2021-2022学年江苏省盐城市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

2021-2022学年江苏省盐城市高一下学期期末数学试题一、单选题1.设集合尸=闻”是正四棱柱,。=吊”是长方体,=是正方体,则（）A.M B.M c.P j Q j M D Q M j PB【分析】由正方体、正四棱柱和长方体的结构特征判断出包含关系即可.【详解】当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体；当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱；./=尸=0.故选：B.2.工厂生产4 B,C,3 种不同型号的产品，产量之比为3：2：7.现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中B 种型号的产品有12件，则样本容量n=（）A.72 B.48 C.24 D.60A【分析】由分层抽样的等比例原则，结合抽取样本中B 种型号容量求总样本容量即可.【详解】由题设8 种型号的产品占比为%,-=12所以6,可得 =72.故选：A3.已知复数z 满足z=l+i,则在复平面内彳对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D【分析】由共轲复数概念写出彳，即可判断其所在象限.【详解】由题设彳=1 T,对应点为（L T）在第四象限.故选：D4.“a b”的一个充分条件是（）A1-fpb2C.b aD.a2 abC【分析】依次判断选项中的“力满足的大小关系式，由此可判断充分性是否成立.1 1 一【详解】对于A,当“6,充分性不成立，A错误;p 0对于B,当时，(6)。，6或 充 分 性 不 成 立，B错误;对于C,当时,a b Q可得到C 正确;0 f a 岫时，“6)0,或 充 分 性 不 成 立，D错误.故选：C.5 .已知函数.(*加+反 +c 有两个零点3,则可设/(x)=x-x J(x-X 2),由_ b _ cax2+c =a (x-)(x-x2)=a x2-a (+x2)x +axxx2 所以七十/二 一)x,%2=这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，设多项式函数/(X)=ax +ax-+q x +旬(4 尸 0),根据代数基本定理可知方程/(1)=0 有个根玉,工2,，X“，则玉+工2+工=()aQa0A.%B.%C.D.%C【分析】根据一元二次方程的根与系数关系的推导方法可将多项函数进行化简，根据对应项系数相等可得”-I=。”(为+七+相)，由此可得结果.详解由题意知：/(x)=“(x _ x j(x _ x 2)(、一斗)，%(X -再)(x -X 2)(x -x“)=anx+%_ 卢 1 +q x +q。.、X +X,+X”=-“（占+x“），-an故选：C.6 .在A48C中，同I。卜之,乙4 =1 20。，点满足+,“+2 =1,则|M的最小值为（）叵 叵A.7 B.1 4 C.2 D.1A【分析】根 据 向 量 数 量 积 的 定 义 和 运 算 律 可 求 得=28 -20 +4,利用二次函数最小值的求法可求得结果.皿.祝=|珂困c o s/=-2【详解】I 口 I,|而(=22|2+/21 JC|?+2 A iA B,就=4/P +4/?_ 4 4=4 (1 -2 丫 +4 储-4 (1 -2 )=2 8/?-2 0 +42 0 5贝 I J 当A MIm in H2 7豆=6时,=-：.AMI考故选：A.7.已知函数/(X)=，则”/(0.4(1 6),6=/(0.6O 6),C=/(0.40 4)的大小关系为()A.h a c B.a b c c.c a b D.acbD分析利用基函数的性质比较0 66=0.2 1 6-2、0.4O4=0.1 6 。.针,大小，再由“X)单调性比较“、6、c 大小.【详解】由 ON(O X)=o.2 1 60 2 ,0.40 4=(0.42)-2=0.1 602(即 O.C 0.2 1 60 2,所以 O.40 4 0.6*又 0.4 ,0,4 a,所以 O.40 6 O.40 4 O.60 6,而 f(x)=e 尸递增,故=/(0.40 6)C=/(0.40 4)b=/(O.60 6)故选：D8.已知函数/(X)=2X、3X+1,若方程/(s in x)=a +c o s 2 x 在x e 0,2 1)上恰有四个不同的解，则实数。的取值范围是()3 .3一-a 1A.4 B.49 ,9 a g(l)=,注意：a=g(T)时，=-1,则对应x 在，2外上有一个解；g a g(-l)或 _ g g 时，在 T，l 只有一个对应值，则对应x 在1，2万)上有两个解:a=g 时 f=l 或4,对应x 在 0,2万)上有三个解;g(一)a g(l)8 时，在 T 只有两个对应值，此时对应工 在;%)上有四个解;9,-a 1综上，16故选：C二、多选题9.记尸(，尸(团分 别 为 事 件 8 发生的概率，则下列结论中可能成立的有()A.P(A B)=P(A)P(B)B.P(A +B)=P(A)+P(B)C P(A +B)P(A)+P(B)ABC【分析】根据事件Z,8 的独立性、互斥性判断概率间的关系即可.【详解】当事件,8 相互独立时，P(4B)=P(A)P(B),人可能；当事件4 8 互斥时，尸 8 +8)=(/)+P(8),B可能；当事件4 8 不互斥时，P(/+8)尸(+尸(8),口不可能.故选：ABC1 0.下列关于函数/(x)=s i/x +cos4x的说法正确的有()A.最小正周期为1 B.在I7 上单调递增C.值域为 21 D.若x=x为/(x)的一条对称轴，则/(%)=1BC/(x)=cos4x+【分析】利用二倍角公式化简可得 4 4,根据余弦型函数的最小正周期、单调性、值域和对称性的求法依次判断各个选项即可.f(x)=sin4x+cos4 x=(sin2 x+cos2 xY-2sin2 xcos2 x=l-sin2 2 x【详解】7 X )21 )3=cos4x+一4 4.对于A,/(X)的 最 小 正 周 期 一彳一万，A 错误；oi r 0-对于B,当14 时，4 一工0 ,.*./。)在 上单调递增，B正确；1 _ 3 r 1 r i对于 C,.cos4xeT,l,4 4|_ 2 ，即的值域为|_2 J,c 正确；对 于 D,若x=%为/(x)的一条对称轴，则/。)=1或D 错误.故选：BC.T T/(x)=a-cos(x)1 1.已知定义在R 上的奇函数/(X),当x0,1时，2,若函数V=/(x +l)是偶函数，则下列结论正确的有()A.x)的图象关于x=l 对称 B.1(2022)=0C./(2023)/(2021)0,N=/()蜒 必 有 100 个零点ABD【分析】由题设有。=1、/(r)=/(x+2)、f(x)=f(x+4)t即/(x)关于x=l 对称且是周期为4 的奇函数，利用周期性求八221)、“2022)、/(2 0 2 3),判断人、B,C；再画出“X)与y=logm 的函数部分图象，数形结合法判断它们的交点情况判断D.【详解】由题 设,f(-x +l)=x+l),即/(-x)=f(x +2),/(x)关于1=1对 称,A正确；又 f(-x)=-f(x),则/(x)=-f(x+2)=f(x+4),即/(X)是周期为 4 的奇函数,由/(0)=a-cos0=a-l=0,即 0=1,7(2022)=/(4x505+2)=/(2)=/(0)=0(B 正确：/(2023)=/(4 x506-1)=/(-1)=-/(D -1 ,/(2021)=/(4x505+l)=/(l)=l(故2023)/(2021),c 错误;综上，/（X）与=1 当。1 幻的函数部分图象如下:由图知：0 x 4 上/（X）与y =l o g i o o l x|有 1 个交点;4 c x 1 00上/的每个周期内与尸1。&。河有两个交点,共有24 x 2=4 8个交点；而八1 00）=0 与且N=l o g,o o l O O=l,即x =1 00时无交点；当x 0,y =i o&o o（-x）过点（-1 00,1）,故XTOO时/（X）与y =i o g 无交点；由图知：-4 x 0 上/（X）与，=b g i o（Jx|有 3 个交点：T 0 0 x -4 上/（x）的每个周期内与y f o g u J x l 有两个交点，共有24 x 2=4 8个交点;而/（-W O）=0 与且 y =l o g1 00 1 00=1 ,即 x =T O O 时无交点；综上，y =/（x）-l&o J”共有 1 +4 8+3+4 8=1 00个 零 点,D 正确.故选：A B D1 2.已知正方体,8 8-4与G 的棱长为2,点M 是棱CG 上的动点（不含端点），下列说法正确的有（）A.可能垂直8 4B.三棱锥-8 色 的体积为定值C.过点8 截正方体 8。-48 2 的截面可能是等腰梯形D.若CM =G,过点8 且垂直于/的截面的周长为3应+2逐B C D【分析】以。为坐标原点可建立空间直角坐标系，设加（0，2）（0 2）,利用向量垂直的坐标表示可知不存在满足题意的点“，知 A错误；利用三棱锥体积公式可知B正确；取 皿叫中点R N,则可作出截面B P S,知c正确；取 2 4 4中点S，Q,可证得“用，平面80S。，由此可确定截面为梯形8S ,计算可知D正确.【详解】对于A,以。为坐标原点，正方向为x，%z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则工(2,0,0),8(2,2,0),2 (0,0,2),设(0,2,加)(0(机2),则万7=(-2,2,%,西=(-2,-2,2),若A M上BR,则“四,8。=4-4 +2机=,解得：m=o(舍)，不存在点M,使得人错误；对于B,.芭 山=5乂 砥 消 于2、2=2,点人到平面防陷的距离”=2,1 4-V=3_ V d =3二,B正确；对于C,取 皿 即 中点R N,连接BP,PN,NC,BC,:PNHAD,PN=A D,AD,HBC,g=BQ,PNBC,P，.，.四边形B P S即为过点s的正方体的一个截面;又CM=8 P=7 T =.四边形3PNG为等腰梯形，c正确；对于D,由题意知：”为CG中点，取4 2,4片中点S,。，连接S。,DS,8。8。，;SQHBD/BD,B,D,S,Q 四点共面;B（2,2,0）Z）（0,0,0）0（2/,2）4（2,0,0）A/（0,2,1），,.DB=（2,2,0）BQ=（O,-l,2）AM=（-2,2,1）AM DB=-4+4+0=0AM-BQ=0 2+2=0.AM 工 BD ZAf又BDCBQ=B,3 2 B 0 U 平面5QS0,4M_L平面BOS0,则 四 边 形 即 为 过 点 8 且垂 直 于 的 截 面，；BD=2Q,S0=&BD=6,DS=BQ=E =0.截面的周长为8O+S0+OS+8 0 =3及+2石，D正确.故选：BCD.关键点点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，其中涉及到截面问题求解的关键是能够结合平行关系确定平面与正方体各个平面的交线的位置，进而确定截面图形.三、填空题13.若 ”矶 区的标准差为1,贝 1|2色一3）,2（0-3）,2 代-3）的标准差是2【分析】由方差的性质可求得2色一3），2 6-3）,2出-3）的方差，由此可得标准差.【详解】:拓内，尤的标准差为1,.，心 人 的方差s：=l；2（占-3）,2（左 2-3）,23）的方差为 s；=4s；=4,2/-3），2（&-3）,-2&-3）的标准差为 2故答案为.21 4.设平面向量，=*，0）,=6，2石），则）在很上的投影向量的坐标为.居b【分析】由向量坐标运算可分别求得同8 s（万，%和 W,则所求投影向量为1 5 1 c o s H故答案为,14.I 2 2）1 5.对 V x e R,函数 x）都有/（x）+/（2-x）=0,则 小）=.（答案不唯一，写出一个即可）si n 乃 x （答案不唯一）【分析】由已知关系式可知/（X）关于点 ）对称，由此可得函数解析式.【详解 厂,，（X）+/（2T）=,（x）图象关于点0，）对称，则/（x）=si n x故si n;r x （答案不唯一）.1 6 .在四棱锥P-88中，已知底面/8 C 0 是菱形，A C =2 BD=4,P B=P D =A B,P A =PC,若点。为 菱 形 的 内 切 圆 上 一 点，则异面直线P。与B C所 成 角 的 余 弦 值 的 取 值 范 围 是.（T【分析】设“c n 8 o=,结合等腰三角形三线合一和线面垂直的判定可证得PJ平面”5 8,则以。为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据菱形的性质可确定内切圆垣 c o s，,拽 si n。,。圆心为，并确定内切圆的半径，由 此 可 设 I 5 5）,利用异面直线|2 si n（6 +e）|所成角的向量求法可将所求角的余弦值表示为 2 限,由此可得所求余弦值的取值范围.【详解】设 nBD =O,连接P0,四边形Z 8 C Q 为菱形，.二。为A C,B D 中点,；P A =P C ,PB=PD,：.PO1AC 9 PO1 B D ,又 Z C n 3 O =O,4 GBOu 平面 43 C Z）,.,.尸 O _ L 平面/B C D；又 AC 上 BD,则以为坐标原点，刀，砺，而 正方向为x，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系,四边形4 88为菱形，,/。潭。为四边形 B C D 各内角的平分线,.2-，。即为四边形/8 C O 的内切圆圆心，四边形/8 C O 内切圆的半径-5.：P B=P D =A B=45 0 B=&B D =1 ：.O P =!P B1-O B1=2.，,，.-.P（0,0,2）B（0,1,0）C（-2,0,0）|2 si n （O+（p2 /6（其中 t a n g =2）.|2 sm（0+p）|e O,2 ；k 0,中园即异面直线P 0 与8c所成角的余弦值的取值范围为L J.故答案为.L 关键点点睛：本题考查异面直线所成角的求解问题，解题基本思路是通过空间向量法将问题转化为向量夹角的求解问题：解题关键是能够根据确定动点。的轨迹，利用三角换元的方式将问题转化为三角函数值域的求解问题.四、解答题1 7 .为了有效抗击疫情，保卫师生健康，某校鼓励学生在食堂就餐，为了更好地服务学生，提升食堂的服务水平，学校采用了问卷调查的形式调研了学生对食堂服务的满意程度，满分是100分，将问卷回收并整理评分数据后，把得分分成了 5组：5 0,6 0）,6 0,7 0）,7 0,8 0）,8 0,9 0）,9 0,100,并绘制成如图所示的频率直方图.（1）计算。的值和样本的平均分；（2）为了更全面地了解师生对食堂服务水平的评价，求该样本的5 0百分位数（精确到0.01）.（1）。=0.005,样本平均分为7 1分；6 8.18 分.【分析】（1）由频率和为1求参数a,根据直方图求样本平均分；（2）首先判断5 0百分位数所在区间，再由百分数求法求得5 0百分位数.【详解(1)由直方图知：5 5 +Q 2 +0-015 +2 a)xl 0=l,可得“=0.005,(2)由(0 0 0 5+0.05 5)x10=0.6 0.5 0.005 x 10=0.05 ,所以5 0百分位数在 6 0,7 0)区间内，令 5 0百分位数为x,则 0.005 x 10+(x-6 0)x 0.05 5 =0.5 ,可得 x 7 6 8.18 分,/(x)=si n|c o x+I+/(0 0)18 .设 V 4j 若函数”X）的最大值是最小值的3倍，求 6的值;,113 乃b=_X +x?+M =-(2)当 2 时，函数/(X)正零点由小到大依次为X/,冷，X 3,，若-12 ,求 c o 的值.(M=2；(2 产=5【分析】(1)由正弦型函数的性质有b +l =3 S-l),即可求6值.x=7t (2k.T-1-1-、)x=-7 1 Qz.k.T-1-9-)、(2)由正弦型函数的性质可得 s 1 2或。1 2且wZ,结合切0、正零点求出X/，X2,冷，即可求的值.【详解】由题设1 =3 3-1),可得6 =2.(2)令 f(x)=si n(s 3+2=0,则si n(5 +一42n.7 4 re _.1 TCC O X H-=Z.K 7 C H-(O X H-=2k7T+-所以 46或 46 且左w Z,7 1 11、4/219、x=(2%4-)x=C2k H)则 1 2或 co 1 2且4 e Z,由。且正零点由小到大依次为打，X2,X 3,，1 TC 19 万 3 5 万 (11乃 +19 1+3 5)13 万所以 X =-1-2-勿、x7=-1-2-。-、X,=-1-2-&,则-1-2-。-=-1-2-,所以0 =5.19.如图，四棱链P-/8 c。的底面是平行四边形，P 4 L 平面ABCD,AB=1,BC=6-ABC=；(1)求证：平面P C D L 平面P/C；(2)若 PD与平面P 4 C 所成的角为Z ,求 PC与平面PAD所成的角的正弦值.(1)证明见解析；V 66 .【分析】(1)由余弦定理、勾股定理知/C _ L C D,根据线面垂直的性质得产/工C D,再根据线面垂直、面面垂直的判定证结论.Z C P D -r-（2）由（1）知 PO与平面尸/C所成角的平面角为 6求得P C =J3,再通过线面垂直证面面垂直并找到在面P A D上C的射影位置，即可求C到面P A D的距离，即可求PC与平面P A D所成的角的正弦值.式l/A BC=ZA DC=-详解】（1）由题意 8 c =/8 =C O =1,又 4 ,A C =,A D2+C D2-2 A D C D cos-=在A/O C 中 V 4 ,故工。2 +82=4。2,所以G 8,又 P 4 J 平 面 N 8 C。，上，又/为等腰直角三角形，故C在力。上射 影 为 中 点，,A D V 2_h =-=所以C到面尸 工。的距离为 2 2 ,h 7 6故尸C与平面尸4?所成的角的正弦值为尸。一 6 .2 0.在 A B C 中，角 力,8,C的对边分别为a,b,c,已知C=2 8.,1s i i w =-若 3,求s i M 的值；2 2 =2 s i n =-0.6 1 8（2）若求证.2 c（参考数据：1 0 2 ）2 3 2 7 ；（2）证明见解析.0 B 【分析】（1）由三角形内角性质可得 2 ,结合已知并利用二倍角正余弦公式求c o s B、s i n C、c o s C,最后应用诱导公式、和角正弦公式求固山.0 B -（2）由大边对大角及三角形内角性质得 5 ,根据C=2 8 及正弦定理边角关系b_1得 c 2 c o s 8,即可证结论.7 T0 B C=2B 0f0 B 8 +2C=5 8,即 5,sin 5 1 b 1-=-=-又sinC=sin23=2 sin B co s5,则 sin。2cos5,即 c 2cos5,b 1 1 二 2 二石-12 c。冗 4 i。2 乃 V5+1 c 兀 7 5+1 22 cos cos=l-2sin =-2 cos v所以 5,而 5 10 4,则 5AB=BC=CD=-A D =2 1.如图，在四棱锥P-N8CQ中，2,AD/BC,尸 在 以 为直径的圆。上，平面48CDL平面P/D(1)设点0 是Z P 的中点，求证：平面尸8；(2)若二面角C-P O-的平面角的正切值为2,求三棱锥A-PCD的体积.(1)证明见解析；_(2)4.【分析】(1)E 为 中 点，连接。瓦7,中位线性质得。石/力且 一5 ,结合已知有8CE。为平行四边形，再由线面平行的判定证明结论.(2)找到在 面 尸 上 射 影 尸，过F作F G 4 P交PD于G,进而求出C F、PA、PD,根据VA-PCD=七-皿 及棱锥的体积公式求体积即可.【详解】(1)若E 为尸。中点，连接2 E C ,又。是力P 的中点，即且QE=ADCB又 B C AD ,AD“BC,故 B C =Q E ABCUQE,所以8CEQ为平行四边形，故8Q/C E,由 8QU 面 PC。，C Eu 面 PC。，则 8。面PC。.(2)ffi JSCDlffi P A D,面8 0。Cl 面?ND=,CejgSCZ),则C 在面尸力。上射影尸在NO上，即C F,面/M。，PD u 面P 40,所以 CF_LPZ),A B=B C =C D =-A D =D F =-CF=又2,A D I I B C,故 2,2,D F FG D G 1过尸作FG 力P 交尸O 于G,贝 ij万一万彳一访一*,由尸在以/。为直径的圆。上，即所以F G L P D,又C/PI尸 G=尸，C F,F G u 面C F G,故尸。_ 1面。以7,而C G u 面CR7,所以PDLCG由尸G u 面P4。，C G u 面C O P,面尸 O n 面。尸=尸,CFtan ZCGF=2所以二面角C-P O-4 对应平面角为N C G b,即 F G ,故 4,P 3,则 即=1,VA-P CD=匕._ 仙 J x C F x I x P/x P。所 以P CD c 皿 3 2 4.f（x）+/=02 2.若定义域为（，+8）的函数/（X）满足 U，则称/（X）为“a型”弱对称函数.x+nis i n /（x）=I n x-若 函 数 x +1为“1型”弱对称函数，求加的值;（2）已知函数x）为“2型”弱对称函数，且函数 X）恰 有1 0 1个 零 点=1 0 1Ex.-若日 2对任意满足条件函数 X）的恒成立，求2的最大值.m=-l；1 0 1&.s i n /（x）+s i n f （）=0【分析】（1）根据“1型”弱对称函数的定义有 x，即可求加值.0 x-2 犬#2 工-2、J I/U Xi 丰 A5|（2）根据题设占）二 、为 ，讨论 天、x，且玉 得 到 一 网，2 2 鸟X5 2 =&0 0=_ n 工Xj.匕0,X 1 2而 X,=2 2 xi 丰(由 x，即等号取不到),Q i 2 2 2 r2 苦=苞+W +占0。+X =(x,+)+(x2+)+.+(x5 0+)+V 2故 j=l X|X2“50 5 0 x 2 7 2 +7 2 =1 0 1 7 2 ,101 x.又 0 丈对任意满足条件函数/的恒成立，即2 S1 0 1 J 2,所以力的最大值为1 0 1 夜.22/W+/(-)=0 x,=关键点点睛：第二问，由 x 且x,结合零点个数，讨论 西、x尸 ZY xx,且怎确定零点，应用基本不等式求t 的范围.