0,t a n c i 6 s in 8 1=0.消去 s in B,得 t a n a=3,A s in a=3 c o s a,代入 s in*o+c o s 。=1,化简得s ir?。=奈 则 s in 与 俱(。为锐角).-1 心 ,八 /、1 4 s in 2x+2s in2%,.(2)己知一”K 0,s in(n+x)c o s 飞 一 .tanx 的值.解 由 已 知,得 s in x+c o s I，两边平方得 s in、+2s in x c o s +c o s2=,r,z b94整理得2s in x c o s x=-国?4 9V (s in x-c o s x)2=l 2s in x c o s x=,由一刀 水 0 知,s in 由0,12X s in x co s x=0，/.s in x-c o s x 0,故 s in x c o s x=一1.os in 2x+2s in，2s in x c o s x+s in x1-t a n x1s in xCOS X2s in x c o s x c o s x+s in xc o s x-s in x1一5X4-52-2生1 757-5思 维 升 华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时；关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.3 3 n 、,5 人 、(5 五 、跟踪训练 2(1)已知 3 s in(j-+o j=-5C O S(F+贝 U e“十 J 等于()5-3D.3一5a3B.-5-5-3A.-答 案 A解 析 由 3 s in 5得 s i n，5(nR+aj=-5 c o s|，5 n所以t a n l +(2)已知函数 f(x)=a s i n(n x+。)+A o s(“x+),且/(4)=3,则/(2 021)的值为.答 案 一 3解析 因为 f(x)=a s in (兀 x+。)+A o s(兀 x+B),所以 f(4)=a s in(4 n +a)+A o s(4 n +)=a s in a+A o s =3,所以 A 2 021)=a s in(2 021 n +)+A c o s(2 021 冗 +)=a s in(冗 +a)+/?c o s(n +)=a s in a b co s =-3.课时精练b基础保分练1.s in 1 05 0 等于()1 1 A/3 A/3A.-B.-C.D.答 案 B解析 s in 1 05 0 =s in(3 X 3 6 0 3 0 )=s in 3 00=o2.已 知。是第四象限角，t a n a,则 s i n。等于()1515 15 8 8A R D-17 17 17 17答 案 D解析 因为t a n a =一 白，所以：=一白,15 c o s a 1515所以 c o s a=-s in a,o6 4代入 s in。+c o s a=1,得 s in。Z o yo又。是第四象限角，所以s in?=-3 .已知 c o s 3 1 =a,则 s in 23 9 t a n 14 9 的值为()A.-B.41 aC.D.y l l aaY答 案 B解析 s in 23 9 t a n 14 9 =s in(270-3 1)t a n(180 -3 1 )=-c o s 3 1 (-t a n 3 1 )=s in 3 1 =y j 1 a.4.已知 s in a+cos。=一 啦，则 t a n o +-等于()v t a n o1A.2B.2-1D.2-答 案 A解析 由已知得l+2s in a c os。=2,1A s in c o s。=5，1 s in a.c o s a/.t a n a 4-t a n a c o s a s in as in2 a+c o s2 4 1 c-=2s in a co s a J 25 .（多选）在力回中，下列结论正确的是（）A.s in（/+=s i n CD.B+C AB.s m =c o s -C.tan(4+0=-tan万D.cos=cos C答 案 A B C解 析 在 4 8。中，有力+C=n,则 s in C 4+)=s in(一。=s in C,A 正确.s in jc o s B 正确.t a n (4+面=t a n(n 6)=t a n C正确.c o s(J+)=c o s(n 6)=c o s C,D 错误.故选 A BC.46.（多选）若 s i n =干 且为锐角，则下列选项中正确的有（）A.ta nB.cosC.s i nD.s i n40=330=5a+cosa-cos答 案 A B4解析 V s i n a 且。为锐角，cos a=7 1-s i n 2 a =1 故 B 正确,4-53-5-aa-nsiosc4=鼻，故 A正确,O4 3 7 8s i n a+c o s。=弓+厂 产?故。错误，.*.s i n a cos o=-=：故 D 错误.5 5 5 57.已知点尸(s i n 35 ,cos 35 )为 角。终边上一点，若 0 W a cos a N O n ta n a =一.cos2 4+2 s i n 。cos所以-：-Q cos a+2 s i n a cos s i n2 a+cos2 al+2 ta n al+ta nJ a1 1.已知f（。）=s i nn 。cos 2 冗一。ta n 。+JIta n a TI s i n a n（3 n A 1 若 c o s o 是第三象限角，求 人。）的值;若。=一 号，求 H。）的值.解 f(a)=a cos a ta n a ta n a s i n Qcos a.3 n(l)cosa-r=s i n1a=三，51.s i n a=-a是第三象限角,A a)=cos2乖5,.cos a=（）=一1 2.已知一且函数f（a）=1 +cos a 1 cos Q 2 班5 1 化 简 X。）;若 求 s i n cos 和 s i n cos 的值.解(l)F(a)=s i n a s i n a 1 +cos a 2l-cos2a 11 +cos Q=s i n a+s i n o -：-l=s i n o+cos a.s i n o 方 法 一 由/(a)=s i n a+cos a.平方可得 s i n a+2 s i n a cos a+cos2 azo口 2 4即 2 s i n a cos a=Z o1 2A s i n a cos a=zbi t又 70,A s i n a 0,/.s i n a cos a 0,V (s i n o-cos?)2=1 2 s i n o cos o=77,/.s i n7o-CO S c i =-o,1s m a+cos o =-,方 法 二 联立方程J 5、s i n Q+cosJ 7 =1,.,.s i n ocosJI一万。0,1 2a-,2 5s i n a-cos75,a=C技能提升练3 5 4 5A-5 B，3 C，5 D，4答 案 B3 3解析 方程5/7x6=0 的两根为矛i=及=2,则 s i n -5 5cos a-cos a ta n2 o 1 5原式=-：-:-=一=-s m a s m a-s i n a s i n a 31 4.已知是第四象限角，且 sinQ+g q 则 t a n Q.答 案 一4解析 因 为。是第四象限角，且 s i n（9+：）=|,所 以 为 第 一 象 限 角，所以 cos（0+：）=!，所以一“卜小+方居,4-.3=-45-35 _立 拓 展 冲刺练15.如图是由4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为0,大正方形的面积是1,小正方形的面积是上，则 sin2 -c o s2 e 的值Zo是.7答 案 一 幅解 析 由 题 意 可 知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cos 0,短直角边为sin 0,小正方形的边长为cos s i n 夕，小正方形的面积是，/.(cos sin )2=,夕为直角三角形中较小的锐角，cos 夕 sin 8,.cos 夕 sin。=二,5X V (cos 夕 sin 9)2=l 2sin cos 夕=白，24.2sin 夕 cos 0=,zb49 49/.l+2 sin 夕 cos 8=芯,B|J(cos +sin)2=,25 257/.cos 夕+sin 0=-,57.*.s i n-cos =(cos O+sin。)(s i n 夕 一cos )=一而1 6.已知 s i n o=l 解因为s i n a=1，求 s i n%+s iB)=1-cos 6,n y ）+l 的取值范围.所以 cos =1 s i n 因为一lW cos ：tan公+)=_ tan .a n g【思考】1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中万=4 方(4 6 2)时的特殊情形.2.两角和与差的公式的常用变形有哪些？提示(l)sin osin +c o s(。+)=cos acos.(2)cos a sin +sin (a )=sin acos J3.(3)t a n。tan =tan(。土 )(1 干 tan a tan ).，基础自测题 组 一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)(1)存在实数 o,B,使等式 s in(。+)=sin a+sin 成 立.(V)(2)在 锐 角 中，sin Asin 8 和 cos Acos 4 大小不确定.(X)(3)公式 tan(a+=7 -皿 可以变形为 tan a+tan =tan(+)(1 1tan a tan Ptan tan ),且对任意角a,都 成 立.(X)(4)也 sin a+cosX)题 组 二 教材改编2.若 cos|.11,1/3 nA.sml-I-l=sin-c o s 彳十个cos-5 n y/2 n JT nR c-J 1 c i n c c o crcJI JI JID.cos =cos cos 答 案 ABCJT It,y3 n=sm -c o s -+-co s-,4 3 2 4:A正确;ji Jicos-COS3 4丁，.B 正确;oT+乎，.c 正确；J 4了，D不正确.故选ABC.题型一两角和与差的三角函数公式(1)己知s i n+sin p+yj=l,贝 Isi小n+卷)等于(1A,2J 3 2B.C.-例 1D亚2)答案B=s i n=s i n解析+s i n +-JIJ c o s -+c o s 9 +j sJ Ti n 6n66=2s i n(+-c o s 方=/5s i n(夕+石一)=1.所以s i n0=也 3,3 已 知 s i =5,JI，t a n(1 一)=，则 t a n(a )的值为()A.2211 11B C D 11 11 2 2答 案 A解析 V a ecos a 又 t a n(J t )=B，.,.t a n B=1-2十3-4.t a n a-t a n 8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _t a n(-)=i +t a n a t a n 厂(1 3、=一T T1+HxN思维升华两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可 用。，的三角函数表示。士万的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.跟踪训练 1 若 s i n(2。一 )=上，s i n(2 a则 s i n 2 a c o s 等于()答 案 B解析 由 s i n(2。一 )=，s i n(2 a+)=；,可得 s i n 2 7 c o s c o s 2 a s i n=！，6s i n 2a c o s +c o s 2s i n B=q,9由+得2s i n 2 a c o s =.，o所以s i n 2 a c o s =1.故选B.o(2)已知 c o s(a+丁)=c o s a,t a n=乎，则 t a n(a +)=答 案-半o解析因为c o s|n、a+Tj=*3 1 1 T c o s a-s i n a=-J 3c o s a,所以一s i n a=y i co s a,故t a na=一 小,所以 t a n(+)t a n a+t a n 1 t a n o t a n y f 3+l+/x当2m3 _也2 3,题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形3 n例 2 若 +=则(1+t a n(1+t a n)=.答 案 2&方 工 厂 (3 兀、.t a n a+t a n 8、解析 t a n r=t a n(o +-=1,所以 1t a n a t a n =t a n a+t a nI 4 J 1t a n 7 t a n PB,所以 1+t a n a+t a n +t a n t a n B=2,即(1 +t a n a)(1 +t a n )=2.已知 s i n a+c o s 8=1,c o s a+s i n 8=0,则 s i n(o +)=.1-2案答解析 V s i n a+c o s 8=1,c o s o+s i n B=0,，?+2 得 1+2 (s i n a co s +c o s a s i n )+1 =1,/.s i n a co s +c o s a s i n =-*,s i n（。+万）2思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.跟踪训练 2 （1）已知 ae（一方，高，t a n a=s i n 7 6 c o s 4 6 -c o s 7 6 s i n 4 6 ,贝s i n a等于（）A理B.C.芈 D.一芈5 5 5 5答 案 A解析 由 t a n c i=s i n 7 6 c o s 4 6 c o s 7 6 s i n 4 6 =s i n（7 6 4 6 ）=s i n 3 0 =1-2解得 s i n a5(2)(1 +t a n 2 0 )(1 +t a n 2 1 )(1 +t a n 2 4 )(1 +t a n 2 5 )=.答 案 4解析(1 +t a n 2 0 )(1 +t a n 2 5 )=1 +t a n 2 0 0 +t a n 2 5 0 +t a n 2 0 t a n 2 5 =1 +t a n(2 0 +2 5 )(1-t a n 2 0 t a n 2 5 )+t a n 2 0-t a n 2 5 =2,同理可得(1 +t a n2 1 )(1 +t a n 2 4 )=2,所以原式=4.题 型 三 角的变换问题例 3 已 知 sina=芈,s i n（）=a,均为锐角，则 尸 等 于（）5 n JI n nA.访 B-C-D-答 案 C解 析 因 为 s i n a=gl sin（一 ）=邛,且B均为锐角，所以c o sa 5c o s(a)=IQ f 所以 s i n =s i n a +(万-a)=s i n a-c o s(a)+c o s公 布（一。）=*嚓+害x（一喘=誓邛，所 以=?.故选C.（2）已知4答 案 解析 由题意知，a+E.2 s i n（=1 0,所以 c o s （。+）因为JI 4所以cos()=一 5c o s(+彳)=c o s +-(p)=c o s(a+)c o s(一 j+s i n(a +)s i n|a B a-B n n思维升华 常见的角变换：2。=（。+）+（。一 ）,a v+r=丁一L i 乙 力 乙 一 ),a =(a +8)一万=(a )+8,仔 +