人教版高一数学（上册）教案.pdf

课题：1.1填 合 的 含 义 及 表5:内容分析：1.集合是中学数学的个重要的基本概念.在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题.例如，在代数中用到的有数集、解集等；在儿何中用到的有点集.至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具.这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础.把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础.例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑.本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明.然后，介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子.这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念.学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义.本节课的教学重点是集合的基本概念.集合是集合论中的原始的、不定义的概念.在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识.教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集这句话，只是对集合概念的描述性说明.教学过程：一、复习引入：1 .简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2 .教材中的章头引言；3 .集合论的创始人康托尔(德国数学家)(见附录)；4.“物以类聚”，“人以群分”；5 .教材中例子(P4).二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：(1)有那些概念？是如何定义的？(2)有那些符号？是如何表示的？(3)集合中元素的特性是什么？(-)集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集 合,也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合.1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）.（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.2、常用数集及记法（1）非 负 整 数 集（自然数集）：全 体 非 负 整 数 的 集 合.记 作 N,N =0,1,2,（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或 N+N*=1,2,3,（3）整数集：全体整数的集合.记作Z,Z =0,L 2,（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q ,。=整数与分数（5）实数集：全体实数的集合.记作RR=数轴上所有点所对应的数注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数 0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或 N+.Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A的元素，就说a 属于A,记作a A（2）不属于：如果a 不是集合A的元素，就说a 不属于A,记作。任44、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可.（2）互异性：集合中的元素没有重复.（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如 A、B、C、P、Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如 a、b、c、p、q “W”的开口方向，不能把aGA颠倒过来写.（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.例如，由方程/-1=0的所有解组成的集合，可以表示为-1,1 注：（1）有些集合亦可如下表示:从5 1至IJ 1 0 0的所有整数组成的集合：5 1,5 2,5 3,1 0 0)所有正奇数组成的集合：1,3,5,7,(2)a与 a 不同：a表示一个元素，a 表示一个集合，该集合只有一个元素.2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法.格式：x e A|P (x)含义：在集合A中满足条件P (x)的x的集合.例如，不等式x-3 2的解集可以表示为：x e R|x-3 2 或 x|x-3 2 .所有直角三角形的集合可以表示为：x|x是直角三角形注：(1)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分.如：直角三角形;大 于1()4的实数(2)错误表示法：实数集;全体实数3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法.4、何时用列举法？何时用描述法？有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.如：集合 1,3 x+2,5 V -X,1 +2 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一-列举出来，常用描述法.如：集合(x,y)|y =x 2+i ；集合 1 0 0 0以内的质数例 集合(x,y)|y-x2+1 与集合 y|y =/+1 是同一个集合吗？答：不是.因为集合(x,y)|y =/+1 是抛物线y =/+1上所有的点构成的集合，集合 y|y=x 2+l =y|j 1 是函数y =/+1的所有函数值构成的数集.(三)有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合.2、无限集：含有无限个元素的集合.3、空集：不含任何元素的集合.记作，如：%7?|x2+1 =0 课题：1.2孑集全集补集内容分析在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等(大于或小于)关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系.本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质.本节课讲重点是子集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.教学过程：一、复习引入：(1)回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图.(2)用列举法表示下列集合：x|x3-2x2-x +2 =0 -1,1,2数字和为5的两位数 1 4,2 3,3 2,4 1,5 0)用描述法表示集合：1,x|x =L e N*且W 5 2 3 4 5 n(4)集合中元素的特性是什么？(5)用列举法和描述法分别表示：“与2相 差3的所有整数所组成的集合”x e Z|元一2|=3 -1,5 问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系(共性)(1)A=1,2,3 ,B=1,2,3,4,5(2)A=N,B=Q(3)A=-2,4 ,B =x|x2-2 x-8 =0(集合A中的任何一个元素都是集合B的元素)二、讲解新课：(-)子集1定义：Q)子集：一般地，对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集 合A.记作:A Q 8或6 3A,A u B 或 B z A读作：A包含于B或B包 含A若任意x e A n x e B,则A q B当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时，则记作A%B或B卫A注：A G 8有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合.（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B,如果集合A的保四一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B,记作A=B.（3）真子集：对于两个集合A与B,如果AQ 8,并且A H 8,我们就说集合A是集合B的真子集，记作：A B B或B壬A,读作A真包含于B或B真包含A.（4）子集与真子集符号的方向如4GB与B 2 A同义；A G 3与A2B不同（5）空集是任何集合的子集.Q A空集是任何非空集合的真子集.&A若A#，则屋A任何一个集合是它本身的子集.A c A（6）易混符号“e ”与“=：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系.如 l e N,-l任 N,N q R,q R,l q 1,2,3 0 与：0 是含有一个元素0的集合，中是不含任何元素的集合如.0 .不能写成=0 ,o e 0 全集与补集1补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即A =S）,由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的 补 集（或余集），记作C.4,即CSA=x|x e S,且x仁 A2、性质：Cs（CSA）=A ,C s S=。，C s 0=S3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示.课 题：1.3 交 集、交 集内容分析这小节研究集合的运算，即集合的交与并，本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系.教学过程：一、复习引入：1.说 出 C s A 的意义.2.填空：若全集 U=x|0Wx6,XSZ,A=1,3,5,B=1,4 ,那么Cb.A=0,2,4 CyB=0,2,3,53.已知6 的正约数的集合为A=1,2,3,6,10的正约数为B=1,2,5,1 0 ,那么6 与 10的正公约数的集合为C=.（答：C=1,2）4.观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集 合 B 有什么关系？B A佟|1图 2如上图，集合A 和 B 的公共部分叫做集合A 和集合B 的交（图 1 的阴影部分），集合A 和 B 合并在一起得到的集合叫做集合A 和集合B 的 并（图2 的阴影部分）.观察问题3 中 A、B、C 三个集合的元素关系易知，集合C=1,2是由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的，即集合C 的元素是集合A、B 的公共元素，此时，我们就把集合C 叫做集合A 与 B 的交集，这是今天我们要学习的一个重要概念.问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的 关 系（共性）（1）A=1,2,3,B=1,2,3,4,5（2）A=N,B=Q（3）A=-2,4,B=x|x2-2 x-8=0（集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素）二、讲解新课：1.交集的定义一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.记作A p|B (读 作 A 交 B ),B P A A B=x|x A,且 xB.如:1,2,3,6 0 1,2,5,1 0 =1,2.又如：A=a,b,c,d,e,B=c,d,e,f.则 A fi B=c,d,e.2.并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AUB(读作 以 并 B ),即 AUB=X|XCA,或 xeB).如：1,2,3,6 U 1,2,5,1 0 =1,2,3,5,6,1 0).3、交集、并集的性质用文图表示(1)若 A =B,则 A U B=B,A L lB=B(2)若A G B 则 A|B=A ADB=A若 A=B,则 A 口 A=A A U A=A(4)若 A,B 相交，有公共元素，但不包含则 ADB BAUBA,AUBBB(5)若A,B 无公共元素，则 An B=O(学生思考、讨论、分析：从图中你能看出那些结论？)：从图中观察分析、思考、讨论，完全归纳以下性质，并用集合语言证明：1 .交集的性质(l)A P l A=A A l)中=力，A p|B=B n A (2)A C|Be A,A fi B c B.2.并集的性质(1)A U A=A (2)A U O=A (3)A|JB=BUA(4)A U B 2 A,A U Bq B联系交集的性质有结论：AAB C A C AUB.3 .德摩根律：(Q A)A (CUB)=CU(A U B),(CUA)U (C uB 尸C u(A nB)(可以用韦恩图来理解).结合补集，还有AU(CUA)=U,A P I (CUA)=-2 ,B=x|x-2 fl x|x 3 =x|-2 x 3.例 2 设 人=x|x是等腰三角形,B=x|x是直角三角形,求 A C I B.解：AB=x|x是等腰三角形 fl x|x是直角三角形=x|x是等腰直角三角形.例 3 A=4,5,6,8 ,B=3,5,7,8 ,求 A lj B.解:AUB=3,4,5,6,7,8.例 4设 人=x|x是锐角三角形,B=x|x是钝角三角形,求A U B.解：AUB=x|x是锐角三角形 U x|x是钝角三角形=x|x是斜三角形.例 5 设 A=x|-l x 2,B=x|l x 3 ,求 A U B.解：AU B=x|-l x 2 U x|1 x 3 =x|-l xa ,若An B=，求实数a的取值范围.解：a三2例 4 集合 M=(x,y)I x y I=l,x 0),N=(x,y)|x y=-集，求 M U N.解：M U N=(x,y)|x y=T,或 x y=l(x 0).例 5 已知全集 U=x|x 2-3x+2 2 0,A=x|x-2|l ,B=|x|-o|.求 G A,Q B,AAB,API (Q B),(G A)DB.解：*.*U=x|X2-3X+2 0 =x I x l =x|x 3,B=|x|-o|=x|x Wl 或 x 2.,.C i A=x|x =1或2 x 3)C u B=x|x =2 Ar i B=A=x|x 3,=x|x 3,A n (Q B)=。(G A)A B=2 x|x =1或2 x 5 3是15的约数 0.7是整数是真命题，是假命题反例：3是15的约数吗？x8都不是命题，不涉及真假（问题）无法判断真假“这是一棵大树”；“xV 2”.都 不 能 叫 命 题.由 于“大树”没有界定,就不能判断“这是一棵大树”的 真 假.由 于x是未知数，也不能判断“x 2”是否成立.注意：初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的.判断命题的关键在于能不能判断其真假，即能不能判断其是否成立；不能判断真假的语句，就不是命题.与命题相关的概念是开语句.例如，x0的解集 x x 3且:不 等 式 X2_X-60 的解集 x|-2 x-2 且 x2”，其显然为真.小结：非 p 复合命题判断真假的方法当 p 为真时，非 p 为假；当 p 为假时，非 p 为真，即“非 p”形式的复合命题的真假与p 的真假相反，可用下表表示P非 P真假假真2.“p 且 q”形式的复合命题例 2.如果p 表 示“5 是 10的约数”，q 表 示“5 是 15的约数”，r 表示“5 是 8 的约数”，试写出p 且 q,P 月 的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.解：p 月 一 q 即“5 是 10的约数且是15的约数”为 真（p、q 为真）；p 且 r 即“5 是 10的约数且是8 的约数”为 假（r 为假）小结：“p 且 q”形式的复合命题真假判断当 p、q 为真时，p 且 q 为真；当 p、q 中至少有一个为假时，p 且 q 为假.可用下表表示Pqp 且 q真真真真假假假真假假假假3.“p 或 q”形式的复合命题:例 3.如果p 表 示“5 是 12的约数”q 表 示“5 是 15的约数”，r 表示“5 是 8 的约数”，写出，p 或 r,q 或 s,p 或 q 的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.p 或 q 即“5 是 12的约数或是15的约数”为 真（p 为假、q 为真）；p 或 r 即“5 是 12的约数或是8 的约数”为 假（p、r 为假）小结：“p 或 q”形式的复合命题真假判断当 p,q 中至少有一个为真时，“p 或 q”为真；当 p,q 都为假时，“p 或q”为 假.即“p 或 q”形式的复合命题，当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真.可用下表表示.像上面三个及用来表示命题的真假的表叫做真值表.Pqp 或 q真真真真假真假真真假假假在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.例 4（课本第28页例2）分别指出由下列各组命题构成的“p 或 q”，“p且 q”，“非 p”形式的复合命题的真假：p：2+2=5.q：32；p：9 是质数，q：8 是 12的约数；p：1G1,2,q：1U1,2；p：巾 U0,q.4=0.解：p 或 q：2+2=5 或 32；p 且 q：2+2=5 且 32；非 p：2+2*5.：p 假 q 真，,“p 或 q”为真，“p 且 q”为假，“非 p”为真.p 或 q：9 是质数或8 是 12的约数；p 且 q：9 是质数且8 是 12的约数；非 p：9 不是质数.假 q 假，P 或 q”为假，“P 且 q”为假，“非 P”为真.p 或 q：ie l,2或2；p 且 q：1G1,2且2；非 p：悭 1,2.；p 真 q 真，,“p 或 q”为真，“p 且 q”为真，“非 p”为假.p 或 q：6 U 0或 6=0；p 且 q：e U 0且=0；非 p：p则-q逆否命题：若 q 则 P4.四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：原命题互逆逆命题5.四种命题的真假关系若p则q互否/逆若q则p个命题的真假与其他三个命题的真假有如下互为互三条关系：否为逆否否、原命题为真，它的逆命题不一定为其否命题互逆否命题、原命题为真，它的否命题不一定为其、原命题为真，它的逆否命题一定为其若|p则|q互逆若7 q则-p6.反证法：要证明某一结论A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明A 的反面(非A)是错误的，从而断定A 是正确的.即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法.7.反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立.(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾.(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.注意：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾.在证明过程中，推出自相矛盾的结论课题：1.6充分密伟与避禀务借内容分析：这 一 大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识.这一大节的重点是充要条件.学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的.关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、儿何的有关问题的理解上为宜.教学过程：一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题一充分条件与必要条件.二、讲解新课：1 .符号“=”的含义.前面我们讨论了 若P则 q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为 假.“若 P则 q”为真，是指由P经过推理可以得出q,也就是说，如果P成立，那么q 定成立，记作p=q,或者q=p；如果由p推不出q,命题为假,记作P 冷 q.简单地说，“若 p则 q”为真，记作p=g/或_ g 0,则 连 0”是一个真命题，可 写 成:x 0 z=x2 0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成:两三角形全等n 两三角形面积相等.说明：“p=q”表 示“若 p则 q”为真；也表示“P 蕴含q”.(2)“pnq”也可写为“q Up”，有时也用“p f q”.2 .什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知1)三下，那么我们就说，P 是 q 的充分条件，q 是 P的必要条件.在上面是两个例子中，“x 0”是“x?。”的充分条件，“一 0”是“x 0”的必要条件；”两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，”两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.3 .充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若 p q 成立，则 P是 q 的充分条件，q 是 P的必要条件”.(条件与结论是相对的)例 1指出下列各组命题中，P是 q 的什么条件，q 是 P的什么条件：(1)p：x=y；q：x2=y2.P：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若 p则 q”与“若 q 则 p”的真假进行判断.解：由 pnq,即 x=y n xJ y 2,知 p 是 q 的充分条件，q 是 P的必要条件.(2)由 p=q,即三角形的三条边相等二 三角形的三个角相等，知 p 是 q的充分条件，q 是 P的必要条件；又 由 q=p,即三角形的三个角相等n 三角形的三条边相等，知 q 也 是 p的充分条件，P也是q 的必要条件.练习：课本 P 3 5 练 习:2(1)(2)(3)(4).答案：(DT pnq,，p 是 q 的充分条件，q 是 p的必要条件；p,；.p 是 q 的必要条件，q 是 p的充分条件；(3)；p=q,；.p 是 q 的充分条件，q 是 p的必要条件；又：q=p,q也是P的充分条件，P也是q 的必要条件.；p=q,，p是 q 的充分条件，q 是 p的必要条件；又：q=p,q也是P的充分条件，P也是q 的必要条件.以上是直接利用定义山原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进行判断.4 .什么是充要条件？如果既有.pnq,又有q=p,就记作p=q.此时，p既是q 的充分条件，P又是q 的必要条件，我们就说，P是 q 的充分必要条 件,简称充要条 件.(当然此时也可以说q 是 p的充要条件)例如，x=0,y=0”是“/+/=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件.说明:符号“O ”叫做等价符号.“p=q”表 示“pnq 且 pUq”；也表 示“P等价于q”.“pOq”有时也用“P q”；(2)“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其 中“当”表 示“充分”，“仅当”表 示“必要”.5 .几个相关的概念若 pnq,但 pOq,则说p是 q 的充分而不必要条件；若 pAq,但 P q,且 pQq,则说p是 q 的既不充分也不必要条件.例如，“x 2”是“x l”的充分而不必要的条件；“x l”是“x 2”的必要而不充分的条件；“x 0 ,y 0”是“x+y 1 f 4 cic b值域：当a0 时，h 当a 0时，y y 4 a J 4 a函数的值：关于函数值/()例：/(X)=X2+3X+1 则 f(2)=22+3 X 2+1=1 1注意：1 在 y=/(x)中/表示对应法则，不同的函数其含义不一样.2。/(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”.3/(均 与/(a)是不同的，前者为变数，后者为常数函数的三要素：对应法则/、定义域A、值域/(x)|x e A 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数.二、区间的概念及求定义域的方法1.区间的概念和记号在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语利符号.设 a,b e R ,且 我 们 规 定：满足不等式a x b 的实数x的集合叫做闭区间，表示为 a,b ；满足不等式a x a,x W b,x b定 义名 称符 号数 轴 表 示 x|a x b 闭区间b a b x|a x b 开区间(a,b)a b x|a x b 左闭右开区间a，b a b x|a x 0 时，值域为 m安（4 回一从）；当 a o 时，值域为 田”3心 21 4a.4a2.二次函数比区间上的值域最值）：对于二次函数+力 x +c（q 卜0）,若定义域为R时，当 a 0 时，贝哈x =_ _ L 时，其最小值），=史 二 的；2a4 当 a 0）时或最大值（a 0 x=l-？2代入得 y=f(t)=2-(l-t2)+4 t=-2t2+4 r +2=-2(r-l)2+4V t 0 .y 45.分段函数例.求函数y=|x+l|+|x-2|的值域.-2 x +l(x-V).(解 法 1：将函数化为分段函数形式：y =3(-lx 2)r|o r 2画出它的图象(下图)，山图象可知，函数的值域是 y|y 23 .解法2：V函数y=|x+l|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2 的距离之和，易见y的最小值是3,.函数的值域是 3,+o o ,如图x-1 O 1 2-1 Ox 1 2-1()1 2x两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等)，随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解课 题：2.3备 敌 的 单 倜 傕讲解新课：1 .增函数与减函数定义：对于函数/（x）的 定 义 域 I内某个区间上的任意两个自变量的值匹,2，若当王时:都 有 Xj v当X?则 说“X）在这个区间上是增函数（如图3）;若当用马时，都有/（匹）/（），则说/（X）在这个区间上是减 函 数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y =/（图 1）,当x W 0,+8）时是增函数，当X 6（-8,0）时是减函数.2 .单调性与单调区间若函数严f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数/（x）在这一区间具 有（严格的）单调性，这一区间叫做函数/（x）的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下 y 降的.说明：函数的单调区间是其定义域的子集；f（x）加）:/区）X图5应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数(或减函数)，例如，图 5中，在 花,2 那样的特定位置上，虽然使得/(不)/(4),但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义,只 要 将 上 述 定 义 中 的“/(X,)/(X,)，”改为“/(X,)/(%),”即可；定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致忖是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.3.函数单调性的证明例 1.判断并证明函数f(x)=x3的单调性证明：设 再%2 则f(xl)-f(x2)=xi3-x22=。|-x2)(xt2+xtx2+x22)x3x 2 玉 0,.4修)一笊1 2)4 与)(注：关 键 於 1一八)0 的判断)x)=x 3在 R上是增函数.4.复合函数单调性的判断对于函数y=/()和M=g(x),如果=g(x)在区间3,0)上是具有单调性，当x e(a,b)时,“e (九)，且y =f (w)在区间(加,)上也具有单调性,则复合函数y =/(g(x)在区间伍力)具有单调性的规律见下表：y =/()增/减、u=g(x)增/减、增/减、y =g(x)增/减 减、增/以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.证明:设占，了2 (凡6),且 演 1 2u=g(x)在(6(,。)上是增函数，二 g(x J g(X 2)，且g(X|)，g(X 2)e (rn,ri)；y =/()在(加,)上是增函数，f(g(x j)g(X 2)-所以复合函数y =/(g(x)在区间(a,b)上是增函数.设再,2 e (a，b)，且“i e x?,:=g(x)在,6)上是增函数,g(x J g(X 2).所以复合函数)，=/(g(x)在区间3力)上是减函数.设玉,e (a,b),且 王 g(X 2)，且g(x)g(X 2)e(?，)：y =/()在(?,)上是增函数，二 /(g区)g(马)-所以复合函数y =/(g(x)在区间(。/)上是减函数.设七,2 (。/)，且 F g(X 2)，且 g(X|)，g(X 2)W 0%)；y =/()在(加,)上是减函数，/(8(a)N*)则 x叫做a的 n次方根.叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数.例如，2 7 的 3次 方 根 表 示 为 病，-3 2 的 5次方根表示为0 F,/的 3次 方 根 表 示 为 底；1 6 的 4 次方根表示为!正，即 1 6 的 4 次方根有两个，一个是”布，另 一 个 是-正，它们绝对值相等而符号相反.2、性质：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数.记作：x =爪.当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为相反数).记作：x =土 心.负数没有偶次方根，0的任何次方根为0.注：当 a?0 时，0,表示算术根，所以类似折4 =2 的写法是错误的.3、常用公式根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：当n为任意正整数时，(4 Z)=a.例如，(历/=2 7,(4 W)5=-3 2.当n为奇数时，ya=a；当 n为偶数时，J/=|a|=一 ).一 0).注意,中的a 2 0 十分重要，无此条件则公式不成立.例如V(-8)2。.用语言叙述上面三个公式：非负实数a的 n次方根的n次事是它本身.n为奇数时，实数a的 n次第的n次方根是a 本身；n为偶数时，实数a的 n次基的n次方根是a的绝对值.若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的辱，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.分指数1.正数的正分数指数募的意义n i _a=-la(a 0,m,G N*,且 n 1).要注意两点：-是分数指数毒是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数基可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数嘉和0的分数指数嘉作如下规定.2 .规定：-1。=(a ，典G N*,且 1)姮(2)0 的正分数指数幕等于0.(3)0 的负分数指数幕无意义.规定了分数指数幕的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当 a0时，整数指数幕的运算性质，对于有理指数塞也同样适用,即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幕的运算性质：d =+(?，Q)=标(九 e。).(ab)=(Q)说明：若 a 0,2是一个无理数，则 表 示 一 个 确 定 的 实 数，上述有理指数基的运算性质，对于无理数指数嘉都适用，有关概念和证明在本书从略.指数函数1.指数函数的定义：函数y =屋(。0 且a声1)叫做指数函数,其 中 x是自变量，函数定义域是 R.探 究 1：为什么要规定a 0,且 aHl呢？若a=0,则当x 0 时,ax=0；当 x 0 时，a*无意义.若a 0 且 a x l.在规定以后，对于任何x e R,都 有 意 义，且 优 0.因此指数函数的定义域是R,值域是(0,+8).探究2：函数y =2-3 是指数函数吗？指数函数的解析式y=/中，/的 系 数 是 L有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=ax+k (a 0 且 a W 1,k e Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如 y=。-*(a 0,且 a W l),因为它可以化为,其中工 0,且，)a a2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=2 1 y=(g),y=10 y=W 的图象.列表如F：X -3-2-1-0.500.5123 y=20.130.250.50.7111.4248dU8421.410.710.50.250.13 y-n*(a-_ 0 I a 1)我 们 观 察 y=2 y=(j,y=10 x,y=W 的图象特征，就可以得到X -1.5-1-0.5-0.2500.250.511.5 y=10*0.030.10.320.5611.783.161031.62.小),31.62103.161.7810.560.320.10.03 质(3)过 点(0,1),即 x=0 时，y=l(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数课 题 2.6对数函数新课讲解对数的定义定义：一般地，如 果。(。0,。，1)的6次暴等于此 就 是ah=N ,那 么 数b叫 做 以a为 底N的对数，记 作l ogu N =b,a叫做对数的底数，N叫做真数.上。身a例如：42=1 6 Q l og41 6 =2 ；1 02=1 0 0 l og1 01 0 0 =2工142 =2 =l og42 =-1 0-2=0.0 1 0 l og1 00.0 1 =-2探究：负数与零没有对数(.在指数式中N 0 )l og。1 =0，l oga a=1.对 任 意。0 月一都有 a=l A l og(,l =0同样易知：l og”。=1对数恒等式如 果 把=N中 的b写 成l og“N,则 有Gg N=N常用对数：我们通常将以1 0为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数l og ioN简记作I g N.例如：l og|o5 简记作 l g 5;l og 1 0 3.5 简记作 l g 3.5.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.7 1 8 2 8 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数l og,N简记作I n N.例如：例g,3简记作ln3;lo g/。简记作InlO(6)底数的取值范围(0,1)U(L+8)；真数的取值范围(0,+8).对数的性质积、商、得的对数运算法则：如果 a 0,a W 1,M 0,N 0 有：loga(MN)=logaM+logaN(1)Moga =ogaM-logaN NlogaMn=nlogaM(neR)证明：设 log“M=p,log N=q.由对数的定义可以得：N=a、AM N=apaq=ap+q：.logu MN=p+q,即证得 log“MN=log“M +log N.设 log“M=p,log“N=q.由对数的定义可以得M=a N=a”.M ap -N a1 1 Jo g“7 =P-4 即证得log“=logfl M-log,N.N设log“M=P由对数定义可以得M ap loga M =np,即证得 log“M =nlog“M说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用某的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式.简易语言表达：“积的对数=对数的和”有时逆向运用公式：如logl05+log10 2=log1010=1.真数的取值范围必须是(0,+8)：log,(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的.10gHi(T O/=210gHi(-10)是不成立的.对公式容易错误记忆，要特别注意：loga(MN)*loga M-loga N,log(M N)logu M log,N对数换底公式及推论1.对数换底公式：log Nlog.N=(a 0,a 1 ,N0).log,”a证明：设 log“N =x,则 ax=N .两边取以 m 为底的对数：log,“ax-log,N=xlogm a=log,N,log N log N从而得：x log.N=.log”,a log,a2两个常用的推论：log.Olog&anl,log b-log,c-logf a=1 .n log lo g/(a,b 0 且均不为 1).m证：log“bogba=芈 粤=1.Iga IgA log“.bIgbIganlgb/nig a=logab.m对数函数1.对数函数的定义:函 数y=log“x(a 0且a H 1)叫 做 对 数 函 数；它 是 指 数 函 数y=a”(a 0且a H i)的反函数.对数函数y =l og,x（a 0 月。丰1）的定义域为（0,+8）,值域为（-oo,+oo）.2 对