2022年甘肃省高考文科数学一诊试卷及答案解析.pdf

2022年甘肃省高考文科数学一诊试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(5 分)已知集合/=x|logjxl,8=x|x 4 ,则()A.x|0 x3 B.x|lx3 C.x|lx4 D.x|3x 0,a)0,|(p|S 2 S 3,V V2Vz B.S i V S 2 V s 3，V Vi S 2 S 3,V =V2=V3 D.S 1 V S 2 V s 3,片=匕=匕1 1.(5 分)已知以圆C(x-1)2+f=4的圆心为焦点的抛物线。与圆C在第一象限交于/点，8 点是抛物线C 2：*2=8y 上任意一点，8 M与直线y=-2 垂直，垂足为，则1 8M-的最大值为()第2页 共1 9页A.1B.2C.-1D.8)12.（5 分）下列命题正确的是（A.若 Q=怨，b=竽，则 cB.若 a=0.5V 6=logo.50.2,贝!JC.若 3a-3 b二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.（5 分）若 双 曲 线 马/=I 9。）的 离 心 率 为 孚，则该双曲线的渐近线方程W 3为.14.（5 分）已知等差数列 0 满足2=4,“6=8,则 44=.15.（5 分）如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制2V5的“勾股弦方图”，也 称“赵 爽 弦 图 若 直角三角形中较大锐角的正弦值为零一,则在大正方形内随机取一点，这 一 点 落 在 小 正 方 形 内 的 概 率 为.16.（5 分）在4 8 C 中，角/,B,C 的对边分别为a,b,c,且百acosC+csiM=0,c=2夕,b4,则 si M=.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共 60分。17.（12 分）已知数列 a,满足。1 =1,2an+=an,数列 加 满足=1,-=2,bn+hn+2=2bn+,/?GN*.（1）求数列 斯 及 a 的通项公式；（2）求数列 加 也 的前项和Tn.18.（12分）2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了 了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了 150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：增 长 率 分 组 -0.4,-0.2）-0.2,0）0,0.2）0.2,0.4）0.4,0.6第3页 共1 9页企业数 1 5 3 0 5 0 3 8 1 7(1)根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)；估计这1 5 0个企业同期产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的5个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率.1 9.(1 2分)如 图，/B C是边长为3的等边三角形，E,尸 分 别 在 边Z C上，且Z E=力 尸=2,A/为8 c边的中点，4 0交E尸于点。，沿E尸将折到。户的位置，使D M =71 5(1)证明：O _ L平面 E F C8；(2)若平面E PC8内的直线E N平面。C,且与边8 c交于点N,R是 线 段 的 中点，求三棱锥R-P N C的体积.12 0.(1 2分)已知动点P到点尸1(1,0)的距离与它到直线/：x=4的距离之比为了(1)求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；(2)放(7,0),分别过为，尸2作斜率为左(在W 0)的直线与曲线C交于x轴上方1 2 V 2B两 点,若四边形尸|出84的面积为：一，求 人的值.2 1.(1 2 分)已知函数/(x)x+?一 (a -2)Inx(aGR),g(x)=(b-1)x-：x e4.(1)判断函数/(x)的单调性；(2)当。=1时，关于x的不等式/(x)+g(x)W-1恒成立，求实数b的取值范围.选修4-4：坐标系与参数方程2 2.(1 0分)如图，曲线。是著名的笛卡尔心形曲线.它的极坐标方程为p =l-sin。(。6 0,2TT).曲线C2是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上,第4页 共1 9页直径为1.（1）求曲线C2的极坐标方程，并求曲线。和曲线C2交点的极坐标；（2）以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x 轴，经过极点且垂直于极轴的直线为夕轴,X=tCOSi，I（f 为参数）.若 曲 线 C3与曲y=tsin-,线 C i相 交 于 除 极 点 外 的 N 两点，求 线 段 的 长 度.2 3.已知函数/(x)=2|x T|+|l|.(1)求不等式/(x)W 5的解集；(2)若 a 0,b 0,且 a+b=/(l),求证：V aTT+VKTT l,8=x|x 4 ,则（）A.3 0 c x 3 B.x|lx3 C.x|lx4 D.x|3xl=x|x3,8=x|xV4,./n8=x3V x第7页 共1 9页,1 0Ac o s2 a=2 c o s a-1 =2x 1 =72 5J故选：C.5 .（5分）向 量 六 力 满 足 向=遍，b =1,a-2 b|=V 1 3,则向量左力的夹角是（)D.5 7 rY【解答】解：:|a|=遮，|h|=1,a-2b=V 1 3,|a 2b2=a2 4-4b2-4a-b=3+4 4 a-b=1 3,T T 4T 3 -/.a b=cos 0,u）0,的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（)第8页 共1 9页nA./（x）的最小正周期是B.直线式=看是f （x）图象的一条对称轴C.点（一金，0）是/（x）图象的一个对称中心D.f（x）的单调递减区间是 2 Kr+京，2 加+争 16Z）T 5 7 r 7 T T C【解答】解：由图象可知:=二 一 7 =；，即 T=m故”错误；4 1 2 6 4由7 =兀=至 可 得 3 =2,（J L）又因为函数图象过点（居，0）,所以si n（2 x骂+9）=0,由五点法作图可知，+=2kn 4-n,k W Z,即9=2/C T T+看，k E Zf又阳,，故0 =看，所以/（%）=4 s讥（2%+看），当 x=-看时，/（一看）=Asin 2 x （一 卷）+看=Asin 一看）=-H A,故 5 错误；因为/（一金）=Asi 7 i 2x（一金）+落=击 讥（一卷+看）=0，所以点（一金，0）是/（x）图象的一个对称中心，故 C正确；令 2kn+2%+看 W 2kji+,f c E Z,解得 kji+卷 W%W kn+,k E Z,即函数的单调递减区间为%+看，+竽 ,f c G Z,故。错误.故选：C.8.（5分）曲线/（x）=/-3x在 点（-2,/（-2）处的切线方程为=去+4 则实数b=（）A.-1 6B.1 6C.-2 0D.2 0第9页 共1 9页【解答】解：由/(x)=-3 x,得/(x)=3x2-3,:.k=f(-2)=3 X 2 2-3=9,又/(-2)=(-2)2-3X(-2)=-2=9X(-2)+b,h=6.故选：B.9.(5 分)定义在R 上的奇函数/(x),满足/(x+4)=-f(x),且当x60,2时，/(x)=-3x+,则/(2022)=()A.8 B.2 C.-2 D.-8【解答】解：根据题意，函数f(x),满足/(x+4)=-f(x),则有/(x+8)=-/(x+4)=/(x),则函数/(x)是周期为8 的周期函数，则/(2022)=/(6+252X8)=/(6)当 xC0,2时，/(x)=-3、+1,则f(2)=-3 2+l=-8,则/(2022)=-/(2)=8,故选：A.10.(5 分)在直角Z8C 中，BC=a,AC=h,4 B=c,且 a b c,分别以 8C,AC,AB所在直线为轴，将Z5C旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为S,S2,S3和 H，V i,匕，则它们的关系为()A.S iS 2S 3,V ViV3 B.Si5253，V ViS2S3,%=%=%D.51S253,片=匕=匕【解答】解：由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，采用特例法，不妨令c=3、b=4、a5,当绕。=5边旋转时，其表面展开后是两个扇形，其表面积为Si=1 x2irx导 x(3+4)=哥 r；体积 V-|xnx(1 A x5=寻 r；当绕 6=4 边旋转时，S2=nX32+nX3 X5=24TT,体积 J/2=|nX 32X4=12K；当绕 c=3 边旋转时，S3=nX42+nX4X5=36Tr,体积 r3=|n X 42X3=167T.第1 0页 共1 9页；.S 1 V S 2 V s 3；V V2Vy.故选：B.1 1.(5分)已知以圆C：(x-1)2+产=4的圆心为焦点的抛物线C i与圆C在第一象限交于A点，8点是抛物线C 2：f=8 y上任意一点，8W与直线歹=-2垂直，垂足为例，则1 8 M-M用的最大值为()A.1B.2C.-1D.8由y2 4x(x-l)2+y2【解答】解：圆C：G-1)2+炉=4的圆心为焦点(1,0)的抛物线方程为产=以,，解得/(1,2),抛物线C 2：/=8 y的焦点为尸(0,2),准线方程为y=-2,即有但M-陷阳=|8尸|-|/8|必用=1,当且仅当4B,F (A在B,E之间)三点共线，可得最大值1,故选：A.1 2.(5分)下列命题正确的是()A.若a =警，b=竽，则abC.若 3。-3&b【解答】解：对于4构造函数/(x)=竽，/(久)=与 竺，当x e时，f(x)上单调递减，所以/(3)/(4),即a b,故“错误；对于B,函数=0.5*与函数y=l o g o.5 X的图象关于直线y=x对称，则O V 0.5 2 ：l o g o.5 0.2,即a 6,故8错误：对于C,不等式整理为3。-4一。3屋4”,构造函数/(x)=3、-4 ,则/(x)为增函数，由/(a)/(/),得a V b,故C正确：对于。，不等式整理为2。+/o g 2 a n+i 6N*.(1)求数列 a”及 方 的通项公式；(2)求数列”+加 的前项和T”.1【解答】解：(1)因为m=l,2aM=即，所以数列 斯 是首项为1，公比为5的等比数列,所以的=(办 计1,因为b“+b“+2=2b+i，所以数列 A 是等差数列，又 bi=l,历=2,所以公差4=a-2 =1,所以 6=1+(-1)1=.1(2)an+bn=(2)n-1+，所以y 止普+创誓=2(1-4)+剑 尹 巴-1 乙 乙 乙1 218.(12分)2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了 了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了 150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：增长率分组-0.4,-0.2)-0.2,0)0,0.2)0.2,0.4)0.4,0,6第1 3页 共1 9页企业数1 53 05 03 81 7(1)根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)；估计这1 5 0 个企业同期产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1 个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的5 个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率.【解答】解：(I)估计这些企业中产值负增长的企业比例 为 号*=3 0%.15 01这 15 0 个企业同期产值增长率的平均数为丁(一 0.3 x 15 -0.1 x 3 0 +0.1 X 5 0 +15 00.3 X 3 8 4-0.5 X 17)=0.116.(2)将欲调研的这5个企业按分组区间从左至右依次记为：a,b,c,d,e,则从5个调研企业中任选2个企业的基本事件有：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)f(c,d),(c,e),(d,e)共 10 种,事 件“这 2个企业中恰有一家企业同期产值负增长”包含的基本事件有：(a,C),(,d),(a,e),Qb,c),(b,d),(b,e)共 6 种，所以这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长的概率：P=白=119.(12 分)如 图，4 8C是边长为3的等边三角形，E,尸 分 别 在 边AC ,且/E=/尸=2,M 为 5c边 的 中 点,交EF于点O,沿E F 将4 4 EF折到DEF的位置，使D M =7152 (1)证明：OJ _ 平面 EEC8：(2)若 平 面 内 的 直 线 E N 平面。O C,且与边8 c交于点N,R 是线段。M 的中点，求三棱锥R-尸 N C 的体积.B第1 4页 共1 9页【解答】解：(I)证明：在 DOA/中，D O=曲,0 M =苧，0 M =等,所以。即。_ LO/W,又 D OL E F,E F H O M=O,所以。_ 1_ 平面EEC8.（2）连接。C,过 E 在平面E 8 C F 上作 W O C,交 8 c于点N,贝 U 由 O C u 平面D OC,N因为点Fi到直线AF的距离d=V l+f c2所以SFIQBA=4 x(|A%|+BF2)x yjT?-14 4 l x 网 一 12(1+/)|f c|一1 2 g一 如 11)斤 位-3+4 N X否 应 一 平方化简得17依+庐-1 8=0,解得严=1或/=_居（舍）,所以k=.2 1.(1 2 分)已知函数 f(x)=x+g (2)Inx(t z E R),g (x)=(b-l)x xe(1)判断函数/(x)的单调性；(2)当 4=1时，关于x 的不等式/G)+g (x)W-1 恒成立，求实数人的取值范围.【解答】解：(l)/(x)=x+(-2)Inx,xE(0,+),./、1 2a a 2 x2(a 2)x-2 a (%a)(x+2)f (x)=1-=一，当 aW O 时，x-a20,f(x)20恒成立，/(x)在(0,)上单调递增，当 a 0 时，令/(x)0,得 x a,令，(x)0 时，f (x)在(0,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增.(2)当 a=1 时，/(x)+g (x)W -1,即 x+山x+(fe-1)x x e W -1 恒成立,所 以(b-1 )xW x/-x-Inx-1,所以“1 W/-1-皿 一 工，X X即一竽一 3 亘成立，令g (x)=ex-,xE(0,+8),&X X,/、%1 lnx,1 r,Inx x2ex+lnxg (X)-j=+L+h-,第1 6页 共1 9页令 h(x)=x2ex+lnx1h(x)=2xev+x2ev+1,因为x 0,1所以 F 0,f 0,-o,x所以(x)0恒成立，所 以/(x)在(0,+8)上单调递增，X ()时，x2ex-*0,Inx-所以(x)-8,而6(1)e0,所以不()6 (0,1),使得/(xo)=0,即 g (xo)=0,所以xo+/xo=O,xoe xo=_ 史包，x0所以g (x)在(0,xo)上单调递减，在(xo,+8)上单调递增，所以 g (x)m i=g (xo)=e 孙一竽一 4，而 xo e *=一竽xo xo xo令 k(x)xex,x(0,1),则A (x)k(-Inx),k(x)=+x，=(1+x)/0,所以k(x)在(0,1)上单调递增，所以 x=-/X,即 d=p所以 g (x)min=J-/=1 x0 x0 x0所以6的取值范围为(-8,1 .选修4-4：坐标系与参数方程2 2.(1 0分)如图，曲线C i是著名的笛卡尔心形曲线.它的极坐标方程为p =l-sin。(。日0,2 n).曲线C 2是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上,直径为1.(1)求曲线C 2的极坐标方程，并求曲线。和曲线C 2交点的极坐标：(2)以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x釉，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴,(-TTX =tCOS ij，建立平面直角坐标系，曲线。3的参数方程为1%(，为参数).若曲线C 3与曲y tsin,线C i相 交 于 除 极 点 外 的N两点，求 线 段 的 长 度.第1 7页 共1 9页【解答】解：(1)曲线G 是著名的笛卡尔心形曲线.它的极坐标方程为p=i-sin e(e qo,2 n),曲线C 2 的极坐标方程为=尤1 1 0 (0 G O,n ),与 C i方程联立代入得sin 0 =1 -sin O,sin 0=.解 得 看 或。=浮.，曲线C 1 和曲线C 2 交点的极坐标分别为(；;，当，(L 6 2 6(2)曲线C 3为过原点倾斜角为三的直线，；其极坐标方程为。=狎。=筝联立两曲线C i和 C 3的方程，解得两交点的极坐标分别为M(1-塔,，N(1+*，竽),乙 3/3：.M N =OM -ON =(1-空)+(1 +孚)=2.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数/(x)=2|x-l|+|x+l|.(1)求不等式/(x)W 5的解集；(2)若 a 0,b 0,且 a+6=/(l),求证：V a T T +V K T T 2 V 2.3x+1,x 1【解答】解：解法一：(1)/(x)2x-l|+|x+l|=-x+3,-1 x 1由)W 5,得已；5 或 匕;叁 5 或航工5，4解得T W-l 或-11 或 1WXW2,第 1 8 页 共 1 9 页故所求不等式的解集为x|*x W 2.(2)证明：要 证 后 TT+VF不r 2 近成立，只需证(迎下T+VK率1)2 (2鱼)2成立，即证 Q+b+2+17b+2 0,b0,a+b=f(1)=2,故只需证J(a+l)(b+l)L 2,由基本不等式可知,J(a +l)(b+1)号 史)=2 成立(当且仅当a=b=l时=”成立)，故命题得证.(-3%+1,x 1作函数/(x)图象与直线y=5,如图所示:4其交点为4(一5),B(2,5),所以不等式/(x)W 5的解集为洌一 g W x W 2.(2)证明：=2,又。0,b0,：.y/2-V a+l V2-VbTT Z.V2-Va+1+V2 VF+T 等+写=4,Va+1+Vb+1 W 2&成 立(当 且 仅 当 a=b=l时“=”成立).第 1 9 页 共 1 9 页