2023届高考数学25高分突破智取压轴小题25与数学文化相关的数学考题含答案.pdf

2 0 2 3 届高考数学2 5 高分突破，智取压轴小题与数学文化相关的数学考题2 5【方法综述】关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，特别是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，并出现了众多的经典试题，因而有必要将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.【解 答 策 略】类型一、取材数学游戏游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念.【例 1】蹴鞠，又名 蹴球 蹴圆 等，蹴 有用脚蹴、踢的含义，“鞠 最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠 就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某 鞠”的表面上有四个点A,B,C,。满足4 8 =8。=8 =94=。8 =1 0 d 1 1,AC=1 5 c m,则该“鞠”的表面积为（）A.350万cm2B.700万2cm-C.350,cm2D.幽 叵 应27【来源】云南省2 0 2 1 届高三冲刺联考数学（文）试题【答案】B【解析】由已知得 ABD,C8D均为等边三角形.如图所示,设球心为。，8CO的中心为O,取5 0的中点尸，连接A尸，CF,0 0,OB,OB,AO,则 AF_L3。，CF L B D,得 BOL平面 AFC,且可求得AF=CF=5g cm，而4 c =15cm,所以NAFC=120.在平面AFC中过点A作CF的垂线，与CF的延长线交于点E，由 8 3,平面 A F C,得 BD1.AE，故平面BCD，过点。作OGJ_AE于点G,则四边形OEGO是矩形.2则。B=BCsin60 x 3AE=Ab sin 60=;(cm),EF=AF sin 30=*(cm设球的半径为R,O 0=xcm,则由 OO2+OB2=OB?，Ofic=AG2+GO2，故三棱锥A-BCD外接球的表面积S=4兀咫=l L （cm2）.故选：B.【举一反三】1.（2020天河区二模）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为2,且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概3率 为（）A.1 B.2 c.2 D.A3 5 3 5【答案】c【解析】分析：求出甲获得冠军的概率、比赛进行了 3局的概率，即可得出结论.解：由题意，甲获得冠军的概率为2X2+2XLXZ+LX2X2=2 S3 3 3 3 3 3 3 3 27其中比赛进行了 3 局的概率为2x L X2+工 x2 x2=_ _,3 3 3 3 3 3 27二 所 求 概 率 为 型=2,故选：B.27 27 52、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第1 0 0 个数时，甲 同 学 拍 手 的 总 次 数 为.【答案】【解析】由题意可知：将每位同学所报的数排列起来，即 是“斐波那契数列“：1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,5 5,8 9,4 4,2 3 3,3 7 7,6 1 0,9 8 7,.该数列的一个规律是，第 4,8,1 2,1 6,4 n 项是3的倍数;甲同学报数的序数是1,6,1 1,1 6,.,5 m-4；甲同学报的数为3的倍数，依次为第1 5,3 5,5 5,7 5,9 5 位数，共 5个，所以，甲同学拍手的总次数是5次.类型二、取材数学名著如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有关的数学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养.【例 2】九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则x-若一小城，如图所示，出东门1 20 0 步15)有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1 里=300步）（【来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（四）【答案】D【解析】因为1 里=300步，则由图知 3 =120（）步=4里，G4=75（）步=2.5里.E F G F由题意，得G4=-,则 石 产 尸=B-G 4=4x2.5=10,E B所以该小城的周长为4（E万+G E）2 8 jE 万-GF=8 加，当且仅当EF=GF=J F 5 时等号成立.故选:D.【例 3】（2020天河区一模）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数19 的一种方法.例如：3 可表示为“三”，26可表示 为“=，”.现有6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用19 这 9 数字表示两位数的个数 为（）_ _ =1 2 3 4 5 6 7 8 9A.13 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】分析：根据题意，分析可得6 根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数,由加法原理分析可得答案.解：根据题意，现有6 根算筹，可以表示的数字组合为1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、3,3、7,7、7；数字组合1、5,1、9,2、4,2、8,6、4,6、8,3、7 中，每组可以表示2 个两位数，则可以表示2 X 7=1 4个两位数；数字组合3、3,7、7,每组可以表示1 个两位数，则可以表示2X 1=2 个两位数;则一共可以表示1 4+2=1 6个两位数；故选：D.【举一反三】1.我国古代数学著作 九章算术有如下问题：“今有金维，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1 尺，重4 斤；在细的一端截下1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M,现将该金杖截成长度相等的1 0 段，记第i 段的重量为“=1,2,1 0）,且q4 解得q1 618所 以 该 金 杖 的 总 重 量=1 0 x=1 Q,b 0)r iC.0,Z 7 0)a+ba+b aD.2 4-Z 72 2ab(a 0,b 0)【来源】湖南省六校2 0 2 1 届高三下学期4月联考数学试题【答案】B【解析】由图可知，O C =AB =9也，O D =O B-B D =-b =2 2 1 1 2 2在 放 08 中,C D I O C2+O D2即 2 J ，故 选:B2【例 5】（2 0 2 0 南昌一模）我国南宋数学家杨辉1 2 61 年所著的 详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第1 1行的所有数字之和为L1,若去除所有为1 的项，依次构成数列，则此数列的前5 5 项和为（）A.4 0 72 B.2 0 2 6 C.4 0 96 D.2 0 4 8【答案】A【解析】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前项和为S 1-2-2-1,若去除所有的为1 的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,，可以看成构成一个首项为1,公差为 1 的等差数列，则 T,2,可得当=1 0,所有项的个数和为5 5,则杨辉三角形的前1 2 项的和为&=21 2-1,则此数列前5 5 项的和为$2 -2 3=4 0 72,故选：A.【指点迷津】利用次二项式系数对应杨辉三角形的第加1 行，然后令x=l 得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可.【举一反三】1.（2 0 2 0 岳阳一模）阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点尸到两定点A,B的 距 离 之 满 足 卬 _|_=r G 0且 r Wl）为常数，则尸I P B I点的轨迹为圆.已知圆。：/+y=1和A（卷，0）若定点B（b,0）-1）和常数人满足：对 圆。上任意一点M,都有|MB|=RMA|,则 人=2,M 4?面积的最大值为_ 3 _.4【答案】A【解析】分析：画出图形，通过|M 8|=RM 4|,求解轨迹方程，推出入，然后求解三角形的面积.解：设点 y),由 W(x-b)2+y2=X 2 (x+y)2+y 2 )整理得2 2 2b+入 2x+y.-71-X 2b2 yx+-9l-x2=02b+入 2所以，2 1,2 解得入=2,b 一丁人b=-2如右图，当 M(O,1)或 M(O,-1)时，)卫.MAE)max 42.（2020广西桂林市高三调研）2018年 9 月 24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于-些特殊数列求和.记无穷数列的 的 各 项的和S=I+4+4+4+一,那么下列结论正确的是（）1S-S-52【答案】C【解析】由g 2时，去 温=专 一；可得、=1+升+广】+/21 1cl=2-R f+时，Sf 2,可得S V 2,排除由1+今=*工 ,可 排 除q故选C.类型四、取材数学推理数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识和思想方法.【例6】材料一:已知三角形三边长分别为。，b,c,则三角形的面积为S =5（二_4）（_ 6）（_,）,其中p =a +：+c,这个公式被称为海伦一秦九韶公式；材料二:阿波罗尼奥斯（A p。济公）在 圆锥曲线论中提出椭圆定义:我们把平面内与两个定点”，的距离的和等于常数（大于|百巴|）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答:已知“I B C中，B C =4,A 3 +A C =8,则AABC面积的最大值为（）A.2 7 3 B.3 C.4也 D.6【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2 02 0-2 02 1学年上学期高三1月线上学习阶段性考试数学（理）试题【答案】C【解析 用材料一：根据海伦-秦九韶公式，S=M p-a）（p_b）（p _ c）,其中夕=a+；+c，4+8 ,由题意，可知。=4,Z?+c =8,p =-2=6,且P一。=6-4,故S =j 6（6-4）（6 4）（6 c）=1 2（6 Z ）（6 c）/3；当且仅当6=6 c,即Z?=c =4时取等号.2 2用材料二：以8 c的中点为原点，由椭圆的定义易知，椭圆方程为2+上 =1,16 12S=g x B C x|以|（|以|为 A 到 8 C的距离），S =g x B C x|力 区 g x 4 x 2V =4 石，当且仅当A B =A C时取等号.故选：C.【举一反三】1.（20 19 葫芦岛二模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎 丹铅总录记 载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”.在某种玩法中,_*f2an_1-l,n为偶数用 a”表示解下（W 9,C N ）个圆环所需的移动最少次数，a 满足m=l,且2an_i+2,n为奇数则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A.7 B.10 C.12 D.22【答案】A【解析】分析：根据已知规律和递归式，推 导 出的值即可.解：根据题意，ai=2a -1 =1；。3=22+2=4；。4=2。3-1=7；即解下4个圆环最少移动7次；故选：A.2.（20 20 江门模拟）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的 四元玉鉴卷 中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣18 6 4 人前往修筑堤坝，第一天派出6 4 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的18 6 4 人全部派遣到位需要的天数为（）A.9 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列回），分析可得数列是首项叱=64,公差=7的等差数列，6 4 n+-7=1864该问题中的18 6 4 人全部派遣到位的天数为,则 2,依次将选项中的“值代入检验得，满足方程，故选B.类型五、取材数学图形一幅图胜过一千字，”数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，图形不仅包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形.【例 7】国际数学教育大会（I C M E）是由国际数学教育委员会主办的国际数学界最重要的会议，每四年举办一次，至今共举办了十三届，第十四届国际数学教育大会于2 0 2 1 年上海举行，华东师大向全世界发出了数学教育理论发展与实践经验分享的邀约，如图甲是第七届国际数学家大会（简称I C M E-7）的会徽图案，会微的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.图甲其中已知：0 4 =A4=44=44=4A=A A =A4=44=1，为直角顶点，设这些直角三角形的周长和面积依次从小到大组成的数列分别为/“,sn,则关于此两个数列叙述错误的 是（）A.代 是等差数列B.l=+y/n+lC.=Vn-V-l（H l,n e N）D./T =2S.+2S“M【来源】安徽省马鞍山市2 0 2 1 届高三下学期第三次教学质量监测理科数学试题【答案】C11,1【解析】对 A,由，=-x l x l =一，得 鼠=一，2 2 4S7=-x 1 x V 2 =得 S；=-2 2 2 -4S2=1 x l x V 3 得S；=（S =g X 1 X 6 =半得 S；=则 S；S j|=；所 以 代 是等差数列，故A正确；对B,4=i+i+n,4 =i+V 2+V 2+l,4=1+用 力 荷所以/“=1+占+而 斤，故B正确；对c,由/“一/._ =（1 +J +i）（1 +，-1 +J i i）=/+1 J十 一r eN）故c错；对 D,由/T=+J +l，S“=乎，S“+|=；1.所以/“1 =2 S“+2 S”故D正确.故选：C【举一反三】1.（2 0 2 0佛山一模）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1 9 1 5年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在 如 图 第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）（I）AA（3 A.3 B.a C.-L D.25 1 6 1 6 5【答案】B【解析】分析：我们要根据已知条件，求出第3个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案.解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的工，不妨设第一个三角形的面积为1.4.第三个三角形的面积为1；9第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：1 6=9,故选：B.1 162.中国古代数学名著 九章算术中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器一一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若腰取4 27立方寸升，则商鞅铜方升的容积约为（）5.4T T80）,由离心率相同，可设外层椭圆方程为a b2 2x y-2(ma)(mb)=l(m 1),A(一 肛0),8(0,成?)，设切线 AC为 y =40+机a),切线 B D 为 y =+m b ,y =k1 x+md)恒成立，则：哂t=oi+（i-l）dai+（7-Od,),.*.BD=h t4ttrinlO-=20Tl-115SBICT SHLUF【强化训练】一、选择题1.（2020洛阳模拟）九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、斗，则下列判断正确的是（）A./=且T=5 B./=且*=亍C.2，=x+z且V 0.2，=x+z且【答案】B【解析】由题意可知x,y,z依次成公比为2的等比数列，2x+y+z =x+-x +-x =5 x =Z则2*解得。由等比数列的性质可得故选：B.2.（2 0 2 0九江一模）半正多面体（se mire g u l arso l id）亦 称“阿基米德多面体”，如图所示，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的边长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为五，则该二十四等边体外接球的表面积为（）A.41 1 B.6T T C.8T T D.1 2 n【答案】c【解析】由己知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为侧棱长为2的正四棱柱的外接球，（2 R）2=（V 2）2+（V 2）2+22,A R=V 2,.该二十四等边体的外接球的表面积5=4川?2=4兀（、巧）2=8兀，故选：c.【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，儿何体的外接球的半径的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于基础题型.3.（2020重庆模拟）如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于1 0,则称此四位数为“完美四位数（如1036）,则由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）A.12 B.44 C.58 D.76【答案】B【解析】【分析】根据题意，按四位数的尾数分4种情况讨论，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案.解：根据题意，分4种情况讨论：若尾数为1：则前三位的数字可能为027,036,0 4 5,共C；A表3=1 2,还可能为2 3 4,有 尼=6种；若尾数为3则前三位的数字可能为016,0 2 5,共A纪2=8,还可能为1 2 4,有 短=6种；若尾数为5则前三位的数字可能为014,023,0 4 5,共以A京2=8；若尾数为7：则前三位的数字可能为0 1 2,共c：Ag=4-综上所述，共 有12+6+8+6+8+444种；故选：B.4.（2020沧州市高考模拟）中国最早的天文学和数学著作 周髀算经里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，.设内d-衡直径为一，衡间距为2,则次二衡直径为与=%十 ,次三衡直径为叱+2。，.，执行如下程序框图，则输出的h中最大的一个数为（）A.H B,72 c.5 D.r【答案】D【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出R=唔a =1 2 3 4）的值，由等差数列通项公式有：y+n,且易知的 恒成立，则：哂T =ai+（i-l）dai+（7-0 d f当且仅当由+（=+0一 卯，即=4时等号成立.综上可得，输出的力中最大的一个数为本题选择。选项.5.（2020九江一模）我国古代典籍 周易用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中记载一种起卦方法称为“大衍筮法”，其做法为：从 50根蓍草中先取出一根放在案上显著位置，用这根蓍草象征太极.将剩下的49根随意分成左右两份，然后从右边拿出一根放中间，再把左右两份每4 根一数，直到两份中最后各剩下不超过4 根（含 4 根）为止，把两份剩下的也放中间.将49根里除中间之外的蓍草合在一起,为一变；重复一变的步骤得二变和三变，三变得一爻.若一变之后还剩40根蓍草，则二变之后还剩36根蓍草的概率为（）A.A B.3 C.也 D.至2 4 19 19【答案】c【解析】【分析】根据题意，列出所有的可能性，根据古典概型的概率公式即可求解.解：用(“，6)来表示40 根蓍草中从右边去掉一根后的根数，分成两份后不会出现一边没有，一边3 9 根,故假设“N 1，人 2 1,且“+匕=3 9,则基本事件有(1,3 8),(2,3 7),(3,3 6),(4,3 5),(5,3 4),(6,3 3),(7,3 2),(8,3 1),(9,3 0),(10,29),(I I,28),(12,27),(13,26),(14,25),(15,24),(16,23),(17,22),(18,21),(19,2 0)共 19 个基本事件，其中划线的为二变之后剩3 6根蓍草的共10 个基本事件.所以概率P=g,故选：C.196.我国明代伟大数学家程大位在 算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指 3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为()A.0.9 升 B.1 升 C.1.1 升 D.2.1 升【答案】B【解析】1 +,+-=3.9 (=1 3依题意得 1%+桁+他+叼=3,故Io7+/=1 S 即02+5+02+64=2%=2 +lid =15解得。=叫 故 叱=%+3d=13-03=1升.故选B.7.(2 0 2 0 铜 陵 一 模)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在 梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1 件，以后每一层比上一层多1 件，最后一层是“件.弓 100-200()已知第一层货物单价I万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的1a若这堆货物总价是万元，则1 1的 值 为()A.7 B.8 C.9 D.1 0【答案】D【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为2X 万元,10第三层货物总价为3 X烯 产 万元，第N层货物总价为R 后）-1万元，设这堆货物总价为/万 元,则W=l+2xV+3X（Vy+-.+n 舄）1，VW=1 x菖+2 X（总3 X媪 尸+_.+n舄/hW=-n 舄）+1+V+总 产 +（泵，+-+舄）1两式相减得如 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0一 航 舄）+金-R 舄/+1 0-1。舄尸1 BW=-10n 舄r+100 100 舄/=100 200（5尸 tt=i0则 1 0 10 10,mn叫 故 选D.4 nrn8.（2 0 2 0黄山质检）在 九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖牖，在鳖嚅 中,AB L平-面,BCD，BCL CD，aAB=BC=CD=4 履 江 m，1 m -CD 十上的人沙，+4，,、且，为4的中点，则异面直线 与 夹角的余弦值为（，典 四 更 名A.3 B.*C.3 D.*【答案】C【解析】设F是AC中点，连接M E b F，由于U.F分别是4D.4C中点，KF是三角形4CD的中位线，故F黑CD，所以在MB是两条异面直线所成的角.根据鳖膈的几何性质可知4c=4点:和=4 6 故BF=22,BM=2,FM =2-在三角形IWfF中，由余弦定理得CDSZFMB=二 祟 =更，故选C.A9.（2020哈尔滨模拟）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义耳（无%是函数零点近似解的初始值，过点的切线为y切线与”轴交点的横坐标X】，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数仲）=/一 2,满 足=2 应用上述方法，则 匕=（）【答案】D【解析】/C O=/一 2，f（r）=2x%=2 j 0 =2,切线斜率1=4 切线方程”2=4（工一2）,令y=。，得血=彳4=定 力=7 匕=3 y-7 =3（x-l o 必=石2 ，切线斜率T。，切 线 方 程*、，令得“171,_ 17 _ 1 7/2 2 X 以=行y 2=立 2 一,，切线方程”】“一 过 令 了=,得 一 产故选D项,切线斜率10.（2020东北师大附中模拟）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为 周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦 称“赵爽 弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类 比“赵 爽 弦 图”，可类似地构造如图所示的图形，它 是 由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设M =2/F,则（）A.AD=A C+ABAD=lA C+-MB.9 2 7C.AD=A C+ABD.1 3 1 3【答 案】D【解 析】设,r,DF=2A F=2，因此i.BD=AF=l，又由题a n意ji_可_,.得/E,zADB=120所以 AflZ=仙2+ED2 _ 2AD.曲.caszADB=32+好 痴 立 2 0 =13因此48=田,z延,x长4Z)交BC 于,M，.zDAB=6 zAMB=a记，roszDAB=则心4 -8,9+13-1 7后g,所以sinzDAB=V 1-cozDAB=2*又由题意易 知 皿B=Z MM则0=1 2 0-6BJfDMBD在三角形M M中，由正弦定理可得由SB 一 0 zm a -0gB9f DM1即 X 4 T sa(12ir-Q)BM,因此m ur亘ZMf=1AD=所以12BM=-BC BM=-BC AM-AB=-A S)因为，所以，即 4整理得 4 4，所以故选I）11.（2020济南市模拟）我国南北朝时期的数学家祖唯提出了计算体积的祖随原理：“基势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知 曲 线 直 线 为 曲 线,在点a,）处的切线.如图所示，阴影部分为曲线 直线 以及1 t轴所围成的平面图形，记该平面图形绕A 轴旋转一周所得的几何体为T给出以下四个几何体:图是底面直径和高均为 的圆锥；图是将底面直径和高均为I的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图是底面边长和高均为I的正四棱锥；图是将上底面直径为，下底面直径为工，高为工的圆台挖掉一个底面直径为，高为工的倒置圆锥得到的几何体.根据祖晅原理，以上四个几何体中与 的体积相等的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】：几何体T是由阴影旋转得到，所以横截面为环形,且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为町，切线对应的横坐标为叼f(r)=x2./(x)=2 x .-.k=A l)=2切线为V 1=2 6一 1),即y=2Ll=受横 截 面 面 产 叱 一 位 书 写-=(f1图中的圆锥高为1,底面半径为三,可以看成由直线y=2*+i绕v轴旋转得到5=j/riz横截面的面积为 1 2 .所以几何体1和中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等,故选A项.1 2 .（2 0 2 0 吕梁市高考模拟）孔明锁，也叫鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的桦卵结构，它是用6根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是其中3根木条的三视图，记这3根木条的体积分别为七）2/3,则（）Il i i I!r T T T T T i i 丁i i 11 i二用.:.一 一,.二 I-J 1I 卜 1 1 1 F l 卜1111A /1=啊 B。，1 匕（/D【答案】C【解析】解：由题意可知几何体是正四棱柱去掉部分棱柱的几何体，由题意可知 =3 2 -8=2 4；%=3 2 -1 0=2 2；匕=3 2 -6=2 6,这 3 根木条的体积分别为一,V2,匕 满足总/3,n e N的递推方法定义，则下列结论成立的是（)A.=3 +6B.4%=。“-2+。”+2C.4+6/3+%+”2 01 9 =2 02 0D.a2+a4+a6+-+a2 02 0=a2Q2,【来源】2 02 1 年浙江省高考最后一卷数学（第四模拟）【答案】C 解析A选项，由4 =1,%=1，a”=。一+an-2n 3,n G N可 得=2 ,=3 ,=5,（心=8 ,c i-j 1 3,t/g =2 1,则一 =7 7%+。6 ,4A错误；B 选 项,2+4+2 =an_2+an+l+a=an_2+%+%=3，B错误；C 选项,4 +。3 +。5 +”2 01 9=2+(%4)+(6 04 )(2 000 4()1 8 )=2 02 0C正确；D 选项，。2 +。4 +。6 -1 。2 02 0=(4 -4 )+(。5 -%)+(%-。5)1-4 01 9)=%)2 1 -1，D错误.故选：C1 5.意大利数学家斐波那契(1 1 7 5 年1 2 5 0年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即4+2 =4川+4(eN+)故此数列称为斐波那契数列，1 /1+尺丫(-/s Y又称兔子数列“，其通项公式为=-(设是不等式5 2)V 2 7l o g0(l +君)-(1-6)2 x +l l 的正整数解，则的最小值为()A.1 0 B.9 C.8 D.7【来源】内蒙古赤峰二中2 02 1 届高三5月适应性考试理科数学试题【答案】C【解析】：是不等式10 g&m+石)一(1-6)2%+1 1 的正整数解，l o g(1+国-(1-例 2 n +l l,log+/5 j _(1-石)2 n 1 1,(1 +司 -(1-码 l o g 应 L-不-11显然数列%为递增数列，所以数列 4亦为递增数列,不难知道%=1 3,。8 =2 1,且 ,7 使得a；二 成 立 的”的最小值为8,”5二使得l o g夜(1 +A/5)X-(1-V5)2 x+l l成立的的最小值为8.故选：C.1 6.运用祖随原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与 半 球（如图）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如 图 ），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆二+匕=1 绕 轴旋转一周后得一4 9橄榄状的几何体（如 图 ），类比上述方法，运用祖晒原理可求得其体积等于（）.图 图 图A.8兀 B.16K C.24K D.32K【来源】山东省德州市2 0 2 1 届高三二模数学试题【答案】B【解析】构造一个底面半径为2,高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,Z?Y则当截面与顶点距离为（噫 女 4）时，小圆锥的底面半径为小 则 一=一，3 22 ,r-h,3故截面面积为4 万-竺工，9把丁=代入椭圆+片=1 可得了=秒王，4 9 3二橄榄球形几何体的截面面积为万Y =4 万丝 上，9由祖眶原理可得橄榄球形几何体的体积V=2（%柱-锥）=2 底2 葭 3-3犷 2 2 2C J4“1，+22 -1-p00-=11O8,当且仅当产=与，即r=2逐 时AAPC,的面积取得最小值18.此时4/=/252+(2石=3石.设三棱锥尸-ABC的外接球半径为R ,因为AC_LCP,A B B P，故线段A尸为外接球的直径,故所求外接球的表面积S=4兀 x 上45=45兀.4故选：D.解法二：令 N P C B =e=N C F B 则 q p =tan2当 且 仅 当 提 四“。时取最小值,此时tan6=，A P2-=125+16tan2 6=3也.在三棱锥尸一ABC中，因为NACP=NA3P=9 0,取AP中点为。，则 0 c=08=AP=0A=0尸,2故0为三棱锥P-A B C的外接球的球心,所 以AP为外接球直径，S球。=4位之=71A尸2 =457r.故 选：D.二、填空题2 1.(2 0 2 0大连模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如2 2,11,3443,9 42 49等.显然2位回文数有9个：11,2 2,33，9 9.3位回文数有9 0个：101,111,12 1,19 1,2 02,9 9 9.则(I )4位回文数有个;(I I )2 n+l (n N+)位回文数有.个.【答 案】9 x 10【解析】按照回文数的定义，1 位回文数有1,2,3,-9 等 9 个，又已知2 位回文数有9 个，3 位回文数有90=9x10 个，4 位回文数有 1001,1111,.,1991,2002,9999,共 90=9X10个，5 位回文数有9X10?个，6 位回文数有9X102个,以此类推，故猜想2 +l(e N+)位 回 文 数 与2 +2(e N j位回文数个数相等，均 为9 x 10个.2 2.(2 02 0福 建 模 拟)我 国 古 代 数 学 家 祖 胞 提 出 原 理：“基势既同，则积不容异”.其 中“基”是截面积,“势”是几何体的高.该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xs0v平 面 内，若函数f V r7rJ.r e -l,0)I l-x r e O.l 的图象与1t轴围成一个封闭的区域“，将区域”沿z轴的正方向 平 移8个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域0的面积相等,则此圆柱的体积为【答 案】【解 析】【分析】利用四分之一圆的面积和直角三角形面积公式求得阴影部分的面积，进而求得圆柱的体积.【详解】f*V I xzdx i A 7+7XI x l=1 表示的是四分之一的圆的面积，且圆的半径是，所以区域的面积为2 ，所K =-x 8=2 ir+4以圆柱的体积*23.（2020杭州地区高三）九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，马主日：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿 斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿_ _ _ _ _ _ 斗粟.5 竺【答案/7【解析】设牛、马、羊的主人应赔偿的斗栗分别为x,y,z.1由题意可知X,y,z依次成公比为2的等比数列，H.x+y+z=4z+2z+z=5s解得 7,x=x 4=今则7 7,羊的主人应赔偿7斗粟;20 5 1s 牛主人比羊主人多赔偿7 7 丁 斗粟.5 竺故答案为：7;7.24.（2020长沙市长郡中学一模）太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所j +y2=4r 2ah