2022年高考数学二轮复习：基本初等函数函数与方程.pdf

2022年高考数学二轮复习：基本初等函数、函数与方程 考情分析I 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.考点一基本初等函数的图象与性质I核心提炼】1.指数函数丁=出3 0,且。W1)与对数函数y=logd(0,且 互 为 反 函 数，其图象关于y=x对称，它 们 的 图 象 和 性 质 分 第1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.2.薪函数y=Y的图象和性质，主要掌握a=l,2,3,一1五种情况.例1 (1)(2021 茂名水东中学模拟)函数负x)=与 函 数g(x)=log在同一坐标系中的图象可能是()答 案D解 析g(x)=log!=logx,则函数7(x)与函数g(x)单调性相反，排除选项B,C；再由g(l)=0可排除选项A.(2)(2020 全 国 1【)若 22,则()A.ln(yx+1)0 B.ln(jx+1)0 D.ln|x-y|=-3在R上均单调递增，所以式x)在R上单调递增.原式等价于2 3r即兀0勺W),所以x 0,所以A正确，B不正确；因为卜一乂与1的大小关系不能确定，所以C,D不正确.第1页 共1 4页规 律 方 法(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数问题时，首先要看底数a的取值范围.(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.跟 踪 演 练 1 (2 0 2 1 新高考全国H)已 知 a=l o g s 2,bog3,c,则下列判断正确的是()A.cba B.bacC.acb D.atxc答 案 C解析 a=l o g 5 2 c l o g c 3=l o g 8 2 吸 l o g 8 3=6,即 ac0,(2 0 2 1 济南模拟)已知函数兀c)=,.I (a 0 且 a W l),若函数/(x)的图象上有卜+2|,-3 W x W 0且仅有两个点关于y轴对称，则。的取值 范 围 是()A.(0,1)B.(1,3)C.(0,l)U(3,+8)D.(0,l)U(l,3)答 案 D解 析 y=k g 融的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y=l o g“(一x),函数4 x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，等价于y=l o g.(一x)与y=|x+2|,-3WxW0的图象有且仅有一个交点.当0 “1 时，只需l o g“3 l,综上所述，a的取值范围是(0,l)U(l,3).考点二函数的零点I 核心提炼】判断函数零点个数的方法 利 用函数零点存在定理判断.(2)代数法：求方程犬x)=0 的实数根.几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=/(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.考 向 1 函数零点的判断例 2 (2 0 2 1.沧州联考)已知於)是定义在R上周期为2 的偶函数，且当x G 0,l 时，式防=2,-1,则函数g(X)=/(X)-10g 5|x|的零点个数是()A.2 B.4 C.6 D.8答 案 D解析 当x e 0,l 时，1 犬)=2-1,函数y=/u)的周期为2 且为偶函数，其图象关于y轴对称，可作出函数y(x)的图象.函数y=l o g 5|x|的图象关于y轴对称，函数y=g(x)的零点，即为两函第2页 共1 4页数图象交点的横坐标，当x5时，y=log5|x|l,此时两函数图象无交点，如图,2-5-4-3-2-hp2 3 4 5x又两函数的图象在x0上有4 个交点，由对称性知它们在x0,例 3(多选)设函数八x)=“一、若函数g(x)=/(x)一匕有三个零点，则实数人可取e(x 1),xWO.的值可能是()A.0 B.1 C.g D.1答 案 BCD解析 函数g(x)=fl,x)h有三个零点等价于函数y=/(x)的图象与函数y=h的图象有三个不同的交点，当 xWO 时，x)=(x+l)e 则/(x)=e+(x+l)e*=(x+2)e*,所以7U)在(-8,一2)上单调递减，在(-2,0上单调递增，且八一2)=一，八0)=1,lim/(x)=0,c.r-o o从而可得大x)的图象如图所示，3-1 o 1 2 3 X通过图象可知，若函数y=r)的图象与函数y=b 的图象有三个不同的交点，则 6G(0,1.规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)(2021北京顺义区模拟)已知函数火x)=3.若存在xoG(-8,-1),使得兀吟=0，则实数。的 取 值 范 围 是()第3页 共1 4页O8，B1-案C宵,1 +ax r/口 1解 析 由人x)=3,一二 一=0,可得。=3一：令 g(x)=31其中尤G(8,1),由于存在x()W(-8,-1),使得人x o)=o,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(一8,1)上的值域.由于函数y=3 y=1在区间(-8,一)上均单调递增，所以函数g(x)在(一8,一1)上单调递增.1 _ 4当 x e(-8,1)时，(x)=3-0,所以函数g(X)在(一8,因此实数a的取值范围是(0,(2)函数1*)=9不+2c o s (x+2 021)用在区间 3,5 上所有零点的和等于()11A.2 B.4 C.6 D.8答 案 D解析VU)=&+2COS(X+2 021)兀 =言2c o s 7 1X,令/(x)=0,则|=2COS7LT,11则函数的零点就是函数)，=苦 彳的图象和函数y=2c o s 心 的 图象交点的横坐标，可得y=j 匕 和 y=2c o s 7 t x 的函数图象都关于直线x=i 对称，则交点也关于直线xi对称,R-*I画出两个函数的图象，如图所示.第4页 共1 4页观察图象可知，函 数 丫=7 的图象和函数)=2 ：0$兀 1的图象在-3,5 上有8个交点，即7(x)有 8个零点，且关于直线x=l对称，故所有零点的和为4X 2=8.考 点 三 函 数 模型及其应用【核心提炼】解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.(3)求模：求解数学模型，得出数学结论.(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义.例 4 (1)(2 0 2 0 新高考全国I )基本再生数R o与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：&)=e”描述累计感染病例数/随时间f(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与 Ro,T近似满足Ro=l+r T.有学者基于已有数据估计出Ro=3.2 8,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为(I n 2 弋0.6 9)()A.1.2 天 B.1.8 天C.2.5 天 D.3.5 天答 案 B解 析 由 Ro=l +r T,R)=3.2 8,T=6,Ro 1得，二”一3.2 8-1=6-=0.3 8.由题意知，累计感染病例数增加1 倍,贝 U/出)=2/5)，即 e.2 =2 6 胸，所以 e3 8%F)=2,即 0.3 8(/2-r i)=l n 2,所以t2t i =0.3 8 0.3 8(2)(2 0 2 1 阜阳模拟)2 0 2 0 年 1 2 月 1 7 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这 与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为1 1.2 m/s,这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每 次“打水漂”的速率为上一次的9 3%,若要使石片的速率低于7.8 4 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取 I n 0.7 2 0.3 5 7,I n 0.9 3 七-0.0 7 3)()第 5页 共 1 4 页A.4 B.5 C.6 D.7答 案 C解析 设石片第次“打水漂”时的速率为匕，则%=1 1.2 X 0.9 3 -1.由 1 1.2 X 0.9 3nI 7.8 4,0.9 3n-0.7,则（一l）l n 0.9 3 帚 丽 T 司 而 489,则 5-8 9,故至少需要“打水漂”的次数为6.规 律 方 法（1）构建函数模型解决实际问题的失分点不能选择相应变量得到函数模型.构建的函数模型有误.忽视函数模型中变量的实际意义.解决新概念信息题的关键仔细审题，明确问题的实际背景，依据新念进行分析.有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.跟踪演练3 （1）（2 0 2 1 济南质检）把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是仇。C,空气的温度是仇0 C,那么t m i n 后物体的温度外单位：。C）满足公式。=%+（仇一枷把一，其中k为常数）.现有5 2 的物体放在1 2 的空气中冷却,2 m i n 后物体的温度是3 2 C.则再经过4 m i n该物体的温度可冷却到（）A.1 2 B.1 4.5 C.1 7 D.2 2 答 案 C解析 由题意得3 2=1 2+4 0 e 2 ，则 尸=；,则再经过4 m i n 该物体的温度可冷却到0=1 2+4 0 e/=1 2+4 0 X&=1 7（C）.（2）（2 0 2 1 武汉模拟）物理学规定音量大小的单位是分贝（d B）,对于一个强度为/的声波，其音量的大小可由如下公式计算：=1 0 1 g 3其中/o 是人耳能听到声音的最低声波强度）.我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于4 0 d B 与 6 0 d B 之间，飞机起飞时的音量约为1 2 0 d B,则 1 2 0 d B 声音的声波强度人是第6页 共1 4页40 dB 声音的声波强度/2的()A.3 倍 B.103倍 c 106倍 口.1()8倍答 案 D解析 依题意知=101g故 120=101g 40=101g1 2=*4=咪102=A 104=1/=/o,lO12,/2=/04104,所 以6=等 =1 0s-专题强化练一、单项选择题1.幕函数兀V）满足式4）=3_A2）,则 等 于（）A.1 B.3 C.一；D.3答 案 A解 析 设得函数 r）=P,则 4=3X2”,解得 a=log23,所以述X）=M%3,所以/（）=2-臃2 3=/2.（2021 潍坊模拟）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:X-2-1123y0.240.512.023.988.02在以下四个函数模型3,6 为待定系数）中，最能反映x,），函数关系的是（）A.y=a+bx B.y=a+,y xC.y=a+ogbXD.y=a+bx答 案 D第7页 共1 4页解 析 作出散点图（图略），由图知其图象与指数函数图象相似，故选D.3.（2021.太原模拟）在同一直角坐标系中，指数函数），=6,二次函数）二加一法的图象可解析 指数函数了=e 的图象位于x 轴上方，据此可区分两函数图象.二次函数y=o?for （ax-b）x,有零点今 0.A,B 选项中，指数函数在R 上单调递增，故 与 1，故 A 错误，B 正 确.C,D 选项中，指 数 函 数 尸 牌 在 R 上单调递减，故 0 1,故 C,D 错误.4.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为），,且 y 随时间*单位:分钟）的变化规律可以用函数y=0.05+几屋万QGR）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）（参考数据ln 3 l.l）A.10分钟 B.14分钟C.15分钟 D.20分钟答 案 B解析 由题意知，当t =0时，,=0.2,所 以 0.05+=0.2,2=0.15.所 以 y=0.05+-L1t0.15e 12 0.1,解得e 1 2 W ,所以一五Wln3,r2121n3213.2.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.5.若函数y=logX f一ax+1）有最小值，则。的取值范围是（）第8页 共1 4页A.a2B.0 2,C.0r/0,.*.J=tz240,：.a 的取值范围是a2.e*x0二 二，、，其中e 为自然对数的底数，则函数g(x)=3/(x)24X56A-+L X2 0,10/(x)+3的零点个数为()A.4 B.5 C.6 D.3答 案 A解析 当x 2 0 时，兀0=4/6 f+l 的导数为/a)=12?12x,当 0 r l时，f (x)1 时，f (x)0,/(x)单调递增，可得/笛在 x=l处取得最小值，最小值为-1,且1 0)=1,作出函数凡r)的图象，如图所示.#g(x)=3A刈 21Q/W+3,可令 g(X)=0,/=兀T),可得 3户一10/+3=0,解得t3 或 r=g,当/=；,即於)=/时，g(x)有三个零点;当t=3 时，g(x)有一个零点，综上，g(x)共有四个零点.7.(2020全国 I)若 2+log2a=#+210g2，则()A.a2b B.ab2 D.atr答 案 B解 析 由指数和对数的运算性质可得2+log2t/=4+210gs=22,?+logzfe.令/(X)=2x+log2X,则人幻在(0,+8)上单调递增，又 22h+og2b22h+log2/?+1=2 劝+log22b,第9页 共1 4页，2+l o g 2 a 2 2%+l o g22 6,即 刎 勺(2 b),：.a 0,则a的取值范围是()答 案 A解析 因为方程/U)一分=0有 4个不同的实数根,所以函数)，=/(x)的图象与直线y=o r 有 4个交点，.eA,eA(x-1)当 x 0 时，f(x)=7 当xG(0,l)时,f(x)O,兀0 单调递增，且当六*0+时，兀r)f+8,则函数/(x)的图象如图，当 x W O 时，式 x)=f+4 x,/(x)=2x+4,所以y(x)在(0,0)处的切线人的斜率k尸f(0)=4；当 x 0 时，.加 0=，f(x)=e(5 1),(炉八设火X)过原点的切线，2 的 切 点 为XQ,-,I xoJ则/2 的斜率=/(%0)=e(x0-l)=x0e2解得x o=2,依=疝,若要使函数产 危)的图象与直线尸办 有 4个交点，数形结合可得。6 住4).二、多项选择题9 .已知函数 )=e-X 2,则下列区间中含/U)零 点 的 是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)第1 0页 共1 4页答 案 AD解析*/y（2）=e 2+2 2=e 20,/（1）e +12=e 10,y（0）=e -0-2=-l 0,五 1）=9 -1 -2=e-3 0,根据零点的存在性定理可知（一2,1）和（1,2）存在零点.10.（2021 潍坊模拟）已知2 020=2 021,2 02仅=2 020,c=ln 2,则下列结论正确的是（）A.10goelogc/?C.acbc D.c0?答 案 AD解析 2 020=2 021,；.aG（l,2）,2 021*2 020,.6G（0,l）,c=ln2,.*.cC（O,l）,.*.lognc0,A 正确；又 y=log（x 为减函数，且 ab,.logciivlog力,/.B 不正确;y=/在（0,+8）上单调递增，且bc,.I C 不正确;y=F 在 R 上单调递减，且6,：.ch,；.D 正确.11.（2021北京市丰台区模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商 场.已 知从喷泗药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）0.17,OWfWlO,与时间/（分钟）之间的函数关系为y=g 2 Xo|1=XO,即 k)g 2 Ml=冽+1,作出y=|lo g 2*与y=x+l 的函数图象，如图，由图可知，方程|lOg 2 X|=x+l有实数根治，即|1 0 g 2 Xo|=w+l,故 D中函数是“不动点”函数.三、填空题1 3 .若函数段)满足当x 0 时，危)=3 久 当 xv O时，於)=%+1),则/(1。83 号=.第1 2页 共1 4页3-2区案析答解因为14.（2021大连模拟）近些年，我国在治理生态环境方面推出了很多政策，习近平总书记明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美丽中国.某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属.若当废水中该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要经过该装 置的次数为.（参考数据：1g 2Po.301）答 案 14解析 设废水中最原始的该重金属含量为“，则经过x 次该装置过滤后，该重金属含量为。（1一20%尸。停）,根据题意知0 钞0 5，即 勘 0 0 5,两 边 取 常 用 对 数 得5=1g 2+1 0.301+1 1301,1-31g 2、-3X 0.301=97 弋13-4-所以x 取最小整数为14.15.已知函数於）=|ln M，实数加，满足0 加小且贝团）=/（办 若 段）在区间 苏，川上的最大值是2,则日的值为.答 案 e2解 析 由题意以及函数式x）=|lnx|的性质可得一ln/=ln ，所以=，且因为函数 r）=|lnx|在（0,1）上单调递减，所以1/（加 2）次加）=人），y（w2）=|ln M?2|=2,解得机=5,又因为A=，所以=e,所以3=e2.16.已 知 M=a/（a）=0,N=川 g（仇=0 ,若 存 在a&M,际 N,使得心 一 川 ，则称函数式 元）与 g（x）互 为“度零点函数”.若4 0=3 2。-1 与 g（x）=f 一,6 互 为“1 度零点函数”，则实数a的 取 值 范 围 为.第1 3页 共1 4页答案 .e e2.解析 由题意可知负2)=0,且y(x)在 R上单调递减，所以函数式x)只有一个零点2,由1 2|1,得,要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，只需第1 4页 共1 4页