数学数列模块专练(答案版).pdf

1 (20 0 9浙 江 文)设S为数列 4的前项和，S=加+，c N*,其中攵是常数.(I)求 生及%;(II)若对于任意的机wN”,%，出小，成等比数列，求攵的值.解(I )当=I,%=S =k+1,n 2,an=Sn-S _ =kn2+一伙(一 1尸 +(-1)=2kn-k +1 (*)经验，=1,(*)式成立，an=2kn-Z +1(II)a,n S m 血4m 成等比数列,二。2m =m 以4,，即(4&加一 +1)2=(2&加一无+1)(8左加一4 +1),整 理 得:mk(k-1)=0,对任意的?e N *成立，:.k=0或k =12(20 0 9北京文)设数列 q的通项公式为%=p+q(e N*,P 0).数列也,定义如下：对于正整数m，是使得不等式a“m成立的所有n中的最小值.(I )若 p =；,q =一；,求 4；(I I )若p =2,q =-1,求数列的“的前2加项和公式；(III)是否存在。和g,使 得 粼=3 m +2(z e N*)?如果存在，求0和g的取值范围；如果不存在，请说明理由.解(I )由题意，得%=-n-,解，一得 2型.2 3 2 3 3 3成立的所有n中的最小整数为7,即/=7 .2 3(II)由题意，得0=2-1,对于正整数，由。“？相，得 2 3出.根据篇的定义可知当m=2人一1 时，b m=k(k e N*)；当根=2女时，t M=k+l(k N*).4+4+%,=(4+4 +闻-1)+伍2+坛”)=(1+2+3 +-.+?)+2+3 +4 +-+(?+1)m f m +1)m(m +3 ,=i-L+i-L=m2+2m.22(Il l)假设存在p和7满足条件，由不等式p +q?及，得二幺.PV bm=3?+2(z e N*),根据氟的定义可知，对于任意的正整数m都有3血+1二幺3机+2,即2p q W(3 p 1)机 0 (或3 p-l 0)时，得加一卫主 里(或用一 巫 皿),3 p-3 p-1这与上述结论矛盾！1 2 1 2 1当3-1 =0,即 =时，得-q 0-q,解得(?3 3 3 3 3/.存在P和q,使 得 久=3 m +2(mw N*)；1 2 10和q的取值范围分别是p =,3 (20 0 9安徽卷文)已知数歹U 4 的 前n项和S =2 +2 ,数列 的 前n项和(I )求数列 邑 与 区 的通项公式;(11)设.=吊.包，证明：当且仅当n e 3时:解：l i l T e o s2-s i n2 =c o s f t k3 3 3S 3 k=(%+。2 +%)+(4 +%+&)+(。3 2+a3 k-l+a3 k)=(一三+3?)+(一手+6)+(-一”(3 1)2+(弘)2)13 3 1-1-F 2 218 k 5+-2攵(9 k+4)2S 3 A-1=S3 k-a3 k=女(4 9 Q2S3 k-2=S3 k-4 3&-I乂4一%)(3 1)2F 2-3 k-2 1 6故 s=0),则在定义域上有(1 +。)(1 +工)11 +aj _ 1f(x)g(a)=2 a1 +,0 a g(a)恒成立.又心=与欠 注意到0g(a)W；,解上式得_ _ _ _ _ _ _ _g(a)_ l-g(a)Jl 2 g(a)l-g(a)+J l -2 g(a)g(a)v l-g(a)+Jl-2 g(a)一为一取八一卢,即有5(2 0 0 9天津卷文)已知等差数列%的公差d不为0,设S“=%+&4+勺 产Tn=%与4 +(-1)W 0,N(I )若4 =1,%=1,63 =15，求数列 4 的通项公式;（I I）若=d,且S”,S3成等比数列,求q的值。(I I I)若 4。1,证 明(l g)S2 n (+q)TVl=2dq(i fn&N*1-4(1)解：由题设，S3 =%+(4 +d)q +(%+2 d)/,将g=l9a=1,S3=1 5代入解得d=4 ,所 以*二4 -3 w N *(2)解：当 a1=d,S】=d,S2=d 4-2d q,S3=d +2d q +3 d q?：:S,2,8 3 成等比数歹U,所以S2?=S1 S3，即(d+2 dq)2=d(d +2d q +3 d q 2),注意到d w O,整理得q =2(3)证明：由题设，可得b“=qi,贝ijS2,=%+49+%/+/i T2n=a -a2q +a3q -a2nJ -得，SiM-T2K =2(a2q +a4q3+-+a2nq2n)+得，S2n+7 2 =2(al9 +a3g3+420-/1)式两边同乘以 q,得 4(52“+7 2 0)=2(/4 +&/+-+。2 -闯2 -2)所以(1 一 )52-(1 +q)T2 n=2d(q +q3+-+/一)=吗一，”)i-q(3)证明：。一。2 =(%-%)4 +(%-4)。2 +(外,-%)/=(k ljd a+&，2)曲”+也 -/.)曲4 1因为d/0,仇。0,所以c/2=(匕 -4)+(%2 -4)q +(M)乙)q Td bx若k”工/，取i=n,若 幻=/“，取i满足匕W/且号=乙，i +l由(1)(2)及题设知，1 三，且I 2 =(占-)+&-，2)4 +(k-ln)q 7d bx 当 kj 时，&4 1,由 q 2 ，kj I j J q l,i=1,2即占 一/4 T，(k2-l2)q q(q -一 射 时/q(q 7,-2所以_1 i-2(7 -1)+(-1)7 +(-1)/,时:同理可得幺 -1,因 此,一。2。0d b综上，C WQ6(2 0 0 9 辽宁卷文)等比数列 七 的前n项和为s“，已知S3,2 成等差数列(1)求%的公比q；(2)求4%=3,求,解：(I )依题意有.a+(4 +aq)=2(4 +aq +aq2)由 于4 H O ,故2q2+17n；(H D 求证：b2-b -.2 64 17 n-21 7 7 2解：(I )a2=4,4于是q =4也=1 7,q,=6也+=4 b.+l 1 7 (2 2)所以S,=j +c2+-+cn 1 7 n(I I I)当n =l 时,i 17结论|。2 _ 4|二 )M成立当 心2时，有 限 飞|=|4 +；-4-4 H够组也一%|b%b“b“_ i 1 7 j l%-*应 J y 也 一 片|29（2008江西卷）数列 4 为等差数列，a,为正整数,其前项和为S”,数列 2 为等比数列，且q=3也=1,数列 九 是公比为64的等比数列，b2S2=64.（1）求也；,c、4 Tl i 1 3(2)求证-1-F ,H-一.5,52 5 4解：（1）设 4 的公差为4,2 的公比为q,则d为正整数,a“=3+(-l)d,b=qM1b 3+W依 题 意 有 力,+(T)d q S 2bz=(6+d)q =64由(6+d)q =64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一,解得d=2,q =8故。“=3 +2(-1)=2 +1,bn=8 T(2)S=3 +5H-F(2/i +1)=n(n+2)1 1一 十 一4 Sz1 1 H-=-FS 1 X 31 1-1-2 x4 3 x51n(n+2)+1 Z 1 1 1 1 1 1 12 3 2 4 3 5 n1Z 1 1 1 1 、32 2 n+1 n+2 41鹿+2)1 0 (2 0 0 8湖北).已知数列%和已,满足:2q =A ,all+l=a “+-4,2=(-4)(%-3 n +2 1),其中 4 为实数，为正整数.(I)对任意实数4,证明数列 4,不是等比数列；(I I)试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论;(H I)设0。6S.为数列的,的前项和.是否存在实数；I,使得对任意正整数，都有a S“b?若存在，求4的取值范围；若不存在，说明理由.(I )证明：假设存在一个实数入，使 4是等比数列，则有输=以四，即2 4 4 4(-A-3)2=-2 4)=几2 _ 44+9 =k 42=9 =0,矛盾.3 9 9 9所 以 a 不是等比数列.2(H)解:因为帆尸(-1)a L 3(h l)+21=(-1严(笃-2加14)322=(T)”(a,-3z?+21)=-b33又 bix (X +18),所以当入=-18,4=0(CN,),此 时&,不是等比数列：t G当 人2 18 时，斤(入+18)W O,由上可知 4H 0,(n6N*).b,32故当入片-18 时，数 列 ZU 是 以 一(入+18)为首项，一一为公比的等比数列.3(i n)由(n)知，当入=-18,4=0,s方o,不满足题目要求.2X WT8,故知 4=-(A+18)(一 )j 于是可得3S,=-|(A +18)-1-(-|)n,要使水S,。对任意正整数 成立，3 2即水一一(入+1 8)()(b (77 N)5 3得-|(/1+18)-、1-1-(-)5-3 3 和()=1-(二)，则当 为正奇数时，当为正偶数时,|w f(n)1,.f()的最大值为AD =-,以)的最小值为f(2)=-,3 95 3 3于是，由式得2 a-(A+18),3b Q b-1 8 4 3a 18.9 5 5当水b W 3 a 时，由一6 1 8 2=-3 k l 8,不存在实数满足题目要求；当垃3a存在实数X，使得对任意正整数n,都有水$2.11(2005 北 京)数 列 aj 的前项利为$,且 a=1,a.+i=；S“，n=l,2,3,.,求(I)a2,e,a,的值及数列 a 的通项公式；(II)的+。4+。6+。2”的值，解：(I)由 国=1,a“+=；S“，n=l,2,3,.,得a2 =1S|c l=1 ,a1 c 1,、4 1 1 z、163=鼻(。1 +出)=6，%=.$3=(%+%+%)=方，1 1 4由=(5“7_)二铲(n 2 2),得见十=34(nN2)，i i 4又“2二 一,所以 d,p (一)(0 2),3 3 31n=1，数列 为 的通项公式为4 =212（2005福建）已知 七 是公比为q的等比数列，且,牝,%成等差数列.（I）求q的值；（II）设 是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S“，当n 2 2时，比较S”与b”的大小，并说明理由.解：（I）由题设2a3 =%+%，即2%/=%+。闯，：q H 0,r.2q2 q 1 =0./.q=1 或-L2“、.mu 谷 n（n-）,n+3n（II）若。=1,则S“=2n+-i1 =-.2 2当 2时,S“b=S,-=（B +2）0 故 s.b”.若 q=一g,则 S“=2 +=（-1）=-当”2 2时,S -bn=S_,=_（T）：T。）,故对于 e N+，当2K W9时,S“2;当=10时,S“=;当 2 11时,S“么.13（2009龙岩一中）设正整数数列 4 满足：a,=2,a,=6,当“2 2时，有I an an-an+l ”-1（I）求知、。4的值；（II）求数列 4 的通项；I2?2 32 n2 K T*9（III）记7；=+,证明，对任意Na a2 a3 an 4解（I）时，la?一。3 ，由已知q=2,4 =6,得|36 2%|1,因为生 为正整数，所以q=1 8,同理。4=5 4.2分（II）由（）可猜想：。“=2 3-.3分证明：=1,2时，命题成立;假设当=女一1与时成立，即=2-3*T,%T=2-3”-2。4 分于是 I a J _ 4T%+I|；a，整理得：I%+/（，.2%2由川纳假设得3 3小卜2；”2 3+；,5 分6 分因为4M 为正整数，所以T=2-3*,即当=女+1时命题仍成立。综上：由知知对于V n e N,有a=2-3 T 成立.7 分22 32 n2(III)证明：由=1+5 +铲+正 72 I2 22得 T=-1-T-d-1-3 3 32(1)2n2H-34 3 5式减式得一1=1_1-1-r+,+3 3 322n-17?23一 134b 1 3一(=-+9 3 322-3 2/z-l3”TH-33+,9 分式减式得支=1+消+d-：3 i(一 1)23n2+产11分，1 1=-1+2(1 H-1 +3 32(1)23+4=T +23”+i1 11-F (-1)23n2d-3+i=7 +3-3n2+-3,+1=2/+6)213分3”29则 Tn 2且 w N).4(1)求%的通项公式；(2)求证：数列 一凡 为等比数列;(3)求 也 前项和的最小值.解：由 2s“=2 5“_1+2%+1 得 2 4,=2 1+1,“2 分，%=%+(-l)d =；.4 分 3 b“-岫=n,：,1 ,1 1 1 1 ,1 1 1,1 3、也-a”=-_1+-n-n +-=-f e _,1 ,1 ,1 3%-%i+-=%-2+W由上面两式得a,=J.,又4-=_ U 2 _ 1 =_3O%t 3 4 4数列 超一 是以-30为首项，1 为公比的等比数歹!j.8 分由得=_ 3 0X(；)T,.2=6,_ 30 x(；y i _:_ 3 0X(；)T2 一 d-|=；_：_ 30 x(J T _ g(_ l)+；+30 x e)7 1 +30 x (1)-2(1 -1)=1+20 x(1)n-2 0，二%是递增数列.11 分119 3 5 10当上1 时，h.=-0；当炉2 时，h?=-10 0；当后3 时、仇=-0,所以，从第4 项起的各项均大于0,故前3 项之和最小.4 9且S3=(l +3+5)-30-10-y =-41-.13 分15(山东省潍坊市2007 2008学年度高三第一学期期末考试)已知数列%是首项为q=,公比 7 的 等 比 数 列，设 仇,+2 =31og N*),数列4 4 5 g 满 足%=%包“。(1)求证：,是等差数列；(2)求数列 g 的前n 项和S.；1 ,(3)若c“W-1对一切正整数n 恒成立，求实数m的取值范围。解：(1)由题意知，%=(；)(e N*).1 分bn=31og,a,-2,4=31og|%-2=14 4-bn+i-bn=31og an+l-3 l og,an=31og,=31og1 q =3-C l4 4 4 n 4数列也,是首项A =1,公差d=3的等差数列.4分(2)由(1)知，*=(；),/?”=3-2(e N*).c“=(3 2)X(；),(N*).5 分S“=1 x J +4 x(；)2+7 x+(3 -5)x，丫 一 +(3 -2)x(；),于 是:S.=1 x,)2+4 x,)3+7 x(J，+(3 -5)x )+(3 2)x(；)用两式相减得：S“=；+3(1)2+(i)3+(；)_(3 2)x 0严=J (3 +2)x(；)-5n=|-y X(i)+1(ne2V*).8 分(3)vc+1-e=(3 +1)(：)+J(3 2).(1)-4 4=9(1-).(1严,(neN*)4当 n=l 时，c2=G=!2 1 4当 2 2时,c+1 c，即G=。2。3 Q c.当n=l时，c“取最大值是工4又c“、14 4HP m2+4 m-5 0得m 1 或?-5.12 分16（武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题）设数列%的前n项和sn=(-1)/?(2/?2+4/?+1)1,ne Ne+o(1)求数列口 的通项公式a；(2)记bn=三 匚，求数列也 前n项和7；解：数列%的前n项之和S“=(-1)(2 2+4 +1)1在 n=l 时，a=(I)1(2+4+1)-1 =8在时，%=%S“T=(一 1)”(2 2+4“+1)(-1丫1 2(一 1)2+4(n-1)+1=(一 (+1)而 n=l 时，q =-8 满足=(+故所求数列 4 通 项%=(1)4”(+1).(7分)(T)1-1/1 1、(2).bn=-=-=(-)an 4(+1)4 n +111 A n因此数列 2 的前n项和7；=(1-)=).(12分)4 +1 +117(全国卷 I 第 22 题)已知数列 2 中 q =2,an+i=(V 2-l)(a+2),=1,2,3,.(I )求 4 的通项公式；(H)若数列也 中4=2,=1,2,3,，证明：y/2 +(V 2-2)t.由已知 an+l=(V 2-1 +2(7 2-1)比较系数得f=-四.*a+i-6=(7 2-1)(。“-V 2).即数列,-发 是 以 首项为9-&=2-四,公 比 为 近-1的等比数列.V 2+-1)”,(“eN+)(H)解 法1：用数学归纳法证明.(i )当=1时，因V 2 2,白=41=2,所以、历 仇Wq,结论成立.(ii)假设当时，结论成立，即8 bk W a4k_3,也即 0 U ,2%+3又 一 一y l =3-27 2,2%+3 2V 2+3所以砧 行=生 刎 酗二 2%+3(3_2物2 _扬(V 2 l)4(a4J._3 V 2)也就是说，当=k+l时，结论成立.根 据（i）和（ii）知 行 又。4”.3=血（四-1尸3+四，要证明R V2+1 +1-V2=2,综 上 所 得 后 bn a4n_3.18在 数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T.，再令a“=lgT“，nl.(I)求数列 J的通项公式；(II)设a=tan an-tan an+l,求数列也 的前n项和Sn.解：(I)设%小，。+2构成等比数列，其中 =1,%2=100,则=|.2(+1 1+2=4+2 .“+1 ”2%X并利用上t“+3 T=t,-tn+2 102,(l i.(ID由题意和(I)中计算结果，知bn=tan(n+2)-tan(n+3),n 1另一方面，利用i1、,x tan(攵+1)tanktan 1 =tan(Z+1)左)=-1 -tan(攵 +1)-tan%得tan(k+1)-tanktan(Z+1)tank-1tanl所以Sf l=Z tan(k+1).tan ki=l i=3皆，tan(攵 +1)-tan k-r-;-DM tanltan(+3)-tan3=-ntanl19若数列A“二%,%，%(22)满 足 +q|=l(&=l,2，-数 列 为E数列,i己S(A)=q+2 +.+(I)写出一个满足q=4=0,且S(AJ0的E数列A；(H)若q=12,n=2000,证明：E数列A”是递增数列的充要条件是%=2011 ；(III)对任意给定的整数n(R 2),是否存在首项为0的E数列A，使得5(A)=0?如果存在，写 出 个 满足条件的E数列4,；如果不存在，说明理由。解：（I ）0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A s。（答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A 5）（I I）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以-%=1（=1,2,.,1 999）.所以A s 是首项为1 2,公差为1 的等差数列.所以 a 2 o o o=1 2+（2 0 0 0 1）x i=2 0 1 1.充分性，由于a zo o o a i o o o-1 0伙=1,2,1 999）,即A“是递增数列.综上，结论得证。（I I I）令c =ak+l-ak=1 0（k=1,2 一,一1）,则 仁=1.因 为 电=+，+?=4 +。+。2%=%+G +Q+c“+i，所以 S(A“)=/+(-I)1 +(n-2)C2+(n-3)c3+%=Zy-(l-c1)(n-l)+(l-c2)(n-2)+-+(l-c _1).因为q =1,所以l-q 为偶数(女=1,-1).所以*1 一 q)(-1)+(1 。2)(-2)+(1 c“)为偶数,所以要使S(A“)=0,必 须 使 妁(D 为偶数，即 4整除(几 一 1),亦即=4 根或=4 m +l(m G N*).当n=4 m +(m G N*)时,E 数列A 的项满足a.=a4k_=0,a4 J t_2=-1,a4k=1(k=1,2,，时，有 为=0,S(A)=0;a 4k=1(%=1,2,=0时，有 q =O,S(A,)=O;当=4机+1(?e N*)时,E数列A”的项满足，=a3 k-3 =，卜2 =T，当=4m+2或=4?+3(?6 N)时,“(机-1)不能被4整除,此时不存在E数歹U An,使得 =0,S(A“)=0.2 0 设 b 0,数 列 4满足 a i=b,an=(n 2)3+2 -2(1)求 数 列 4的 通 项 公 式；a(2)证 明：对 于 一 切 正 整 数n,a 2),(i )当时，物“是以;为首项，；为公差的等差数列，即么=；+(T)x g =g ,an=22 2 2(i i)当时，设4+4 =丁 3 _ +4),则a=T2 _ +/(7 _ 1),b b b2 1 1 1 7 1令 工一1)=工，得+7-522)，b b 2-b 2-b b 2-b知hn+是等比数列，.2+=色+)-,又仇=L,2-b 2-b 2-b b b1 2 1 _ 1 2-b._ nbn(2-b)2 1,2 h2 h hn a,1 2-b法二：(i)当时，,是以g为首项，；为公差的等差数列,即-a-2 2 2 2 ,2bz 2b2(b 2)(1 1)当时，ax-b,%=-=-,生1-b+2 b2-22 23 b 3从+2 0 +43/3 -2)b3-23猜 想 仍(2),下面用数学归纳法证明:bn-T当=1时，猜想显然成立；假设当”=左时，ak=”三2)，则bk-2k_ 伏+1)儿 _ 伙+1屹 加(b 2)_ 伏+1)/3-2)%小-%+2(-1)一 姐(b-2)+2 h(n -2 )-bk+i-2k+所以当=左+1时，猜想成立，由知，V w N*,annh b-2)b-2(2)(i)当时，4=2=手 互+1,故时，命题成立;(i i)当时，b2+22 2y 1 b2n-22n=2n+b,b2n-2+b-22 2 2 2?=2n+bn,2n+(b-2)(b2n+i-bn+-2)+-2I+-22n+l)b+l,一业M=-4/-+1.故当时，命题成立;2”+1(“_ 2)2,+|综 上(i )(i i )知命题成立.2 1已知数列 a,的前项和为S”，且满足：a=a(a 0),+1=rSn(ne N,rw R,r -1).(I )求数列 成 的通项公式：(H)若存在A e N*,使得&+i,S,S +2成等差数列，是判断：对于任意的机eN*,且m N 2,a,n+1,a,a,”+2是否成等差数列，并证明你的结论.解 析：(I )由 已 知+|=r S 可 得an+2=rSn+l,两 式 相 减 可 得%+2一4+1 =r(S“+i-S“)=“+|,即。“+2=(+1)。T，又=ra、=ra,所 以 当r=0时,数 列 a“为a,0,0.,0,，bn+l-2T +h1-2f l+l 2y b2n-22n=2+bn,以上 n 个式子相加得b2n+b2n-x 2+bn+-2-+b-2n+l+-+/-22n-l+22 n-2,+1 bn,n-2n+b(6 2),(/+h2-2+6 ,22-1+22)-hn-2(b -2)a-s-2+(bn-2)-2n+(bn-2)(b2 +b2-2+/?-22-+22)(b-2)-bn-2(b-2)2+(h -2)(b2+i-22,+)-bn+-T+bn-2n+12当 r W 0,r W -1 时，由已知。0,所以 W 0,(N，,于是由凡+2 一%=川，可得4 上=r+1,所以。2，%，心，成等比数列，氏+1当 22 时，an=r(r+l)a a,n=l综上，数列 g 的通项公式为：4=,、，-r(r+1)a.n 2(I I)对于任意的me N*,且，是否成等差数列，证明如下:当r=0时，由(I),知见61,/?=10,/?2故对于任意的?e N*,且，4 用，4，%+27成等差数列；当 rw 0,r#-l 时，.+2 =S*+4+|+4+2，S*+|=S*+4+i。若存在k e N*,使得Sk+l,Sk,Sk+2成等差数列,则品+1 +Sk+2=2Sk,2S*+2at+)+a=2S*,即 ak+2=2ak+i由(I),知吗，的公比r+1 =-2,于是对于任意的me N*,且，tzwt+=-2am,从而“鹏=，4+1+册+2 =2am,即 am+x,am,am+2 成等差数列。综上，对于任意的加e N*,且，+2成等差数列。22 已知两个等比数列a“,满足 q=a(a 0),bt-at=l,h2-a2=2,%-%=3.(1)若a=l,求数列 a,J的通项公式;(2)若数列 a,J唯一，求a 的 值.(1)设 a.的公比为g,则瓦-2叼由6,向 出 成 等 比 数 列 得(2”)=2(3+/)即 学 什2=0.解将 2+&%C-G所以S J的通项公式为0(2八/1).或a.=(2 S)i.(2)设%的公比为g,则由(2叫尸(IM)(3.7,)，得气4 4+3 a T=仅)由a0糊34a，4a0,故方程()有两个不同的实极由 4 唯一,知方程()必有一根为0,代人()得。=+,23已知等差数列 斯 满足敢=0,a6+a8=-10(I)求数列 小 的通项公式；(I I)求数列的前”项和.(I)设等差数列 6的公差为，由已知条件可得 1时,2-n i rn2n所以S“2 i综上，数列 券 的前项和S“=卡.12分24等比数列 ,的各项均为正数，且2%+3 g=1,32=啊（I）求数列 4 的通项公式.（II）设 bn-log3 a+log3 a-,+log3%,求数歹!J 的前 n 项和.他J解：（I）设数列a 的公比为q,由 片=9%。6得 =9诏所以/=，由条件可知c 0,故4=；。由 2q+3a2=1 得 2q+3a?q=1,所以 q =；。故数列 an的通项式为a片 最。（H）=log3+log3 a2+.+log3an(1+2+.+A?)-2u1 2 1故=-=-2(hn n(n+1)nn+l)1 十 1 +.+1 =-2(八(1 1、)+Z(-1-1)、+.+(A瓦 b2 bn 2 2 3 n1 +l)=-Mn+1所以数列的前n项 和 为-*n+25（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 q 的首项4为a（R），设数列的前n项和为S“，且上，上成等比数列q a2 a4（1）求数列缶“的通项公式及s“（2）记 4“=+.+一，Bn=+一 +.+，当 2 2 时，试比S|S2 S3 St l%a2 a 吩 a2n较 4 与纥的大小.（I ）解：设等差数列%的公差为d，由题意可知（工）2 =a2 ax%即（4 +d）2=%（+3d）,从而 a1d =d2因为d W 0,所以d =a=a.故通项公式%=na.（I I）解：记=-1-1-1-，因为。“二2 a。2 2 所以片+*+!）1;。小=i-（|）na从而，当 a0 时，7；当 a ,.qa26（2009 湖北卷理）（本小题满分13分）（注 意：在 试 题 卷 上 作 答 无 效）已知数列 4 的前n项和5“=-%（：严+2（n为正整数）。（1）令,=2%,，求证数列 2 是等差数列，并求数列 4 的通项公式；（H）令%=，Tn=c+c2+.+q试比较7；与 上 一 的 大 小,并 予 以 证n 2n+1明。解析：（I）在 5 =一。”一 产+2 中，令 n=l,可得5=一氏一1 +2=%,即=；b“=2bn=b,i+1,即当n 2 2时，bn-b_,=1.又仇=2%=1,.数列 2 是首项和公差均为1 的等差数列.于是2=l+(T l=2%”,，a“nT(II)由(I)得(+1)(3,所以n27；=2 x；+3x(；)2+4x(口+K+(”+1)(；)；1=2X(；)2+3+K+(+l)(；)T由一得;1=+K+(；)-(+1)(；)用如 詈L 1 1 1 v r 2 2n+l2f r +3-Tn =3 1 5 _3 +3 5H _(+3)(2-2n-1)H2n+1 _T _ _ 2-+1-2(2,+l)Sr?于是确定7；与 上L的大小关系等价于比较2与2+1的大小2+1由2 2x1+1?2x2+1?2x3+1;24 2x4+1 2 2+1.证明如下：证 法1：(1)当n=3时，由上验算显示成立。(2)假设九=1+1 时2M=24*2(22+1)=4&+2=2也+1)+1 +(2&-1)2(&+1)+1所以当”=女+1时猜想也成立综 合(1)(2)可 知，对一切”2 3的正整数，都有22+1.证法2：当“2 3时2=(1+1)=C：+C：+C；+K+C：i +C：C；+C：+C：T+C；=2+2 2+1综上所述，当=1,2时7；上 一2n+l 2n+127(2009陕西卷文)(本小题满分12分)已知数列 4“满足，a=1,a2=2,a+2=N*.(I)令=4+4,证明：也J是等比数列；(ID求 a,的通项公式。证明:当时，”,=an+t-an=a-a-an=-（a -61）=一;如所以 或 是 以1为首项，-；为公比的等比数列。（2）解由 知 勿=。“+1=（一；严，当时，an=%+（%-%）+（%的）+（。”_ a“-i）=1 +1+（-；）+（_；）一=三7=管十5并滂得日当=忖，=%。5?1所以。“=_（2）T（e N*）。28 （2009四川卷文）（本小题满分14分）设 数 列 ,的前几项和为S“，对任意的正整数，都 有a.=5 S“+1成 立，记4 4-bn=-（ne N*）。（I）求数列 4与 数 列 也 的通项公式；（H）设数列 ,的前项和为此，是否存在正整数k,使得R“2 4 k成立？若存在，找出一个正整数左；若不存在，请说明理由；22.【解析】（I）当”=1 时，a,=5 S 1+1,/.a=；又；”=5 5,+1,4+=5 5.+|+1数列 ,是首项为4=_；,公比为q =-;的等比数歹U，（I I）不存在正整数攵，使 得 凡2 4 k成立。4 +,0 5 5 c 5 20 c 1 5 x 1 6 i-4 0 ob，k.+=8 4-1-=8 H-：-：-=8-8.21 2k(4)21-1 (T 产-1 1 6 -1 1 6*+4 (1 6*-1)(1 6*+4)当n为偶数时，设“=2m(me N*)&=(仇 +旬)+(A +%)+(%“T+b2m)8?=4 当n为奇数时，设 =2 m一 N )凡=(4 +&)+(4 +4)+S 2M-3 +b2m-2)+HMT 8(m -1)+4 =8加-4 =4，对于一切的正整数n,都 有 用4 k不存在正整数k,使得/?2 4女成立。8分(I I I)由4=4+之得 (4)一1,5 5 1 5 x 1 6 1 5 x 1 6 1 5 x 1 6 1 5b2n.+b?n=F-1-1-=-=-；-丁=-2.T 2“42n_1 42,-+1 (1 6 -1)(1 6 +4)(1 6 )1 2+33X1 6),-4 (1 6)1 6 14 -6 9 33 ,1 4 8 21-1 61 4分29 (20 0 9湖北卷文)(本小题满分1 2分)已知 a,是一个公差大于0的等差数列，且满足9 3a 6=5 5,(I)求数列 a j的通项公式:一 1 3 4又 4 =3,%=，3当 二1 13寸，T ,1 2当时，0由 a2+a 7=1 6.得 2q +7 d =1 6 由%，。6 =5 5,得(q +2d)(q +5d)=5 5 由得 2q =1 6 -7 d 将其代入得(1 6 -3 d)(1 6 +3 d)=220。即 25 6 -9 d?=220d 4,又d 0,/.d 2,代 入 得a 1二1=1 +(1),2=2 1 令c.=*，则有a.=c1+c2+.+cn,an+i=q+c2+.+C,.(4+i 一4=c M，由(1)得4 =-%=2两式 相 减 得c+1=2,c=2(2),即当2时,b=2同又当n=l时,bt=2%=2,f 2,(n =l)b“=工,2n+1(zz 2)于是 S“=仇+%+与.+氏=2+23+2+.+2 M=2+22+23+24+.+2,+-4=2(2”T)_4 =2n+2-6,即 S=2+2-62-1 3 0 (20 0 9上海卷文)(本题满分1 8分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知%是公差为d的等差数列，%是公比为q的等比数列(1)若a“=3 +l,是否存在肛”wN*,有+*,+=4?请说明理由；(2)若b“=aq (a、q为常数，且a q/0)对任意m存 在k,有,什|=4，试 求a、q满足的充要条件：(3)若q=2 +1也=3 试确定所有的p,使数列也 中存在某个连续p项的和式数列中 4“的一项，请证明.【解】（1）由 4+am+i=4,得+6 +3 k +1,4整理后，可得出一2机=,3,/机、ke N ,：.k-2 m 为整数不存在、ke N”,使等式成立。（2）当机=1 时，则b 也=bk，；.a，,q 3 =aq a=亡3,即 =q c,其中。是大于等于一2的整数反之当a=其中c是大于等于 2的整数，则2=/+，显然超 hm+l=qm+c-d+=q2m+2c=bk,其中 k=2机+1 +c.a、夕满足的充要条件是a=于，其中c是大于等于-2的整数 设%+%2+,+%=%当为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，当为偶数时，（*）式不成立。由（*）式得3ff,+l(l-3p)1-3=24+1,整理得 3+i(3-l)=4k+2当p=l时，符合题意。当,，p为奇数时,3p-l=(l+2)/,-l=Cj+Cj-2+Cj-22+-+C；-2/,-l=C +C22+=2(C；+C j2 +C2X)=22(Cj+Cj-22+-+C；-2p-2)+p由 3出(3。-1)=44+2,得3m+,2(C j+C 22+-+C；-2p-2)+p 2 k+.当p为奇数时，此时，一定有机和上使上式一定成立。当为奇数时，命题都成立。