课改后全国数学高考试题6.pdf

(A)48(B)3 2 +8V 1 7 (Q 48+8V 1 7 (D)80(7)命 题“所有能被2整除的整数都是偶数”的专电是(A)所有不能被2整除的整数都是偶数(B)所有不能被2整除的整数都不是偶数(C)存在一个不能被2整除的整数是偶数(D)存在一个能被2整除的整数不是偶数(8)设集合A=l,2,3,4,5,6 ,B=4,5,6,7,8,则满足S q A 且 S D B H。的集合S的个数是(A)57(B)56 (C)49 (D)8(9)已知函数/(x)=s i n(2 x +e),其中8 为实数，若/()/(万)，则/(x)的单调递增区间是(A)kK-,k7C+(keZ)T T(B)k7i,kji +(k G 2)T T 27r(C)k兀 +，k兀 +(ke Z)6 371(D)k兀,k7T (k G Z)(1 0)函 数/(x)=a x(1 x)”在区间 0,1 上 的 图 像 如 图 所 示，则 m,n 的值可能是(A)m=l,n=l(B)m=l,n=2 (C)m=2,n=l (D)m=3,n=l第 II卷(非选择题共1 00分)二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25分。把答案填在答题卡的相应位置。第11题图(1 1)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是.(1 2)设(x 1)c i0+ci yX+t z2x2+a 2%/，则 al0+aH=.(1 3)已知向量 a,b 满足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=l,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为.(1 4)已知/A BC的一个内角为1 2 0 ,并且三边长构成公差为4 的等差数列，则/A BC的面积为.(1 5)在平面直角坐标系中，如果x与 y都是整数,就称点(x,y)为整点 下 列 命 题 中 正 确 的 是.(写出所有正确的编号)。存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与 b都是无理数，则直线y=k x+b 不经过任何整点直线1 经过无穷多个整点，当且仅当1 经过两个不同的整点直线y=k x+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与 b都是有理数存在恰经过一个整点的直线三、解答题：本大题共6小题，共 7 5分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。(1 6)(本小题满分1 2 分)设/(x)=w，其中a 为正实数.1 +a x4(I)当时，求/(x)的极值点；(II)若/(x)为 R上的单调函数，求 a的取值范围(1 7)(本小题满分1 2 分)如 图，A B E D F C 为多面体，平面A B E D 与平面A C F D 垂直，点0 在线段 A D 上，O A=1,0D=2,Z1 0AB,ZIO AC,/O D E,/O D F 都是正三角形.第(1 7)题综合法解答用图第C 1 7)题向量法解答用图(I )证明直线B C E F;(II)求棱锥F-O B E D 的体积.(1 8)(本小题满分1 3 分)在 数 1 和 1 00之间插入n个实数，使得这n+2 个数构成递增的等比数列，将这n+2 个数的乘积记作7；,再令4 =l g +l o g&c+l o gf a 8 P 2 试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小。(21)(本小题满分13分)设/10,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y =f上运动，点Q满 足 做=几 切，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足Q M =AM P ,求点P的轨迹方程。数学(理科)试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.(1)A (2)C (3)A (4)B (5)D (6)C (7)D (8)B (9)C (10)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分25分.(11)15(12)0 (13)(14)1573(15)3三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(16)本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系。求解一元二次不等式等基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力。解：对/(x)求导得f x)=e*1 +依2二2尸 (1 +O X )41 1(I)当时，若/(x)=0,则4/8X+3=0,解得玉结合，可知X/1、(-8,)2弓,|)32/3、(于+8)/(x)+00+/(X)/极大值极小值/所以，无3 是极小值点，X,=上1是极大值点。22 2(H)若/(x)为R上的单调函数，则/(x)在R上不变号，结合与条件a 0,知a x2-la x+1 0在 R上恒成立，因此 =4 0,知0 a W l.(1 7)本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力。(I )(综合法)证明：设 G是线段D A与线段E B延长线的交点，由于4 OAB与aOD E 都是正三角形，所以 0 B 1OE,0 B=工 OE,O G=O D=22 2同理，设 G 是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有 O G =0 D=2,又由于G和 G 都在线段DA 的延长线上，所以G与 G 重合。在A G E D 和4 G F D 中，由0 B 4DE,O B=OE 和 0 C，0 C=，可知B,C 分别是2 2 2 2G E和 G F的中点，所以B C是a G E F 的中位线，故 B CEF.(向量 法)过 点 F 作 FQ J _ A D,交 A D 于点Q,连 Q E,由平面A B ED,平面A DFC,知 FQ J _ 平面A B ED,以 Q为坐标原点，瓦 为 x 轴正向，而 为 y 轴正向，存 为 z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系。由条件知E(V 3,0,0),F(0,0,V 3),B (,0),C(0,2 2-1,与)则有，前=(一 母,0,母)，E F =(-73,0,73)=所 以 方=2 就，即得B CEF.(H)解：由O B=1,O E=2,Z EO B=60 ,知$0 8=立,而OE D 是边长为2的正三角形，2a /a故 SOED=V 3,所以 SOBED=SEOB+SOED=-。过点 F 作 FQ 1 A D,交 A D 于点 Q,由平面 A B E D2_ 1 O，平面A C F D 知，F Q就是四棱锥F-O B ED的高，且 F Q=有，所以VROBED=-FQ -SOBED=-。3 2(1 8)本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。解：(I )设名1 4+2 构成等比数列，其中4=1,%2 =1 0 0,则(=4 4 工，+1 匕+2 (=*2 4+1 A 4 X 并利用 3T=2 4+2 =1 0 2,(1 /n+2),得 窘=1 02.(II)由题意和(I)中计算结果，知仇=1 2 1 1(+2)-2 1 1(+3),2 1,另一方面，利用1 z/7 1、，、t a n(Z:+1)-t a n k 八 .ta n(k+1)-t a n k.t a n 1 =t a n(&+1)=-得 t a n(Z +1)t a n 攵=-11 -t a n(Z +1)-t a n k t a n 1所以n n+2=Z t a n(攵 +1)-t a n k/=l i=3皆 zt a n(Z +1)-t a n 女、-r-;-1)=t a n lt a n(n +3)-t a n 3=-nt a n l(1 9)本题考查不等式的性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形和推理论证能力。1 1 1 )证明：(I )由于x e l,y l,所以x+y d-4 一十 +孙=孙(1+y)+1 )-(X +)=(孙+1)(孙-1)一(x +y)(x y-1)既然 x l,y N l,所以(X y _ l)(x _ l)(y _ l)20,从而=(孙 1)(孙 x y +l)=(x y-i)(尤-D(y-i)所要证明的不等式成立。(I I)设l o g a b =x,l o g/,c =y ,由对数的换底公式得l o g1.a =,l o gf ca =,l o g(,b=,l o gf lc=x y，于 是，所 要 证 明 的 不 等 式 即 为xy x y+L+其中 x =l o g”b ,y-10gz.c 1xy x y故 由(I)立知所要证明的不等式成立。(20)本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。解：(I )无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1-0)(1-/7 2)(1-23)，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于1 一(1 一 )(1 一 2)(1 一 外)=P l +，2+P 3-P 1P 2-P l，3 ，2,3+P P1 Pi(I I )当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为名,%,%时，随机变量X 的分布列为所需派出的人员数目的均值（数学期望）E X是X123P4。-1)%(1-1)(1-%)EX=功 +（1 彷）%+（1 -）（1 -%）=3-2%-%+功（I H）（方法一）由（I I）的结论知，当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，EX=3_ 2q _%+41%根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值。下面证明：对于0,02，23的任意排列1，%，%，都有3-2 0%N 3 2P l “2 +P 10（*）=（3-2%-%+5%）-（3-2 8-。2+P 1 P 2）=2（0|一。|）+他 一%）。2+%事 实 匕=2（P l /）+（22一%）一（P l 一名）。2一名（。2一%）=（2 ，2）（P 1 ）+（1 一%）（，2-%）2（1%）（P +2）（4+%）0即（*）成立。（方法二）（i ）可 将（H）中所求的E X改写为3-（0+%）+%-0，若交换前两人的派出顺序，则变为3-（0+%）+0%。由此可见，当%4时，交换前两人的派出顺序可减少均值。（i i）也 可 将（I I）中所求的E X改写为3-2 1-（1一彳）%,若交换后两人的派出顺序，则变为3-2 1-（1 一）1。由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当%时，交换后两人的派出顺序也可减少均值。综 合（i ）（i i）可知，当（P 1,P 2，P 3）=（5，%，/）时，E X达到最小。即完成任务概率大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的。（21）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。解：由QM =AM P知Q,M,P三 点 在 同 一 条 垂 直 于x轴 的 直 线 上，故可设P（x,y）,Q（x,y o）,M（x,x 2）,则 x2 一%=熊 一 x?）,即%=（1 +A）x2-Ay 再设B(X ,)|),由B Q=/IQA,即(尤一西,为一凹)=1一匕1一%),解 得X j=(1+A)x 4,x=(1+团 儿 2 将式代入式，消去处,得x=(1+A)x-A,X=(1+A)%2 A(1+4)y A.又点B在抛物线y =/上，所 以 必=2,再将式代入y=x；,得(1+A)2 x2-/l(l +A)-=(1+X)x-A)2,整 理 得2 2(l +；l)x 4(1+4)口一4(1+；1)=0,因；1 0,两边同除以；1(1+4),得2x-y -1=0,故所求点P的轨迹方程为y =2 x -1。2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理)(北京卷)第 一 部 分(选 择 题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合P=x I X21 ,M=a.若PUM=P，则a的取值范围是A.(-o o,-1C.-1,1B.1,4-00)D.(-o o,-1 U 1,+o o)2.复数i-2l+2z4 3A.i B.-i C.-z5 53 .在极坐标系中，圆p=-2 s i n 6的圆心的极坐标系是A.(l,y)B.(1,一9C.(1,0)D.(1,4)4 .执行如图所示的程序框图，输出的s值为A.-3D.3一 一 +-5D.25.如图，A D,AE,B C分别与圆O切于点D,E,F,延长A F与圆O交于另一点G。给出下列三个结论:AD+AE=AB+BC+C A；AFAG=ADAE AAFB-A A D G其中正确结论的序号是A.B.C.D.6.根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间(单位：分 钟)为/)=.f=,x a，4)(f e R).记N(f)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(f)的值域为A.9,10,11 B.9,10,12C.9,11,12 D.10,11,12侧(左)视图第 二 部 分 (非选择题 共 110分)二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30分。T T9.在 AABC 中。若 b=5,Z.B=,tanA=2,则 sinA=；a=。410.已知向量 a=(也,1 ),b=(0,-1),c=(k,A/3)。若 a-2b 与 c 共线，则k=_011.在 等 比 数 列 an 中，a产;，a4=-4,则 公 比 q=；同+同+=。12.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 个。(用数字作答)一,x 2 213 .已知函数/(犬)=r 若关于x的方程f(x)=k 有两个不同的实根，贝 I J 数 k的(x-l)3,x 2取值范围是14 .曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0)和 F 2(1,0)的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：曲 线 C 过坐标原点；曲线C 关于坐标原点对称；若点P在曲线C 上，则 F 1P F 2的面积大于g a?。其中，所有正确结论的序号是。三、解答题共6小题，共 80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15 .(本小题共13 分)TT已知函数/(x)=4 c o s x s i n(x +)-1。6TT TT(I )求/(X)的最小正周期：(I I)求/(X)在 区 间-士，士上的最大值和最小值。6 416 .(本小题共14 分)如 图，在四棱锥尸A B C。中，PAJ.平 面 A8 C O,底 面 A8 C 0 是 菱 形，A B =2,N B A O =6 0.(I)求证：8 0,平面P A C;(H)若 P A =A 8,求尸8 与 AC 所成角的余弦值;(I I I)当 平 面 尸 与 平 面 尸。垂直时，求 PA的长.17 .本小题共13 分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。甲组 乙组9 9 0 X 8 91110(I )如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；(H)如 果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。(注：方差$2=斗(玉-X)+(尤2-*+其中尤为王，x2.X”的平均数)18.(本小题共13 分)已知函数/(x)=(x (I )求/(x)的单调区间；(H)若对于任意的x e(0,+8),都有/(%)2)满足,同一q|=1(%=1,2,.,一 1),数列 A,为 E数列，记 S(A.)=q +a2+.+an.(I )写出一个满足4 =0,且 S(A,)0 的 E数列4；(I I)若q =12,n=2000,证明：E数列4 是递增数列的充要条件是%=2 0 1 1；(I I I)对任意给定的整数n(吟2),是否存在首项为0的 E 数列A“，使得S(A“)=0?如果存在，写出一个满足条件的E 数列A,；如果不存在，说明理由。参考答案一、选 择 题(共 8小题，每小题5 分，共 4 0 分)(D C (2)A (3)B(4)D(5)A二、填 空 题(共 6小题，每小题5分，共 3 0 分)(9)2 7 1 0 (1 0)1 (1 1)2 2-1-5 2(6)D(7)C(8)C(1 2)1 4 (1 3)(0,1)(1 4)三、解 答 题(共 6小题，共 8 0 分)(1 5)(共 1 3 分)解：(I )因为/(x)=4 c o s x s i n(x +)-166 、4 cossin x+c o sx)-1 =V Js i n 2 x +2 c o s2 x-1=V 3 s i n2 x +c o s 2 x =2 s i n(2 x +)所以/(x)的最小正周期为万6(I I)因为一弓W xW 工，所 以-X 2 x +四 主.6 4 6 6 3于是，当2 兀+工=色，即尤=弓时，/(幻 取得最大值2；6 2 6jr jr jr当2 x +=-，即x =吐/（x）取得最小值一1.6 6 6（1 6）（共1 4分）证明：（I）因为四边形A B C D是菱形，所以A CJ_BD.又因为P A J_平面A BCD.所 以P A BD.所以BD_L平面P A C.（I I ）设 A CnBD=O.因为NBA D=6 0。，P A=P B=2,所以BO=1,A O=C O=J L如图，以0为坐标原点，建立空间直角坐标系 Ox y z,则 P(0,6，2),A (0,一 百，0),B(1,0,0),C（0,百，0）.所 以 丽=2）,段=（0,2百,0）.设P B与A C所成角为6,mi l P B AC 6 V 6 PB-A C 2 j2 x 2 j3 4(I I I)由(I I)知 丽=(设 P (0,-V 3,t)(t 0),则BP =(-1,-V 3,Z)，设 平 面 P BC 的 法 向 量 m =(x,y,z),则就 加=0,而=0,所以1一，令 旷=0,则x =3,z =9.-%-V 3 y +r z-0 /所以加=(3,6,9),同理，平 面P D C的法向量”=(-3,6,9),因为平面t tP CB_L平面P DC,所 以 加n=0,即-6 +二=0，解得t ,所以P A=#（1 7）（共1 3分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,ruj,.-8 +8 +9 +1 0 3 59,1 0,所以平均数为x =-=一；万差为4 452=7（8-T）2+（8-T）2+（9-T）2+（10-T）2 =-4 4 4 4 4 1 6（H）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9,9,1 1,1 1；乙组同学的植树棵数是：9,8,9,1 0。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共 有4 x 4=1 6种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为1 7,1 8,1 9,2 0,2 1事件“Y=1 7”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的2 1结果，因此 P （Y=1 7）1 6 8同理可得p（y =1 8）=，；p（y =1 9）=1；p（y =2 0）=，；p（y =2 i）=L4 4 4 8所以随机变量Y的分布列为：Y1 71 81 92 02 1D2_2184448EY=1 7 x P (Y=1 7)+1 8 x P (Y=1 8)+1 9 x P (Y=1 9)+2 0 x P (Y=2 0)+2 1 x p (Y=2 1)1 1 1 1 1=l 7 x F1 8X +1 9X 2 0 x F2 l x -=1 98 4 4 4 8iJ,、(1 8)(共 1 3 分)解：(I )/(尤)=上，一女2 .令/，(o)=o,得九=k当k 0时，/(x)与/的 情 况 如 下x)-k(-%,k)k (左,+8)/(x)+0 0 +f(x)/4k2e 0 /所以，/(X)的单调递减区间是(一 8,女 )和(攵,+8);单高层区间是(Z,Z)当k 0 时，因为/(A +l)=e A -,所以不会有 V x e (0,+8),/(九)4左2当k v o时，由(I )知/(x)在(0,+8)上的最大值是/(_ 幻=.14k2所以V x e (0,+8),/(幻 一等价于/一(一口=e e解得一!女0.故当2V x e。+8)J(x)W L时，k的取值范围是,0).e 2(1 9)(共1 4分)解：(I )由已知得。=2,。=1,所以。=必与7-0.所以椭圆G的焦点坐标为(-J J,0),(V J,O)漓心率为6 =-=a 2(I I)由题意知，|机|2 1.当 初=1时，切线1的方程x =l,点A、B的坐标分别为）,此时|A B|=V 3，当 m=-l 时，同理可得 I AB|=5当 I m 1时，设切线 I 的 方程为 y=k（x-m）,由y=k(x-m),X2 得(1+4%2)尤 2-S k2mx+4 k2m2-4 =0,设 A、B 两点的坐标分+y2=1.I 4 别 为（X1,yi）（X2，%）则 占+%2=8km-7，再X21 +4/1 21 +4 1，又 由/与圆4二川一 4九 2+y2=1相切，得官工=1,即=/+1/Ki所以|A8|=,龙 2-当）2+（必 一%产j(l +公)64 k4 m2(1+4/)24(4k2m2-4)1+4/4 百|m|m2+3由于当 m=3 时，|AB|=g,所以|AB|=,m e(-o o-l U 1,+-).因m+3为|A B|=4守”9=4 6 c W 2,且当m=百 时,|AB|=2,所以|AB|的最大n r+3 ,3ll+.一;I?I值为2.（20）（共 13分）解：（I）0,1,2,1,。是一具满足条件的E 数列A5。（答案不唯一，0,1,0,1,0 也是一个满足条件的E 的数列As）（H）必要性：因为E 数列A5是递增数列，所以4+1-%=1（%=1,2,1999）.所以A5是首项为1 2,公差为1 的等差数列.所以a2）o=12+（2000 1）1=2011.充分性,由于32000a 1 000W 1,32000-a loooSIa2al所以 22000a 0（k=1,2,1999）,即是递增数列.综上，结论得证。(III)令q =aM-ak=1 0(k=1,2,，-1),则 以=1.因 为 出=q +G +/=/+C +。2+%+,所以 S(An)=na+(-1)(?)+(n-2)c2+(n-3)c3 4-卜 cn_x=1)一 (i -q)(-1)+(1 -)(-2)+(1 -%),因为q =1,所以1一4为偶数(2 =1,、1).所以*1一0)(-1)+(1-。2)(一2)+(1-孰)为偶数，所以要使s(A“)=0,必须使 攻 丁)为偶数，即 4 整除 n n-1),亦即 =4机或=4m+l(m e N*).当n=4m+l(me N*)时,E数 列 的 项满足a软 十=a4k=0,a4 j f e-2=-l,a4k=1(k=1,2,，加)时，有 q =0,S(4)=0;a4k=1(女=1,2,加),女+1=0时,有q=0,5(4)=0;当=4 m+1(蚱N*)时,E数列A”的项满足，=%卜3 =，4 -2 =-1，当=4 m+2或=4 m+3(m e N)时,(?一1)不能被4整除，此时不存在E数列 A n,使得=0,5(4.)=0.2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工农医类）参考公式：样本数据X1,X2,，Xa的标准差锥体体积公式(X-X)2+(x2-x y+(x -x)2V =-S h3其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V=Sh其中S 为底面面积，h 为高一、选择题：本大题共10小题，每小题5 分,一项是符合题目要求的。74,S=4兀R2,V=兀片3其中R 为球的半径共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有1.i 是虚数单位，若集合S=1.0.1 ,则A.ZG SB.z2e SC.z3e SD.-E S2.若 ae R,则 a=2 是(a l)(a-2)=0 的A.充分而不必要条件C.充要条件B.C.必要而不充分条件既不充分又不必要条件3.若 tan a =3,则sin 2a9cos-a的值等于A.2B.3C.4D.64.如图，矩形ABCD中，点 E 为边C D 的中点,点 Q 取自4A B E 内部的概率等于若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则5.6.A.C.4j_2B.D._32310A.(e2+2x)dx 等于1(l+2x)3的展开式中,A.80B.e-1Xz的系数等于c.B.40D.e+1C20D.107.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F”F2,若曲线r 上存在点P 满足|P 用：恒 周：|尸周=4:3:2,则曲线r 的离心率等于1-3 27、-I f-r 2 T 3A.一或 B.或 2 C.或 2 D.一或 一2 2 3 2 3 2x+”28.已知O 是坐标原点，点 A 若点M(x,y)为平面区域v x,上的一个动点，y 4 2则 方 血的取值范围是A.-1.0 B.0.I C.0.2 D.-1.29.对于函数f(x)=asinx+bx+c(其 中,a,be R,ce Z),选 取 a,b,c的一组值计算f(1)和 f(-1),所得出的正确结果二军不可熊是A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 210.己知函数f(x)=e+x,对于曲线y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断：4 A B C 一定是钝角三角形4 A B C可能是直角三角形A A B C可能是等腰三角形 A B C不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共2 0分，把答案填在答题卡的相应位置。1 1.运行如图所示的程序，输 出 的 结 果 是。1 2 .三棱锥P-A B C中，P A,底面A B C,P A=3,底面A B C是边长为2的正三角形，则三棱锥P-A B C的 体 积 等 于。1 3 .盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜 色 不 同 的 概 率 等 于。1 4 .如图，ZXA B C 中，A B=A C=2,B C=2百，点 D 在 B C 边上，ZA D C=4 5 ,则 A D 的1 5 .设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量a=(x i，%)G V,b=(X2，y2)GV,以及任意/l e R,均有fa+a(l-几汝)=A/(a)+(l-2 W),则称映射f具有性质P。现给出如下映射：工:V -R (m)=x,-y,/n =(x,y)e V;一:V R,f2(m)x2+y,m(x,y)eV;力-V R,f3(ni)=x+y+l,m=(x,y)e V.其中，具有性质P的 映 射 的 序 号 为。(写出所有具有性质P的映射的序号)三、解答题：本大题共6小题，共8 0分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 31 6 .(本小题满分1 3分)已知等比数列出,的公比q=3,前3项和S 3=不。(I)求数列 拆 的通项公式；(I I)若函数/(x)=A si n(2 x+9)(A 0,0 9 p(乃)在jr尤=代处取得最大值，且最大值为a?,求函数f (x)的解析式。61 7 .(本小题满分1 3分)已知直线1：y=x+m,mGR。(I)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线1相切与点P,且点P在y轴上，求该圆的方程;(I I)若直线1关于x轴 对 称 的 直 线 为 问 直 线/与抛物线C：x 2=4 y是否相切？说明理由。18.(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y =L +10(x-6)2,其中3Vx 0,b 0).I。b)(I)若 a=2,b=3,求矩阵M 的逆矩阵M-；（ID若曲线C：xl在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C，：+y2=1,4求a,b的值.（2）（本小题满分7分）选修44：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线1的方程为xy+4=0,曲线C的参数方程为：x=G co sa（a为 参 数）.y=sina（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以xn轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4,）,判断点P与直线1的位置关系；2（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线1的距离的最小值.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设不等式|2x-l|V l的解集为M.（I）求集合M；（II）若a,bG M,试比较ab+1与a+b的大小.参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。BADCCBACDB二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分。311.3 1 2.也 13.-14.V2 1 5.5三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满 分13分。解：（I）由9=3,5 3=得警手=个，解得4=:所以。“=；*3-|=32.（II）由 可知。=3-2,所以4=3.因为函数/（工）的最大值为3,所以A=3。因为当x=工 时f（x）取得最大值，所以sin（2x弓+夕）=1.6 6J T T T又0 8 +y 2=8.r=2 V 2.(I I)同解法一。1 8.本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满 分1 3分。解：因为 x=5 时，y=l l,所以 1 +1 0 =1 l,a =2.2(I I)由(I)可知，该商品每日的销售量y =+1 0(x-6)2,x-3所以商场每日销售该商品所获得的利润2/(九)=(x -3)+1 0(x -6 =2 +1 0*-3)(x -6)2,3 x (0,4 -0),CD=(-1,1,0),而=(0,4 -r,T).-x+y =0,(i)设平面P C D 的法向量为 =(x,y,z),由，C D,尸。，得 .(4-/)y-Z x =0.取X =r,得平面P C D 的一个法向量=1,4 一仆，又 方=,0,-。，故由直线P B 与平面P C D 所成的角为3 0。，得即c o s 6 0=|2 r2-4/|_ 1yjt2+/2+(4-z)2-7 2?24 4解得f =或r =4 (舍去，因为A D=4 -f 0),所以4 3 =.5 5(i i)假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等,设 G (0,m,0)(其中 0W?5 吊4 5 =1,设人8=人.=3 则 B (t,0,0),P (0,0,t)由 A B+A D=4,得 A D=4-t,所以 (0,3 -0),C(l,3 -0),(0,4 -1,0),CD=(-1,1,0),丽=(0,4 T,T).设平面 P C D 的法向量为=(x,y,z),由 _ L 前,n l P D,得 0),所以A B =.5 5(i i)假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等,由 G C=C D,得 N G C D =ZG D C=4 5 ,从而 N C G D =9 0,即 C G _ L A。，/.G 0 =0 s i n 4 5 o =l,设 A B =几,贝I A D=4-/l,A G =A O G O =3 /I,在 R t A BG 中，G B =jA B2+AG2=J矛+(3-3)2 =一|+g ,这与G B=G D矛盾。所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点B,C,D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等。2 1.(1)选修4 2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。L1 X J71 I .(1 0 1解：(I)设矩阵M的逆矩阵A p i =1，则=、尤2 yi)I。1,又 加=，2、0o 2 I所以 2玉=l,2 y =0,3%=0,3%=1,即玉=p ,=0,x2=0,y2=1,故所求的逆矩阵加一1=2(II)设 曲 线C上任意一点P(x,y),它 在 矩 阵M所对应的线性变换作用下得到点P (x ,y ),则 龙 即 卜=力M by=y又点在曲线C上,”7 2所以、+y 2=i,则巴L+配 2=1 为曲线的方程，4 4(2 -4 a -2又已知曲线c的方程为必+,2=1 故 一，又”0,。0,所 以/2 J 2 6由此得，当c os(a+(0 =1时，d取得最小值，且最小值为J 5.(3)选修4 5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。解：(I)由 得 一 解得 0 xl.所以 M=x 0 x l.(I I)由(I)和 a,匕w M可知0 水 1,0 b 0.故+1 Q +.试 卷 类 型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参 考 公 式：柱体的体积公式 V=S h其 中S为 柱 体 的 底 面 积，h为柱体的高线 性 回 归 方 程y =%+a中 系 数 计 算 公 式.-V)b-.-y -b x,其中工亍表示样本均值。i(x,-x):I !N 是 正 整 数，则 an-h =(a-b)(an-+a-2h+-a h-2+h 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足(l+i)z=2,其中i为虚数单位，则2=A.1 +z B.1-z C.2+2z D.2-2z2.已知集合4=(*,了)|为实数，且 2+2=,8=(x,y)为实数，且=兀,则A c 8的元素个数为A.0 B.1 C.2 D.33.若向量a,b,c满足a b且a _L b,则c(a+2b)=A.4 B.3 C.2 D.04.设 函 数 和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A.x)+|g(x)|是偶函数 B.x)T g(x)|是奇函数C.|/(x)|+g(尤)是偶函数 D.|/(尤)卜g(x)是奇函数0 xV 25.在 平 面 直 角 坐 标 系，上的区域。由不等式组 yW2 给定。若M(x,y)x 2=4,(一 6)2+;/=4 中的一个内切，另一个外切。(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M（乎，苧），厂（60）,且 P为 L上动点，求 研|的 最 大 值及此时点P的坐标.20 .（本小题共1 4分）设 b 0,数列 4 满足由巾，a.=.%（分）%+2 -2（1）求数列 凡 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n,an0,X u X 2是方程/一px +q=0 的两根，记夕（p,q）=ma x|x j,同。（1）过点A（po，；po2）（po，0）作 L的切线教y 轴于点B.证明：对线段A B上任一点Q（p,q）有夕（p,q）=增；（2）设 M（a,b）是定点，其中a,b 满足a Y b 。,a W O.过 M（a,b）作 L的两条切线4,4,切点分别为EM，；。：）,山。?,；。?），4,4与y 轴分别交与F,F。线段EF上 异 于 两 端 点 的 点 集 记 为 X.证 明：M（a,b）eX 出|闾 Q 3（a,b）2.,（3）设 D=（x,y）|yW x T,y2,（x+l）2-.当点（p,q）取遍 D 时，求M p,q）的4 4最 小 值（记为“mi n）和最大值（记为双侬）.2011年广东高考理科数学参考答案一、选择题二、填空题9.1,4-0 0）