2022人教版中考数学复习专题20动态几何之存在性问题探讨.pdf

新人教版中考数学复习导学案【中考攻略】专题20：动态几何之存在性问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动 ，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题进行了探讨，本专题对存在性问题进行探讨。结合年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等 腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。一、等 腰（边）三角形存在问题：典型例题：例 1：（广西崇左10分）如图所示，抛物线y =+c （a/0）的顶点坐标为点A （-2,3）,且抛物线y =4X 2+b x +c与y轴交于点B （0,2）.（1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x轴上存在点P使4 P A B为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是x轴上任意一点，则当P A-P B最大时，求点P的坐标.【答案】解：（1）:抛物线的顶点坐标为A（-2,3）,.可设抛物线的解析式为y =a（x+2）2+3。由题 意 得 a（G-2 3,廨 得 a=-l。4.物线的解析式为y =1（X+2）2+3,即y =LX2 X+2。4 4（2）设存在符合条件的点P,其坐 标 为（p,0）,则P A 2 =（-2-p）2 +3 2,P B=p 2+2 2,A B 2 =（3-2）2+2 2 =59当 P A=P B 时，（2 p +3 2 =p 2+2 2,解得 p =；新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案当 PA=PB时，(-2-p)2+32=5,方程无实数解；当 PB=AB 时，p2+22=5,解得p=l。9.X轴上存在符合条件的点P,其坐标为(-,0)或(-1,0)或(1,0)。4(3)；PA-PB:+-m+2|m=-rrP+-m?+2m梯膝O H P 2(2 2 J 4 4(4-m)m2+3 m+2 j=m3-m2+2m+4,S J -4-2=4。2 I 2 2 J 4 4 MO C 2s=s+S-S =梯 形 AOHP APHC AAOCm3+m2+2m+m3-m2+2m+4-4=-m2+4m。4 4 4 4V S=m2+4m=(m 2)-+4,当 m=2 时，S 最大。1 3当 m=2时，n=-x22+x2+2=3。工点 P 的坐标为(2,3)。2 2存在。点 M 的坐标为（3）或（3.3 不）或（2 2 2 2I 事)或(入 3+V10)或2 2 2新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案（-,3-JH）2【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由R t A A BO RtA C A O可得0A=B,从而求出点C的坐标。OC 0A（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。过 点P作X轴的垂线于点H,则由S=SW%A O HP+S,P HC-S A O C可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。另解:点A、C的坐标可求AC的解析式：y=-；x ,设过点P与A C平行的直线为y=-*x+b。1 1-3由点 P 在 y=-,x+b 和 y=-2 x 2+2 x+2可得A -m+b=-m2+m+2,整理，得 m2-4m-4+2b=0。2 2 21 i 3要使A P A C的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即y=-x+b与y=-x 2+x+2只2 2 2有一个交点，即 m2-4m-4+2b=0 的=（）,BP （-4）2-4（-4+2b）=0 ,解得b=4。将 b=4 代入 m2-4m-4+2b=0 得 m =2,将 m =2 代入 n=-1 m+2 得 n=3 。2n=-lm+b2n=-1 m2+3 m+2.当S最大时点P的坐标为(2,3)。3(4)设点 M(,h ),2V C (4,0),P (2,3),P C=J(4-2+3 2=万,分三种情况讨论:当点M是顶点时，P M=C M,即J h 2-6 h+?=J h 2+三，解得，h=；。.M（；新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案当点C是顶点时，P C=C M,即 而解得，h=。；.M,（3,M,（3,4市）。2 2 2 2 2 2当点P是顶点时，P C=P M,即=J h 2-6 h+y ,解得，h=3土疝7。A M,（-,3 +0 ）,M （-,3-5/1 0 ）4 2 5 2综上所述，当点M的坐标为/J）或，。赤）或（3,2点）或（3.3 +而）或2 2 2 2 2 2 2（；,3-标）时，AMPC为等腰三角形。例 3：（山东临沂13分）如图，点A在x轴上，O A=4,将线段OA绕点O顺时针旋转1 20。至OB的位置.（1）求点B的坐标；（2）求经过点A.O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P的坐标；若不存在，说明理由.（2）抛物线过原点O和点A.B,二可设抛物线解析式为y=a x 2+b x,将A （4,0）,B（-2,-273 ）代入，得新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案16a+4b=04 a-2 b=-2 6二此抛物线的解析式为y=-f x+纯6 3（3）存在。如图，抛物线的对称轴是x=2,直线x=2与x 轴的交点为D,设点P 的坐标为（2,y）。若 O B=O P,则 22+lyP=42,解得 y=2，J,当 y=2 时,PD JT在 RtZ POD 中，ZPDO=90,sinZPOD=OP 2 ZPOD=60Z POB=Z POD+Z AOB=60+120=180,即 P、O、B 三点在同直线上。.y=2jT不符合题意，舍去。.点P 的坐标为（2,-21）。若 O B=PB,则 42+ly+2j3|2=42,解得 y=-2/。.点P 的坐标为（2,-2/）。若 O P=B P,则 22+ly|2=42+|y+26R,解得 y=-2 1 )o2 1 2=1:3,x2:S 当 M 在线段D A 延长线上时,由%OM。1=3 得新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案,2(2 m+2):,4 ,(m )-1:3 ,解得 m =3。M (3,4 )。2 2 23综上所述，点M的坐标为M,(-，1 )1 2(3)存在。.点 C (2,y)ity=-2+x+4 ,A y=-1-2 2+2+4=4 o A C (2,4)。2设P(0.p),根据勾股定理，得B C 2=(4-2 1+4 2 =2 0,PB=zp +声 1 6 p P C 2=2 2 +(p-4)2=p 2-8 p+2 0 o分三种情况：若 P B=B C,则 1 6+p 2=2 0,解得，p =2。点P在y轴的正半轴上，；.P|(0,2)。若 P B=P C,则 1 6+p 2=p 2 8 p+2 0,解得，P =g。，P,(0，1)。若 B C=P C,则 2 0 =p 2-8 p+2 0,解得，p =0 i p =8。丁点P在y轴的正半轴上，.p =0不符合要求。当p =8时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。；.B C=P C时，在y轴的正半轴上是不存在点P,使4 B C P为等腰三角形。综上所述，在y轴的正半轴上是存在点P,(0,2),P,(0,1),使4 B C P为等腰12 2三角形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】(1)求出点A,D的坐标，代入y=-；x 2+bx+c,即可求出抛物线的解析式。令y=0,即可求出点B的坐标。(2)分M在线段AD上和M在线段D A延长线上两种情况两种情况讨论。(3)P(0,p),由勾股定理，表示出各边长，分P B=B C,P B=P C,B C=P C三种情况讨论。例5：(福建龙岩14分)在平面直角坐标系x o y中，一块含6 0。角的三角板作如图摆放，斜 边A B新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案在X轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A (1,0).(1)请直接写出点B、C的坐标：B (,)、C (,)；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DE F(其中/E DF=9 0。，N DE F=6 0。)，把顶点E放在线段A B (点E是不与A、B两点重合的动点)，并使E D所在直线经过点C.此时，E F所在直线与(1)中的抛物线交于第一象限的点M.设A E=x,当x为何值时，A O C E A O B C；在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使4 P E M是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由.备用图【答案】解：(1)B (3,0),C (0,6)。V A (1,0)B (3,0).可设过A、B、C三点的抛物线为y=a(x+l)(x-3)(aw 0).又 (？(0,J T)在抛物线上，.J 2 a(0+D(0-3),解得.经过A、B、C三点的抛物线解析式y=-(x+l)(x-3)B P y=一 小+2优+63 3 3(2)当 O C E s/O B C时，则 上=上。O B O C.P C=G O E=A E A O=x-1,O B=3,*=.x=2 3 后.,.当 x=2 时，A O C E A O B C o存在点P。由可知x=2,.,.O E=l o A E (1,0)。此时，4 C A E为等边三角形。.,.ZA E C=ZA=6 0%新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案又ZC E M=6 0,ZM E B=6 0 1,点C与点M关于抛物线的对称轴bx=-=2 a2-2 7 3z 3-=1 对称。3V C （0,亦），AM（2,有）。过M作M N _ L x轴于点N (2,0),/.M N=j3 ,A E N=1,E M =J E N 2 +M N 2 =Q +Q=2。若4 P E M为等腰三角形，则:i ）当E P=E M时，；E M=2,且点P在直线x=l上,；.P(1,2)或 P (1,一2)。i i ）当E M=P M时，点M在E P的垂直平分线上,；.P（1,2肉。ui）当P E=P M时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=l的交点，；.P（1,2弋）综上所述，存在P点坐标为（1,2）或（1,-2）或（1,2了）或（1,干）时,E P M为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，.次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。求得EM的长，分E P=E M,E M=P M和PE=PM三种情况求解即可。练习题：1.（广西百色10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x 2+b x+6经过点A（-3,0）和点B（2,0）.直线y=h （h为常数，且0 Vh 6）与B C交于点D,与y轴交于点E,与AC交于点E与抛物线在第二象限交于点G.（1）求抛物线的解析式；（2）连接B E,求h为何值时，4 B D E的面积最大；新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案（3）已知一定点M （-2,0）.问：是否存在这样的直线y=h，使AO M F是等腰三角形，若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由.2.（江西省10分）如图，已知二次函数L：y=x 2-4x+3与x轴交于A.B两 点（点A在点B左边），与y轴交于点C.（1）写出二次函数L的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数 L2：y=k x2-4k x+3k （k于0.写出二次函数匕2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；是否存在实数k,使a A B P为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；若直线y=8 k与抛物线L2交于E、F两点，问线段E F的长度是否发生变化？如果不会，请求出E F的长度；如果会，请说明理由.3.（湖南衡阳10分）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形A B C D的顶点A,D在抛物线上,且AD平行x轴，交y轴于点E AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2,1）,点P（a,b）在抛物线上 运 动.（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式.（2）过点P作C B所在直线的垂线，垂足为点R,新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案求证：PF=PR；是否存在点P,使得4PFR为等边三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;延长PF交抛物线于另一点Q,过 Q 作 BC所在直线的垂线，垂足为S,试判断aRSF的形状.4.(湖南永州10分)如图所示，已知二次函数y=ax2+bx-1 (a#)的图象过点A(2,0)和 B(4,3),1为 过 点(0,-2)且与x 轴平行的直线，P(m,n)是该二次函数图象上的任意一点，过P 作 PH，1,H为垂足.(1)求二次函数y=ax?+bx-I(a#0)的解析式;(2)请直接写出使y 0 的对应的x 的取值范围;(3)对应当m=0,m=2和 m=4时，分别计算IPOP和IPHP的值.由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m,此结论成立;(4)试问是否存在实数m 可使aPO H为正三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.5.(广东梅州11分)如图，矩形OABC中，A(6,0)、C(0,2 M)、D(0,3 ),射线1过点D 且与 x 轴平行，点 P、新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案(1)点B 的坐标是一；ZCAO=_ 度；当点Q 与点A 重合时，点P 的 坐 标 为；(直接写出答案)(2)设 0 A 的中心为N,PQ 与线段AC相交于点M,是否存在点P,使aA M N 为等腰三角形？若存在,请直接写出点P 的横坐标为m；若不存在，请说明理由.(3)设点P 的横坐标为x,aClPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S 与 x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围.二、直角三角形存在问题：典型例题：例 1：(山东枣庄10分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点 C 为(-1,0).如图所示，B 点在抛物线y=；x2+；x2 图象上，过点B 作BDJ_x轴，垂足为D,且 B 点横坐标为-3.(1)求证：ABDCACOA；(2)求 BC所在直线的函数关系式；(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使4A C P 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所A ZBCD=ZOACABC为等腰直角三角形，.BCnAC。在 ABDC 和 ACOA 中，ZBDC=ZCOA=90,ZBCD=ZOAC,BC=AC,/.BDCACOA(AAS)。(2)CC 点坐标为(一1,0),/.B D=C O=lo点横坐标为一3,；.B 点坐标为(一3,设 BC所在直线的函数关系式为y=kx+b,新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案_ =k=-l.J Z jk+b r 解得 ；。,B C 所在直线的函数关系式为y=-；x；olb：(3)存 在。；y=；x2+；x2=；(x+；)2x，.对称轴为直线 x=一；。若以AC 为直角边，点 C 为直角顶点，对称轴上有一点匕，使 CP|LAC,；BC_LAC,.点P1为直线BC与对轴称直线x=一;的交点。f 1 1 1，y=-x-5 八=一 由题意可得：1 ,解得，r/.P1(苫，一力。&=-2 4=-4若以AC为直角边，点 A 为直角顶点，对称轴上有一点P 2,使 APLAC,则过点A 作 A P2/7 B C,交对轴称直线x=一 异 点 P2，VCD=OA,r.A(0,2)。设直线AP?的解析式为：y=;x+m,把 A(0,2)代入得m=2。二直线AP?的解析式为：y=；x+2。1 r 1J y=-2x+2*=-2 i 9由题意可得：，解得，go/.P2(-2 一9。l x=2 1y 1 1 1 9JP 点坐标分别为 P(4)、P)(一)，一3。【考点】：次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。【分析】(1)由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得.(2)求出点B 的坐标，由点B、C 的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案（3）分点C 为直角顶点和点A 为直角顶点两种情况讨论即可。例2：（重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC,NB=90。，AD=2,BC=6,AB=3.E为 BC边上一点，以B E为边作正方形B E FG,使正方形BEFG和梯形ABCD在 B C 的同侧.（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线A C上时，求 B E的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿 B C向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B E F G,当点E 与点 C 重合时停止平移.设平移的距离为3正方形BEFG的边EF与 A C交于点M,连接BD,B，M,DM,是否存在这样的t,使A B U M 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B，EFG与aA D C 重叠部分的面积为S,请直接写出S 与 t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围.A-D A-。新人教版中考数学复习导学案B(E)C B【答案】解：(1)如图，设正方形BEFG的边长为x,贝 1 J BE=FG=BG=x。VAB=3,B C=6,，AG=AB-BG=3-x。VGF/7BE,AAAGFAABCo.AG=GF，即n 3-x =x。AB BC 3 6解得：x=2(即 BE=2(2)存在满足条件的t,理由如下：如图，过点D 作 DHLBC于 H,贝 lj BH=AD=2,DH=AB=3,由题意得：BB=HE=t,H Bt-21,EC=4-：EFAB,/.AM ECAABCo.ME=E C,即 ME=4 T ,M E=2_AB BC 3 6在 RtBME 中，B,M2=ME2+B,E2=22+(2在 RtZ DHB，中，BT)2=DH2+BH2=32+(t-备用图_ DKB(E)。图j _D AB H Br E C)to-t)2=-t2-2t+8o2 42)2=(2-4 什13。新人教版中考数学复习导学案过点 M 作 M N _ L D H 于 N,则 M N=H E=t,N H=M E=2 -.D N=D H -N H=3 -(2 -t)=-t+l在 R t a D M N 中，DM2=D N2+M N2=(1 t+1)2+t2=5 t2+t+l o2 4(I )若NDB，M=9 0。，则 D M 2=B，M 2+B T)2,即 5 t2+t+l=(1 t2-2 t+8)+(t2-4 t+1 3),解得：t=20。4 4 7(1 1 )若NB，M D=9 0 ,则 B，D 2=B，M 2+D M 2,B P t2-4 t+1 3=(-t2-2 t+8)+(-t2+t+l),解得：t 产-3+J T 7,t,=-3-J T 7 (舍去)。4 4t=-3+J 7 o(I I I)若NB，D M=9 0。，则 B M 2=B D 2+D M 2,即 2 一 2 t+8=(t2-4 t+1 3)+(5 t2+t+l),此方程无解。4 4综上所述，当 t=或-3+J百 时，B D M 是直角三角形；7(3)S =【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。【分析】(1)首先设正方形B E F G 的边长为x,易得AGFSABC,根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。(2)首先由 M E C s A B C 与勾股定理，求得B，M,DM与 B T)的平方，然后分别从若N D B，M、ND B，M 和NBD M 分别是直角，列方程求解即可。4 4 10 10(3)分别从,t 2,2 t 和 t 4 4 时去分析求解即可求得答案：如图，当F在 CD 上时，E F：D H=C E：C H,即 2：3=C E s 4,；，t=B B =B C -B E -E C=6-2-图新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案VME=2-1 t,AFM=1 t,2 24 当OW tVg时，S=S_ XtX t=一 卜MN 2 2 4如图，当G 在 A C上时，1=2,VEK=EC*tanZDCB=EC-叫=9(t)=3CH 43一一t4/.FK=2-EK=3t4VNL=2 AD=3.4.FL=t-3图一 1 O11434.当 _VtW 2 时,3cc 1 )1S=SAFMN-SAFKL=4 卜231(t-1 )=-t2+t 4823如图，当G 在 CD 上时，B/C：CH=BG：DH,即 BC：4=2：3,解 得:BC=.EC=4-t=BrC-2=-o At=38一 3 10,旧 N=1 BC=2(6-t)=3-2图 GN=GB-BN=t-lo2 当 2 V t y 时，S=S 悌 形GNMF-SFKL=2 x 2 x(心）(t-)(_3t-1)43 r c 5=12+2t-如图,当l V t 4 时,33 3 BL=BC=(6-t),EK=4 43 3EC=(4-1),B，N B，C=L(6-t)E M=-E C=-(4-t),*S=S 梯 形 MNLK=S 怫 形 BEKL-S 悌 形 BEMN=一 2(+2图综上所述:1 ,-t2+t-3j8 31-3t2+2 t-58 31 5 fl0-t +-2 V H t 42328344222s=14t2 fo t-4,解得a。4二次函数的关系式为y=1(x-4-4,即y=!x 2-2 x。4 4新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案(2)设直线O A的解析式为y=kx,将 A(6,3)代入得-3=6k,解得k=-j，宜线O A 的解析式为y=-；x。把 x=4 代入 y=一;x 得 y=-2。.M(4,-2)。又：点 M、N 关于点P 对称，N(4,-6),MN=4o FAN 6 4 =12。(3)证明：过点A 作 AH_L/于点H,/与 x*力交于点D。设 A(x。，2 一 2X0),1 X 2-2x则直线O A的解析式为y=4 x=X0则 M(4,x()-8 ),N(4,-x(J,H(4,o2-2 x()0.OD=4,ND=x。，H A=x-4,NH=：x02-x,x-2 x o4 0)JI/cza a OD 4 HA x 4.tanJONM=,tanZANM=,oN D X0 N H X2-X4 o oo4(xo-4)4G-4)_x 2-4x 4-64 X,(xr-4)0 0 o 04x0:.tan ZONM=tan ZA N M。A ZANM=ZONMo能。理由如下：分三种情况讨论：情 况 1,若NONA是直角，由，得NANM=NONM=45。，.AHN是等腰直角三角形。.H A=N H,即小一4二 x/。o 4 o整理，得 x02-8Xo+16=O,解得 x0=4。此时，点 A 与点P 重合。故此时不存在点A,使NONA是直角。情况2,若NAON是直角，则 OA2+ON2=AN2。7 OA2=Xo2+4Xo2-2xo b OU+书，A bP=(x+k _2x+x。.x 2+x 2-2x r+4U x 2=(x-4)2+|1 x 2-2x+x 丫。o|4 o o o o(4。o o 1整理，得 Xo3-8Xo2-16Xo=O,解得 x0=0,x0=44亦。舍去Xo=(),x0=4-4/(在/左侧)。新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案当 x（）=4+4立 时，y（）=4 o 此时存在点A（4+45E 4）,使NAON是直角。情况 3,若NNAO 是直角，则AMNs/XDMOsaDON,/.M D=O D oOD ND8 x 4VOD=4,MD=8-x,、，ND=x,；.-a=一。0 0 4 xo整理，得 x02-8Xo+16=O,解得 x0=4。,此时，点 A 与点P 重合。故此时不存在点A,使NONA是直角。综上所述，当 点 A 在对称轴/右侧的二次函数图象上运动时，存在点A（4+40,4）,使 NAON是直角，即ANO为直角三角形.【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程.【分析】（1）由二次函数图冢的顶点为P（4,-4）和经过原点，设顶点式关系式，用待定系数法即可求.（2）求出直线0 A 的解析式，从而得到点M 的坐标，根据对称性点N 坐标，从而求得MN 的长，从而求得ANO的面积.（3）根据正切函数定义，分别求出NANM和 NONM即可证明.分NONA是直角，NAON是直角，NNAO是直角三种情况讨论即可得出结论.当 NAON是直角时,还可在RtAOMNK中用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解：OP=PN=PM,0P=5+4 2=4 近PN=x04 4/=x（）4.x0=4+4-j2.练习题：1.（广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=A C,以底边BC的垂直平分线和BC所1 7在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=-X 2+X+4 经过A、B 两点.（1）写出点A、点 B 的坐标；（2）若一条与y 轴重合的直线1以每秒2 个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、C A和抛物线于点E、M 和点P,连结PA、PB.设直线1移动的时间为t（0/fo,AB=4o解得BF=6技.B B，=2BF2技，BF 4 5 5AQ CO CA由N1=N2 可得 RtZ AOCsRt/BEB,A=BE BE BB.1=3 _ V10一 BBE，2 M o512 36 36 21 .B，E=，BE=o AOE=BE-OB=-3=.555521 B，点的坐标为（-；设直线B D的解析式为y=k2X+b2。2和），则k 2+b=42152k+b2,解得2 2 54K 2 13J 48b=2 直线BD的解析式为：y=134 48x+13 13新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案9x=35132y=35联立B D 与 A C 的直线解析式可得：y=3x+3 4 48，解得y=x+I 13 13M点 的 坐 标 为(9?，上132)。35 35【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形三边关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组.【分析】(1)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线片-城+2乂+3与 x 轴交于A.B 两点可求得A.B 两点的坐标，同样，由由抛物线产-+2x+3与 y 轴交于点C可求得C点的坐标.用待定系数法，可求得直线AC的 解 析 式.由 方-/+2x+3=-(x-1)2+4可求得顶点D 的坐标.(2)由于点P 在 x 轴上运动，故由平行四边形对边平行的性质求得点Q 的坐标.(3)点 B 作 B B-IA C 于 点 F,使 BF=BF,则 B，为 点 B 关于直线A C 的对称点.连接B D 交直线 AC与 点 M,则根据轴对称和三角形三边关系，知 点 M 为所求.因此，由勾股定理求得A C=M，A B=4.由 RtZiAOCsRtZiAFB求 得 BF=士 普，从而得至(1 BB2BF=.由 RtZAOCsRtaBEB 得至！I B =&,BE=,OE=BE-0B=-3=,从5 5 5 5 5而得到点的坐标.用待定系数法求出线B D的解析式，与直线AC的解析式即可求得点M 的坐标.例 2：(山东日照10分)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x 轴交于A、B 两点，且 A 点坐标为(-3,0),经过B 点的直线交抛物线于点D(2,-3).(1)求抛物线的解析式和直线BD解析式；(2)过 x 轴上点E(a,0)(E 点 在 B 点的右侧)作直线EFB D,交抛物线于点E是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.【答案】解：(1)将 A(3,0),D(2 3)的坐标代入y=x?+bx+c得,新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案9-3b+c=04-2b+c=-3,解得:b=2c=-3.抛物线的解析式为y=x2+2x3 o由 x2+2x3=0 得：乂产-3,x2=l ；.B 的坐标是（1,0）o设直线BD的解析式为y=kx+b,则k+b=0-2k+b=-3,解得：，k=lb=-l直线BD的解析式为y=x 1 o（2）2直线BD的解析式是y=x1,且EFBD,直线EF的解析式为：y=x-a。若四边形BDFE是平行四边形，则DFx轴。D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为一3。由,y x+2x 3 得 丫?+(2a+1)y+a2+2a3=0,解得:y=x-a-(2a+l)3-4ay=2人-（2a+l）V13-4a 令=-3,解得：a=1,a=3o212当a=l时，E点的坐标（I,0）,这与B点重合，舍去;.当a=3时，E点的坐标（3,0）,符合题意。.存在实数a=3,使四边形BDFE是平行四边形。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。【分析】（1）把A、D两点的坐标代入：次函数解析式可得二次函数解析式中b,c的值，让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B,把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式。（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=-3求得合适的a的值即可。例 3：（广西北海12分）如图，在平面直角坐标系中有RtABC,ZA=90,AB=AC,A（-2,0）、B(0,1)、C(d,2)o新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案(1)求 d 的值；(2)将AABC沿 X轴的正方向平移，在第一象限内B、C 两点的对应点B，、C 正好落在某反比例函数图像上。请求出这个反比例函数和此时的直线BC，的解析式；(3)在(2)的条件下，直线交y 轴于点G。问是否存在X 轴上的点M 和反比例函数图像上的点P,使得四边形PGMC是平行四边形。如果存在，请求出点M 和点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。【答案】解：(1)作 CN，x 轴于点N。在 RtACNA 和 RtAAOB 中，VNC=OA=2,AC=ABARtACNARtAAOB(HL)。.AN=BO=1,NO=NA+AO=3,又；点 C 在第二象限，；.d=-3。k(2)设 反 比 例 函 数 为 丫=，点 C 和 B，在该比例函数图像上，X设 C (c,2),则 B，(c+3,1)。k,把点C 和 B，的 坐 标 分 别 代 入 丫=,得 k=2 c；k=c+3。X.2c=c+3,c=3,则 k=6。反比例函数解析式为y=6。x新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案得点 C (3,2)；B(6,D o设直线C B的解析式为y=a x+b,把c B，两点坐标代入得a 6 a +b =1b =3直线CB，的解析式为y =-；x +3。3(3)设Q是G C的中点，由G(0,3),C(3,2),得点Q的横坐标为？，点Q的纵坐标为过点Q作直线1与x轴交于M，点，与y =6的3图象交于P点，若四边形P G M，C是平行四边形，则有P Q=Q M，易知点M，的横坐标大于2，点P的3横坐标小于5。作P(H x轴于点H,Q K.y轴于点K,PZH与Q K交于点E,作Q F1 X轴于点F,则P EQ四Q FM，。3 6 6 1 2设EQ=FM，=t,则点P的横坐标x为 一t,点P的纵坐标y为一 一 =-x 3 3-2t2-t_ 3点M，的坐标是(2+t，0)。由 P Q=Q M，得 PE2+EQ 2=Q F2+FM，2,整理得：J2,=5,解得t=：(经检验，它是分式方程的解)。3-2t 1 03 3 3 6 1 2 1 2=3 3 3 9 t =5 +t=+=,2 2 1 0 5 3-2t -3 2 2 1 0 5D 乙X新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案6 9：.?(-,5),M-(y,0),则点P为所求的点P,点M为所求的点M。【考点】反比例函数综合题，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，平行四边形的和性质，勾股定理，解分式方程和二元一次方程组。【分析】(1)作C N 1 X轴于点N,由R t ACN A R t AAO B即可求得 1的值。(2)根据平移的性质，用待定系数法求出反比例函数和宜线的解析式。(3)根据平行四边形对角线互相平分的性质，取G C的中点Q,过点Q作直线1与X轴交于M，点，与y =6的图象交于P点，求出P Q=Q M，的点M，和P，的坐标即可。x例 4：(辽宁丹东14分)已知抛物线y =a x 2-2a x +c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐 标 是(一1,o),o是坐标原点，且|O C=3|OA|.(1)求抛物线的函数表达式；(2)直接写出直线B C的函数表达式；(3)如 图1,D为y轴的负半轴上的一点，且O D=2,以OD为边作正方形O DEF将正方形O DEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形O D E F与a O B C重叠部分的面积为s,运动的时间为t秒(0 t 解得 1 O(-l)2xa-2ax(-l)+c=0 c=-3.抛物线的函数表达式y=x22x3。(2)直线BC的函数表达式为y=x3。(3)当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时,设D点的坐标为(m,-2),根据题意得：-2=m3,当 01 时，S=2t；当 1区2 时，如 图,O)(t,0),D(t,-2),G(t,t-3),H(1,-2),.*.GD=t-l,HD=t-kS=S S=2 t-Y t-1)2矩形 DD,0,0 ADHG 2=1 t2+3t ,2 2；.s与t之间的函数关系式为2t(0 t l)S-1t2+3t-1(l t 2)2 27在运动过程中，s是存在最大值：当t=2秒时，S有最大值，最大值为小。2（4）存在。M,（一 应-1,0）M,（点一1,0）,M,（3-卡，0）,M,（3+返，0）。1 2 3 4【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质，二次函数的性质，平行四边形的判定。【分析】（1）求出点C的坐标，即可根据A,C的坐标用待定系数法求出抛物线的函数表达式。（2）求出点B的 坐 标（3,0）,即可由待定系数法求出直线BC的函数表达式。（3）分0tWl和1 0 2讨论即可。2t（0t1）由于S=，1 1/、9/、在0ctM2上随t的增大而增大，从而在 t-+3t=t-3/*4 1 t 2/2 2 2 2新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案7运动过程中，s是存在最大值：当t=2秒时，S有最大值，最大值为：。2(4)由点 P(1,k)在直线 BC 上