历年上海高考试题(立体几何).pdf
历年上海高考试题（立体几何）（0 1春）若有平面a与B，且。门0 =/,。，|3,/，5 尸任/,则下列命题中的假命题为（）（A）过点P且垂直于a的直线平行于0.（B）过点P且垂直于/的平面垂直于B.（C）过点尸且垂直于0的直线在a内.（D）过点P且垂直于/的直线在a内.（0 1）已知a、b为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，且 a _ L a ,b P ,则下列命题中的假命题是（）DA.若 2 里 则 a /BB.若 a J.B ,贝 U a _ LbC.若 a、b 相交，则 a、B相交D.若 a、B相交，则 a、b 相交（02春）下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有 对。3（02）若正四棱锥的底面边长为2&m,体积为4cm3,则它的侧面与底面所成的二面角的大小是300（0 3 春）关于直线a,以及平面M,N ,下列命题中正确的是（）.(A)若 a/M,b/M,则a b（B）若。M,b _ L“，则(0 若 au ,bu M,且贝（）若。_ 1 加,。，则 加，D（0 3）在正四 棱 锥 P ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为6 0 ,则异面直线PA与 BC所成角的大小等于.（结果用反三角函数值表示）a rc t g 2（0 3）在下列条件中，可判断平面a与 B平行的是（）A.a、B都垂直于平面r.B.a内存在不共线的三点到B的距离相等.C.1,加是a内两条直线，且/B,m B.D./,，n 是两条异面直线，且/a,m a ,/B ,m/P .D（0 4 春）如图,在底面边长为2 的正三棱锥V-A B C 中,E 是BC的中点，V 若4VAE 的面积是;，则侧棱VA与底面所成角的大小为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _（结果用反三角函数/表示）a rc t g；（0 4）在下列关于直线1、m与平面a、。的命题中，真命题是（）-_、c（A）若 1 U。且 a，p,则 l J _ a.（B）若 1J _ 0 且 a p,则 l J _ a.（C）若 1_ L0 且 a _ L0,则 l a.（D）若 a n|m 且 1明则 l a.B（0 5 春）已知直线/、机、w 及平面a,下列命题中的假命题是 B（A）若/m，m /n,则/.（B）若/_ La,nil a,则/_ L”.(C)若/_ L z,m l l n,则/_ L.(D)若/a,nil a,则/n.D2（0 5）有两个相同的直三棱柱，高为一,底面三角形的三a5 a 3.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有最 小 的 是 一 个 四 棱 柱，则a的 取 值 范 围V15 0a 0）v F T i1,h（2）V=-h a2=-（/i 0）3 3（/I2+1）易得V=一3（h+：）h因为h 十工22 屁1=2,所以丫4 4h V h 6等式当且仅当人=1,即=1时取得。h故当6=1米时，y有最大值，V的最大值为4立方米.（01 春）在长方体AB C D-A|B|C|D|中，点E、F 分别B B I、OR 上，且AE J L 4 B,AF 1 AD .4（1）求证：4。，平面人后夕；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。试根据上述定理，在 A 8 =4,A D =3,A 4 =5 时，求平面A E F 与平面。出所成的角的大小。（用反三角函数值表示）证（1）因为CBL平面48,所 4c在平面A|B 上的射影为A 1由 A1 8_ L AE,4 E u 平面,得 A|C _ L AE,同理可证因为 A Q J _ J _ A E所以A C 1 平面AE F解（2）过 A 作 B。的垂线交C）于G ,因为。|O _ L 4 G,所以4G，平面。|8出。设 A G与AXC所成的角为a ,则a即为平面4 E 尸与平面。出出。所成的角.Q由已知，计算得QG=N.4如图建立直角坐标系，则得点4(0,00),9G(-,3,0)，A(0,0,5),C(4,3,0),49A G =j,3,0,A C =4 3-5,因为A G与4C所成的角为a所以c o s a =4 G IAGW ACI12V22 51 2/2a =a r c c o s-2 5由定理知平面A M与平面C“所成角的大小为a r c c o s竽(0 1)在棱长为a的正方体O AB C-O AB C 中，E、F分别是棱AB、B C上的动点，且AE=B F.(1)求证：AF J _ C E；(2)当三棱锥B-B E F的体积取得最大值时，求二面角B E F-B的大小.(结果用反三角函数表示)(1)利用空间直角坐标系证明；(2)a r c t a n 2 x 2（02春）如图，三棱柱OAB-OiAiBi,平 面OBBQOQB=60,/AOB=90,且 OB=OOi=2,OA=求：（1）二面角Oi AB-O大小；1平 面 OAB,V3o(2)异面直线A,B与AO 所成角的大小。(_t果用后角函数I W)解(1)取OB的中点D,连 结。，则OiD_LOB。,平面08810 平 面0人8,.OiD_L平面 OAB过D作AB的垂线，垂足为E,连 结O iE,则OiELAB。NDEOi为二面角0rA B-0的平面角。由题设得0 1=由，DE=DBsinZOBA=2V7.,在 RtOiDE 中，tgNDEOi=d7,NDEOi=arctg7.即二面角 Oj-AB-O 的大小为 arctg”(2)以0点为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴、过0点且与平面AOB垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系，则0(0,0,0),01(0,1,白)，A(也,0,0),A 1。3,1,也),B(0,2,0)。设异面直线A.B与AO,所成角为a,(02)如 图，在 直 三 棱 柱AB。AB。中，00=4,OA=4,O8=3,NAOB=90,D是线段4 9的中点，P 是 侧 棱 台9上 的 一 点，若OP J.3 O,求。P与底面AOB所成角的大小。(结 果 用B I|/反三角函数值表示)解法_1 1/如图，以。点为原点建立空间直角坐标系 n 7,、L3p i%q由题意，有 8(3,0,0),0(,2,4)设尸(3,0,z)，则1 3*B D =-,2A,OP=3fi,z因为B D 0 P 9B D O P =+4z=0298因为68_L平面AOBr.P O B是OP与底面AOB所成的角3tgNPOB=w3/.Z.POB=arctg 解法二 取。8 中点E,连结DE、B E,则。6_1平面。88。/.B E 是 B D在平面。68。内的射影。又因为OP _LB)山三垂线定理的逆定理，得 O P 上B E在矩形OBB。中，易得R t A O B P RtABB EBPBE嚼，得 B P(以下同解法一)(03春)已知三棱柱ABC 4 4 G，在某个空间直角坐标系中，4,ym,O,AC=A M,0,0M A=0,0,.其中 m,n 0.-C2(1)证明：三棱柱ABC 4 6 c l 是正三棱柱；A B(2)若 加=扬，求直线C 4 与平面A/B 区所成角的大小.-4(03)已知平行六面体 ABCDAiBiGDi 中，A A_L平面 ABCD,AB=4,AD=2.若 BQ _LBC,直线 BQ 与平面 ABCD所成的角等于30,求平行六面体ABCDA|B|GD|的体积.解 连结 B D,因为 B|BL平面 ABCD,B|D B C,所以 BC_LBD.在aBCD 中，BC=2,CD=4,所以 B D=2 又因为直线B Q 与平面ABCD所成的角等于30ZB,DB=30,于是 BB=BD=2.V3故平行六面体ABCDA|B|GD 的体积为SABCI B B|=8g.(04春)如图，点 P 为斜三棱柱ABC-A1B1C j的侧棱BB1上一于点M,PNBBt交 CCi于点N.(I)求证：CG _LMN;(6 分)(2)在任意4D EF中有余弦定理：DE2=DF2+EF22DF-EFcos/D FE.拓展到空间,类比三角形的柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,证 明:(1)V C C B B,，CC PM,CC|_LPN,且 PM、PN 相交于点,PM_LBB交 AAi余弦定理，写出斜三棱并予以证明.(8分)点 P,；.CC|_L 平面 PMN.；MNU 平面 PMN,ACCtlM N.解：(2)在科三棱柱ABC-AiBCi中，有S ASBIA,8CG4+S ACG A 2S fiCC|B|S ACC|/t|cosa其中a 为平面CGB|B与平面CGAiA所组成的二面角CC 平面PMN,二平面CGB|B与平面CGA|A所组成的二面角为/M NP在PMN 中,PM2=PN2+MN2-2PN-MNcos ZMNP,PM2 CCI=PN2 CC:+MN2-CC:-2(PN CC|)(MN CC|)cosZ MNP由十 S 8cC|fi|=PNCCi,S ACG A=MN，CC,S ABB =PM-BBi 及 CC|=BB|,则 S ABBA=S 8CC|fi|+S ACG A 2s BCC|B|S ACCiAi cosa(04)某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8cm2.问0.001m)时用料最省？【解】由题意得分别为x、y(单位:m)的矩形.x、y 分别为多少(精确到xx yH-X2=8,y=-=-(0 x4.2 2 x当(+血)x=3,即 x=84拒 时等号成立.2x此时,x=2.343,y=2 历-2.828.故当x 为 2.343m,y为 2.828m时，用料最省.(05春)已知正三棱锥P-A B C的体积为7273,侧面与底面所成的二面角的大小为60.(1)证明：PALBC-,(2)求底面中心。到侧面的距离 证明(1)取 BC边的中点。，连接4。、P D ,贝 IA D 1 B C ,P D 1 B C ,故 BC，平面P分PA 1.B C.AAPD.O6C4 解(2)如图，由(1)可知平面P8C L 平面AP。，则NPD4是侧面B过点O 作O E PD,E为垂足，则O E就离.9 分设。为力，由题意可知点。在 4。上，P分与底面所成二面角的平面角.是 点。到 侧 面 的 距Z P D O=60,O P =2h.o I-。=耳，/.B C =4h,SA48C2=4闻 2,11分6()OB720=、4 2 ,2/7=纪 1 3 ,.h=3.3 3即底面中心。到侧面的距离为3.(05文)已知长方体A BCD-A BCD 中,M、N 分别是BB|和 BC的中点,AB=4,AD=2.BQ与平面ABCD所成角的大小为60。,求异面直线B.D与 MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解 联结BQ,由 M、N 分别是BB|和 BC的中点，得 BI CMN,二/D B|C 就是异面直线B.D 与 MN所成的角.联结BD,在RtAABD 中，可得BD=275,X B B,1平面 ABCD,NBDB 是BD与平面 ABCD所成的角，/B DB=60。.在 RtABiBD 中，B|B=BDtan60=2V15,又 DC_L平面 BBiCiC,.DClBiC,在 RtADB 中，tanZDBC=DC而DC BC?+BB；_2ZDB|C=arctan；.即异面直线BjD与 MN所成角的大小为arctan；.（05理）已知直四棱柱ABCD-AjB|CD中,AA|=2底面ABCD是直角梯形,N A 为直角,ABCD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线B G与 DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）解 由题意人8 口,.，.2 0 8 人是异面直线8。与口与 AC,在 RtAADC 中，可得 AC=V5.又在Rt/XACCi中，可得AG=3.在梯形ABCD中，过 C 作 CH AD交 AB于 H,#ZCHB=90,CH=2,HB=3,.,.CB=V13.又在R tCB G中，可得BC|=J 万，成的角.连结AG*A 3V17 3V17在ABC1中,cosNC|BA=-ZCiBA=arccos-17 17异面直线B G与 DC所成角的大小为arccos独717另解:如图，以 D 为坐标原点,分别以DA、DC、DD|所在直线为x、y、z 轴建立直角坐标系.则 G(0,l,2),B(2,4,0),BC,=(-2,-3,2),67）=（0,-1,0）,设3 孰 与 所 成 的 角 为贝|J COS0=BG CDBC|-|CD3V1717,0=arccos3V1717异面直线B G与 DC所成角的大小为arccos士 叵17（06春）在长方体ABC。4 4 G A 中，已知DA=DC=4,DD|=3,求异面直线A|B与 B C 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.|解法一 连接A|D.A|DB|C,NBA Q 是异面直线A）B 与 B C 所成的角 4 分连接 BD,在AAiDB 中,AB=A|D=5,BD=4五.6 分4炉+4 一 如cosZBA|D=_ 25+25-32 _ 92.5-5 2510分9.,.异面直线A|B与 B,C所成角的大小为arccos 25 解 法 二|以 D为 坐 标 原 点,DA、DC、DDi系.则 A j(4,0,3)、B(4,4,0)、B (4,4,3)、C(0,4,0),12分所 在 直 线 为 x 轴、y 轴、z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标2 分得 A18=(0,4,-3),8 C=(-4,0,-3).6 分设 4 8 与 4 C 的夹角为0,cos0=命.BC_ 9AtBB】C2510分9，异面直线A,B与 B C 所成角的大小为arccos(06 文)在直三棱柱 ABC-ABC 中，ZABC=90。,A8=1.(1)求异面直线用G与AC所成的角的大小;(2)若A。与平面ABCS所成角为45,求三棱锥4-ABC的体积解：(1)；BCB|C|,，NACB为异面直线&G与AC所成角(或它的补角)ZABC=90,AB=BC=l,ZACB=45,.异面直线B|C|与 AC所成角为45.(2)：AA|_L平面 ABC,ZACA1是 A C 与平面ABC所成的角，ZACA=45.,?ZABC=90,AB=BC=I,AC=拒，*.AA=.，三棱锥ArABC的体积V=1SAABCXAA产 逅3 2(06理)在四棱锥PABCD中,底面是边长为2 的菱形，NDAB=60，对角线AC与 BD相交于点O,PO_L平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60.(1)求四棱锥P-A BCD 的体积；(2)若 E 是 PB的中点，求异面直线D E与 PA所函数值表示)解(1)在四棱锥P-ABCD中，由PO_L平面ABCD,Z PB O 是 P B 与 平 面 ABCD所成的角,在 RtAAOB 中 BO=ABsin30=l,山于是,PO=BOtg6()o=JJ,而底面菱形的面积二四棱锥P-ABCD的体积V=x2 x石=2.3(2)解法一：以O 为坐标原点，射线OB、OC、Rc yOP分别为X轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系.在 RtaAOB 中 OA=Vi,于是，点 A、B,D、P 的坐标分别是A(0,-V3,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,V3).E 是 PB 的中点，则 E(一,0,于是 D E=(3,0,),AP=(0,-y/3,V3).2 2 2 2设 无 夕 前 的 夹 角 为。，有 cos6=3=也,-s也,4 4.,V2，异面直线DE与 PA所成角的大小是arccos-；4解法二：取 AB的中点F,连接EF、DF.由 E 是 PB的中点，得 EFPA,A ZFED是异面直线DE与 PA所成角（或它的补角），在 RtAAOB 中 AO=ABcos30=73=OP,于是，在等腰RtZiPOA中，PA=V6,贝 ijEF=逅.2在正4ABD 和正PBD 中,DE=DF=g,1 M V62 4 V2cosZFED=-=7=r=DE 6 4后，异面直线DE与 PA所成角的大小是arccos-.4（07春）如图，在棱长为2 的正方体A8CL-A8C）中，E、/分别是A 8和 AB的中点，求异面直线A F与 CE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）解法一如图建立空间直角坐标系.2 分由题意可知 A(2,0,2),C(0,2,0),E(2,1,2),F(2,1,0).1 7 =(0,1,-2),C=(2,-1,2).6 分设直线4 F 与 CE所成角为6,则AC E 6 3 310分=arccos,3即异面直线A F与C E所成角的大小为arccos312分 解法二连接E2,2 分AEIIBF,且 AE=8F,AFBE 是平行四边形，贝 ijA尸 E8,异面直线A尸与CE所成的角就是C E与 EB所成的角.6 分由 C8 _L 平面 ABB4,得 C B LB E.在 Rt CEB 中，CB=2,BE=有，则2J5tan NCEB=,.10 分5275/.Z.CEB=arctan-.5 异面直线A F与CE所成角的大小为arctan 拽.5（07文）在正四棱锥P ABC。中，PA=2,直线PA 与平面ABC。所成的角为6 0 ,求正四棱锥P A 8C O 的体积V.解：作 PO_L平面A 8C O,垂足为O.连接A。，。是正方形A 8CO 的中心，NPA。是直线PA 与平面A 8CO 所成的角.ZPAO=60,PA=2.PO=BAO=1,AB=V2，ABV=-3P O 5.Vrix =-3x V 3x2=3.1 7.解：由题意，得cosB=1,B 为锐角,sin/J=-5sin A=sin(n-B-C)=sinf7拒由正弦定理得c=W,7n1 八 1 、10 4 8 S=-cic sin B=-x 2 x x-=一22 7 5 7（07 S）如图，在体积为1的直三棱柱A B C-A B C 中，4 C 8 =90,AC=8C=1.求直线4出 与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.解 法：由题意，可得体积V=CC.5A.,.=CC,-AC BC=-CC.=1,i ZAADC i 2 2 AA=C C=2.连接 BC 4G-L B,AtC,1 CC,/.AG，平面，N A|8 C;是直线AB与平面B81 G C 所成的角B C】=$C C；+B C?=V 5 ,t a n Z A jB C=-=,贝 i j Z AB C=a r c t a n B CX J 5 5即直线a B与平面BB G C所成角的大小为a r c t a n日.解法二：由题意，可得体积V =CC.S.,BC=CC.-AC BC=-C C=,ii 2 2 /.C C,=2 ,如图，建立空间直角坐标系.得点B(0,1,0),C(o,o,2),4(1,0,2).则 踵=(-1,1,-2),平面平8。的法向量为G =(1,0,0).设直线AB与平面8 gGC所成的角为e，踵 与 G的夹角为(P,则 C O S(P=AB nV 66 口 ,V 6 n.V 6s in 0=|c os (p|=，0-a r c s in，6 6即直线A8与平面B B C所成角的大小为a r c s in 器.3 41 7.解：由题意，得 c os 8 =-,8为锐角，s in B =,5 5人/A C、.f 3K 7 7 2s in A=s in(兀-6 -C)=s in l -B I=,由正弦定理得 c=,/.S =a c s in 5 =x 2 x x=.7 2 2 7 5 7
