历年自考线性代数真题.pdf

全国2009年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184试卷说明：在本卷中，/表示矩阵力的转置矩阵，/表示矩阵Z的伴随矩阵，表示单位矩阵,14 表示方阵4的行列式，不表示矩阵4的逆矩阵，秩（表示矩阵4的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2 分，共 20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。x+y+z =01 .线性方程组 2 x-5 y-3 z =1 0 的 解 为（）4 x+8y+2 z =4x=-2,y=2,z=0 x=l,y=0,=-l()(3 一 4、A.x=2,j=O,z=-2 B.C.x=0,y=2,z=-2 D.2 .设 矩 阵 4=（；）,则矩阵A的伴随矩阵A*=A.B.C-（）D-3 .设 A为 5 X 4 矩阵，若 秩（A）=4,则 秩（5 4 丁）为（）A.2 B.3C.4 D.54 .设 A,B分别为和 w Xk 矩阵，向 量 组（I）是由4的列向量构成的向量组，向量组（I I）是 由（A,B）的列向量构成的向量组，贝 I J 必 有（）A.若（I）线性无关，则（I I）线性无关 B.若（I）线性无关，则（I I ）线性相关C.若（H）线性无关，则（D 线性无关 D.若（I I）线性无关，则（I）线性相关5 .设 A 为 5阶方阵，若 秩（A）=3,则齐次线性方程组加=0 的基础解系中包含的解向量的个数是（）A.2 B.3C.4 D.56.设 mX”矩阵A的秩为且门是齐次线性方程组A x=0的两个不同的解，贝的通解为（）A.1，k G R B.k 2,jte RC.k i+2,k e R D.7.对 非 齐 次 线 性 方 程 组 斗，设 秩（4）=r,则（）A.r=m 时，方程组A r4 有解 B.r=时，方程组A r多有唯一解C.机=时，方程组A x=）有唯一解 D.时，方程组A x必有无穷多解q i i r8.设矩阵A=J 2 1 1(0 0 6 3,)则A的线性无关的特征向量的个数是(A.1B.2C.3D.49.设向量G=(4,-1,2,-2),则下列向量是单位向量的是()A1口 1A.一 2=2+3,/3=a 3+a,证明：向量组/h，“2，A 3线性无关.全国2 0 0 9年 4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：0 4 1 84说明：在本卷中，4T表示矩阵4 的转置矩阵，A*表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵,表示方阵4 的行列式，r（A）表示矩阵A 的铁。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2 分，共 20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。0-1 11.3 阶行列式卜,J卜 1 0-1-1 1 0)A.-2C.1中元素取|的代数余了式人2尸（B.D.2a221+11“22+。12、0(2.凝 阵 4=a22),B=，尸2=0、，则 必 有（)0J7A.2A=5C.APP2=B3.设阶可逆矩阵4、B、C 满足ABC=E,B.P2PIA=BD.AP2Pk B则B=()A.A-CD.CAC.ACro i O A4.设 3 阶矩阵A=0 0 1,则T的 秩 为（)A.00 0 ojB.1C.2 D.35.设%,见,。3，%是一个4维向量组，若已知 可 以 表 为 的 线 性 组 合，且表示法惟一，则向量组,如，。3,。4的 秩 为（）A.1 B.2C.3 D.46.设向量组即 ，。3，。4线性相关，则向量组中（）A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7.设%,a2,a?是齐次线性方程组心=0 的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）A.+2 B.a,+a2,a2+.va3 +aiC.a1,a2ai a2 D.a,-a2,a2-a3,a328.若 2 阶矩阵A 相似于矩阵5=0、,E 为 2 阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是12-3J1 0、A.J 4,()0、B.J-1 0、D.、-2 一 勾(2 0 0、9.设实对称矩阵4=0-4 2则 3 元二次型兀r.2K3）=X AX的规范形为（)10 2-1JA.Z1+Z2+Z3B.zf+z -z jC.z+Z2D.zl-Z21 0.若 3 阶实对称矩阵4=（勺）是正定矩阵，则A 的正惯性指数为（）A.0C.2B.1D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2 分，共 20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。则 D3=,a 2a 1 2 3 a 1 3a2%31 1.已知3 阶行列式2。2 1 4 a 2 2 6。2 3=6,则。2 1 。2 2 4 2 3=_.3 a 3 1 6 a 3 2 9 a 3 3“3 1 a32 3 31 2.设 3 阶行列式D3的第2 列元素分别为1,-2,3,对应的代数余子式分别为-3,2,1,，1 2、1 3.设 A=,则 42_24+E=.-1U 2、1 4.设A为2阶矩阵，将A的 第2列 的(-2)倍加到第1列得到矩阵8.若B=,则、3 4,A=.0 o r1 5.设3阶矩阵A=0 2 2,则.、3 3 3,1 6.设向量组为=(a,l,l),a2=,。3=(1/，-2)线性相关，则数。=.1 7.已知|=(1,0,-1)1年(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组AxH的两个解向量，则对应齐次线性方程组A x=0有一个非零解向量J .1 8.设2阶实对称矩阵4的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为4=(1,1)1a2=(1 k)T,则数 k=.1 9.已知3阶矩阵4的特征值为0,-2,3,且矩阵5与A相似，贝U l B+E I=.20.二次型於3243)=(X1-X2y+(X2-X3)2 的矩阵 A=.三、计算题(本大题共6 小题，每小题9 分，共 5 4 分)1 x 321.已知3阶行列式曷卜x 2 0中元素的2的代数余子式4 2=8,求元素外1的代数余子式5-144 1的直-1 r22.已知矩阵A =-1 0,-1 1、5=，矩阵X满足A X+5=X,求X.、。2,23.求向量组=(1,1,1,3尸，a2=(-l,-3,5,l)T,a3=(3,2,-l,4)T，0 4=(-2,-6,1 0,2)T 的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.O X +工 2+X3=024.设3 元齐次线性方程组，8+办2+8=。，X +%2+。尢 3=0(1)确定当。为何值时，方程组有非零解；(2)当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.2 0 1、25 .设矩阵8=3 13,d 0 5,(1)判定8是否可与对角矩阵相似，说明理由；(2)若 8可与对角矩阵相似，求对角矩阵/和可逆矩阵P,使26.设3 元二次型f(xt,x2,x3)=Xi+2x +x”2x X2-2 2巧,求正交变换工=力，将二次型化为标准形.四、证 明 题(本 题 6 分)27 .已知A是阶矩阵，且满足方程42+24=0,证明A的特征值只能是0或-2.全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：在本卷中，A7表示矩阵A 的转置矩阵，A*表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式，r（A）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2 分，共 20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。0 1-11-1 0 1 -11.行 列 式 _ 0 第二行第一列元素的代数余子式出尸（）-1 1-1 0A.-2B.-1C.1D.22.设 A为 2 阶矩阵，若 1 3A l=3,则 1 2A l=()A.1B.12C.-D.233.设阶矩阵4、B、。满足 A 5 C =E ,则=（A.ABB.BAC.A B D.B lA4.已知2 阶矩阵A =:的 行 列 式 W =T，则（4*）一(-a b、(d5.向 量 组 a1,a5(sN 2)的秩不为零的充分必要条件是()A.4中没有线性相关的部分组 B.%,。2,4中至少有一个非零向量C.%,火,4 全是非零向量 D.全是零向量6.设 A 为加x 矩阵，则元齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充分必要条件是()A.r(A)=n B.r(A)=mC.r(A)n D.r(A)m7.已知3 阶矩阵A 的特征值为-1,0,1,则下列矩阵中可逆的是()A.A B.E-AC.-E-A D.2E-A8.下列矩阵中不呈初等矩阵的为()q00、10 0、A.010B.01 0101,-10 1700、1 00C.020D.1 10001;J 019.4 兀二次型/(X 1,犬2,戈3，/4)=2西 克2 +2人|工4 +2工2%+2工3工4的 秩 为()A.1 B.2C.3 D.4(Q o n 71 0.设矩阵4=0 1 0J 0 0,则 二 次 型 的 规 范 形 为()A.zj2+Z2+Z3 B.-Z-Z 2-c.Zi-Z2-4 D.z；+z；-z；二、填空题(本大题共10小题，每小题2 分，共 20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。_,.+E bi,.cix bi11.已知行列式 =-4,则 1=_.a2+b?a2-b2 a2 b212.已知矩阵 A=(l,2,-l),5=(2,-l,l),且,则。2=.f 0。1 3.设矩阵A=2 2 0,则.、3 3 3)I )1 4.已知矩阵方程比4=5,其中4=(；)，8 =(；，则=.1 5.已知向量组%=(1,2,3尸 2=(2,2,2产,。3=(3,2,a)T线性相关,则数。=,1 6.设向量组%=(1,0,。/,a2=(0,1,0)J且力 =%-。2血=口2，则向量组尸|，自 的秩为 1 -11 7 .已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为0 +1、0 01、1 ,若该方程组无解，则a0,20a+1的取值为.1 8 .已知3阶矩阵A的特征值分别为1,2,3,则IE+4 I=,1 9 .已知向量a=(3,k,2),与A=(1,1次),正交，贝I 数4=.20 .已知3元二次型/(尤,工2，3)=(1-砂/+君+(a+3)君正定，则数a的最大取值范围是三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共5 4分)2 1.计算行列式。=x +1 -1 1-11 X一1 1 -11 -1 X+1 -1的值.1 -1 1 x-l22.设矩阵4 =(：E为2阶单位矩阵，矩阵5满足5 A =3 +E,求1 5 1.x x2=a23.已知线性方程组,*2-X3=。2=a3(1)讨论常数%满足什么条件时，方程组有解当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.24.设 向 量 组q=(1,4,1,0产,a 2=(2,1-1,-3)r,a3=(1,0-3,-l)r,a4=(0,2,-6,3)J求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.(1 2、(5 0、25.设 矩 阵4=B=,存 在%=(1,2)7。=(-1,1)丁，使得 A%=5%,(4 3)(2-)A a2=-a2；存 在4 =(3,1)丁,尸2=(0,1)7,使 得3必=5.,5色=-危.试 求 可 逆 矩 阵P，使得尸一/P =8.26 .已知二次型/(七,工2，1 3)=2士12+2修R3+2工2均，求一正交 变 换X=P，将此二次型化为标准形.四、证明题(本题6分)27 .设 向 量 组4,%，。3线 性 无 关，且 =如。+4 2a2+左3a3 证 明：若 如邦,则 向量组B g a?也线性无关.