2022年八年级数学下《勾股定理（知识讲解2）》专项练习题-带解析.pdf

八年级数学下-专题：17.2勾股定理（知识讲解2）【典型例题】类型十二、用勾股定理构造图形解决问题C1 2.九章算术是古代东方数学代表作，书中记载:今有开门去闸（门槛）一尺,不合四寸，问门广几何?其大意:如图,推开双门（大小相同），双门间隙5=4 寸，点 C、点。与门槛四的距离 但 占 1 尺（1 尺=1 0 寸），求电的长.【答案】52寸【分析】取4 8 的中点为点,由题意可得ZC=4 0,设/后=寸，则C =/=（x+2）寸，利用勾股定理即可求解解:如图:取N 8的中点为点O,则E F 的中点也为根据题意可得：C0=M =4,:.EO=-E F =22设 ZE=x 寸,则/C =/=（x+2）寸.AE2+CE2=AC2t CE=DF=1 尺=10 寸x2+102=（x+2）2解得：x=24寸=24+24+4=52 寸【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键.举一反三：【变 式 1】明朝数学家程大位在 算法统宗中写了一首计算秋千绳索长度的词 西江月：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步恰竿齐,五尺板高离地”翻译成现代文为:如图,秋千细索OA悬挂于。点,静止时竖直下垂,A 点为踏板位置,踏板离地高度为一1第1页 共2 8页尺（/C =1 尺）.将它往前推进两步（8 !于点E且 E 8 =1 0 尺），踏板升高到点6 位置,此踏板高地五尺（BD =5 尺,BD =E C）,则秋千绳索长多少尺？【分析】设OB=OA=x（尺），在/。a,中利用勾股定理构建方程即可解决问题.解：设 防=A 4=x（尺），四边形跳力是矩形，:.B g E C=5 ,在 Rt/XOBE 中，0B=x,OE=x-4,BE=1 0,./=1 0 2 +（尸4）2,2 92 9二曲的长度为2 （尺）.【点拨】本题考查勾股定理,矩形的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.【变式2】如图，小亮发现升旗的绳子放下时,末端刚好接触到地面处,但将绳子末端拉到距离旗杆8 米的B处,发现此时绳子末端距离地面2 米.求旗杆的高度.【答案】米【分析】如图:作8CL/E于点C,由题意得3 c =8,设/E =x，则/8 =x,4 C =x-2,然后运用勾股定理求得x即可.解:作8 d E 于点C,由题意得3 C =8设力E =x 则=A C =x-2 .2第 2页 共 2 8 页在 RtM BC 41,AC2+BC2=AB2(x-2)2+82=/解得 x=17.答:旗杆的高度是 米.【点拨】本题上要考查了勾股定理的应用,做出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键.类型十三、勾股定理与无理数C1 3.如图,ABC的边BC在数轴上，点 B对应的数字是1,点 C对应的数字是2,ZACB=90,AC=2,以点B为圆心,AB为半径的圆弧交数轴于点D,则点D所表示的数为【答 案】亚【分析】在RtZZ8C中应用勾股定理可得AB=JAC、BC2=布,故可得8 0 =石，即可得到点。所表示的数.解：.点6 对应的数字是1,点 C对应的数字是2,./%=90,AC=2,AB=yjAC2+BC2=y/5 .B D=M ，.点所表示的数为-a T)=石，故答案为：1一石.【点拨】本题考查勾股定理、数轴上表示数，根据勾股定理求得4?的长度是解题的关键.举一反三：3第3页 共2 8页【变 式 1】为了比较J 万 与 厢+1 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中N-9 0 ,比三4在 无 上，且 5=3,力。=1.通 过 计 算 可 得 标 一 何+1.（填“”或“V”或“=”）【分析】依据勾股定理即可得到AD=y/CD2+A C2=V 1 0 ,AB=C2+B C2=后,6g B C-e g 1,BIhAD=丽 +1,再根据4 故中，仍 被 /员即可得到如 丽+1.解：./仁9 0 ,BC=4,CM3,A g ,：.A g -JCD2+AC2=V io ,AB=yl C2+B C2=V 1 7 ,B g BCCD 1,:.B9 A D=瓦 +L又 V /劭中，AL hBD AB,：.岳丽+1,故答案为:JAC2-OA2=yj32-22=V 5,OD=O C=旧，又TD 点在0点右侧，所以点。表示的实数为 有，故答案为：石.【点拨】本题考查实数与数轴，勾股定理，等腰三角形三线合一.能根据等腰三角形三线合一得出a A O C 是直角三角形是解决此题的关键.类型十四、求梯子滑落的高度（勾股定理的应用）C1 4.如图,斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端A距 离 地 面 的 距 离 为4 m,底端B远离墙的距离B 0为3 m,当它的顶端A下滑2 m 时,底端B在地面上水平滑行的距离是【答案】（加【分析】先根据题意作出图形,然后先利用勾股定理求出A B的长度,然后再利用勾股定理求出0 D 的长度，从而可得到BD的长度.解:如图，根据题意有A C=2,0 A=4,0 B=3,A B=CD,BD即为所求.V 0 A=4,0 B=3.AB=yOA2+OB2=V 42+32=55第 5页 共 2 8 页V A C=2,:.OC=OA-AC=4-2 =2.OD=CD2-O C2=正与=V 2 1BD=OD-OB=yfH-3故答案为：（V 2 1-3）n i.【点拨】本题主要考查勾股定理,掌握勾股定理的内容是解题的关键.举一反三：【变 式 1】生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的则梯子比较稳定,如图,AB为一长度为6 米的梯子.（1）当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.7 米高的墙头吗？（温馨提示：立七1.4 1 4）（2）如图2,若梯子底端向左滑动使勿=3正 米，那么梯子顶端将下滑多少米？（结果保留1 位小数）【答案】（1）梯子的顶端不能到达5.7米高的墙头；（2）梯子的顶端将下滑动1.4 米.【分析】（1）在/中利用勾股定理求解即可，（2）根据勾股定理求出a,的长,进而可得出结论.解：（1）由题意可得,力作6米，小 3 力炉2米，在他力如中，由勾股定理可得，A/A B-O B?=收-22=4 后%5.6 5 6（米），V5.6 5 6 5.7,.梯子的顶端不能到达5.7 米高的墙头；（2）在位庞中，由勾股定理可得，小,82-亦=#2 一（3伪 2=3亚（米），:-3 0=亚 xl.4（米）.梯子的顶端将下滑L 4米.【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，基础知识比较6第 6页 共 2 8 页简单.【变式2】如图,一架梯子也斜靠在一竖直的墙如上，这时z k Z=3m,N总 片 30 ,梯子顶端力沿墙下滑至点C 使/欧=6 0，同时，梯子底端8也 外 移 至 点 求 物 的 长 度.（结果保留根号）补充:直角三角形中,30 所对的直角边是斜边的一半【分析】先在灯的6中，的=3 必,30 ,求出梯子4?的长，在滑动过程中梯子的长是不变的,再根据已知条件证明出/咏阳即可求出劭长.解:在 RtAABO中 J：Ag3 m,N 6 1 4 Q30 ,B O =-A B2:.AO=y/AB2-O B2=仆OB:.OB=E.8=2 6,：N O C g 6 0 0 ,f=30 ,在 /和 a 以中，N OAB=Z O D C Z A O B =Z D O CAB=D Cf/.OA=OD,OC=OB,：.BD OD-0 43-0（m）.【点拨】本题考查了勾股定理解直角三角形，三角形全等的性质与判定，求出3的长是解题的关键.类型十五、求旗杆的高度（勾股定理的应用）C1 5.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6 m 处,发现此时绳子底端距离打结处约2 m.请设法算出旗杆的高度.7第7页 共2 8页【答案】旗杆高8米【分析】设旗杆的高度为x米，由勾股定理得出方程,解方程即可.解:设旗杆的高度为x米，根据勾股定理,得/+62=（户2）2,解得：A=8;答:旗杆的高度为8米.【点拨】本题考查勾股定理的应用,在应用勾股定理解决实际问题时,勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,从题意中勾画出勾股定理这一数学模型是解决问题的关键.举一反三：【变 式1】如图,小明将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆5nl处,发现此时绳子末端距离地面1m,求旗杆的高度.（滑轮上方的部分忽略不计）【分析】根据题意构造直角三角形,然后设旗杆高度为xni,根据勾股定理即可求解.解:如图,8第8页 共2 8页AD E设旗杆高度为xm,gp AD=x AB=x-1,BC=5.RQ43c 中，AB2+BC2=AC2B p(x-l)2+52=x2解得x=13即旗杆的高度为13米.【点拨】本题考查了勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键.【变式2】如图，“C I S C,原计划从地 经。地到6 地修建一条高速公路，后因技术攻关,可以打隧道由/地到8 地直接修建,隧道总长为2 公里，已知高速公路一公里造价为300万元,隧道一公里造价为500万元，/C =8O公里，8 c =60公里,则改建后可省工程费用多少万元？【分析】先求出A B 的长,再让原来的造价减去改造后的造价可求出省去的工程费用.解：根据勾股定理得：=V802+602=100原计划建公路费用：3x(80+60)=42000万元，实际打隧道及建公路费用：5 X2 +3 0 X(1 -2)=1000+29400=30400万元，42000-30400=11600 万元，答:改建后可省工程费11600万元.【点拨】本题考查/勾股定理的应用，解题的关键是准确的代数取值,理清实际问题中9第 9 页 共 2 8 页各个量之间的关系.类型十六、求小鸟飞行的距离（勾股定理的应用）C1 6.有一只喜鹊在一棵3高的小树上觅食,它的巢筑在距离该树24的一棵大树上,大 树 高 且 巢 离 树 顶 部1 m.当它听到巢中幼鸟的叫声,立即赶过去,如果它飞行的速度为5 mls,那它至少需要多少时间才能赶回巢中？【分析】根据题意，构建直角三角形,利用勾股定理解答.解：如图，由 题 意 知 必=14-1=13,除24.过力作A E L5于E.则 上13-3=10,4斤24,.在/中，格=废+松=102+242.力e26,26+5=5.2（s）.答:它至少需要5.2 s才能赶回巢中.【点拨】本题考查J勾股定理的应用.关键是构造直角三角形，同时注意:时间=路程小速度.举一反三：【变 式1】如图,有两棵树,一棵高6典另一棵高2 m,两树相距5 1 n.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了多少米？（结果精确到0.1 410第1 0页 共2 8页【答案】小鸟至少飞行64 m.【分析】根 据“两点之间线段最短”可知:小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.解:如图，设大树高为力田6m,小树高为微=2m,过 6 点作BEL AC千则仍此是矩形，连接第/.Z=2m,y3?=5m,AE=AG-EG=&-2=/lmf在 Rt丛AEB 中 即 +BE。=由?=T =6.4)，故小鸟至少飞行6.4).【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找出直角力微并且根据勾股定理正确的计算6是解题的关键.【变式2】如图,校园内有两棵树,相距8 米，一棵树树高48=13米，另一棵树高=7米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？【答案】小鸟至少要飞10米.【分析】作于点E,利用勾股定理求解即可.解:如图，作丁 点；NFNC=N.DEB=90,1 1第 1 1 页 共 2 8 页.四边形M应是长方形，BE=CDT（米），BC=ED$（米），AE=A B-B E =A B-C D =13-1=6（米）AD=ylAE2+DE2=10（米），答:小鸟至少要飞10米.【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是作垂线构建直角三角形.类型十七、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）C1 7.九章算术是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地”问题源自 九章算术中：“今有竹高一丈，去本四尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,/390,A&AB=10尺 尺,求 四 的 长.-i.-【答案】2 4.2尺.【分析】根据题意画出图形，根据己知用4 c表示的48长,然后根据勾股定理,列出AC的方程,解方程即可.解：390,力 仆4?=10尺，,科10-阳,:BC=4 尺，在Rt/比中，根据勾股定理,A B =4 c 2+B C 即0 0-）-=A C-+4-解得力小4.2尺.【点拨】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用条件与解题方法是解题关键.举一反三：12第1 2页 共2 8页【变 式 1）如图，马路一边有一根54m 长的电线杆被一辆货车从离地面1.5m处撞断裂,倒下的电线杆顶部G 是否会落在离它底部3.8m远的快车道上?说明理由.【答案】不会,见解析【分析】利用线段和差先求出6 Q 根据勾股定理求出10比较大小即可.解:不会落在离它的底部3 8m远的快车道上，理由如下：.AB=1.5（m）.g=8C=Z C-/8 =3.9（m）.在5/G 中由勾股定理得 G=J3.9.52=3.6（m）V 3.6 3,8,二电线杆顶部不会落在离它的底部3.8m远的快车道上.【点拨】本题考查勾股定理,线段和差,线段比较，掌握勾股定理是解题关键.【变式2】如图,在一棵大树四的10m高的处有两只猴子,它们同时发现地面上的点。处有一根香蕉,一只猴子从点处上爬到树顶点A处,利用拉在点A处的滑绳AC,滑到点C处,另一只猴子从点处滑到地面点9 处,再由点6 跑到点C,已知两只猴子所经过的路程都是 15m,那么这棵树有多高？【分析】根据勾股定理列出方程,解方程后即可确定x 的值.解:设树高AB为 x m.由题意知叱 15T0=5（m）,AD-（尸 10）m,15-/115-10=（25-x）m.在应中，A/BG=AG,13第1 3页 共2 8页即/+52=(25-X)2,解得产 1 2.答:这棵树有1 2 m高.【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形.类型十八、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)C1 8.如图，将一根长3 0 c m 的筷子，置于底面直径为1 0 c m,高 24 c m 的装满水的无盖圆柱形水杯中,设筷子浸没在杯子里面的长度为A c 叫 则h的取值范围是()A.鼠 2 4 B.儿0 C.24”,，26 Q.1 6 h 24【答案】C【分析】当筷子的底端在力点时,筷子浸没在杯子里面的长度最长;当筷子的底端在D点时,筷子浸没在杯子里面的长度最短.然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出入的取值范围.解:如图，当筷子的底端在点时,筷子浸没在杯子里面的长度最短，.力=E H 2 4(c m);当筷子的底端在/点时,筷子浸没在杯子里面的长度最长,在以4ABD 中,AD=Qc m,j =2 4 c m,:.AALD。+BD?=2 6 (CM),所以 h 的取值范围是：2 4 c mW/1200 米，二 船 力 初+心=1500米.故选A.【点拨】本题考查了勾股定理的应用，方位角，得到N以自9 0 是解题的关键.【变式2 1 如图，一艘轮船以8nmile/h的速度从港口 A 出发,向东北方向航行,另一艘轮船以6nmile/h的速度同时从港口 A出发，向东南方向航行,出发2h后,两船的距离是()C.12nmileD.lOnmile【答案】A【分析】因为两船分别沿东北及东南方向行驶，故N胡C=90,设 2 小时后沿东北方向行驶的轮船到达8 点,沿东南方向行驶的轮船到达C点,连接BC,利用勾股定理求出叱的长即可.解：两船分别沿东北及东南方向行驶，二/应 6=90,设 2 小时后沿东北方向行驶的轮船到达8 点,沿东南方向行驶的轮船到达C 点,连接BC,.一轮船以8nm ile/h的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以6nm ile/h的速17第 1 7 页 共 2 8 页度同时从港口出发向东南方向航行,.1 4 8 X 2 =16nmile,J(=6X 2=12nm ile,V,：.BC=412+16=20 nmi 1 e.故选A.【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断出力以是宜角三角形是解答此题的关键.类型二十、求河宽(勾股定理的应用)e2 0.如图,池塘边有两点A,B,点 C是与BA方向成直角的AC方向上的点,测得BC=25m,AC=15m,则 A,B两点间的距离是 m.【答案】20【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长,利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可.解：QCB=25m,/C=15w,AC 1 AB AB=-JBC2-AC2=/252-152=20(。即B两点间的距离是20/M.故答案为：20.【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键.举一反三：【变 式 1】如图,为修铁路需凿通隧道BC,测得NC=90,AB=5km,AC=4ka,若每天凿隧道0.3km,则需 天才能把隧道凿通.【分析】先由勾股定理求出BC的长度，然后求出所需的时间.解:根据题意，ZC=90,49=5例 AC=4km,18第 1 8 页 共 2 8 页则由勾股定理,得B C =3,3t=10.所需的时间为：0-3（天）；故答案为：10.【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出BC的长度.【变式2 如图,某人欲从点A处入水横渡一条河,由于水流的影响,他实际上岸的地点C偏离欲到达的地点B200m,结果他在水中实际游了 250m,求该河流的宽度为 m.【答案】150解:分析:从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答.详 解:册 收 502 20（）2 =50（米）.故答案为150.点睛:本题考查了勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.类型二十一、求台阶上地毯的长度（勾股定理的应用）C2 1.某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯,已知这种地毯每平方米售价为 20元,楼梯宽为2m,则购买这种地毯至少需要 元.【答案】280【分析】地毯的面积即楼梯的表面积,且地毯展开后是一个长方形;再结合图形可知,展开后长方形的长是楼梯水平长与竖直高的和，最后再结合楼梯的宽与地毯价格即可求解.解：；楼梯的竖直高是3,斜边是5处，水平直角边是收4=4%购买这种地毯的长是 3 砧4 m=7 m,楼梯宽2必,地毯价格为每平方米20元,价格是7X2X20=280元.故答案为280.19第 1 9 页 共 2 8 页【点拨】本题主要考察勾股定理的简单运用，属于基础的实际应用题，难度不大.解题的关键是结合图例分析出地毯的长是楼梯竖直高与水平长的和.举一反三：【变 式 1】如图，台阶阶梯每一层高2 0 c m,宽4 0 c m,长5 0 c m.一只蚂蚁从A点爬到B点,最短路程是.单 位：cm【答案】1 3 0 c m【分析】先将图形平面展开,再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.解:如图所示，楼梯的每一级的高宽长分别为20 c m,宽 4 0 c m,长 5 0 c m,.AB=河+2（20 +4。）丁 =1 3 0（加即蚂蚁从点/沿着台阶面爬行到点6的最短路程是1 3 0 c m.故答案为：1 3 0 c m.【点拨】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答此题的关键.【变式2】一座楼梯的示意图如图所示,况1 是铅垂线,。是水平线,AB,4 7的夹角为0（夕=3 0 ）.要 在 楼 梯 上 铺 一 条 地 毯,已 知 百 c m,楼梯宽1 c m,则地毯的面积至少需要 平方米.20第 2 0 页 共 2 8 页【答案】3+3 石【分析】据含3 0 的直角三角形求出B C,得出A C+B C 的长度，由矩形的面积即可得出结果.解:在 R t/XA B C 中，0=3 0.,.A B=2B C,A B2=B C2+A C2,即 4 B C2=B C2+（3）2解得B C=3,（负值舍去）；.A C+B C=3 6+3（米），.地毯的面积至少需要1 X（3 百+3）=36+3（平方米）；故答案为：3 0+3.【点拨】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算,根据含3 0 的直角三角形求出B C是解决问题的关键.类型二十二、判断汽车是否超速（勾股定理的应用）C22.我 市 道路交通管理条例规定:小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60WA.如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测点月正前方3 0 卬的。处,2 秒后又行驶到与车速检测点力相距5 0 必的夕处.请问这辆小汽车超速了吗?若超速,请求出超速了多少？小汽车 小汽车5 -7.3 C、I、I、I、I温 点【答案】超速了，超速了 1 2W/?【分析】由勾股定理可求得小汽车行驶的距离,再除以小汽车行驶的时间即为小汽车行驶的车速,再与限速比较即可.解:.解：由己知得AB=50m,=3 0 m.在 直 角 三 角 形 中二g=4 严一/仪=SO。-3 0 2=4 0 2,BC=4 0 mBC 4 0 “,=20 m /s又 2 220 m/s =72k m/h 6 0 k m /hV 72-6 0 =1 2WA21第 2 1 页 共 2 8 页,这辆小汽车超速 超速了 12WA.【点拨】本题考查了勾股定理，其 中1米/秒=3.6千米/时的速度换算是易错点.举一反三：【变 式1】为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这 条 笔 直 的 公 路 的 一 侧 点A处,小明家到公路M N的距离A B为600米,假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车尸以250米/分 的 速 度 在 公 路 上 沿PN方向行驶时,假如小明此时在家，他是否能听到广播宣传?若能,请求出他总共能斫到多长时间的广播宣传?若不能，请说明理由.M P t N【答案】小明能听到广播宣传，他总共能听到6 4分钟的广播宣传.【分析】根据小明A到公路也V的距离为600米1000米，可以判断能否听至根据勾股 定 理 得 到 除 游800米,求 得 上1600米,于是得到结论.解:小明能听到广播宣传，理由：因为村庄A到公路M N的距离600米 1000米，所以小明能听到广播宣传.如图,假设当宣讲车行驶到E点开始小明能听到广播,行驶至IJ F点之后小明听不到广播,则 4E=4尸=1000 米,43=600 米,所以 BE =BF =J100（）2-GOO?=8 0 0（米），所以 =1600米，所以小明听到广播的时间为：1600+250=6.4（分钟），所以他总共能听到6 4分钟的广播宣传.铲/、/、/、/、/、/M PE i F y【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际,便于更好的理解题意.【变式2】城市交通管理条例规定:小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了 2秒后,小汽车行驶至B处,若小汽车与观测点间的距离A B为50米,请通过计算说明:这辆小汽车是否超速？22第2 2页 共2 8页观测点【答案】这辆小汽车超速【分析】先根据勾股定理求出B C 的距离,再根据速度=路程+时间求出小汽车的速度，从而可知道是否超速.解:根据题意，得 A C=3 0 m,A B=5 0 m,Z C=9 0 ,在 R tA A C B 中,BC=AB2-A C2=/5 02-3 02=4 0m4 0？-=2 0/w /s=7 2 km/h 7 0km/h.小汽车的速度2 s ；,这辆小汽车超速.【点拨】本题考查勾股定理的应用，根据已知得出B C 的长是解题关键.类型二十三、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)2 4.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力,如图,有一台风中心沿东西方向45由A行驶向B,已知点C为海港,并且点C与直线B上的两点A ,B的距离分别为AC=3 0 0 k m ,B C =4 0 0 k m,又 8 =5 0。k m,以台风中心为圆心周围2 5 0 k m 以内为受影响区域.求 4c8的度数；(2)海港0受台风影响吗?为什么？【答案】(1)9 0 ;(2)受台风影响，理由见解析【分析】利用勾股定理的逆定理得出/利是直角三角形，进而得出/立 方的度数;(2)利用三角形面积得出切的长，进而得出海港 是否受台风影响.解：(1)：/心30 0 4加,6 c M 0 0 4勿,仍5 0 0 4加，a 是直角三角形，龙=90 ;海 港 C 受台风影响，理由：过 点,作CD L AB,23第 2 3 页 共 2 8 页/欧是直角三角形，：.AOBC=CDXAB,.300X400=500X6X(/,0240(kni),：以台风中心为圆心周围250筋以内为受影响区域，.海港C受台风影响.【点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形,再利用勾股定理解答.举一反三：【变 式1】如图,在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发.现4处需要爆破，已知点力与公路上的停靠站A C的距离分别为400 m和300 m,且4 a L的 为了安全起见，如果爆破点4周围半径260 m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时,公路况段是否需要暂时封闭?为什么？【答案】需要封闭，理由见解析【分析】过A作于K,先求解8 C,再利用等面积法求解 K,再与26。比较，可得答案.24第2 4页 共2 8页 BC=yjAB2+A C2=500,-ABg4 C=BCg4 K,300 400=500JA：,A K =2 4 0,Q 240 260,所以进行爆破时,公路外段需要暂时封闭.【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高,掌握“等面积法求解直角三角形斜边上的高”是解题的关键.【变式2】为了积极宣传防疫知识，某社区采用了移动车进行广播.如图，小明家在南街这条笔直公路珈的一侧点A处,小明家到公路m 的距离AB为600米,假使广播车户周围1000米以内能听到广播宣传,广播车P 以 400米/分的速度在公路珈上沿加方向行驶时，假如小明此时在家,他是否能听到广播宣传?若能,请求出他总共能够听到多长时间的广播宣传?若不能,请说明理由.-V p B-V【答案】能听到宣传,理由见解析;总共能听到4 分钟的宣传.【分析】根据小明4 到公路版V的距离为600米V1000米,可以判断能否听至U;根据勾股定理得到BP=BQ=8 CQ米,求得 1 6 0 0 米，于是根据路程除以速度等于时间得到结论.解:小明能听到宣传,理由：到公路/V 的距离为600米6,肝 1 0,设E C为 米,则 成 为(1 0 -x)米，在庞和RtAD E C中,松=物+的=4 2+(1 0 -x)2,正 毋+由=6 2+8又,：A学D E,+6 2=(1 0 -%)2+4 2,产4,答:这条鱼出现的地方离比较高的棕桐树的树根4米.【点拨】本题考查r 勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键.【变式2】小渝和小川是一对好朋友,如图，小渝家住4小川家住B.两家相距1 0 公里，小渝家A在一条笔直的公路4 c 边上，小川家到这条公路的距离BC为6 公里,两人相约在公路。处见面,且两家到见面地点。的距离相等,求小渝家力到见面地点，的距离.2 5【答案】4公里.分析】先利用勾股定理求出A C的 长,设=8。=x公里,从而可得C D的长,再在R幻B C D中，利用勾股定理即可得.解：由题意得：/8 =1 0 公里，8 c =6 公里，4 D =BD,B C LA C ,:.AC=AB2-B C2=V1 02-62=8(公里)，设=8。=x 公里,则 C D =A C-A D =(8-x)公里，在 R/n8 C。中，B C2+C D2=B D21 即 6?+(8-x=一,27第 2 7 页 共 2 8 页2022年八年级数学下 勾股定理（知识讲解2）专项练习题25x 解得 4（公里），25答:小渝家A到见面地点。的距离为彳公里.【点拨】本题考查/勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键.28第2 8页 共2 8页