【10份】2019高考数学（京、津）专用（文）优编增分练：压轴大题突破练中档大题规范练解答题标准练.pdf

10份】2019高考数学（京、津）专 用（文）优编增分练：压轴大题突破练中档大题规范练解答题标准练目录 80 分解答题标准练（一）.1 80 分解答题标准练（二）.8（一）直线与圆锥曲线（1）.1 5（二）直线与圆锥曲线（2）.2 1（三）函数与导数（I）.2 5（四）函数与导数（2）.3 0（二）数 列.3 7（三）概率与统计.4 1（四）立体几何.4 680分解答题标准练（一）1 .如图，在 A BC 中，已知AC=4小,。为 B C边上一点.（1）若 A D=2,SADAC=2小,求。C 的长；（2）若 AB=AD,试求 A Q C 的周长的最大值.解：5 皿。=2 小，*A Q.A C s i n N ）A C=2 小，sin ZDAC=.*/N Z M C 4 s DCsin C.2兀一.(n Vsin 2 sinl2-Cl，AO=8sinC,DC=8sin(1C),ADC的周长为AD+DC+AC=8sin C+8sin俘一0+4 小=8(sin C+坐 cos C-；sin g+4 小=8&sin C+坐 cos C)+4小=8sin(C+1)+4小，27r 7 TV Z A D C=y,.0C3，.兀 兀2兀铲c+1 b=l,62+82=10,。5-2b2=6,q+3+3+d=10,3+4d2q=3+2d,解得 d=2,q=2,：.an=2n+1(e N*),bn=T n eN*).,(3+2/?+1)(2)由(1)知，SH=-_ 2-L=n(n+2)9.c 一 5一 土，“为奇数，c 一2T,为偶数.凡=（1 _ 打（_舁+_ _ 露）+（2 4 展+25+2 i）3.（2018南昌模拟）十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了 100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间 1 500,3 000 内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在口 750,2 000）,2 000,2 250）内的蜜柚中随机抽取5 个，再从这 5 个蜜柚中随机抽取2 个，求这2 个蜜柚质量均小于2 000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均值，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以40元/千克收购；B.低于2 250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2 250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.解（1）由题意得蜜柚质量在 1 750,2 000）和 2 000,2 250）内的比例为2：3,.应分别在质量为 1 750,2 000）,2 000,2 250）内的蜜柚中各抽取2 个和3 个.记抽取质量在 1 750,2 000）内的蜜柚为Ai,A2,质量在 2000,2250）内的蜜柚为B，&,B3,则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：(4，2)，(4 1，8 ),(A，BT),(A|,治)，(A 2,B),(A2,Bi),如，B3),(B,BT),(B,&),(B 2,&),其中质量均小于2 0 0 0克的仅有(4,4 2)这1种情况，故所求概率为4.方案A好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在口 500,1 7 50)的频率为250 X 0.000 4 =0.1,同理,蜜柚质量在 1 7 50,2000),2 000,2 250),2 250,2 500),2 500,2 7 50),2 7 50,3 000内的频率依次为0 1，0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案A收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,7 50,2 000,1 000,250,于是总收益为1 500+1 7 50,1 7 50+2 000-7-X 5 0 0+-z-X 5 0 0+2 000+2 250-z-X 7 5 0 42 250+2 5002X 2 000+2 500+2 7 502X 1 000-+2 7 50+3 000-z-X 250X 4 0+1 000=-X2 5 0 X (6+7)X 2+(7 4-8)X 2 4-(8+9)X 3+(9 +10)X 8 +(10+11)X 4 +(11+12)X1 X 4 0+1 000=25 X 50 X (26+3 0+51+152+8 4+23)=4 57 500(元).若按方案B收购：:蜜柚质量低于2 2 5 0克的个数为(0.1+0.1+0.15)X 5 000=1 7 50,蜜柚质量高于2 2 5 0克的个数为5 000-1 7 50=3 250,收益为 1 7 5 0 X 6 0+3 250X 8 0=2 5 0 X 2 0 X(7 X 3+1 3 X 4)=3 6 5 000(元)，方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.4.(2018威海模拟)如图，在多面体A B C O E/中，BC/E F,B F=*,Z X A B C是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，ZMC=60,M,N分别是A 8,O F的中点.求证：(1)MN平面 AEF；(2)平面 ABCJ平面 ACDF.证 明(1)取A C的中点。，连接OM,ON,因为M,N分别是A B,。尸的中点，所以在菱形AC。尸中，0N4F,又0M t平面AEF,AFU平面AEF,所以ON平面AEF.在ABC 中，OM/BC,又 BC/EF,所以 OM EF,又平面AEF,EFU平面AEF,所以0M平面AEF,又O M C O N=O,所以平面0 M N 平面AEF,又M N U平面0 M N,所以MN/平面AEF.(2)连接 OF,OB,因为AABC是边长为2的等边三角形，所以 BO_LAC,8 0=小，因为四边形AC。尸是菱形，所以A/=2,因为 N M C=60。，所以 OF_LAC,0 F=逐因为B F=乖,所以所以B010F.X F O H A C=O,FO,ACU平面 4CD凡所以BO_L平面ACDF,又BOU平面A B C,所以平面A8C_L平面4cOF.2 25.(2018咸阳模拟)已知椭圆C：3+方=1(从 0)的右焦点与抛 物 线 尸=4的焦点重合,且椭圆C的离心率为今(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C的右顶点，过P点作两条直线分别与椭圆C交于另一点A,B,若直线PA,9P B的斜率之积为一加 求证：直线4 3 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.(a2=b1+c1,解(1)依题意得 =*c=l,2 2解得a=2,b=事,即椭圆C的方程 为 抖 q=1.(2)设直线AB的方程为x t y+m(-2m 0,-6m t 3m212力+”=许，汁”=寸 才.设 A(m+2,y),B(t y2+m,竺)，o而 P(2,0),则由的A/PB=一不 得)|_ _ _ _ _ _ _ _ 丫 2 _ _ 9t y+m-2 t y 2+fn-2 4 即 4 yly2+9(5+机-2)()2+m2)=0,(4+9*加/+9，(?-2)(丁 1 +丁2)+9(母一2/=0,?3 7 7 22-12,6m t t?即(4+9 f 2)-+9 f(m-2)+9(小-2 尸=0,整理得 m 3/n+2=0,解得胆=1 或，=2(舍去)，当机=1 时，满足/0,直线48的方程为x=y+l,即直线AB恒过定点(1,0).6.(2018 峨眉山模拟)已知函数/(x)=e*(s in x-a?+2a-e),其中“G R,e=2.7 18 28 为自然对数的底数.(1)当。=0 时，讨论函数代r)的单调性；当时，求证：对任意的无 0,+o o）,/U）0.解 当。=0 时，Xx)=ex(s in x-e),f(x)=e(s in x+co s x-e)=e 啦s in G+f)-e 0,，於)在(-8,+8)上单调递减.(2)证明 要证e*(s in x 以2+2-e)0对任意的x 0,+8)恒成立,即证s in x cv C+2a e 0对任意的x 0,+8)恒成立，令 g(a)=(2x)a+s in x e,r 1 1即证当1 时，g(a)=(2W)+s in x e 0 恒成立，=s in x ix2+1 e 0,即证r 成立.、g(l)=s in x x2+2-e 0,V s in x+l e,，式成立.现证明式成立：令(x)=s in x f+2 e,h(x)=co s x 2x,设存在沏 0,+),使得(o)=co s x()2x o=0,则 0 x0 1酬)在(0,沏)上单调递增，在 的，+8)上单调递减,力(x)max=h(x o)=s in Xo-4+2 e2 C OS XQ I -s in x()十2e_s in j o ,.7-4 十s in沏+4一e.5/s in%o G (。+si n x()+e y e是平面ABC内一动点，且满足求8 +亍 1）的取值范围.解（1）在a ABC中，ABAC+BC2-2AC-BC-cos C.代入数据得co s c=1.：AM=MC,.CM=MAACl.在 C B M 中，由余弦定理知，BM2=CM2+CB2-2CM CB-COS C,代 入 数 据 得 市.（2）设/DBM=6,则 N ）M B=1 一&0 C（O,在 B O M 中，由正弦定理知，BD _ MD _ BM _2近s in 畀）=击滔=小BD=in(-8),MD=2 y3s in 停一4+in 9,率 s in 0=兴(审 co s J-s in 9+s in。)=巾 co s 0.又 j e(0,co s 0 e的取值范围为停，币）.2.（20 18 合肥模拟）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在 19 5,210）内，则为合格品，否 则为不合格品.表1 是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图.表 1:甲流水线样本的频数分布表:质量指标值频数 19 0,19 5)2 19 5,20 0)13 20 0,20 5)23 20 5,210)8 210,215 4(1)若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了 6 万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(2)在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；(3)根据已知条件完成下面2 X 2 列联表，并判断在犯错误的概率不超过0 的前提下能否认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计2附：K-=g+&)(c；j)(a+c)3+6/)(具中 n=a+b+c+d).限如0.1 50.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 12.0 722.70 63.8415.0 2 46.6357.8791 0.82 8解(1)由甲、乙两条流水线各抽取50 件产品可知,甲流水线生产的不合格品有6 件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率户 单 一前 一芯.乙流水线生产的产品为不合格品的概率P Z.=(0.016+0.032)X 5=于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了 6 万件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品分别为qA60 000X25=7 200(件)，60 000%行=14 400(件).(2)在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有6 件，其中质量指标值偏小的有2 件，记为A,B；质量指标值偏大的有4 件，记为C,D,E,F,则从中任选 2 件有 A3,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,E F,共 15种结果，其中质量指标值都偏大有6 种结果，故所求概率P=|(3)2X2列联表如下：甲流水线乙流水线总计合格品443882不合格品61218总计50501002 100X(44X12-38X6)2川 K=-5 0 X50X82X18-2.439/A 0)的右焦点F 作两条互相垂直的直线/”12,直线人与 E 交于A,B 两点，直线/2与 E 交于C,。两点.当直线/i的斜率为0 时，|A8|=4A/2,|CD|=2A/2.求椭圆E 的方程；(2)求四边形A8C。面积的取值范围.解(1)由已知得。=券=2吸，将 x=c 代入a+*=1,得y=/,)2 ,f 2所以|CQ|=a=2碑=2，所以勿=4,2 2所以椭圆E 的方程为1+9=1.O 4(2)当直线/1,6 其中一条的斜率为0,另一条的斜率不存在时，5 共M 8。=；H卦|。|=3 4 也义2啦=8.则直线CO 的方程为X=%，+2.设A(X|,刃)，仇打，丫 2),由 x m y-f-2,y+2 y 2-8=0，得 而+2 +W4=0,/=16“+16(*+2)=32(+1),从 一 尸 疗+2 +2|AB|=.+屈力 y2=4 _”(或 y+y i4?-4萨 m9 2=萨 还,1 阴=N(1+/)Gi+m)24yly2=46(毋+1)JTI1+2)用一5 取代，得181=4起+1)4也(苏+1)9+22m2+1.c 1 ,八 1 4/M+D 4A/2(W2+1)S 四 比 形AC8)=/B|,|C D|=/X m加22+22 义 2 +1(.?4+2加 2+)(2/+2)一疗16 X 2/n4+5/n2+2 2/w4+5/?2+2=8-7,2+5+募又 加,+e22 4,当且仅当尸土 1 时取等号,2所以2疗+帚金 4,+),所以S 四 边 形 AC6O=882?2+5+2mG 于6 4 八8).综上，四边形A C 8。面 积 的 取 值 范 围 是 柒 8z/ln x b 5.(20 1 8葫芦岛模拟)已知函数式x)=Y(“，bW R,且“W O,e 为自然对数的底数).若曲线式x)在点(e,7(e)处的切线斜率为0,且式x)有极小值，求实数a的取值范围;(2)当。=匕=1 时，证明：状x)+2 0),a(l In x)b e(x-1)因为/(e)=0,所以 b=0,则/a)=n,当a 0时，/(x)在(0,e)内大于0,在(e,+8)内小于0,人乃在(0,e)内为增函数，在(e,+8)内为减函数，即_/(x)有极大值而无极小值；当a 0),g(x)=：e在区间(0,+8)上为减函数，因为 g =1 e 0,所以存在实数即6 6，1 使得 g(x o)=1 _e%=O,人 0此时g(x)在区间(0,的)上为增函数,在区间(劭，+8)上为减函数，因为 g(x o)=J _e%=O,人 0所 以 于 e,x=Tn x.由单调性知，g(x)m a x =g(x o)=ln XQ-e+2(.”+/+2,因为沏(；，1),所以一(即+勺一2.所以 ga)m ax。，即状)+2 0.6.在数列 a 中,S+=4a+2,=1.(1)设 g=鄂求证：数列 c“是等差数列；(2)求数列 斯 的通项公式及前项和的公式.证明：5,+1=4册+2,当2 2,CN*时，S“=4%-1+2.一得。+1=4斯一4a“-i.方法一 对。+1=4%一4斯-1两边同除以2”,得“+1%-11 -2。rn I,即 CA+1+C-I=2C”，数列 c 是等差数列.由 S+i=4a+2,得+仅=4。1+2,则 0=3q+2=5,.口=且=5-4-巴2=3-4-1-25-42i3 0 是以;为首项，:为公差的等差数列.万法 1 2a n-2。4。-2(%-1),令 bna”+1 -2斯，则出 是以。22m=4+2勾一2 4=3 为首项，2 为公比的等比数列,；bn=3,2*1,bn_ _ 3X2T 3-2+i-2+】-4,1 3 C“是以方为首项，j 为公差的等差数列.(2)解由(1)可知数列倒是首项为今公差为孤等差数列,.。+1 a+i 2,cn2“，,c+i-2 斗 i 2 2+1.多=舁(-1方=”一，斯=(312 是数列“”的通项公式.设 S-(3-)-2-1+(3 X 2-l)-20H-F(3-l 2 -2,则 2S=(3-l)-2+(3X 2-l).21+-+(3 n-l 2M-1,.Sn=2SnSn=-(3-l)-2-|-3(20+2H-F2-2)+(3-12T2-l 1=-l-3 X +(3H-1)-2,-Iz 1=-1+3+(3”-427=2+(3-4 2T.，数列 卬 的通项公式为斯=(3-12 J前”项和公式为S=2+(3-42,nGN.压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线1.(2018烟台模拟)已知椭圆C：夕+卓=1 3。0),点(3,坐)在椭圆上，过 C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为!(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过 点 A(2,0)作两条相交直线八，12,/,与椭圆交于P,Q两点(点P在 点 Q 的上方)，121 25与椭圆交于M，N 两点(点”在点N 的上方)，若直线6 的斜率为一亍S M A P=N A Q,求直线，2的斜率.解(模+M.1)由已知得(2居1解得。=6,b 1.故椭圆C 的标准方程为为+y2=i.(2)由题设可知：直线A的方程为1=-7y2.为+y2=l,联 立 产x=-l y 2,整理得 85y2+28y-32=0.4-5-8-17-4-5|”厂|词一_1 一10-17设 NMAP=NQAN=O,r =4 3 AMPI 25 1：.AMAPsin 8=X 习 AMAQsin 0,即|4N|-34*|4P|-34*10-中设直线办的方程为x=my2（mW0）,2将x=my2代入合+y=1，得（W+36）/-4 垃厂 32=0.设 M Q i,y），MM,/），,4 m 32则）什 及=；?，又；为=一52,5 4/?5 2_ 32 一k 2+丫 2=,/+3 6,-*$=F+3 6.16/n 2 128 /=萨 氏，）2=5 +3 6），.（128*A *+36）5笳+36），解得苏=4,；.?=2,此时式的判别式大于零.故直线，2的斜率为弓.2.（2018南昌模拟）已知椭圆（7：3+方=13 0）的两焦点分别是尸|（一&,0）,尸 2（&,0）,点 也，岁）在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设 P 是 y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M,N,使得加=2卡,求以Q P 为直径的圆面积的取值范围.解（1）由已知，得半焦距。=&,2a=EFt+EF2=所以4=2吸，所以y=/-C2=8-2=6,2 2所以椭圆C的方程 是 =1.o O（2）设点P 的坐标为（0,当 直 线 斜 率 不 存 在 时，可得M,N分别是短轴的两端点，得到r=萼.当直线M N斜率存在时，设直线M N的方程为y=j l r+f,历（两，）,N g,刃），则 由 加=2 而 得 两=2 x 2，y=kx+t,联立i8+6=1得（3+4 必）f+8t o+4/2-2 4=0,由题意，得 4=64后必）（4$-2 4）0,整理得广 8炉+6,由根与系数的关系得 Skt为+必=3+4炉 4上一2 4 八知 2 =豆 工 百-P+6由，消去工1,X2得k 1=Z/_-父o，由1十6、2 一厂，2-+6 82 8解得”2 o my+6 6c20,因为直线/与椭圆C相交于P(x”力)，Q(X2,)两点,所以 4=4 8 1-4(2/+3)(6 6c2)乂),由根与系数的关系得，+=普*，母3,又 加=3，所以力=一3”，代入上述两式得66。2=一 疆 号,所以 SAOpe=|OD|yl-2|I 2 +312|?|一2|+3 一乖,加 什 而当且仅当3-25-2,时此代入/,此时/0成立，所以椭圆C的方程为2他?+方v2=1.5.(2018天津市部分区模拟)已知椭圆C：力+，=1560)的离心率为坐，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C的方程：(2)已知直线旷=震 1)出0)与椭圆C交于A,B两点，且与x轴，y轴交于M,N两点.(1)若 凝=而，求的值；(日)若点。的坐标为，0),求证：原 而为定值.解 因为:+*=l(aZO)满足/=/+/,又离心率为乎，所以。=堂，即 O2=2C2,代入 a1=h2+c29 得 Z?2=c2.又椭圆。的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2,即g x X 2 c=2,即历=2,h2c2=4,以上各式联立解得J=4,廿=2,则椭圆C 的方程为亍+5=1.(i)解 直线y=Z(JL l)与X轴交点为M(1,O),与y 轴交点为MO，一a联 立，s2 ,消去y 得，一+2尸=4(1+2d)x24k2x+2 好一 4=0,/=16 六一 4(1 +2的(2/-4)=2 4 必 +160,设 A 3，为),8(如 力)，422则两+必=+丞,又M8=(M1,)，2)，A N=(X 9 k y i)9 f f 4炉由 M B=A N,得冗+工2 =+2=1，解得仁坐由Q 0,得&=坐4炉 2必一4(ii)证明 由(i)知 由+应=+5口 内念=与必，所以 次 痈 =(n 1 )/(x 2，h)=1 _ ),2 _)+%”=(%2 )+(X|-l)(X2-1),=(1+6 得+(一 卜 产)+然+得2然一 4+2/-4 /一 7&2 4淀+然+2 491+2然 +市-8Z:4 491+2炉+正4+16=-B为定值，所以应1改为定值.(二)直线与圆锥曲线1.(2018威海模拟)已知抛物线C：尸=2外(00)的焦点凡 直线y=4与y轴的交点为P,与抛物线C的交点为。，且|。仪=2甲0|.(1)求p的值；(2)已知点T(f,2)为C上一点，M,N是C上异于点T的两点，且满足直线7 M和直线力VQ的斜率之和为一宗证明直线M N恒过定点，并求出定点的坐标.解 设。(顺,4),由抛物线定义知|QF=XO+M又l2f=2|PQ|,即 兀=沏+多 解得尤0=多将 点 燃4)代入抛物线方程，解得p=4.(2)由(1)知，C的方程为丁;品，所以点T坐标为(；，-2),设直线MN的方程为x=m y+n,由x=m y+n,J*2=8x,一8-16m+4 3解得1,所以直线M V的方程为x+1 =m。+1),恒过定点(一1,1).2.(2018南昌模拟)已知动圆。过点尸(1,0),且与直线x=-l相切.(1)求动圆圆心C的轨迹方程E；(2)已知点尸(4,-4),Q(8,4),过点。的直线/交曲线E于点A,B,设直线外,尸8的斜率得),一8/町-8=0,A Mm2+32?0.所以 1+2=82,y(y t =-8,所以攵“丁+女行J1+2 V2+2H Z1 io8 2 8 2=上+上1-2 竺一2_ 8 8+2)32乃力-2&+m)+464加一32 8分别为舟，Z 2,求证：用%2 为定值，并求出此定值.解(1)设 C(x,y),由t(xl)2+/=k+l|,得动圆圆心C的轨迹方程 为 y=4 x,(2)依题意知直线A B的斜率不为0,设A B方程为尤 一8=机。4),即x=m y 4t n+S,设 4(两，j i),3 a 2,7 2)J/=4 x,由jlx=m y-4/n+S9得 y 2 4 nz y+1 6 2 3 2=0,且/0 恒成立，力+及=4 机，力 2=1 6 口一3 2,y i+4 y z+4也+4 y：+4_ _ _ _ _ _ _ 1 68 4)。2 4)4 4 4 4=1 6=1 6”一 3 2 1 6，+1 6=-1(定值)3.(2 0 1 8 四省名校大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点F(l,0),过直线/：x=4左侧的 动 点 尸 作 于 点”，NHP F的角平分线交x 轴于点例，且|PH|=2|M F|,记动点P 的轨迹为曲线C求曲线C的方程；(2)过点尸作直线/交曲线C于 A,B两点，设箱0旗，若 2 之，2 ,求|A B|的取值范围.解(1)设尸(x,y),由 题 意 可 知=即以仍“2 即也;二 +斗化简整理得5+9=1，2 2即曲线C的方程为,+W=l.由题意，得直线/的斜率设直线/的方程为X=，y+1,x m y A-1,得（3 机 2+4 2+6 叫一9=0.设 A（x”M）,B（M，2），所以/=（6，W）2+3 6（3 川+4）=1 4 4（疗+i）o 恒成立，,6m 9 小且力+）2=京 甲）出=一 需 中 又因为4 尸=2尸 8,所以一y=282，联立，消去为，力，得3/：号 4=九，因为2 仁 ，I，A 4 L 乙 _所以w 第4解得owW w亍又 A B|=y/m2+l M g 1=、9+M）I+2）2_ 4%经=1 ；：2：2=4-，因为 4 W 3 疗+4 奇，所 以 朋=4 一 铲 元 中，T-所以|A 用的取值范围是 3,y.2 24.（20 18合肥模拟）如图所示，在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆C：3+，=1（公 0）的离心率为 坐，短轴长为4 g.（1）求桶圆C的标准方程；（2）设 A为椭圆C的左顶点，尸为椭圆C上位于x轴上方的点，直 线 以 交 y轴于点M,点 N在 y 轴上，且 加 丽=0,设直线AN交椭圆C 于另一点Q,求APQ面积的最大值.湾,p=4,解(I)由题意得J 26=4也 解得jb=2 也，.a2=b2+c2,L=2 62 2所以椭圆C 的标准方程 为%+1=1.(2)由题意可设直线%的方程为y=A(x+4),k0,则 M(0,4k),又 F(2小，0),且 加 丽=0,所以MFVFN,所以直线FN 的方程为y=斐。-2吸)，则联立，y=k(x+4),+2y2=16,消去y 并整理得(1+2 2.2+1 6&+3 2然-16=0,w 口 48 2解得制=-4,知=+2庐直线4 N 的方程为y=4(x+4),同理可得/8 后一4 8%、0 1+2k2,1 +2 小所以P,。关于原点对称，即 P。过原点,所以APQ 的面积 S-OA-lypyd 16k 32=2T+2P当且仅当2 k=即=乎 时，等号成立,所以APQ面积的最大值为8Ml5.(2018峨眉山模拟)如图，圆 C 与x 轴相切于点7(2,0),与y 轴正半轴相交于两点M,M 点M 在点N 的下方)，且|MN=3.(1)求圆C的方程；2 2(2)过 点 M 任作一条直线与椭圆点+9=1 相交于两点A,B,连接AM B N,求证：Z A N Mo q-Z.BNM.(1)解由题意可知圆心的坐标为(2,/).圆 c的方程为(X 2尸+()，一号2=争(2)证明 由圆C方程可得(0,1),N(0,4),当AB 斜率不存在时，/A N M=N B N M=0 ；当AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y=f c v+l.设 A3,),8(X 2,2)，y=kx+l,联立 /+j 得(1+2&2)f+4&-6=0,4 Z _ 6汨+检=一+2炉 为*2=一+2庐为 X22履 必一 3(即+必)XX22一舟)-3(一 尚)=-工-=-1+2 炉，&4N+kBN=。，综上所述，N A N M=/B N M.(三)函数与导数1.(20 18咸阳模拟)已知函数1x)=a(x+l)lnx-x+l(a G R).(1)当=2 时，求函数;(x)在点(1,#1)处的切线方程；(2)当时，求证：对任意的4 x)20 恒成立.解 由 y(x)=2(x+1 )ln x x+1,2得 f(x)=2ln 尤+;+1,切点为(1,0),斜率为/(1)=3,所求切线方程为y=3(x-l),即 3 x-j-3=0.证 明 当时，4 x)=；(x+l)ln x x+l(x l),欲证:人 无)2 0,注意到y u)=o,只要式x)火1)即可，/(x)=a(ln x+q+l)-l(x 2),令 g(x)=ln x+l(x l),则，知 g(x)在 1,+8)上单调递增，有 g(x)g(l)=2,所以/(x)2a 120。沙可知式x)在U，+8)上单调递增，所以大x)为 u)=o,综上，当时，对任意的六02 0恒成立.2.(20 18潍坊模拟)己知函数/)=1 1 1 1+5 2+如(4 6 2，g(x)=e+*2.(1)讨论函数兀V)极值点的个数；(2)若对W x 0,不等式火x)W g(x)恒成立，求实数a的取值范围.f ,1 ,f+a r+1解 W f (x)=+x+a=-(x0),令，(x)=0,即 f+a x+l=0,J=a24,当2-4 W 0,即一2 W a W 2 时，1 2 0 恒成立，即/(x)2 0,此时兀r)在(0,+8)上单调递增，无极值点，当。24 0,即a 2时，若 2,设方程1 2 +以+1=0的两根为X,X 2,且由0,XX2=1 0,故即0,x20,此时xG(O,X i),f(%)0,火X)单调递增，xG i,M),f(x)0,兀0单调递增，故X”2分别为7(x)的极大值点和极小值点，因此.2,设方程d+o r+1 =0的两根为X”%2,且 XX2,|X|+X 2=“，故为0,x2 0,此时大x)无极值点，综上，当一2 a 2时，危)无极值点，当a 0恒成立.设 h(x)=eA-l nx+x-eA+l n x-yh(x)=e”(x 1)+l n x+V -1当 x(0,l)时，e(xl)+l nx+x21 0,即hr(x)0,即(x)0,力(x)单调递增，因此X=1为 人。)的极小值点,即 (x)N(l)=e+1,故 0),令/(x)0,得 0 x l；令/(x)l,函数外）在（0,1）上单调递增,在（1,+8）上单调递减.1 7 7（2）依题意知，当x G i,+8）时，外）恒成立,一(1+x)(l+l n x)一 ”、即-黑-分旦成立，.(1 +x)(1+I n x)、令 g(x)=-只需g(x)m i 会 加 即可，_ ,%I n x又 g(x)=p-令/z(x)=xI nx,h(x)=1 1),在 1,+8)上单调递增,，(x)(l)=l 0,/.g(x)0,；.g(x)在 1,+8)上单调递增，ga)m i n=g(D =2,故 m W2.4.(2 0 1 8福建省百校模拟)已知函数外)=-1 +a e*.(1)讨论ZU)的单调性；(2)当&=-1 时，设一 1 2。且式处)+_/(必)=-5,证明：4+J.解 f(x)=l+a e”，当 a 2 0 时，f(x)0,则以x)在 R上单调递增.当 a 0,得 X l n(一5),则7U)的单调递增区间为(一8,、(一力)，令/U)l n(一!),则 r)的 单 调 递 减 区 间 为5),+8).(2)证明 方法一 设 g(x)=/(x)+2 x=-e“+3 x-l,则/(x)=-eA+3,由 g(x)l n 3；由 g(x)0 得 l n3,故 g(x)m a x=gQn 3)=31 n 34 0,从而得 g(x)=/(九)+2 x 0,VXX1)+/X2)=-5,，段2)+2x2=5/U l)+2 r24+9方法二 犬即)+犬忿)=-5,A xi =eA,+eX 2 一必一3,/.X i 2x 2=e +e -3x 23,设 g(x)=e*-3x,则 g(x)=e 一3,由 g (x)0 得 x0 得 xl n3,故 g(x)m i n=g(l n 3)=3-31 n 3.V 1 X|0,X-2%2 e 1+331 n 3 3=31 n 3,V 31 n3=l n 2 7-4+.5.(2 0 1 8江南十校模拟)已知函数为x)=3n,g(x)=n v c.求函数 x)的单调区间；(2)当=0时，./U)W g(x)恒成立，求实数?的取值范围；(3)当=1 时，求证：当 xl 时，(x+/).(1)解 式#=詈 的定义域为(0,+8),1 1一(a+l nx)1 -l n x-a且，(x)=七2-=7.由 f (x)0 得 1 Inx0,即 In xl-a,解得 0e*,瓜 x)在(0,9 )上单调递增，在(e,+8)上单调递减.In Y(2)解 a=0,0)=J,，y(x)Wg(x)半 W/nr，2 乎,人 In x.121n x令 (x)=?,:.u(x)=-F-,由 ur(x)0 得 0 x2(1+),等.价/人 于 好1 r(xT+l)(lnx+l)2e+x 11-令 P(x)=a+l)(；n x+D,则 0，(力=中，人M 1 ,1 X 1令 奴工)=元一In x,则(p (x)=l,，(x)0,9(3)在(1,+8)上单调递增，3(x)9=10,p(x)0,(%)在a,+8)上单调递增，.pa)p(i)=2,.应工*e+l e+T令小x尸 舄,贝 diU，人 C I L I 人 C I 1 )：x,：.1 -ev0,：.h(x)l 时，/?(x)工 依)-e+l”即(x+1 )(x+J/(x)2(l+),x 1 .（四）函数与导数1.(2018成都模拟)已知人r)=lnx-ar+l(aW R).(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当。=2,且 x e l时，_/(x)W eT 2 恒成立.(1)解 V y(x)=l nx-a x+l,a GR,.I a x+1:J(x)=-a=-.当aWO时，r)的增区间为(0,+8),无减区间，当0 时，增区间为(0,5),减区间为弓，+8).(2)证明 当xd l,+8)时，由(1)可知当。=2时，式 x)在 1,+8)上单调递减,火 x)wyu)=-i,再令 G(x)=e*T 2,在 x l,+8)上，G(x)=e*r 0,G(x)单调递增，所以 G(x)2 G(l)=-l,所以G(x)W/U)恒成立，当x=l时取等号，所以原不等式恒成立.2.(2 0 1 8合肥模拟)己知函数/(x)=xl nx,g(x)=7(W 1)(%为常数).(1)若函数y=A x)与函数y=g(x)在 x=l处有相同的切线，求实数7 的值；当时，/(x)W g(x),求实数2的取值范围.解(1)由题意得，(x)=l nx+l,g(x)=2&,又)D=g(l)=O,且函数y=/(x)与y=g(x)在x=1 处有相同的切线，(l)=g ,则 2 2=1,即，=.(2)设 h(x)=x n xA(x2 1),则/?(x)W 0 对V x G l,+8)恒成立.：h(x)=l+l nx-2/U,且人=0,：.h(1)0,即 1 2H0,.力 昌另一方面，当4 2；时，记 9(x)=(x),r i f 1 1 2A x则 e (x)=-22=-.当 +8)时，/(x)W 0,.(X)在 1,+8)内为减函数，,当 X W 1,+8)时，夕(x)W p(l)=l-2/i W 0,即(x)W O,在 1,+8)内为减函数，.当X C 1,+8)时，(x)W(l)=O 恒成立，符合题意.当时，若Z 0,则(x)=l+l n x 2/1x 20 对V x G l,+8)恒成立，在 1,+8)内为增函数，.当X G I,+8)时，/z(x)/z(l)=0 恒成立，不符合题意.若0 2 0,则 1 4，.夕(x)在(1,内为增函数，.当 X G 0,9 时，夕(x)e=1 -22 0,即 (x)0,，/2(X)在(1,内为增函数，当X G 时，A(x)/i(l)=0,不符合题意，综上所述，2 的取值范围是改，+8).3.(20 18 山东省名校联盟模拟)已知yU)=x e*+a(x+1)2+1.若函数/)在 x=l处取得极值，求 的值；当 x 一2 时，处0,0,求 的取值范围.解(1 y(x)=(x+l)e*+2a(x+l)=(x+l)(e+2)，若函数汽x)在无=1 处取得极值，则/(1)=0,所以=一宗经检验，当a=一拼 时，函数於)在x=l处取得极值.(2(x)=(x+l)ex+2a(x+1)=(x+1 )(e*+2a),a2 0时，当一2 x -l时，f(x)一1时，a)o,./U)为增函数；又共-1)=0,.当x-2时，於)2 0成立.“-l