2023年河北省衡水市高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2 .选择题必须使用2 B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4 .保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万 元)如 图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()IS1国2A.6.2 5%B.7.5%C.1 0.2 5%D.3 1.2 5%2 .已知函数f(x)满足当xWO时，2f(x-2)=f(x),且当X G(-2,0 时,/(x)=|x+l|-1；当尤 0时,/(x)=l o g”x(a 0且。1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是()A.(6 2 5,4 W)B.(4,6 4)C.(9,6 2 5)D.(9,6 4)2 7 r3.抛物线=2/储 0)的 焦 点 为 准 线 为/,A，B是抛物线上的两个动点，且满足N A E B =3-,设线段A B的中点M在/上的投影为N,则 上 f 的最大值是()A 百 n 百 百 n WA.B.C.D.，34 3 2,4 .我国古代数学名著 数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式V=；(SE+J S上S下+S下).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸5.设0为坐标原点，P是以尸为焦点的抛物线产=2 p x(p 0)上任意一点，”是线段PE上的点，且|=2|/耳,则 直 线 的 斜 率 的 最 大 值 为（）A.3 B.2 C.显3 3 26 .如 图1,九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是:有一根竹子，原高一丈（1丈=1 0尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，间折断处离地面的高为（）C.4.2 D.5.87 .如图，在矩形。4 3 C中的曲线分别是 =$加，y=c o 4的一部分，A 1,0 ,C（0,l）,在矩形Q 4 3 c内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为耳，取自非阴影部分的概率为鸟，则（）A.PP？B.PtP2 C.Pt=P2 D.大小关系不能确定8 .一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（）A.2 4 4 B.8瓜 兀 C.拽 三 D.1 2万39.现有甲、乙、丙、丁 4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为1111A.B.-C.D.2 3 6 1 21 0 .已知双曲线C：-三=1（4 0）的一个焦点与抛物线=8 y的焦点重合，则双曲线C的离心率为（）a 3A.2 B.百 C.3 D.41 1 .复数二满足z-l =（z+l）i （i为虚数单位），则z的值是（）A.1 +i B.1-Z C.i D.-i1 2 .设i是虚数单位，若复数“+EL（a e R）是纯虚数，贝！J a的 值 为（）2-1-1A.-3 B.3 C.1 D.-1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。21 3 .在平面直角坐标系x O y中，双曲线工-的一条准线与 两 条 渐 近 线 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为41 4 .函 数/（幻=65皿（。+。）（夕0,。乃1的图像如图所示，则 该 函 数 的 最 小 正 周 期 为.x+y101 5.设实数x，y满足约束条件 x ,则z=2 x+3 y的 最 大 值 为.x 41 6.已知同=2,忖=6,a,5的夹角为3 0。，（日+2 5）/侬+焉），则 伍+初.（万一5）=.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12 分）已知函数/（x）=X?-5 x +21n x.（1）求/（x）的极值;（2）若/（内）=/（9）=/（尤3），且尤1工2尤3，证明：X +%2 1 .18.（12 分）已知/（X）=e*-z n x.（1）若曲线y =l n x在点e 2,2）处的切线也与曲线y =/（x）相切，求实数?的值；（2）试讨论函数.f（x）零点的个数.19.（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超 过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、1 1 1?乙健身时间不超过1小时的概率分别为二，二，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为丁，且两人健身时间都不会超过3小时.(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量4 (单位：元)，求J的分布列与数学期望E(J)；(2)此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.20.(12分)如图，在四棱锥PABC Z)中，B C V C D,A D =CD,PA=3y/2 A A B C和A P 6 C均为边长为2 6的等边三角形.(1)求证：平面平面A 3 C D；(2)求二面角CP 8 的余弦值.21.(12分)在AABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，并 且/+c?=加.(1)已知,计算 ABC的面积；请a =b=2,s i n C =2s i n 3这三个条件中任选两个，将 问 题(1)补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.(2)求cos茨+cosC的最大值.22.(10 分)2知函数分(x)=alnx +LX(1)讨论/(X)的零点个数；(2)证明：当0。刍时,2参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】250水费开支占总开支的百分比为”,x 20%=6.25%.250+4 50+100故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.2.C【解析】先作出函数/（X）在（-8,0上的部分图象，再作出.无）=10g“X关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【详解】先作出函数/（X）在（-8,0上的部分图象，再作出/（X）=log,X关于原点对称的图象，如图所示，当0。1时，对称后的图象不可能与人幻在（-8,0的图象有3个交点；当。1时，要使函数f（x）关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，a则（一log“3-g,解得9 a625.|一log“5一；故选：C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.3.B【解析】试题分析：设 A,8 在直线/上的投影分别是4,%则|A丹=|A 4|,忸q=忸 叫，又 M 是 A B 中点，所以M.=-,(1|,M|.,MN I IA AI+IB BJ|A F|+|B F|+|I)则曷=5.号产在由中ABf=A F f+B F f-2|A F|B F|cos=|A F|2+BFf+|A F|B F|=(|A F|+|B F|)2-|A F|B F|(|A F|+|B F|)2-(LAFX+MBF),中3 ,加.+1.叫).,一,所以(|A E|御+忸F|)2 明4 ,即AF磊+BF_ 1 “2丁G 所以M周N”7 3，故选风考点：抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线(或与准线平行的直线)的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦A B的中点M到准线的距离首先等于A,B两点到准线距离之和的一半，然后转化为A3两点到焦点E的距离，从而与弦长|A却之间可通过余弦定理建立关系.4.B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量x 9 x(10=+J*x 6 2 +6 2 4)故选限=-高-=3考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.5.C【解析】2试题分析：设H，为)，由题意尸(称，0)，显然%0,则O M O F+F M O F +-F P O F +-O P-O F)-O P +-O F +可得：3 3 3 3 6P 3 3A3 2 2 v 2 lkM=%2 p=%2P 2 万=7 当且仅当为2=I p1,%=0时取等号 故选C.6P +3 P y0考点：1.抛物线的简单几何性质；2.均值不等式.【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题.解题时一定要注意分析条件，根据条件1PMi=2|M可，利用向量的运算可知用（3+4,普），写出直线的斜率,6 3 3注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题.6.B【解析】如图，已知 AC+AB=10,BC=3,AB2-AC2 BC2=9.(A8+AC)(A8-AC)=9,解得AB_AC=0.9,AB+AC=10,JAB=5.45AB-AC=0.9 解得 AC=4.55，4(a-1)4(1.4-1)1 .-二 一折断后的竹干高为4.55尺故选B.7.B【解析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得.【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：cosx sinx）ir=V2 1 ,V2 1于是此点取自阴影部分的概率为；K Z X12又g=l_ 6 g,故.故 选B.【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题.8.A【解析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可.【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同,D.四面体所有棱长都是4,.正方体的棱长为2及，设球的半径为r,贝 112r=，解得r=,所以 S=4/rr2=247 )故选：A.【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题.9.B【解析】C2C2求 得 基 本 事 件 的 总 数 为 月=6,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为加=C；C；可=2,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，C2C2基本事件的总数为n=x 用=6,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为m =用=2,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为2=!，故选B.n 3【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.A【解 析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得/+3 =4,解可 得。=1,由离心率公式计算可得答案.【详 解】根据题意，抛 物 线f=8y的 焦 点 为(0,2),2 2则 双 曲 线 二 一 二=1的焦点也为(0,2),即c=2,/3则 有4+3 =4，解 可 得a=,双曲线的离心率6 =2.a故选：A.【点 睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.1 1.C【解 析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详 解】.7 ,1 +Z (l+i .由 z-l=(z+l)/得：z=,、/-=i 7 1-i(l+z)(l-z)本题正确选项：C【点 睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力.1 2.D【解 析】整理复数为人+ci的形式，由复数为纯虚数可知实部为0,虚 部 不 为0,即可求解.【详 解】由题,。+35i=。+(25 z+(2%-2z)L)=+2，.+1 =(,。+1)、+2 因为纯虚数，所 以a+1 =0,则a=-1,故选:D【点 睛】本题考查已知复数的类型求参数范围，考查复数的除法运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。2 41 3.1 3【解析】求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积.【详解】2 2解：双曲线C：双曲线二=1中。=2,b=3,C =j i 5，4 9则 双 曲 线x2匕-v匕2=1 的一条准线方程为X =cr =4)，4 9 c V 1 3双曲线的渐近线方程为：j=+|x,可得准线方程与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标(卡，卡)，(卡，-卡),1 4 c 6 2 4则三角形的面积为X 而X2X加 =E.2 4故答案为：【点睛】本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题.1 4.8【解析】根据图象利用/(0)=等，先求出9的值，结合/(1)=0 求出，然后利用周期公式进行求解即可.【详解】解：由/(0)=G sine=半，得 sin(p7 1 3 万/W /3 sin(6 yx+),4/1)=6 sin(o+?)=0,:.co+=TT 9 即 刃=工，4 42=则函数的最小正周期 至 一 彳 一，4故答案为：8【点睛】本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.1 5.2 6【解析】x+y 416.1【解析】由（万+2 5）/（2万+坷 求出2,代 入 他+4）（万5）,进行数量积的运算即得.【详解】：（a+2b/（2a+b）,存在实数攵，使得2 M +4 6 =&（G +2 5）.2=k不共线，二2 =4.4 =2攵同=2,网=也，B的夹角为3 0。，+=（M +4 5）（汗 一5）=J+3。石一 4万=4 +3 x2 x V 3 xcos3 0 0 -4 x3 =1 .故答案为：1.【点睛】本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。917.(1)/(x)极大值为 21n 2；极小值为-6 +21n 2；(2)见解析4【解析】(1)对函数f(x)求导，进而可求出单调性，从而可求出函数的极值；(2)构造函数尸(幻=/(x)-/(I -x),x e(0,，求导并判断单调性可得F(x)0,从而/(x)/(I -幻 在(0,上恒成立，再结合 e(0,；1,/(%)=/&)1 -即可证明结论成立.【详解】函 数 /(X)的定义域为(),+8)J (x)=2x 5 +：=处*2)(X，所以当xe(0,；)U(2收)时，/(x)0；当 时 J(x)0,则f(x)的单调递增区间为0,；和(2,+8),单 调 递 减 区 间 为2.故./(万)的极大值为./(；)=；一1+2比；=一1一21112；/。)的极小值为/(2)=4-10+21112=-6 +21112.(2)证明:由(1)知0 玉 3 *2 2 0在(0,；)上恒成立，即F(x)在(0,；)上单调递增，故 F(x)又，J)一/。则(X)=，()二 1 一外 e 1 即/(x)/(I 幻 在(0,g)上恒成立.因为X e(0,g),所 以/(玉)1一不澈x+为1.【点睛】本题考查函数的单调性与极值，考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键，属于难题.18.(1)m =-e-2(2)答案不唯一具体见解析【解析】(1)利用导数的几何意义，设切点的坐标(%,/。-加两)，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组：一 ：，再构造函数研究其最大值，进而求得机=l-e-2；*_犷=(2)对函数进行求导后得/(x)=e,-加，对”分三种情况进行一级讨论，即m 0,结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.【详解】解：(1)曲线y =l n x在点(/,2)处的切线方程为y -2=r(x e2),即=七%+1.e-e令切线与曲线f(x)=ex-m x相切于点(尤。,*-mx0),则切线方程为y =(淖-m)x-淖(x0-l),ex0-m =e2e xoex ，/.(w +e-2)l-l n(?+e-2)=1,令z n +e-2=t,贝！f(l I n r)=1,记 g(r)=r(l-l n O,g (f)=1 _ (I +I n t)=_ I n r于是，g Q)在(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减，g()ma x=g(l)=1，于是 f=/+e 2=l，m -1 e 2(2)f(x)=ex-m ,I 1当山o恒成立，f(x)在R上单调递增，且y(o)=i-加 0,八2_)=”一1 0时，令/(x)0,则x l n w,即函数/(x)的增区间是(l n/,+8),同理，减区间是(一8/n/)，)(尤 焉=m(l-lnm).i)若0 m 0,f(x)在R上没有零点；ii)若m=e,则/(x)=ex有且仅有一个零点；iii)若，”e,则/(x)min =m(l-l n 加)e 时，(加)单调递增，/?(m)/z(e)0./(21n m)-irr-2mnm=m(m-21n/?i)m(e-2)0又./()=l 0,在R上恰有两个零点，综上所述，当0 Wm e时，函数f(x)没有零点；当加6时，/(X)恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0,才算完整的解法.19.(1)见 解 析，4 0 元(2)6 000 元【解 析】(1)甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、4 0元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可(2)根 据(1)结果求均值.【详 解】解：(1)由题设知可 能 取 值 为0,20,4 0,6 0,8 0,则1 1 1 2 1=6 0）=-x-+-x-=-；,2 6 4 3 4尸 律=80）XL-L,7 4 6 24故J的分布列为:0204 06 080P12445124124所以数学期望 E（J）=0 x（+2 0 x；+40 x V+6 0 x；+8 0 x（=4 0（元）(2)此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：4 0 x3 00 x1=6 000(元)2【点 睛】考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.20.（1）见证明；（2）M 513【解 析】(1)取8 C的 中 点。，连 接OR OA,要 证 平 面P 8 C _ L平 面A BCD,转 证OP,平 面A B C。，即 证OPLQ4,O P IB C即可；以。为坐标原点，以05,诙，砺 为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出 平 面P 8O与 平 面P 3C的法向量，代 入 公 式，即可得到结果.【详解】(1)取BC的中点。，连接。尸,。4,因为AAfiC,P B C均为边长为2 G的等边三角形,所以A 0L 8C,O P 1 B C,且Q4=OP=3因为AP=3及，所以。产+04?=4产，所以。P_LOA,又因为。4 cB e=O,Q 4u平面ABC。，B C u平面ABC。,所以OP!_平面A B C D.又因为O Pu平面P B C,所以平面PBC_L平面ABCO.(2)因为BCLCD,AABC为等边三角形,TT 7 T 27r所以NACO=2,又因为A=C D,所以NC4O=2,Z A D C =6 6 3在AADC中，由正弦定理，得:A C C Dsin/AOC-sin/CW,所以CD=2.以。为坐标原点，以 防，而，而 为x，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,则尸(0,0,3),B(0,73,0),。(2,一 疯0),而=(0,-6,3),而=(2,2瓜0),设平面P B D的法向量为n=(x,y,z),则n-BP=0一，即n-BD=0-g y+3z=02x-2y/3y=0令z=l,则平面PBD的一个法向量为弁=(3,6,1),依题意，平面PBC的一个法向量比=(1,0,0)_ _.4 3屈所以cos他)=丽=-故二面角C-P B-D 的余弦值为士叵.13【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量：（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.2 1.（1）见 解 析（2）1【解析】（1）选。=2,s i n C =2 s i n B.可得c =2 A =4,结 合 层+。2=储+税，求得A=.即可；若选。=近,b=2.由 户+/=片+历 可 得c =3由+2=/+乩，求得A =q.即 可；若选0=近，s i n C =2 s i n B,可得c =,又 加+。2=.2+乩，可 得 =囱，c =酒 即 可；3 3T T（2）化简8$8 +8$。=$m（8 +二），根据角的范围求最值即可.6【详解】（1）若选=2,s i n C =2 s i n 6.s i n C =2 s i n B,:.c =2b=4 9b2+c2=a2+be 9/.cos A-t2 2 2b+c-a2hc2又 ,A(0,),乃A=3.A A 8 C的面积 S =/?c s i n /I =x2 x4 x =.2 2 2若选 Q=J 7，b=2.由/?2+/=+bc,可得 C =3,h2+c2=a2+/?c,/.cos A=/?2+c2-a2 _1_2bc 2又 A c(0,7 r),乃A=3.,.AA8C 的面积 S=/?csin A=又2又3 乂 立 =3B2 2 2 2若选 Q=/7,sinC =2sinB.sinC =2 sin B,c=2b 9又2+。2=a2 +儿，.0.b2+4h2=1+2b2 9 可得人c=豆 3 3AABC 的面积 S,BC=2 Ac sin A=x x x 走(2)A=71T冗 乃 G/.cos B+cos C=cos B+c o s(B+)1=cos B-cos(B+)=cos B cos B H-sin B3 3 2 21 n-r /r 冗、=cos B d-sm B=sin(nd)2 2 62.0 3 一7,3乃 八 乃 5%一 v 3 +3 6 6TT 7T.当 8 =一时，sin(8+)=8$3 +8$。有最大值 1.3 6【点睛】本题考查了正余弦定理，三角三角恒等变形，考查了计算能力，属于中档题.22.(1)见 解 析(2)见解析【解析】Z 7 V-_ 1(1)求 出/(=一1，分别以当。进而证明J.2v 7 2【详解】解析：(D /(x)=X G(O,4 W),1=-a+eQ,/e“J =-1 +e 0时，由/()0得x e g,”)，./(x)在(0,：)单调递减，在(：,+8)单调递增，/(x)在x =处取得最小值/(-)=-l n a +,a a若-a l n a+a 0,则a e,此时/(x)没有零点；若 a l n a+a=0,贝!j a =e,此时/(x)有1个零点；若 a l n a+a e,1)0,求导易得/)0,此时“在(r)，(L)上各有1个零点.a a a a综上可得0 W a e时，/(x)没有零点，0或a =e时，/(力 有1个零点，时，”力 有2个零点.(2)令M%)=o r l n x+1,贝0；当0 c x e，时，/z*(x)/l()=-+1 .eel令 g(X)=；x e r,则 g (x)=(1 一 x),当0 c x 0,当x l时，g(x)0,/.g(x)g(x),axnx+xex,l n x +,即【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明.