2023年新高考复习讲练必备第22讲空间中的平行关系（解析）.pdf

2023年新高考复习讲练必备第2 2讲空间中的平行关系一、知识梳理1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面a平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行如果 IQ a,mu a,I/m/m,则 I/a性质定理一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交,则这条直线就与两平面的交线平行 7如果/a,lu 8,aA =m,贝!/?2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义如果平面a与平面夕没有公共点，则a 民(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行/如果/u a,7 7 7 Ca,/AniW。,I/B,tn B,则a/B性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面/4_/a u a=8性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它7A如果。,a ny=l,pCy=m,们的交线平行则 m/1二、考点和典型例题1、直线与平面平行【典 例 1-1】已知“，b 是两条不重合的直线，a,4 是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是()A.若ab,b u a,则直线a a B.若a/?,a u a,b u。,则 a 与 b 是异面直线C.若a 6，a u a,则a 夕 D.若人，a u a,则“，匕一定相交【答案】C【详解】若a/6,b u a,则直线a/a 或“u a,A错误；若c/,a c a,bu/3,则。与人平行或。与匕是异面直线，B 错误；若a/,a u a ,由面面平行的性质可得：存在c u 尸使得a c,由线面平行的判定可得R/力，C 正确;若aPl尸=b,a u a,贝 lj”，人 相交或平行，D 错误.故选：C【典 例 1-2】如图，正方体ABC。-4 4 c 中，P 是 A Q 的中点，则下列说法正确的是()A.直 线 所 与 直 线 垂 直，直 线 平 面 与 RCB.直线PB与直线R C 平行，直 线 平 面C.直线尸B与直线AC异面，直线依，平面4 力。出D.直线尸3 与直线耳。相交，直线P B u 平面ABG【答案】A【详解】连接D B，AB,D蜴,R C，B C；由正方体的性质可知%=B。，P 是A。的中点，所以直线PB与直线A。垂直；由正方体的性质可知DBDB,%B D,C,所以平面BDA 平面,又P B u 平面B D ,所以直线P 3 平面片 C,故 A 正确；对于D,由直线与平面平行的性质定理知，D 正确.故选：D【典 例 1-4】已知。，夕是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是()A.all。,ml la,则./?B.m H n,nJ la 则他/aC.平面a 内的不共线三点A、B、C 到平面”的距离相等，则a 与4 平行D.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行【答案】D【详解】all 13,ml l a,则相/?或机u，故选项A 错误；m H n,n/a,则，&或?u a,故选项B 错误；当平面。与平面夕相交时，可以在平面a 内找到不共线三点A、B、C 到平面夕的距离相等，故选项C 错误；如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D 正确.故选：D.【典 例 1-5】如图，在下列四个正方体中，A、8 为正方体的两个顶点，M、N、。为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的 是()【答案】D【详解】对于A 选项，连接C。，如下图所示:h A C U B D A C=B D,所以，四边形A M C 为平行四边形，所以,Q N、。分别为CE、D E的中点，则NQ C Z),所以，NQ/AB,因为A8Z平面MNQ,N Q u 平面M N Q,所以，AB 平面M N Q ；对于B 选项，连接C。，如卜图所示：CD/AB,因为AC比)且AC=B O,所以，四边形A8DC为平行四边形，所以,Q 分别为CE、的中点，所以，MQ/CD,.-.MQ/AB,因为A 8U 平面MNQ,M Q 平面M N Q,所以，AB/平面MN。；时于C 选项，连接C。，如下图所示：AB/CD,因为AC7/8D且 AC=8 O,所以，四边形A8Z5C为平行四边形，所以,AB/CD,.M、。分别为CE、D E的中点，所以，MQ/ICD,:.MQ/AB,因为AB m l/aB./q，m!I/3,l e a,mu a=a/分C.IH m,l u a,m u B=aM。D.l/p ,ml ip ,l e a,m u a ,I rm=M a/J3【答案】D【详解】A：m ill,I l l a,则m/a 或m u a,错误；B：若加/时，a/或a,夕相交；若孙/相交时，/?,错误；C：U/m,l u a,m u。,则c,Q 平行、相交、重合都有可能，错误；D：/,m u a,10%=加 且/?，”尸,根据面面平行的判定知:a l l p,正确.故选：D【典例2-2】设机，是不同的直线，a,4 是不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若 nil a,则 m/B.若加a,mH（3,则 a/C.若?_Lc,a V p ,则,在 D.若 7_1_仁，?_L 夕，贝！|a /?【答案】D【详解】A 选项，若，/a,nil a,则向/，或?，相交或?，异面，A 错误；B 选项，若mH a,mlip,则a 6 或a,4 相交，B 错误；C 选项，若m_La,a Z?,则心/尸 或加u ,C 错误；D 选项，若m_La,m L/3,则a 尸，D 正确.故选：D【典例2-3在正方体EFGH一巴耳G a 中，下列四对截面彼此平行的是（)A.平面E/Q 与平面EGH B.平面尸H Q 与平面KHQC.平面6 M E 与平面厂”鸟 D.平面片”。与平面秋 夕【答案】A【详解】如图，正方体 E F G H-E,F H,E E J g,E E=GG,所以四边形E E G是平行四边形，E g/EG,EG U平面E G H、,EGuififEGM，所以E g/平面EG”一 同理G/平面及汨因为 c G/=G,EQ,G/u 平面 E g ,所以平面E/G /平面E G H、.故选：A【典例2-4】在三棱台A G-A B C 中，点。在A,0 上，且 A A/B D,点M 是三角形A 4 G 内（含边界）的一个动点，且有平面3DM 平面A 4C G，则动点M 的轨迹是（）A.三角形A B G 边界的一部分 B.一个点C.线段的一部分 D.圆的一部分【答案】C【详解】如图，过。作 O E/A G 交4 G 于 E,连接8E,BD/AA,8 平面M G。，所以M e D E，(M不与。垂合，否则没有平面BZ)M),故选：C.【典例2-5】如图，在正方体4 B C O-A S G。中，E为。的中点，尸为CC；的中点.求证：BR 平面AEC；(2)求证：平面AEC/I平面BFD1.【解析】(1)证明：连接8。交AC于点O,则。为8。的中点,因为E为。A的中点，则8D/0E,.BR0平面AEC,O E u平面A C,因此，8 A平面AEC.(2)证明：因为CZ)A且C G=Q 2，E为。的中点，尸为CG的中点,所以，CF/D.E,CF=DXE,所以，四边形C E R F为平行四边形，所以，。/CE,平面AEC,C E u 平面A E C,所以，R F 平面AEC,因为8。门2 尸=，因此，平面AEC平面BFR.3、平行关系的综合应用【典例3-1】如图，已知正方体A8CO-AMG。的棱长为2,则下列四个结论错误的是（）A.直线A G 与4 A 为异面直线B.A C /平面ACRC.三棱锥R-4 D C 的表面积为6+2抬D.三 棱 锥 ADC的体积为三【答案】D【详解】因为AG U 平面AG.A。n 平面AG=D,AD,a 平面A G,D,eAtCt，所以直线A1G 与 AD,为异面直线，故A 对.4 7/4 6,4（7/5，故 C 对.1 1 1 4%-ADC=3 S AALDC 3 x,x 2 x 2 x 2 3,古 又 D 卒 日“,故选:D【典例3-2】已知。，b,c 为不同的直线，a,4 为不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若。_Lb,h cf 则。c B.若。a,b/a,则a Z?C.若 b_La,b 1 0,则a/D.若 a_La,bka,则 b a【答案】C【详解】如图所示:A.若 a=A 4，b=BBI,c=BC,满足a_L6,_Lc,则。，c异面,故错误;B.若a=A 4，=B1G，a=平面ABC。，满足a a,b/a,贝 ij a,匕相交：故错误；C.因为,由垂直同一直线的两个平面平行，则。,故正确；D.若a=4 A，6=4 4,a=平面 A3C。，满足a_La,ba,b u a,故错误；故选：C【典例3-3如图，在四棱锥EA8CD中，AB/CD,8=445,点尸为棱CQ的中点，与 E,尸相异的动点尸在棱E尸上.(1)当 P 为 E尸的中点时，证明：8/平面4 9氏EP(2)设平面EAO与平面EBC的交线为/,是否存在点尸使得/平面PB。？若存在，求 号 的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)如图，设点G 为棱EO的中点，连接AG,PG,:.GP=-D F=-DC,GPI/DC,2 4V ABH CD,CO=4AB,：.GP=ABf GPU AB,二四边形ABPG为平行四边形，AG/PB,又PB(z平面AGu平面/8/平面 A)E.(2)如图，延长D4,CB相交于点“，连接E”，则直线EH为平面E4。与平面EBC的交线，连接印L交BD于点/,若EH平面PBD,由线面平行的性质可知EH/PI,设777=2乔，:点 尸为棱C。的中点，AB/CD,CD=4AB,，H/=AHF=H D+H C =-H D+2A H B ,2 2 2,:D,I,B三点共线，2 2.,-+22=1,即；1 =一，2 5所以 当E芸P=2=时，-PF=FI =3：.EH II Pl,PF 3 EF FH 5乂 EHU平面P B D,列匚平面正或二以/平面尸或),存在满足条件的点P使得/平面PBD，此时F黑P=32.PF 3【典例3-4】如图，四边形4BC。为长方形，PD_L平面ABC。，PD=AB=2,4)=4,点E、尸分别为AD.PC的中点.设平面POCA平面PBE=/.设平面AE的个法向量为元=(,b,c),则2 2 口一旦占02 2Q +C =Ob+c=Of令a=l,得平面ADE的 一 个法向量为万=(1,1,一 1),_ .m-n 1 1 +1-11 1设平面B A D与平面E A D夹角为0，则|cos4=加摩=-,所以平面BAD与平面4。夹角的余弦值为5.