2022年初升高衔接数学专题复习讲义（学生版）.pdf

初升高复习（学生版）专题01数与式的运算.3专题02分解因式.11专题03 一元二次方程.18专题04二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质.23专题01数与式的运算考敢稼述初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是 对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充;二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幕运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幕逼近无理数指数幕），掌握运算性质，能 够 区 别 叱 与（狼）”的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数基的概念，进而学习指数幕的性质，掌握分数指数事和根式之间的互化，掌握分数指数塞的运算性质.糠程要求1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想M 2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法*3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超g 过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数嘉的含义一1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子|2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧费 3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立|方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数累的运算及其性质推广到分数指数累高中必备知识点1:绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即：a,。0,|。|=0,a=0,-a,a0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.两个数的差的绝对值的几何意义：卜-q表示在数轴上，数。和数b之间的距离.高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式(。+3(。一 3=/一/；(2)完全平方公式(。士与2 =a2+2ab+b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式(。+与(/一而+/)=。3 +b3；立方差公式(。-3(/+/)=/-/；(3)三数和平方公式(。+方+。)2 =a+b+c2+2(ab+bc+ac)；两数和立方公式(a +份3 =廿+3。5+3ab2+y；(5)两数差立方公式(。一份3=/3。5+3。/一 3.高中必备知识点3：二次根式一般地，形如五(。2 0)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得 尽 方 的 式 子 称 为 无 理 式.例 如3a+da2+b+2b,心谊等 是 无 理 式,而V 2 x2+x+1,x2+y/2x),+),2,等是有理式.1 .分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需栗引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与3G与y,#+瓜 与#）-瓜,2-/3-3 2与2#+3A/2,等等.一般地，a4 x与,a4x+byy a4x-byy,。4+匕与。4一人互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式G指=而3 2 0,6 2 0）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二 次 根 式 的 意 义a=同=|-凡 2.在数轴上找出|一1|=2 的解（如图），因为在数轴上到1 对应的点的距离等于2的点对应的数为一1 或 3,所以方程|%1|=2 的解为x=1 或 =3,因此不等式的解集为x3.b 士 1-2-101234例 3解方程|x-i|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1 和一2对应的点的距离之和等于5 的点对应的X 的值.因为在数轴上1 和一2 对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或一2的左边.若X对应的点在1 的右边，可得x=2；若X对应的点在一2的左边，可得彳=一3,因此方程|X-1|+|X+2|=5 的解是=2 或X=-3.参考阅读材料，解答下列问题：方程I x+2 1=3 的解为；解不等式：|X 一2|V 6；解不等式：|X-3|+|X+4|2 9；（4）解方程：|X-2|+|X+2|+|X-5|=15.2012【变 式 训 练】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简+|a -b|-|-a|.b【能 力 提 升】己知方程组):2。的解x、y的值的符号相同求a的取值范围；(2)化简：12 a +2 -2 1a -3|.高中必备知识点2：乘法公式【典 型 例 题】(1)计算:+2 0 16 +(-2)3+(一2)2(2)化简：(a +2/7)(a 2 b)-(a 2 6)2【变 式 训 练】计算：(万一3.14)+(T)2-(g)-2 (2)(X-3)2-(X+2)(X-2)【能 力 提 升】已知 10 x=a,5，=b,求：(1)5 0乂 的值；(2)2*的值；(3)2 0,的值.(结果用含。、b的代数式表示)高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题.(1)(V6-2A/15)XV 3-6 1;(2)y/4-X+2 y/Sx-A-y/x【变式训练】小 颖 计 算 后+（专+5）时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算:解：原式=4 +=715 x73+75 x75 =3 75+5 73.她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.【能力提升】先化简，再求值：（至?-1）+色二半，其中a=J 5 +G，b=V 2-V 3.a +b a-b a +b高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值（x+l x+2x x-)+f+X,其中X满足X2+X-1=O.X2-2X+1【变式训练】化简：2x-y.(4x2 y2)【能力提升】已知：rr2则注会的值等于多少？符克精秣1.下列运算正确的是（）xy XA.-=-孙 一y x-yC.3x3-5x3=-22 .下列计算结果正确的是（）3 2 1A.-1-=-x 2 2 x x2C.（-Ay）5-r（-A y）3=-x2y2B.7 3+7 7 =V ioD.8X34-4X=2X3B.（X2）3=X5D.3x2y-5 x y2=-2 xyx3,若式子有意义，则下列说法正确的是（）%+1A.x 1 x W 0 B.x 14.计 算*-的结果是（）a-a-A.3 B.0c.无 w 1D.x。0D.1a-5.若|o|=4,b =2,且 的 绝 对 值 与 相 反 数 相 等，则Q力的值是（）A.-2 B.-6 C.-2或一6 D.2 或 66.设有理数a、b、c满足a b c（a c 0）,且同 网 0,则、4同号（若c-2b2-(1-2 b 4【能力提升】分解因式：(l)-4ab-8b2+10b(2)2(n m)2 m(m n)1 5 y(Q b)2 -3 y(b a)(4)6(m n)3 12(n m)2(5)x2+3%+1 =0,求2/0 1。+6 x2 0 0 9+2/0 0 8的值高中必备知识点3：关于x的二次三项式ax2+bx+c（aW0）的因式分解【典 型 例 题】因式分解:（x2+2 x）2-7（x2+2 x）-8【变 式 训 练】分解因式：（产-%）2 +（/一 x）一 6.【能 力 提 升】阅读材料：对于多项式x 2+2 a x+a 2 可以直接用公式法分解为（x+a 的形式.但对于多项式x 2+2 a x 3 a 2就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在 x 2+2 a x 3 a 2 中先加上一项再减去小这项，使整个式子的值不变.解题过程如下：x2+2ax-3a2=x 2+2 a x 3 a 2+。2 一。2（第一步）=x 2+2 a x+a 2-a 2 3 a 2（第二步）=（x+a）2（2。巴第三步）=（x+3 a）（x-a）.（第四步）参照上述材料，回答下列问题：上述因式分解的过程，从第二步到第三步，用到了哪种因式分解的方法（）A.提 公 因 式 法 B.平方差公式法C.完 全 平 方 公 式 法 D.没有因式分解（2）从第三步到第四步用到的是哪种因式分解的方法：；请你参照上述方法把m2 6 m n+8 n2因式分解.啕点播称1.对于：f 一4=(x-2)(2)-X2+l=(x+1)(1-X)；*3+2X-4 =(X+2；1 门 V0-x2-x +l=-X-1 .其中因式分解正确的是（）4（2 ）A.B.2 .代 数 式 4机2-/因式分解为（）A.（2 加）（2/n+）C.（4加一）（z+）C.D.B.4(m n)(m +n)D.(m-2 n)(m+2 n)3.若 多 项 式+17x12 可因式分解为(x+a)(x+c)，其中。、h、c 均为整数，则a-c的值是()A.1 B.7 C.11 D.134.下 列 因 式 分 解 正 确 的 是()A.a(a-b)-b(a-b)=(a-b a +b)B.a2-9b2=-(a -3b)2C.a2+4ab+4h2=(6 Z+2/?)D.a2-a b +a=a(a-b)5.已知 R hA B C 中，Z.C 90 若 BC=a,AC=b,AB=c,S.a2 ab 2b1=0，则 a:/?:c=()A.1:2:石 B.2:1:石 c.1:2:6 D.2:1:736 .下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是()A.X2 +y2 +2 x+2 j B.+_y_+2,xy 2 c.r-+4x+4y D.x J;+4-y 47.因式分解：(l)18xi-24x”；(2)X4-18X2/+8 1/专题0 3 一元二次方程彗 敢 嫁 述1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率较高，高考也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分.4.韦达定理的原定理的功能是：若己知一元二次方程，则可写出该方程的两根之和的值及两根之积的值.而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程.海程要求 初中课程要求能熟练利用一元二次方程根的判别式去判断根的个数，简单地介绍了韦达定理 高中课程要求熟练掌握求根公式求根和对含参数判别式的处理能力，会灵活使用韦达定理解决各种问题姿钠福饼高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程at2+以+。=0(分0),用配方法可以将其变形为因为存0,所以，4a2 0.于是(1)当/-4ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根-byh2-4ac(2)当/一 4ac=0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根为=彳2=一 一2ab 9(3)当一4/()时，方程有两个不相等的实数根-b+yb2-4acXl.2=-;2a(2)当 A=O时，方程有两个相等的实数根bXl=X2=；2a(3)当 AV O时，方程没有实数根.高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程存0）有两个实数根-b+Jh2 4ac-b y/h2 4acx.=-,%=-，12a 2a则有-b+d吩-4 a c -b-b1-4ac-2b b-h+-4ac-b 一 b2-4ac b1 一 (b2-4ac)4ac cX,X2=-=-z-=-7 =2a 2a 4 6 r 4a a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：b c如 果 a x2+h x+c n o m 和)的两根分别是X,X2,那么乃+工2=-,X-X2=.这一关系也被a a称为韦达定理.特别地，对于二次项系数为1 的一元二次方程f+px+q=O,若内，Q是其两根，由韦达定理可知X+x2=pf XvX2=q,即 P=(汨+及)，g=Xl%2,所以，方 程 x2+p x+q =0 可化为*2(Xi +x2)x+xvX2=0,由于Xl,X2是一元二次方程x?+p x+q =O的两根，所以，Xl,X2也是一元二次方程、2(X +x2)x+xi,X2=0.:典例剧所高中必备知识点1:根的判别式 典型例题关于久的一元二次方程/一(m-l)x +2m-1=0,其根的判别式为16,求m 的值.【变式训练】已知关于工的一元二次方程m-(m+2)x+2=0(1)若方程的一个根为3,求根的值及另一个根；(2)若该方程根的判别式的值等于1,求m 的值.【能力提升】方程(x-5)(2x-1)=3的根的判别式b2-4ac=_.高中必备知识点2：根与系数的关系(韦达定理)【典型彳列题】如果关于X的一元二次方程ax2+bx+c=0(0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程请问一元二次方程x2-6 x+8=0是倍根方程吗？如果是，请说明理由.若一元二次方程x2+bx+c=0是倍根方程，且方程有一个根为2,求b、c的值.【变式训练】求方程x2-2 x-2=0的根XI，X2(X1X2),并求X/+2X2的值.【能力提升】己知关于X的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两根a,p(1)求m的取值范围；若a+B+a|3=0.求m的值.啕点播称1.己知关于X的一元二次方程(&-2)/-2h+%+1=0,若该方程有两个不相等的实数根，求&的取值范围.2.已知关于x的一元二次方程/nr?-(2L1)X+,”-2 =0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)若方程有一个根是0,求方程的另一个根.3.已知关于了的一元二次方程用2+(2w+1卜+帆+2=0有两个不相等的实数根巧，(1)求加的取值范围；(2)若不马=0,求方程的两个根.4.已知关于x的一元二次方程双2-(3“+1+20+1=0.(1)求证：无论。为任何非零实数，此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根分别为、巧，且9-王=2,求。的值.专题04二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质骞题稼述确定二次函数的图象，主要应抓住：抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用配方法和数形结合思想求解，先画出二次函数的图象，根据题中所给的区间观察函数的单调区间，再利用函数的单调区间研究最值等问题.二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.士 海福要求 初中课程要求熟悉了二次函数的定义和解析式，掌握了二次函数的图象画法 高中课程要求掌握二次函数在一个闭区间上的最值求法，会求二次函数的解析式，会通过图象分析性质 加 钠稀耕高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换问题 函数与y=/的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出），=2 f,y=-x2,=一 源 的图象，通过这些函数图象与函数），=/的图象之间的关系，推导出函数 与y二炉的图象之间所存在的关系.先画出函数y=2,的图象.先列表：X-3-2-1012394101491 8820281 8再描点、连线，就 分 别 得 到 了 函 数,y=2 f的图象（如 图2 1所示），从 图2 1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数），=2?的 图 象 可 以 由 函 数 的 图 象 各 点 的 纵 坐标变为原来的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数=,/，丫=一左的图象，并研究这两个函数2 图 象 与 函 数 的 图 象 之 间 的 关 系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数）=好（存0）的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在二次函数 y=ax2（a（）学例剧析高中必备知识点1:二次函数图像的伸缩变换 典型例题】二次函数y =a x2+b x +c（a丰0）的图象如图所示,有下列结论:a b c 0；a +b +c =2：a 得；b 1,其中正确的结论个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【变 式 训 I练】下列说法错误的是()A.二次函数y=-2x2中，当 x=0时，y 有最大值是0B.二次函数y=4x2中，当 x0时，y 随 x 的增大而增大C.在三条抛物线y=2x2,y=-0.5x2,y=-x?中，y=2x?的图象开口最大，y=-x?的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax2(ax0)的顶点一定是坐标原点【能力提升】抛物线y=-3x2,y=-X?,y=2x2的图象开口最大的是（）A，y=ix2 B.y=-3x2 C.y=-x2 D.y=2x2高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换函数y=a(x+h)2+k与yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数)，=2(x+l+l与y=2 f的图象(如图22所示)，从函数的同学我们不难发现,只要把函数=左 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似她，还可以通过画函数)，=-3/,=-3(1 1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二 次 函 数y=a(x+/i)2+A(aW0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“正左移，h负右移”；左决定了二次函数图象的上下平移，而且“正上移，负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=加+-+c(a#)的图象的方法：1b b2 匕2由 于 y=ax2+bx+c=a(x1+x)+c=a(f+x H-y)+c a a 4a 4a/b、2 b1-4ac心+丁）+-2a 4a所以，)=加+法+。(存0)的图象可以看作是将函数)，=加 的 图 象 作 左 右 平 移、上下平移得到的，于是，二次函数=加+法+。（彳 0）具有下列性质:b 4cic h2（1）当cr 0时，函 数y=a x2+b x+c图象开口向上；顶点坐标为（-,-）,对2a 4a称轴为直线x=-2;当xV -幺 时，y随着x的增大而减小；当x 2 时，y随着x2a 2a 2ab 4ac b2的增大而增大；当x=2 时，函数取最小值y=-2a 4ab 4ac h（2）当a V O时，函 数y=a x2+b*+c图象开口向下；顶点坐标为（-,-）,对称轴2a 4a为直线X=-2；当X V 2 时，y随着X的增大而增大；当x 2 时，y随着x的增2a 2a 2ab h大而减小；当*=一 二 时，函数取最大值v=-.2a 4。高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换【典型例题】已知关于x的方程以2+（3&+1）x+3=O.（1）求证：无论。取任何实数时，该方程总有实数根；若抛物线），=五+（3“+1）+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且“为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；在（2）的条件下，直线y=-x+5与），轴交于点C,与直线O H交于点 力.现将抛物线平移，保持顶点在直线。上.若平移的抛物线与射线CC（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围.【变式训练】如图，抛物线=X2-4 与X轴的负半轴相交于点儿 将抛物线心 平移得到抛物线M 2：y =ax2+bx+c,M i 与M 2 相交于点B,直线A B 交 于 点 C(8,m),且Z B =B C.(1)求点4,B,C 的坐标；写出一种将抛物线风 平移到抛物线“2 的方法；在y 轴上找点P,使得B P +C P 的值最小，求点P 的坐标.【能力提升】已知抛物线y=-x?+bx+c 经过点B(-1,0)和点C(2,3).求此抛物线的函数表达式；如果此抛物线上下平移后过点(-2,-1),试确定平移的方向和平移的距离.啕点播称1 .已知二次函数y=4/+f e x -2 （存0）的图象与x轴交于点A、B,与 y轴交于点C.若点A的坐标为（4,0）、点 B的坐标为（-1,0）,求“+人的值；若）仁 谒+笈-2的图象的顶点在第四象限，且点8的坐标为（-1,0）,当 为 整 数时，求。的值.2 .已知抛物线丫 =加-4 +3（*0）的图象经过点A（-2,0）,过点A作直线/交抛物线于点3（4,相）.（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标.（2）将抛物线向下平移（0）个单位，使顶点落在直线/上，求?，的值.