专题22 与三角形有关的压轴题-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（解析版）.pdf

专题2 2 与三角形有关的压轴题一、单选题1.（2022 安徽）已知点。是边长为6 的等边 ABC的中心，点 P 在 ABC外，ABC,PA B,PBC,PC 4的面积分别记为S。，*,邑，邑.若 5+邑+53=25。，则线段OP长的最小值是（）A.B.也 C.35/3 D.速2 2 2【答案】B【解析】【分析】根据St+S2+S,=2 s o，可得，=gS。，根据等边三角形的性质可求得A ABC中AB边上的高4 和 PA B中A8边上的高丹的值，当/，在 C。的延长线时,OP取得最小值,O P CP-O C,过。作O E L B C,求得OC=26，则可求解.【详解】解：如图,5,+o2+S3=Sj+(S/DB+S dBDC)+(S/DA+SAOc)=S+(SAPDB+S/DA)+(S&BDC+S JDC)=S+S.PAB+S JBC=S+S1+SO=2S+So=2 So,*H=-50,设 ABC中A 3边上的高为4,以3中AB边上的高为也,贝IJS。=g A 3*=g?6也 3/vE=：48.也=；?6饱 3也，3为=g?3%，%=2 kl,A8C是等边三角形，/0=一(|)2 =3 6,也=九=：百,2 2.点P在平行于A 3,旦到A B的距离等于|百 的直线上,二当点P在C。的延长线上时，0 P取得最小值，过。作OEJ_8c于E,.CP=4+%=?6,.。是等边 ABC的中心，0E1.BC，/OCE=30。，C E=-B C =32O C=2 O EO E2+CE2=O C2，：.O E2+32=(2OEf,解得0 E=6,O C 1-3，：.0P=CP-O C=2 G -2 6 =2 6.2 2故选B.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键.72.（2022.江苏宿迁）如图，点A在反比例函数y=（尤0）的图像上，以。4为一边作等腰直角三角形（MB,其中NQ4B=90。，A O=A B,则线段。8长的最小值是（）A.1 B.y/2 C.2/2 D.4【答案】C【解析】【分析】如图，过A作4 0 轴，交y轴于M,过8作3_Lx轴，垂足为。，交M A于“，则？QWA?AHB 90?,证明VAOM/V84”,可得OM=A 4,AM=8”,设4苜?,工，则2 2 2 蜗 2 2AM=m,OM=,MH=m十二，BD=m,可得-m,再利用勾股定理建立函数关系式，结m m m 秒 tn tn合完全平方公式的变形可得答案.【详解】解：如图，过A作A 工轴，交），轴于M,过5作8。_1 由，垂足为Q,交M A于，则？0M 4?AHB 90?,?MOA?MAO 90?,QAO=AB,AOA AB,?MAO?BAH 90?,?MOA?BAH,NAOMmBAH、O M=AH,AM=BH,设人 口 心，则 AM=m,0M=z+2,B O =2-肛秒 m m m tn OB喘+”料 =6*m 0,而当 0,力。时，则4 +力 2 2，,O.2 病+冬 的最小值是8,m*OB的最小值是我=2/2.故选：C.【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“合+/22 而 的变形公式”是解本题的关键.3.（2 0 2 2 四川广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、。都在格点处，A B与C D相交于点P,则 c o s/A P C 的 值 为（）D-T【答案】B【解析】【分析】把 A8向上平移一个单位到DE,连 接“，则。由勾股定理逆定理可以证明 E=y/CD2-C E2=4AB/DC：.NDCE =ABAC,NODC=NBOD=90又 :ACBC：.ZACB=NCE D=90。：.ADECSBCA.DE CE CD nn 4 3 5.-=-=-,I;J-=-BC AC AB BC 6 AB解得 8C=8,45=10,：CF.LOB：.ZACB=ZBFC=90。BCFs/BAC.BC _B F nn 8 _AB BC 10 8解 得3尸=6.4由题意可知四边形OFC。为萍形，O b=CZ)=5OB=BF+OF=A故 选A【点 睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键.5.(2 0 2 1山东聊城)如图，在直角坐标系中，点A,8的坐标为A (0,2),?(-1,0),将A A B。绕点O按顺时针旋转得到 A/B/O，若则点4的坐标为()A.(拽，逑)B.(述，述)C.D.5 5 5 5 3 3 5 5【答案】A【解析】【分析】先求出A B,OA1,再作辅助线构造相似三角形，如图所示，得到对应边成比例，求出O C和A/C,即可求解.【详解】解:如图所示，：点4,8的坐标分别为力(0,2),8(-1,0),OA=2,A B =J P+22=石,N A O B=9 0。，:,NAQBi=90,/.O A il OB i,又,：ABLOBj,：.O Ai/AB,.,.Z1=Z2,过4点作4 c L e轴，NAiCO=NAOB,zM O 8s ACO,.A.O OC A.COAi=OA=2f _2_ _OC AC _ _ _j 忑一丁一二 o c=|6.4.A-,-,I 5 5)故选：A.【点睛】本题综合考查了勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念，能通过作辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合的思想方法等.6.（2021 四川达州）在平面直角坐标系中，等边AAQ8如图放置，点A 的坐标为（1,0）,每一次将A4QB绕着点。逆时针方向旋转60。，同时每边扩大为原来的2 倍，第一次旋转后得到乙 4 0 4，第二次旋转后得到 儿。鸟，依次类推，则点4 必的坐标为（）B,A.(-22020,-/3X2202(,)B,(2202,-7 3X22021)C.(22 2o,一 6*222。)D.(-22 0,-y/3 x 22 02)【答案】C【解析】【分析】由题意，点 A每 6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2 倍即可解决问题.【详解】解：由题意，点 A每 6次绕原点循环一周，.2021+6 =37 1 5,4 点在第四象限，。4 必=2.，=6 0,点&的横坐标为g X 2?=22叫纵坐标为一 冬 2的=-G X 2 ,.401(22020,-V3X22OM),故选：C.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型.7.(2021山东东营)如图，AABC是边长为1 的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且 N/M E =30。，过点。、E分别作A B、BC的平行线相交于点F,分别交8 C、4 B于点”、G.现有以下结论：S,A BC=-；当点。与点C重合时，F H =；;A E +C D =6DE；当=时，四边形8 H F G 为菱形，其中正确结论为()A.【答案】BB.C.D.【解析】【分析】过 A 作 A/，8 c 垂足为/,然后计算AABC的面积即可判定；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定：如图将 8CD绕 8 点逆时针旋转60。得到4 2 N,求证NE=DE；再延长4至 IJ尸使AP=CO=AN,证得/P=60。，NP=AP=CD,然后讨论即可判定；如 图 1,当AE=C。时，根据题意求得C=C。、AG=CH,再证明四边形8F G 为平行四边形，最后再说明是否为菱形.【详解】解：如 图 1,过 A 作 A/_L8C垂足为/：AM C 是边长为1 的等边三角形.N8AC=NA8C=NC=60。，Cl=-BC=-2 2:小1=立2.SM8C=，A/SC =工x 1 x且=立，故正确；2 2 2 4如图2,当。与 C 重合时V ZBE=30,ABC是等边三角形 NDBE=NABE=30。：.DE=AE=-AD=-2 2,:GE HBD.BG DE 、=1AG AEBG=AB=2 2V GF/BD.BG/DF尸=3G=g,故正确;图2如图3,将 BCD绕B点逆时针旋转60。得到 ABN.*.Z1=Z2,/5=N6=60。，AN=CD,BD=BN：Z3=30.*.Z2+Z4=Zl+Z4=30NNBE=N3=30又,：BD=BN,BE=BE:.NBE/DBE(SAS)：.NE=DE延长 EA 到 P AP=CD=AN：ZNAP=180-60-60=60.ANP为等边三角形，/片60,NP=AP=CD如果AE+CO=gOE成立，则PE=有NE,需NNEP=90,但NNEP不一定为90。，故不成立;p,、/图3如 图 I,当AE=C。时，.GE/BC：.Z A G E=ZABC=60,ZGEA=Z C=60ZAGE=ZAEG=60,：.AG=AE同理：CH=CD：.AGCH：BG/FH,GF/BH，四边形8F G 是平行四边形BG=BH.四边形BHFG为菱形，故正确.故选B.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.8.（2021湖北鄂州）如图，中，Z A C B =90,A C =2上,B C =3.点产为AABC内一点，且满足PA2+PC2=A C2.当尸8 的长度最小时，AACP的面积是（)AA.3 B.373 C.D.42【答案】D【解析】【分析】由题意知NAPC=90。，又AC长度一定，则点尸的运动轨迹是以A C中点。为圆心，:AC长为半径的圆弧，所以当8、尸、0 三点共线时，8尸最短；在孜ABCO中，利用勾股定理可求3 0 的长，并得到点尸是8 0 的中点，由线段长度即可得到APCO是等边三角形，利用特殊放八4PC三边关系即可求解.【详解】解：PA2+P C2=A C2ZAPC=90取 AC中点。，并以。为圆心，；AC长为半径画圆由题意知：当 B、P、0 三点共线时，8 P 最短:.AO =P O =C O;C0=、AC=LX2 =BC=32 2BO=lBC2+CO2=2y/3B P=B O-P O =点 P 是 B O 的中点在府ABCO中，CP=LBO=6 =PO2APCO是等边三角形ZACP=60.,.在 RfAAPC 中，AP=CPxtan60=3S 3 c=；AP x CP=孚【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度.解题的关键是找到动点尸的运动轨迹，即隐形圆.9.（2021四川广元）如图，在AABC中，ZACB=90,AC=BC=4,点。是8 c边的中点，点P是AC边上一个动点，连接P。，以 为 边 在 的 下 方 作 等 边 三 角 形PD Q,连接C Q.则CQ的最小值是（）QA.3 B.1 C.J2 D.-2 2【答案】B【解析】【分析】以CD为边作等边三角形C D E,连接E Q,由题意易得/POC=NQOE,P D=Q D,进而可得 P C D g A Q E D,则有/PC 6/Q EZA 90。，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ_LQE时，最后问题可求解.【详解】解：以CO为边作等边三角形CE,连接E Q,如图所示：APD Q是等边三角形，.NCE D=NPDQ=NCDE =60,PD=QD,CD=E D,/CD。是公共角，ZPDC=ZQDE,:APCD之AQE D（SAS）,V ZACB=90,AC=BC=4,点力是8C边的中点，:.NPCD=NQE D=90。,CD=DE =CE =BC=2,.点。是在QE所在直线上运动，.当CQJ_QE时，C。取的最小值，Z.ZQE C=90-2CE D=30,C0=1CE=1；故选B.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30。直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30。直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.10.（2021.江苏扬州）如图，一次函数丫=工+拉的图像与x轴、y轴分别交于点4、B,把直线AB绕点8顺时针旋转30。交x轴于点C,则线段4 c长 为（)A.V6+/2 B.3e C.2+73 D.6 +播【答案】A【解析】【分析】根据次函数表达式求出点A 和点B坐标，得到 048为等腰直角三角形和A 8的长，过点C作 CO_LAB,垂足为。，证明AACO为等腰直角三角形，设 C=AZ)=x,结合旋转的度数，用 两 种 方 法 表 示 出 得 到关于x 的方程，解之即可.【详解】解：一 次函数y=x+虚 的 图像与x 轴、y 轴分别交于点4、B,令户()，则尸 0,令)=0,则 卡-夜，则 A(-V 2,0),B(0,V 2).则 0 4 8 为等腰直角三角形，ZA BO=4 5,A8=J(&+(忘丫=2,过点C作 CO_L48,垂足为力，：ZCA D=ZO A B=4 5 ,.ACO为等腰直角三角形，设 C=AO=x,-,-A C=y A D2+C D2=y 2 x,.；旋转,ZABC=30,.BC=2 CD=2 x,BI A y jBC2-C D2=6 x,又 BD=A B+A D=2+x,.2+x=Gx,解得：x=G+i,A C/2 x=5/2（3+1 ）=/6+f2，故选A.【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形.11.（2020 湖北省直辖县级单位）如图，已知AABC和AADE都是等腰三角形，Z M C =ZZME=90,BD,CE交于点F,连接4尸，下列结论：B D =C E；B F LC F；AF平分NC4。；Z A F E =45.其中正确结论的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】证明 BAD丝ACAE,再利用全等三角形的性质即可判断；由 BAD丝ZCAE可得N A B F=N A C F,再由/A BF+/B G A=90。、/B G A=/C G F 证得NBFC=90。即可判定；分别过 A 作 AM_LBD、AN_LCE,根据全等三角形面积相等和B D=C E,证得AM=AN,即A F平分NBFE,即可判定；由A F平分NBFE结合即可判定.【详解】解：VZBAC=ZEAD NBAC+NCAD=NEAD+NCAD,即 ZBAD=ZCAE在ABAD和 CAE中AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE/.BADACAE.BD=CE故正确；VABADACAE.ZABF=ZACFVZABF+ZBGA=90 ZBGA=ZCGF:.ZACF+ZBGA=90,/.ZBFC=90故正确；D分别过A 作 AM_LBD、AN_LCE垂足分别为M、NVABADACAE,SABAD=SACAE：.-B D A M =-C EA N2 2,:BD=CE，AM=AN二川 平 分N B F E,无 法 证 明A F平 分NCAD.故错误；D:平 分/B F E,BFA.CF：.ZAFE=45故正确.故 答 案 为C.【点 睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键.12.（2020 重庆）如 图，在 ABC 中，4C=2/，ZABC=45,NB4C=15。，将 ACB沿直线 AC翻折至 48C所在的平面内，得A C D.过 点A作A E,使N D 4E=N D 4C,与CO的延长线交于点E,连 接B E,则线段8 E的 长 为（）C.2上D.4【答 案】C【解 析】【分 析】根据三角形内角和定理、翻折及等腰三角形判定，依次易得/ACB=120。，NACE=120。，ZCAE=3 0,AC=EC,再进一步证明A 得到8E=8A.延长8 c 交 AE于凡 由 CE=CA,BE=BA,根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知BC是线段A E的垂直平分线，即NAFC=90。，在RtAAFC中解直角角形得AF=，在 R S A F B 中，ZABC=45,解 直 角：角形得A B=0 A F=26,进而得到B E的长.【详解】解：在A ABC 中，ZABC=45,NB4C=I5。，NACB=120。，.将4C 8沿直线AC翻折，得ACO,/.ZACE=ZACB=2 0,N DAE=N DAC=N BAC=1 5。,即/G4E=30,在 ACE 中，Z CEA=180-ZAC-Z CA=30,：.AC=EC,又：NECB=36(r-N4CE-NACB=120。，在4 EBC和 ABC中，EC=A C N ECB=NACBCB=CBA EBC ABC,:.BE=BA.如下图，延长5 c 交4 E 于 2，hkB AVCE=CA,BE=BA,BC是线段A E的垂直平分线，即NAFL90。，在 RtA AFC 中，ZCAF=30,AC=2 y/2，AF=AC cosZCAF=V6.在 RtZiAFB 中，ZABC=45,AB=72 AF=2百,BE=AB=26.故选：C.【点睛】本题考查三角形内角和定理、翻折、等腰三角形判定、解直角三角形及全等三角形等，准确判断出直线BC是线段A E的垂直平分线是解题的关键.二、填空题13.（2022广东深圳）已知AABC是直角三角形，N2=90。,A8=3,8C=5,AE=2石,连接CE以CE为底作直角三角形CDE且C=DE,F是AE边上的一点，连接8。和8。且/阳。=45。,则河长为.【答案】石4【解析】【分析】将 线 段 绕 点D顺时针旋转90。，得到线段H D，连接B H ,HE,利用SAS证明S EDH=&CDB，得E”=CB=5,ZABF=Z B H E,则尸，即可解决问题.【详解】解：将线段8 0 绕点。顺时针旋转90。，得 到 线 段 连 接 8 ，HE,H是等腰直角三角形,又.AEDC是等腰直角三角形，:.HD=BD,/E DH=NCDB,E D=CD,NE DH 宣 CDB（SAS）,.E H=CB=5f ZE HD=ZDBC,.ZABF=90-4FBD-ZDBC=45-ZDBCZBHE =450-ZE HD.ZABF=ZBHEAB/HE;ZAFB=ZHFE,.AAB/sAEHF,.AB AF AF,EH EF A E-F .AE =2 5.3_ AF5 2 y/5-A F 1A r3x/5AF=-，4故答案为：石-4【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形.14.（2022江苏常州）如图，在 RtABC中，/C =90。，AC=9,8 c =12.在R s D 中，/尸=90。，DF=3,E F=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,RtAEF从起始位置（点。与点B重合）平移至终止位置（点E 与点A重合），且斜边E始终在线段AB上，则RtZXABC的 外 即 被 染 色 的 区 域 面 积 是.【答案】28【解析】【分析】过点尸作A 8的垂线交于G,同时在图上标出M,N,F 如图，需要知道的是汝AABC的被染色的区域面积是SfW MN”，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解.【详解】解：过点尸作A 8的垂线交于G,同 时 在 图 上 标 出 如 下 图：NC=90。，AC=9,3 c =12,:.AB=yjAC2+BC2=15在Rt。历 中，ZF=90.DF=3,E F=4.DE =JDF2+FE2=5 ,AE =A B-D E15-5=1O,;EF A F：E F=AF,四边形A E 为平行四边形，AE =FF=O,.S=；D F EF=gD EG F =6,12解得：G F=y,vDF/M C,/DFM =ZACM,NFDM=NCAM,.D FM AC M ,.DM DF 1,AM-7 c-3*：.DM=-A M =-A B =t3 4 4BC/AF,同理可证：AANFSQNC,AF A N 1-BC-DN-33 45.-.DN=3 A N =-A B =,4 4:.M N =D N-D M4 4 41 (30、12HfAABC的外部被染色的区域面积为5梯形=-x|y +1 0 lx y =28,故答案为：28.【点 睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积.15.（2022-贵州贵阳）如 图，在 四 边 形ABCD中，对 角 线AC,8 0相 交 于 点E,A C =B C =6cm,Z A C B =ZADB=90 .若 B E =2A D,则 ZXABE 的面积是 cm2,ZAEB=度.【答 案】36-18亚#-18五+36 112.5【解 析】【分 析】通 过 证 明AADE f B C E,利用相似三角形的性质求出A E =,C E =6-,再利用勾股定理求出其长度,3 3即可求三角形A8E的面积，过 点E作E F L A 垂 足 为F,证 明“4所是等腰直角三角形，再 求 出A石=C石,继而证明=,可 知NE8F=NEBC=gNABC=22.5。，利用外角的性质即可求解.【详 解】CDA FB ZACB=ZADB=90,ZAE D=/BE C,.ADE fBCE,.AD AE,BC=AC=6,BE =2AD.设 AD=m,BE =2m,m AE/.一=-,6 2mm2.AE =，3/.CE=6-,3在RVBCE中,由勾股定理得8。2+。七2 =8炉，.1.62+(6y)2=(2w)2,解 得 病=36-18&或 疗=36+18近，对角线AC,8。相交于点E,.-.nr=36-18&，:.AE =12-6 丘，:.CE =6 丘-6,：.S.ABE=；AE8C=gx(12-60)x6=36-18&cm2,过点E作)，A B,垂足为F,-.ZACB=90,AC=BC,ZBAC=ZABC=45=ZAE F,AE =AF=AE =6/2-6=CE,2 BE=BE,Ri ABCE 2 R sB FE(H L),NEBF=NEBC=-ZABC=22.5,2/.ZAEB=ZACB+NEBC=112.5,故答案为：3 6-1 8&，112.5.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.16.(2022 贵州遵义)如图，在等腰直角三角形ABC中，/R 4 C =90。，点M,N分别为BC,A C上的动点，且4V=GW,AB=6.当4 0 +B N的值最小时，C M的长为.【答案】2-V 2【解析】【分析】过点A作A O3 C,且AD=AC,证明3丝C M 4,可得AM =D V,当氏N,)三点共线时，BN+A M取得最小值，证明A8=8 M,即可求解.【详解】如图，过点A作A)B C,且4)=A C,连接O N,如 图I所示，:.ZD A N =ZACM,又AN=C M,:.A N D C M A,:.AM=DN,BN+AM=BN+D N B D,当 三 点 共 线 时，BN+A M取得最小值,此时如图2所示，在等腰直角三角形ABC中，/84C =90。，AB=6BC=6 AB=2，/AAZ).CM4,ZADN=/CAM,AD=AC=ABf:.ZADN=ZABN.AD/BC,;.ADN=AMBN,ZABN=4MBN,设NMAC=a,.ZBAM=ZBAC-a=90-a,.ZABM=ZABN+4NBM=2a=45,/.a=22.5,/.ZAMB=180-ZBAM-ZABM=180。-90。+a-45。=67.5,/BAM=90-22.5=67.5,AB=BM=无，:.CM=BC-BM=2-垃,即BN+AM取得最小值为2-a，故答案为：2-0.【点睛】本题考查了等腰直角三角的性质，勾股定理，两点之间线段最短，转化线段是解题的关键.17.（2022江苏无锡）AABC是边长为5的等边三角形，AOCE是边长为3的等边三角形，直线8。与直线AE交于点F.如图，若点力在AABC内，NOBC=20。，则/区4尸=；现将AOCE绕点C旋 转1周，在这个旋转过程中，线段A尸 长 度 的 最 小 值 是.B【答案】80 4-6#-G +4【解析】【分析】利用SAS证明ABOC岭AA E C,得到NOBC=/EAC=20。，据此可求得NBA尸的度数；利用全等三角形的性质可求得NAF8=60。，推出A、B、C、F 四个点在同一个圆上，当 BF是圆C 的切线时，即当CQLB尸时,N F B C 最 大,则/F B A 最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可.【详解】解：.48C 和ZkCCE都是等边三角形，.AC=BC,DC=EC,ZBAC=ZACB=ZDCE=60,Z D C B+Z A C D=ZECA+ZACD=60,即 NOC8=NEC4,C D =CE在 ABCQ 和M CE 中，,N B C D =ZACE,BC=A C.,.ACE四 SCO(SAS),ZEAC=ZDBC,:ZDBC=2 0,：.ZAC=20,N 8A F=/R 4C+/E 4c=80；设 8尸与AC相交于点”，如图：V AACABCD：.AE=BD,NE AC=NDBC,S.ZAHF=ZBHC,：.NAFB=NACB=60,.、B、C、尸四个点在同一个圆上,:点。在以C为圆心，3为半径的圆上，当8尸是圆C的切线时，即当CQL8尸时，NFBC最 大,则NF8A最小，.此时线段AF长度有最小值，在砂 BCD 中，8c=5,CD=3,:.BA y守 _号=4,即 AE=4,Z FDE=180o-900-60o=30,ZAFB=60,NFDE=NFE D=30,：.FD=FE,过点F作FGLOE于点G,3:.DG=GE=-,2：.AF=AE-FE=4-43，故答案为：80；4-73.【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.18.（2022浙江绍兴）如图，AB=O,点C 在射线8Q 上的动点，连接A C,作 CZ）_LAC,CD=A C,动点 E 在 A 8延长线上，tanNQ8E=3,连接CE,D E,当CE=DE ,C E L O E时，8E的长是.【分析】过点C 作 CNLBE于N,过点。作 OM_LCN延长线于M,连接E M,设 BN=x,则 CN=3x,由4 ACN/CDM可得4V=CM=10+x,CN=QM=3x,由点C、仞、E 四点共圆可得 NME是等腰直角三角形，于是NE=10-2r,由勾股定理求得AC可得C E,在/?/CNE中由勾股定理建立方程求得x,进而可得BE：【详解】解：如图，过点C 作 CNJ_8E于 N,过点作。M_LCN延长线于M,连接EM,设 BN=x,则 CN=BNtanNCBN=3x,：/CAD,ECO都是等腰直角三角形，A CA=CD,E C=E D,NE DC=45。,ZCAN+ZACN=90,/OCM+N4CN=90,则/CAN=/OCM,在 ACN 和 CDM 中：Z CAN=Z DCM,ZANC=Z CMD=90。,AC=CD,:.ACNQXCDM(AAS),：.AN=CM=0+x,CN=DM=3x,：ZCMD=ZCE D=90,.点 C、M、D、E 四点共圆，ZCM=ZCDE=45,:NE NM=9 Q0,.N M E 是等腰直角三角形，二 NE=NM=CM-CN=1 0-2 x,/?/A N C 中，A C=y/A N2+C N2=（1 0+x）2+（3 x）2,RfA E CD 中,CD=A C,CE=CD,2Rt A C N E 中,CE 2=CN2+NE 2,二 g （1 0 +x），（3 x）二（3 x）2 +（1 0 -2 x,4X2-25X+25=0,（4 x-5）（x-5）=0,x=5=或r x=5,4/3 2 3 SiyM=3 x-J D-A P =-x V 3 x-x =-x ,:.妪 xS,4解得：x =1 2 （负值舍去），即AQ的值为2,故答案为：2.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及含3 0。的直角三角形的性质，正确添加辅助线，以证明 J D 4 空丝作,/F 丝丝/为突破口，从而利用等枳变换的思想得到3 5 A J D A=S G H/是解题关键.2 0.（2 0 2 1 四川绵阳）在直角A43C中，Z C =9 0 ,=1,N C 的角平分线交A8于点。，且t a n A t an 8 2CD =2 6,斜边AB的值是.【答案】3 石【解析】【分析】C D平分/A C B,过点。作 Z J E L A C 于点E,过点。作 O F _ L 8 C 于点F,由此可证明四边形C E Z）尸为正方形,再利用8=2及，根据直角三角形的性质可求出DE=EC=CF=F D=2,再根据锐角三角函数和勾股定理得到1=1,求出AC BC的值即可.【详解】解：如图，8 平分/A C 8,过点。作D ELA C于点E,过点。作Q FL B C于点凡:.DE=DF,Z.CE D=NCFD=90.乂 .NC=90。，四边形CEO/为正方形,:.DE=E C=CF=FD,ZE CD=ZE DC=45,在 中，sinZECD=sin45=,CD 2V CD=2y/2,:.DE=E C=CF=FD=2,tan A=RC,tan BD =-A-C-,-1-1-1-=一5AC BC tan A tan B 2,AC BC 5.-1-=,BC AC 2HrlAC2+BC2 5ACBC 2又AC2+BC2=AB2,AB2 _5AC BC-3np 2.在R fA O E中，.4 匹=2tan A tan A.在 RtABDF 中，tanB=BF BF.B丁更=2tan B tan B:.ACBC=(CE +AE)(CF+BF)2 2=(2+方2+嬴,4 4 4=4-i-1-1-tan A tan B tan A tan B=4(1+-!+1)tan A tan B=4X(2+|)=1 8,.AB2 5.-=,18 2AB2=4 5，即A B =3 石(舍负)，故答案为：3 6.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握宜角三角形的边角关系是解决问题的关键.2 1.(2 0 2 1 江苏连云港)如图，8 E 是AABC的中线，点 F在B E 上,延长A 尸交8 c 于点。.若 B F =3 F E,【解析】【分析】S S连接E ,由 破 是AABC的中线，得到S ，叱=$噂，S心=S皿,由BF =3 F E,得到下 些=3,不 强=3,，A F E jE DqS BD设5 g=x，5 =y，由面积的等量关系解得x =9,最后根据等高三角形的性质解得丁 皿=诉，据此解3，A D C题即可.【详解】解：连接E。A.B E 是 A B C 的中线,-Sa A BE =SABCE，SJ E D=SEDC;BF=3FE.S：F 3 S ABFD _ 3乙v 八/话 -。一 HFED设 S J E F=x，S QEFD=y S)BF 3 x，S*FD=3 y,SjBE 4 x,S.BEC=4 x,S 通 历=4 y SEDC=S/EC S/EO=以 4 yS4 A D E =Sd E D C:.x+y =4 x-4 y/A B D与z i A O C 是等后j 二角形，,S.ABD=BD 3X+3），3 x+3 y _3 x.v+3 y 8 y =3 ,S.ADC DC x +y +4 x-4 y 5 x-3 y 5x5 3 1 6 2 ,3 3 -3故答案为：.【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.2 2.（2 0 2 1 山西）如图，在A4?C中，点。是AB边上的一点，且 4）=3 8。，连接CD并取CO的中点E,连接 5E,若 N A C D =N 8 O =4 5。，且 C O =60，则 A 3 的长为.【答案】4旧.【解析】【分析】延长8 E 交 4 c 于点F,过。点作。GJ_8E于点G，由NACD=4?。=45。可得此时4CE尸为等腰直角三角形，E 为 C力的中点且CO=6 0，则CE=OE=3 0，在等腰R/AC M中，根据勾股定理求得CF,EF长度，由 BF_LOG可得E3G 0ZC F,即 EG=E F,由 BP_LAC,3尸_ 1。6 可得人。)6,即BG BD 1 _B D G A BAF,=，求得，.AB=4BD=4/?3.FG AD 3【详解】如下图，延长BE交 AC于点儿 过。点作G_L8E于点G,ZACD=ABE D=45,ABE D=ZCE F=45,:.NE FC=90,BF LA C,CEF 为等腰 Rf ACEF.由题意可得 为。的中点，且8=6及，.*CE =DE =3 6，在等腰R/ACEF中，CE=3叵,：.CF=E F=3,又 BFJ.D G,在尸和EDG中,N C F E =/D G E =9 0。Z C E F =4 D E GCE =D E/XE D G /XE CF(AAS):.E F =E G =3,V B F L A C,BF 1,D G,：.A C I I D G.B G BD 1*FG-A D-3F G =E F +E G =6,BG=2,BD=5/3：+2?=/?3.AB=48。=4屈.故答案为：49.【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键.23.(2021.湖北随州)如图，在R/AABC中，Z A C B =9 0,。为4 8 的中点，平分NAOC交AC于点G,O D =O A,BO分别与AC,OC交于点E,F ,连接AO,C D,则 段 的值为_ _ _ _ _ _；若C E=C F,则 其BC O k的值为.【解析】【分析】(1)根据条件，证明A 8 S A C O D,从而推断 O G A =9 0,进一步通过角度等量，证明X AOGABC,代入推断即可.(2)通过。4=OE=OC=O 8,可知A,B,C,O 四点共圆，通过角度转化，证明(%)尸C B F,代入推断即可.【详解】解：（1）V ZACB=9 0 ,。为 A3 的中点：.OA=OC又0。平分NAOC，ZAOD=ZCOD又 OD=OD /AOD=/COD：.AD=CD：.O D 1A C NOGA=90在A4OG与AABC中ZGAO=ABAC.NOGA=ZBCA=90 AAOG/ABCOG AO IBC AB 2V：OA=OD=OC=OB A R C,。四点共圆，如下图:,:CE=CF：./C EF =/C FE又,:ZCFE =ZBFO：./C EF =/BFO,:ZAOD=/COD：.AD=CD AD=CD ZOBF=ZCBE ZBFO+ZOBF=ZCE F+ZCBE =90即 NBOC=90：OB=OC BC=y2OC=/2OA=COD NOGA=N3CA=90:.4ODB=/FBC :ZOFD=ZCFB /ODF MCBF.旦=拶=&OF OD故答案为：;/22【点睛】本题考查三角形的相似，三角形的全等以及圆的相关知识点，根据图形找见相关的等量关系是解题的关键.24.（2021辽宁丹东）已知：到三角形3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果AABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点尸是三角形内一点，且满足NAP8=NBPC=NCP4=120。.（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若AB=AC=6 B C =2 g,P 为AABC的费马点，则1%+PB+PC=；若 AB=26,B C =2,AC=4,P 为AABC的费马点，贝