2022届安徽省淮北市相山区淮北市高三考前热身数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1 .请用2 B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2 .答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）从土人-UTSS二YIB*饕幼童=-18*左 il 午七A.该 市 总 有 15000户低收入家庭B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有8 0 0 户2.设i为虚数单位，复数z =（a +i）（l 则实数。的 值 是（）A.1C.0D.23.已知向量示=（九1）,b=（3,m-2）,则，”=3是 /的（)A.充分不必要条件必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件4.设 x e R,则“d27”是“|x|3 的(A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.三棱锥S ABC中，侧棱S A _ L底面A 3 C,A f i =5,BC=S,N B =6 0 ,SA=2下,则该三棱锥的外接球的表面积为（）6 4A.7132 5 6B.-n3C.4 3 6-7V32 0 4 8 rrD.-b,则 有 则 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是()A.pzq B./?A(-U 7)C.(-!)(-1 7)D.(-i p)v q8 .函数/(x)=s i n 2 x+心i n x+3 x在 仪,上 单 调 递 减 的 充 要 条 件 是()6 3A.m -3 B.m -4 C.m -D.m 439.已 知 函 数 是 定 义 在R上的奇函数，且满足l +x)=/(l-x),当x O,l 时，/(耳=一 滑(其中e是自然对数的底数)，若/(2()2 0 l n 2)=8,则实数。的值为()c 1 1A.-3 B.3 C.D.-3 31 0 .在AABC中，角A 8,C所 对 的 边 分 别 为 已 知。=胃，c =l.当a/变 化 时，若z =+存在最大值,则正数X的取值范围为A.(0,1)B.(0,2)C.(-,2)D.(1,3)21 1 .给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行：若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是()A.和 B.和 C.和 D.和1 2 .国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2 0 1 8年1 0月份至2 0 1 9年9月份共1 2个月的中国制造业采购经理指数(P M I)如下图所示.则下列结论中错误的是()B.1 2 个月的P M I 值的平均值低于5 0%C.1 2 个月的P M I 值的众数为4 9.4%D.1 2 个月的P M I 值的中位数为5 0.3%二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3 .已知非零向量“出的夹角为?，且 忖=1,|2-q=6,则问=.1 4 .如图，己知扇形A O B的半径为1,面积为?，则 方.而=.1 5 .已知函数f(x)=Px2 +5x+41,x01 6 .已知全集。=卜 2,-1,0,1,2 ,集合A=-2,-l,l ,则gA=.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 2 分)在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C的中心为坐标原点。焦点在X 轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为;.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设 P(T,0),连接PM交椭圆。于另一点 求证：直线NE 过定点B,并求出点3的坐标;(3)在(2)的条件下，过点8的直线交椭圆C于 S,T 两点，求幅.而的取值范围.Y v&1 8.(1 2分)如 图，在平面直角坐标系x Oy中，已知椭圆C:=+方=1(。6 0)的 离 心 率 为 三，以椭圆C左顶点7为圆心作圆T:(x +2)2 +丁=r2(r 0),设 圆7与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求力.而 的最小值，并求此时圆r的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,N P分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证：OR|OS|为定值.1 9.(1 2分)已知数列的前项和为S“，且满足a“=；S“+l(e N*).(1)求数列 4的通项公式；(2)若2=l o g2%,%=小，且数列%前项和为北，求Z,的取值范围.2 0.(1 2分)如图所示，在四棱锥P-A B C D中，R 4，平面P C D,底面A B C D满足AD/BC,AP=AB=BC =A D =2,Z A B C =90,E为40的中点，A C 与 B E 的交点为O.(1)设是线段B E上的动点，证明：三棱锥-P8的体积是定值;(2)求四棱锥P 4 3 C Q的体积；(3)求直线B C与 平 面 所 成 角 的 余 弦 值.2 1.(1 2分)已知椭圆C:%2/十万=1(“人 0)的焦点为4,F2,离 心 率 为:，点P为椭圆C上一动点，且 P 6 8的面积最大值为J i，0 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M（x，y）,N（z，%）为椭圆c 上的两个动点，当+为多少时，点。到直线M N的距离为定值.22.（10分）已知函数/（x）=l+2x-6。Inx存在一个极大值点和一个极小值点.x（1）求实数”的取值范围；（2）若函数“X）的极大值点和极小值点分别为现和&，且 xJ+/（X2）2-6 e,求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,则该市总有低收入家庭900+6%=15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000 x12%=1800（户），B 正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000 x29%=4350（户），C 正确，该市大于1 8 岁在读学生中，低收入家庭有15000 x4%=600（户），D 错误.故选：D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.2.A【解析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得”的值.【详解】复数 z =(a+i)(l-i)e R,由复数乘法运算化简可得z =f l +l+(I-)z,所以由复数定义可知1-。=(),解得4 =1,故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.3.A【解析】向量：=(机,1),方=(3,m一 2)，al 1b 则3 =加(加一 2),即 加 一2 m一 3 =0，7 =3或者-1,判断出即可.【详解】解：向量a=(w,l)，b=(3,?2)al lb 则 3 =，(加-2)，即 W-2 z-3 =0，m=3或者-1,所以机=3是z =3或者，=-1的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.4.B【解析】先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可【详解】解不等式V 2 7可得x 3,解绝对值不等式I x|3可得-3 x 3,由于 x|-3 x 3 为 x|x 3 的子集，据此可知“X327”是“I x 1 a。，或a-,力=-2时，贝！j a?b2不成立.则”人4,()(-1!7),均为假.故选:B【点 睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.8.C【解 析】先求导函数，函 数 在 上 单 调 递 减 则f(x)+户=3,可得2|2-1 51-1=0,解之可得答案.【详解】向量 B的 夹 角 为 且1 22-刈=6,|5|=1,可得:4万2-4|汁|6|0$+庐=3,可得21 M l 21 =0,解得|利=1,故答案为:1.【点睛】本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.31 4.2【解析】根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角NA O8,再 根 据 等 腰 三 角 形 性 质 求 出|=6,利用向量的数量积公式求UUU UUU1出。4 A氏【详解】设角 N A Q B =e,则 工=，e x F,3 2八 2万/.0=,3所以在等腰三角形A Q钻 中，|A 31=6，贝（J 函 通=1XGXCOS1 5 0=3.23故答案为：一7.2【点 睛】本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.1 5.(1,3)【解 析】函 数y =/(x)-。|乂恰有4个 零 点，等 价 于 函 数/(X)与 函 数,y =4 X的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.【详 解】函 数y =/(x)-a|x|恰 有4个 零 点，等 价 于 函 数 八 幻 与 函 数y =a|x|的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图故答案为：(1,3)【点 睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.1 6.0,2【解 析】根据补集的定义求解即可.【详 解】解：U=-2,T,0,l,2,A=-2,-l,l ,.A=0,2.故答案为 0,2.【点睛】本题主要考查了补集的运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。v2 r 51 7.(1)+-=1 ；(2)证明详见解析，5(-1,0)；(3)-4,-.4 3 L 4【解析】(1)根 据 题 意 列 出 关 于6,c的等式求解即可.(2)先根据对称性，直线N E过的定点3一定在x轴上，再 设 直 线 的 方 程 为y=-x +4),联立直线与椭圆的方程，进而求得NE的方程，并代入y=k(X+4),y2=k(x2+4)化简分析即可.(3)先分析过点B的直线S T斜率不存在时O S -O f的值，再分析存在时,设直线S T的方程为y=m(x+1)，联立直线与椭圆的方程，得出韦达定理再代入历西=+%以 求解出关于k的解析式，再求解范围即可.【详解】2 2解：(1)设椭圆C的 标 准 方 程 +为=l(a 0),焦距为2c,由题意得,。=2,a-c _ c _ 1由。2 a 2,可得。=1,-ac则。-C2=3,2 2所以椭圆C的标准方程为工+工=1；4 3(2)证明：根据对称性，直线NE过的定点8一定在x轴上，由题意可知直线P M的斜率存在，设直线P M的方程为y=k(x+4),联立y=k（x+4）%2 y2，消去）得至 ij（4左 2 +3）32 左 2%+642-12=0,4 3设点 M（Xi，X）,（乙,必）,则 N（玉,-y）.所以玉+x2=32k2 64k2-24/+3*-4女2+3 所以NE的方程为y-%=-Z）,一%令y=0,得 =/二必仁一百）,必+X将|=%（玉+4）,%=无（Z+4）代入上式并整理,2王马+4（%+%）玉 +9 +8（128公一24）-128公整理得 x=-7；i 77V=-1，-32k2+（24+32k2）所以，直线N E与x轴相交于定点3（-1,0）.当 过 点B的直线S T的斜率不存在时，直线S T的方程为x=-l 5此时OS-OT=24当过点B的直线ST斜率存在时,设直线S T的方程为 =m（x+1）,且S（x3,y3）,T（x4，为）在椭圆。上,联立方程组y=m x+V）14 3消去y,整理得（4/+3）%2+8 m2x+4 m2-12=0,则 A=（8m2）2-4（4/n2+3）（W-12）=144（w2+1）0.8 m24m2-124m2+3 4/n2+3所以”=m 2 （七+1）（%4+1）=加之（七/+Z +1）=7,4-m+35/w+1 2 5 33所以O S.O T=w z +%=.2,=4m+3 4 4（4 +3）由/N O,得O S-O T e -4,-|j,综上可得,0 .。7的取值范围是-4,-.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题，需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理以及所求的解析式，结合参数的范围进行求解.属于难题.21 o1 8.（1）5+2 =；（2）（x+2）2 +y 2=；|（?/?|-|O 5|=4【解析】（1）依题意，得。=2,e=-=,由此能求出椭圆C的方程.a 2（2）点M与点N关于x轴对称，设M（x，x）,N（x”-y）,设y 0,由于点M在椭圆C上，故 短 句 一 ,由丁（一2,0）,知 丽 南=（玉+2,yJ-（X 1+2,_ yj =：（x+1 _ ,由此能求出圆7的方程.设。（如 ），则直线M P的方程为：k为=止 上（X一%）,令y=0,得 XR=X X,同理:,由此能证明|0郎|。司=|与 卜 冈=|与 多|=4为定值.【详解】（1）依题意，得a =2,e=-=,a 2c=邪）,b=J 4-3=1,2故椭圆C的方程为工+y2=i.4 -（2）点M与点N关于x轴对称，设N（玉，一%）,设*0,由于点M在椭圆C上，所以y：=i 一?由7(2,0),则 而=(%+2,yJ,m=(5+2,一乂)，*-TM TN=(玉 +2,x)(%+2,-乂)=1X2+4%+3(玉+2)2-W由于一2玉2,Q 1 3故 当 王=一 时，丽.沃 的 最 小 值 为-所 以 必 二g，故例8 3)5?5?,13又点M在圆丁上，代入圆的方程得到产=石故 圆7的方程为：（x+2y+y21325（3）设F（土）,%），则直线M/,的方程为：y-y 0=&5 （x-xo）一再令y=0,得“任 3,同理r%+X2 2 2 2故 4 ,&2 2-%-X又点”与点P在椭圆上,故k=4（1一%2）凸2=4（1-靖），代入上式得:XRXS=4(1 靖)2 4(1%2)城 _ 4(为2 f 2)2 2%f2 9为 一斤=4,所以|OR|OS|=闻,ks|=M%I =4【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.1 9.(1)。,=2 Tn e y,l【解析】(1)由6=3+1,可求4,然后由.2时，勺=5.-5,1可得4=2 6 1，根据等比数列的通项可求1 1 1 1(2)由=l o g,q,=l o g,2=,而。=丁=一-=-7,利用裂项相消法可求7；.-她+i n(n +l)n n+【详解】(1)当=1 时，q=，S|+l,解得q=2,当.2时，。“_ =5 5“_ 1+1 an+1 一得 a“_ a“T=；4“，即 an=2 _,数 列 仅“是以2为首项，2为公比的等比数列，Cln=2；(2)bn=l o g2 a=l o g2 2 =n._ 1 _ 1 _ _ _ 1bbn+l (+D +lT,1 1 1 1 1 .T=1-+-+-+.+-2 2 3 3 4 i:nw N，e (0,n +1 2F 吗 1).【点睛】本题考查递推公式%=5“-s“T(几.2)在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20.(1)证明见解析 ,“6=20(3)辞【解析】(1)因为底面A 8 C。为梯形，且B C=E D,所以四边形5 C 0 E为平行四边形，则8 E C。，又BEU平面PC D,CDu平面P CD,所 以 平 面PC。，又因为“为线段8 E上的动点，APC。的面积是定值，从而三棱锥”一 尸8的体积是定值.(2)因为 P4 _ L平面 P CD,所以 B 4 _ L C D,结合 B E C D,所以 A PJ_ B E,又因为A 6 _ LB C,A B =B C -A D,且E为A。的中点，所以四边形A 5 C E为正方形，所以B E _ L A C,结合2A P r A C =A,则BE1 平面AP C,连接户0,则因为2 4,平面P CD,所以A 4 _ LPC,因为A C =0A8=J 4 P，所以APAC是等腰直角三角形，。为斜边A C上的中点，所以尸0 J _ A C,且A C I B E =O,所以P0 _ L平面A B C。，所以尸0是四棱锥产一A 5 CD的高，又因为梯形A 8 C。的 面 积 为 几 C+AD)XTW=!X(2+4)X2=6,2 2在R tA A PC中，尸。=血，所 以/.A B 8=g s梯 礴B Q.PO=g x 6 x 0 =2 0.(3)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系。一孙z,如图所示，贝!J 8(血，0,0),C(0,血，0),D(-2 7 2 0，0),P(0,0,血),则 BC=(-7 2,5/2,0),PB =(7 2,0,-7 2),P D=(-2 7 2,也,-虚)，设平面P B D的法向量为n=(M,v,w),n-PB=0_ ，即n-PD=0则令卬=1,得到“=(1,3,1),设5 c与平面尸5。所成的角为a,则si n a=|co s(阮,)|=|也 片 叵 史|=冬,/2 x vn 1 1所以 co sa=5/l-si n2 a=-,1 1所以直线B C与平面依。所成角的余弦值为主叵.1 12 1.(1)+-=1 ;(2)当 玉 +%力=0时，点。到直线M N的距离为定值上叵.4 3 7【解析】(1)耳鸟的面积最大时，P是短轴端点，由此可得bc=g,再 由 离 心 率 及 可 得 凡。，从而得椭圆方程;(2)在直线M N斜率存在时，设其方程为y =+，现椭圆方程联立消元(丁)后应用韦达定理得为+%2，%1%2,注意4 0,一是计算玉+y必，二是计算原点到直线M N的距离，两者比较可得结论.【详解】(1)因为P在椭圆上，当P是短轴端点时，P到x轴距离最大，此时A PG与面积最大，所 以;x 2 cx匕=历=#,be-6C _ 1a 2a1=b2+c2a=2解得=G,C=12 2所以椭圆方程为土+匕=1.4 3m.(2)在时，设直线M N方程为y =&+?，原点到此直线的距离为内=J 即/=Jl +公m2T+Fy-kx+m由“vy1 F-=i1 4 3得(3+4%2)X?+8kmx+4m2-1 2 =0,A =-4(3+4*2)(4 w2-1 2)0 ,/22 所以 +x28km _ 4m2-1 23+4公 西/3+4公，xx2+X y2=X 1%2 +(依I+2)(丘2 +根)=(1 +)X|X2+痴(X|+工2)+22=(0)4 m2-1 23+4/Sk2m2 2 7/2-1 2(2+l)-?+=-H(3+4 /3+4k2所以当外=。时,病苧+人,八三若，公 字 为 常 数.o,，7 1 2 2 J2 若玉=无2，则 X=-2，X|无2 +M%=尤”寸=0，X；=；，X2=,d=x=-，7 1 1 7综上所述，当玉x,+X%=。时，点O到直线M N的距离为定值上包.7【点睛】本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质,考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力.解题方法是“设而不求”法.在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式.(4 A ,、2 2.(1)-,+o o ；(2)(e,+o o).1 9 /【解析】(1)首先对函数/(X)求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出”的取值范围;(2)首先求出/(玉)+/(马)的 值，再根据/(x j+.f(w)2-6 e求出实数a的取值范围.【详解】(1)函数/(X)的定义域为是(),+e),ra)=2+二-效X X2x2-6ax+2a2X若/(x)有两个极值点，则方程2/-6奴+2 a=0 一定有两个不等的正根,设为再和工?,且玉 04x,+x2=3a0 解得 a,xtx2=a0此时尸(x)=2(X-X()(X-X2)%2当0 x 0,当 X 1 X%2 时，f (x)0.故芭是极大值点，/是极小值点,故实数a的取值范围是，+8 ；(2)由(1)知，xt+x2=3a,xtx2=a,2。，I 1c 2。/i贝!I/(XJ+/(X 2)=1 +2 X|-6 a I n X j+1 +-6a I n ,=2 +2(演 +%)2(耳 +)6 aI n玉，取2=2+2 x 3。一2a-3a-6a In a=2 6。In a,由/(内)+/(%2)2 6 6,得 2 6alna e.令g(a)=tzlna a 考虑到 g(e)=elne=e,所以 alnae 可化为 g(a)g(e),所以g(a)在 偿，+上为增函数，由 g(a)g(e),得a e,故实数a的取值范围是(e,+8).【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.